Ondas

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O NDAS
Mecânica II (FIS-26)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
IEFF-ITA
23 de maio de 2013
R.R.Pelá
Ondas
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Roteiro
1
Ondas
Modos normais de Vibração
Ondas Sonoras
Efeito Doppler
R.R.Pelá
Ondas
Ondas
Modos normais de Vibração
Ondas Sonoras
Efeito Doppler
Roteiro
1
Ondas
Modos normais de Vibração
Ondas Sonoras
Efeito Doppler
R.R.Pelá
Ondas
Ondas
Modos normais de Vibração
Ondas Sonoras
Efeito Doppler
Modos normais de Vibração
Vamos considerar uma corda de comprimento L presa nas
duas extremidades. Condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
Não é conveniente expressar as ondas em termos de ondas
progressivas. Vamos voltar à equação de onda
1 ∂2y
∂2y
=
∂2x
v 2 ∂t2
E, com base na expressão obtida para ondas estacionárias,
supomos:
y(x, t) = F (x)G(t)
Esse método se chama método de separação de variáveis e,
apesar de parecer simplificado e sem devido rigor, é capaz de
produzir a solução exata.
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Modos normais de Vibração
Ondas Sonoras
Efeito Doppler
Modos normais de Vibração
Substituindo F (x)G(t) na EDP:
00
F (x)G(t) =
Portanto:
00
1
00
F (x)G (t)
2
v
00
F (x)
G (t)
= 2
F (x)
v G(t)
Uma força que só depende de x é igual a outra força que só
depende de t: isso só é possı́vel quando as forças são
constantes
00
00
F (x)
G (t)
= 2
=λ
F (x)
v G(t)
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Modos normais de Vibração
Ondas Sonoras
Efeito Doppler
Modos normais de Vibração
Caso λ = σ 2 > 0
Portanto: F (x) = A sinh σx + B cosh σx
Como F (0) = F (L) = 0 ⇒ B = A = 0, logo este caso não
convém.
Caso λ = 0
F (x) = Ax + B
Como F (0) = F (L) = 0 ⇒ B = A = 0, logo este caso não
convém.
Caso λ = −k 2 < 0
F (x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Como F (0) = 0 ⇒ B = 0
F (L) = 0 ⇒ o único modo de A não ser zero é se
nπ
00
k=
, por outro lado: G (t) − w2 G(t) = 0, w = kv.
L
Portanto: G(t) = cos(wt + δ).
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Modos normais de Vibração
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Efeito Doppler
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Modos normais de Vibração
yn (x, t) = A sin
nπx L
cos
nπvt
+δ
L
o que pode ser escrito como:
nπx nπvt
nπvt
yn (x, t) = sin
+ bn sin
an cos
L
L
L
este é conhecido como um modo normal de vibração da corda.
Trata-se de uma onda estacionária de frequência bem definida:
nv
fn =
2L
e também com um comprimento de onda bem definido:
λn =
R.R.Pelá
2L
n
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Efeito Doppler
Modos normais de Vibração
O movimento geral da corda é dado por uma superposição de
todos os modos normais:
y(x, t) =
∞
X
n=1
sin
nπx L
an cos
nπvt
L
+ bn sin
nπvt
L
As constantes an e bn podem ser obtidas através das
∂y
condições iniciais y(x, 0) = y0 (x) e
(x, 0) = y1 (t).
∂t

∞
nπx X



y
(x)
=
a
sin

0
n

L
n=1
∞
nπx X nπv



y
(x)
=
b
sin

1
n

L
L
n=1
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Modos normais de Vibração
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Efeito Doppler
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Modos normais de Vibração
ZL
y0 (x) sin
mπx L
dx =
∞
X
n=1
0
∴ am
2
=
L
ZL
an
sin
nπx L
|0
ZL
y0 (x) sin
sin
{z
L
δmn
2
mπx L
dx
0
Analogamente:
∴ bm
2
=
mπv
ZL
y1 (x) sin
0
R.R.Pelá
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mπx L
dx
mπx L
}
dx
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Efeito Doppler
Exemplo
Uma corda sob tensão T e com densidade linear µ é presa nas
posições x = 0 e x = L.
1
Deduza as seguintes expressões (para a energia cinética
K e potencial U da corda):
Z L 2
Z L 2
1
∂y
∂y
1
dx,
U= T
dx.
K= µ
2 0
∂t
2
∂x
0
Para os próximos itens, considere que em t = 0, a corda
parte do repouso com a seguinte configuração:
πx 2πx
y(x, 0) = 2a sin
,
+ 3a sin
L
L
2
3
onde a é uma constante com dimensão de comprimento.
Qual a expressão para y(x, t)?
Obtenha a energia total E(t) em função de a, L, T e µ.
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Efeito Doppler
Ondas Sonoras – Motivação
Está presente nas nossas vidas
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Efeito Doppler
Ondas Sonoras – Motivação
Sonar
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Efeito Doppler
Ondas Sonoras – Motivação
Apreciação cultural e projeto de ambientes
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Efeito Doppler
Ondas Sonoras – Motivação
Projeto de componentes eletrônicos
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Efeito Doppler
Ondas Sonoras – Motivação
Controle de ruı́do sonoro
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Efeito Doppler
Ondas Sonoras
Corpos em vibração produzem sons.
O som chega aos nossos ouvidos se propagando através
de um meio material.
As ondas sonoras na atmosfera são ondas longitudinais,
associadas a variações de pressão, ou seja, a
compressões e rarefações.
Frequências audı́veis ao ser humano: entre 20Hz e 20kHz.
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Efeito Doppler
Modelo matemático
Vamos abordar o caso unidimensional.
Consideremos uma porção de ar de largura ∆x.
Nas extremidades dessa porção de ar, há pequenos
deslocamentos de u(x) e u(x + ∆x).
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Efeito Doppler
Modelo matemático
Volume inicial: V = A∆x
Volume final: V + ∆V = A∆x + A∆u
Aplicando a
ρ0 A∆x
2a
∴ ∆V = A∆u
lei de Newton (sendo p(x) a pressão):
∂p
∂2u
= −A(p(x + ∆x) − p(x)) = −A∆x
2
∂t
∂x
Suponha que o processo de expansão do gás seja
governado por uma relação entre pressão e volume dada
por p(V )
Por exemplo, processo isotérmico p(V ) = k/V .
Por exemplo, processo adiabático p(V ) = k/V γ .
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Efeito Doppler
Modelo matemático
Seja p0 = p(V ) a pressão inicial (antes da onda de
compressão/rarefação).
A pressão p = p(V + ∆V ) depois da onda é
p∼
= p0 +
∂p ∆V
∂p
∆V = p0 + V
∂V
∂V V
∂p
Como B = −V
é o módulo de elasticidade (bulk
∂V
∆V
∆u ∼ ∂u
modulus) e
=
=
V
∆x
∂x
p∼
= p0 − B
∂u
∂x
∂p
∂2u
= −B 2
∂x
∂x
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Efeito Doppler
Modelo matemático
Equação de onda:
∂2u
B ∂2u
=
∂t2
ρ0 ∂x2
Velocidade do som:
s
v=
B
ρ0
Esta velocidade depende do processo de
expansão/rarefação da onda sonora (se é isotérmico, se é
adiabático, por exemplo), pois B depende disso.
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Efeito Doppler
Exemplo
Para um processo adiabático: B = −V
r
v=
γp
=
ρ0
r
∂p
= γkV −γ = γp
∂V
γRT
M
No caso do ar (80% N2 e 20% O2 ), tem-se:
(
γ∼
= 1,40
M∼
= 0, 0289 kg/mol
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∴ v∼
= 347 m/s a T = 27 ◦ C
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Efeito Doppler
Efeito Doppler – Motivação
Cultura: Big Bang Theory
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Efeito Doppler
Efeito Doppler – Motivação
Avião cruzando a barreira do som
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Efeito Doppler
Efeito Doppler – Motivação
Cuidados na gestação
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Efeito Doppler
Efeito Doppler – Motivação
Medição de velocidade
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Efeito Doppler
Efeito Doppler – Motivação
Meteorologia
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Efeito Doppler
Efeito Doppler
Efeito Doppler: uma mudança no comprimento de onda
recebido quando uma fonte emissora (e/ou um receptor)
estão em movimento.
No caso do som, o movimento é dito ser em relação ao
referencial de repouso da atmosfera, em relação ao qual o
som se propaga com velocidade vsom .
Supomos, em princı́pio, que a velocidade da fonte e do
observador são menores que vsom .
Se a fonte está em repouso (no referencial O) e o
observador se movimenta na direção da fonte
(aproximando-se desta), ele cruza com as frentes de onda
em intervalos de tempo menores que o perı́odo.
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Efeito Doppler
Efeito Doppler
As ondas emitidas pela fonte são caracterizadas por:
u = u0 cos(kx − wt + δ)
Mas, no referencial
em movimento:
(
+
:
afastamento
x = x0 ± vobs t
− : aproximação
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Efeito Doppler
Efeito Doppler
Para o referencial O0 em movimento:
u = u0 cos(kx0 ± kvobs t − wt + δ)
A nova frequência é:
w0 = w ∓ kvobs
(
− : afastamento
v
obs
∴ f0 = f 1 ∓
vsom
+ : aproximação
Quando fonte e observador se movimentam:

vobs 
(
1∓
sinal superior: afastamento

vsom 
0
f =
vf onte  f
sinal inferior: aproximação
1±
vsom
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Efeito Doppler
Efeito Doppler
Quando o movimento se dá numa direção diferente
daquela que une fonte e observador, na expressão do
efeito Doppler, é preciso tomar a componente da
velocidade que contribui para a aproximação ou o
afastamento.
vobs cos θ
0
f = 1+
f
vsom
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Efeito Doppler
Efeito Doppler
Suponhamos agora que a fonte se mova com velocidade
supersônica (vf onte > vsom ).
Neste caso, a fonte chega num ponto antes da frente de
onda emitida.
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Efeito Doppler
Efeito Doppler
Todas as ondas geradas pela fonte entre F0 e F ficam
contidas dentro de um cone com vértice em F e eixo F0 F
cujas geratrizes são as envoltórias das frentes de onda e
cujo ângulo de abertura é:
vsom
sin α =
vf onte
Este cone chama-se cone de Mach; α é o ângulo de Mach
vf onte
e
> 1 é o chamado número de Mach.
vsom
As ondas emitidas nas vizinhanças de F0 chegam a P no
mesmo instante de tempo. Na região perpendicular à
superfı́cie do cone de Mach, a acumulação das frentes de
onda que chegam simultaneamente a P produz uma onda
de choque.
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