Métodos de Física Teórica II

Métodos de Física Teórica II
Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aula 6
Ref. Butkov, cap. 9, seções 9.1 e 9.2
Já vimos a separação de variáveis na equação de
Helmholtz em coordenadas cilíndricas.
• Vamos, agora, ver a separação de variáveis
nessa equação em coordenadas esféricas.
• Antes, porém, vamos ver as expressões gerais
dos operadores grad, div e Laplaciano em
coordenadas curvilíneas quaisquer.
• Vamos supor que as coordenadas cartesianas
x, y, z são reescritas em termos de coord.
curvilíneas arbitrárias l,m,n
O vetor posição então é escrito como
Partindo da definição do gradiente
e usando a regra da cadeia, temos que
Seguindo a dedução do Butkov, seção 1.9, temos
desde que as coordenadas l, m, n sejam
ortogonais.
As funções h, correspondem aos coeficientes do
elemento de linha
e
são os vetores unitários
correspondentes às coordenadas l, m, n.
Explicitamente, o unitário na direção l é
enquanto a função h correspondente é
e assim por diante.
Analogamente, o divergente nessas
coordenadas é
e o rotacional é
Finalmente, o Laplaciano é
As coordenadas esféricas r, θ, φ, são definidas
como
Calculando as funções h, para as coord. esféricas
temos
logo
Vamos, agora, considerar a separação de
variáveis em coordenadas esféricas.
• Concretamente, vamos considerar o caso da
equação de Helmholtz
A separação de variáveis supõe
(r, ,  )  R(r )( )( )
Vamos iniciar pela coordenada φ.
Em geral, supomos que a função Ф(φ) é
periódica, com período 2π. Assim,
com
• onde o caso m=0, representa uma função
constante, enquanto que os demais casos são
senos e cossenos.
• Por simplicidade, vamos considerar primeiro o
caso m=0.
Nesse caso (m=0), a equação para Θ(θ) é
• Para encontrar uma solução para essa equação,
vamos fazer a mudança de variáveis
de modo que
E definir
de modo que a equação para Θ(θ) fica
Essa é a equação diferencial de Legendre, que já
estudamos em Métodos I.
A região de interesse físico é
, que
corresponde ao intervalo
.
As soluções bem comportadas (não divergentes)
para a equação de Legendre ocorrem para
• Essas soluções são os chamados polinômios
de Legendre
Em termos da variável θ,
Mais adiante, neste curso, iremos estudar as
propriedades desses polinômios.
Vamos, agora, considerar o caso em que a função Ф(φ) não é uma constante, ou seja m≠0.
Neste caso a equação para Θ(θ) fica
Novamente, a substituição
implicando em
será útil,
com m = 0, 1, 2, 3, ... , que é a chamada equação
associada de Legendre.
Estudaremos esta equação mais adiante neste
curso e veremos que para que ela tenha soluções
bem comportadas é necessário novamente que
• Além disso, veremos que será necessário
impor que
Finalmente, vamos considerar a equação radial
proveniente da separação em coordenadas
esféricas.
• Usando as soluções discutidas para as partes
Ф(φ) e Θ(θ), vemos que a equação radial fica
Como no caso cilíndrico, as condições de contorno a serem impostas sobre R(r) irão fixar
os possíveis valores de k.
Para resolver essa equação, faz-se a substituição
k r = x , e a identificação R(r) = y(x), de modo
que a equação fica
• Para encontrar uma forma conhecida, vamos
fazer outra substituição
de modo
que a equação fica
Esta é a equação de Bessel de ordem
• Nós já encontramos e resolvemos essa
equação no curso de Métodos I.
• Suas soluções são funções de Bessel e
Neumann esféricas, que estudaremos mais
adiante neste curso.