j - Aprender

Eletricidade
Aplicada
Aulas Teóricas
Professor: Jorge Andrés Cormane
Angarita
Números Complexos
Eletricidade Aplicada
Números Complexos
• Definição
 Um número complexo (z) é definido como a soma de um
número real e um número imaginário, da forma z=x+jy,
onde x e y são número reais e j=√-1
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Números Complexos
• Representação escrita
 Retangular
z  x  jy
 Polar
z  z 
j
 Exponencial
z ze
 Trigonométrica
z  z cos    j z sin  
4
Números Complexos
• Representação gráfica
 como “Pontos” no plano complexo
Im
y
z
x  Re  z
y  Im  z
x Re
1  10
1  1180
j  190
 j  1  90
5
Números Complexos
• Representação gráfica
 como “Segmento de Reta” no plano complexo
Im
y
z
θ
x  z cos  
y  z sin  
z  x2  y 2
  tan 1  
x
x Re
1  10
1  1180
j  190
 y
 
 j  1  90
6
Números Complexos
• Operações
 Soma e subtração
z1  x1  jy1
z2  x2  jy2
z1  z2   x1  jy1    x2  jy2    x1  x2   j  y1  y2 
1  10
1  1180
j  190
 j  1  90
7
Números Complexos
• Operações
 Multiplicação e divisão
 Coordenadas retangulares
z1  x1  jy1
z2  x2  jy2
z1 z2   x1  jy1  x2  jy2    x1x2  y1 y2   j  x1x2  y1 y2 
z1 x1  jy1  x1  jy1   x2  jy2   x1 x2  y1 y2   j  y1 x2  x1 y2 



z2 x2  jy2
x2  jy2  x2  jy2 
x22  y22
1  10
1  1180
j  190
 j  1  90
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Números Complexos
• Operações
 Multiplicação e divisão
 Coordenadas polares
z1  z1 1
z1 z2  z1 z2 1  2
1  10
1  1180
z2  z2 2
z1
z1

1   2
z2 z2
j  190
 j  1  90
9
Números Complexos
• Operações
 Conjugado
z*  x  jy  z   
z  z*  2 Re z
z  z*  j 2Im z
zz  z
*
1  10
2
1  1180
 z1  z2 
*
 z1 z2 
*
j  190
 z1*  z2*
 z1* z2*
 j  1  90
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Números Complexos
• Operações
 Raízes n-ésimas
n
2
1  10
z
z
n

z ,
n
z

1  1180
2
 2  
z 
 ,
 n n
n
e
n0


z   
2

j  190
 j  1  90
11
Números Complexos
• Operações
 Potenciação
j 1   j
j0  1
z n  z n
n
j1  j
j 2  1
1  10
1  1180
j  190
j3  j  j 2   j
j4  j2  j2  1
j5  j  j 4  j
j n4  j n
 j  1  90
12
Números Complexos
• As fórmulas de Euler
e j  cos   j sin 
j
e e
cos  
2
 j
e j  cos  j sin 
e j  e j
sin  
2j
z  z e j  z 
z  z e j  z cos   j sin    x  jy
1  10
1  1180
j  190
 j  1  90
13
Exercício A03.01 – Considerando os números complexos
z1  z1 1 e z2  z2  2  1
interprete geometricamente as operações: (a) Z1 + Z2, (b) Z1 – Z2 e (c) Z1*
Exercício A03.02 – Determine os valores de x e y na equação
15
j 4
 20e
x  jy
Exercício A03.03 – Determine os valores de r e θ na equação
 r  3  j5  j 25
14
Exercício A03.04 – Resolva as operações
4050  20e
 j 3
 4050   3  j 4 
*
 2  j 4  3  j5
10  j 6 2  j3
 5


1

j


1
Exercício A03.05 – Resolva o sistema linear
10  j 6 2  j3  x1  e



 5

1  j   x2   0

j 2



15
16
z  x  jy
z  z 
z  z e j
z *  x  jy  z   
z n  z n
n
n
z
2
z
n
z  z cos    j z sin  
x  Re  z

z ,
n
z
y  Im  z
x  z cos  
y  z sin  
n0


z   
2

z1  z1 1
z2  x2  jy2
 y
  tan  
x
z1  x1  jy1
z2  z2  2
z2  x2  jy2
2
e
 2  
z 
 ,
 n n
z1  x1  jy1
z  x2  y 2
1

n
z1 z2   x1  jy1  x2  jy2    x1 x2  y1 y2   j  x1 x2  y1 y2 
z1 z2  z1 z2 1   2
z1 x1  jy1  x1  jy1   x2  jy2   x1 x2  y1 y2   j  y1 x2  x1
z1  z2   x1  jy1    x2  jy2  z x1 x x2 jy j yx1 y2jy  x  jy  
x22  y22
2
2
2
2
2
2
2
z
z1
 1 1   2
z2
z2
17
zz *  z
2
e j  cos   j sin 
j3  j  j 2   j
e  j  cos   j sin 
j  j  j 1
j  j j  j
 z1  z2   z1*  z2*
*
 z1 z2   z1* z2*
e j  e  j
cos  
2
e j  e  j
sin  
2j
1  10
z  z e j  z  cos   j sin    x  jy
z  z  2 Re  z
*
z  z *  j 2 Im  z
*
1  1180
2
2
5
j
n4
4
 j
j 1   j
j0  1
j1  j
j 2  1
n
z  z e j  z 
j  190
z  x  jy  z   z e j
 j  1  90
4050  20e
4
 j 3
 4050    3  j 4 
*
 2  j 4  3  j5 
10  j 6 2  j 3
 5
1  j 

a
z  x2  y 2
b
x  z cos 
z1  z1 1
1
e

e   tan 1 

e y  z sin 
y

x
z2  z2   2  1
15
j
 20e 4
x  jy
10  j 6 2  j 3  x1  e j 2 
 5
 x    

1

j

  2   0 

 r  3  j5  
j 25
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