Radiação Térmica, Analogias Elétricas - PUC-Rio

AULA 2
RADIAÇÃO E ANALOGIAS ELÉTRICAS
Objetivos do Tópico
Este capítulo pretende:
•
apresentar o último mecanismo básico de troca de calor: radiação;
•
relembrar conceitos básicos ligados à conservação de energia, associando os vários
modos de troca de calor;
Radiação
Quando dois corpos mantidos a diferentes temperaturas estão separados entre si por
um vácuo perfeito, não há troca de calor entre eles por condução ou convecção pela
inexistência de um meio físico. Em tais situações, a troca de calor entre os corpos é feita
por radiação térmica. O mecanismo de troca é o radiação eletromagnética (veja a figura em
http://www.geo.mtu/rs/back/spectrum) que pode ser explicada pela teoria clássica de
Maxwell (ondas) ou pelas hipóteses de Planck (fótons). Algumas aplicações industriais da
radiação solar (fonte mais comum, obviamente) podem ser vistas no endereço
http://www.eren.doe.gov/sunlab. Escolha a opção "Technology Overview" para detalhes
interessantes.
Considerações Termodinâmicas mostram que para um radiador ideal, o chamado
corpo negro, a emissão de energia é feita em uma taxa proporcional à 4a. potência da
temperatura absoluta do corpo. Quando dois corpos trocam calor por radiação, a máxima
troca de calor líquida possível se escreve:
(
q rad = σ.A . T14 − T24
)
σ é uma constante de proporcionalidade chamada de constante de Stefan-Boltzmann
tem o valor de 5,675x 10-8 W / m2 K4. A grandeza q rad / A é chamada de poder
onde
que
emissivo e tem a dimensão de [W/m2]. A equação acima só é válida para os corpos negros,
considerados emissores perfeitos. Outros tipos de superfície não emitem tanta energia
quando aqueles. Para levar em conta este aspecto, define-se a emissividade ε que relaciona
a radiação da superfície real e a da superfície ideal. Da mesma forma, lembrando que a
emissão de energia é feita em todas as direções, embora não necessariamente de modo
uniforme, nem toda radiação emitida por um corpo atinge o outro. É costume definir-se o
fator de forma ( ou de vista ) para levar em conta tal fato. Assim, a equação para a taxa de
troca de calor [W] entre dois corpos é:
(
q rad = F.ε.σ.A . T14 − T24
Naturalmente, as determinações de F e
explicitamente no futuro.
ε são
)
fundamentais e serão tratadas
Para identificarmos devidamente toda a energia radiante que deixa a superfície,
devemos inicialmente entender o conceito de energia radiante. Seja G a irradiação (W / m2),
isto é, a quantidade de energia por unidade de área que incide num determinado ponto sobre
a superfície em consideração. A quantidade G é a soma de toda a radiação atingindo a
superfície de todas as possíveis fontes externas. Sabemos que se a superfície for
transparente, como um vidro, grande parte da energia incidente é transmitida pelo vidro (já
que a enxergamos), atingindo o outro lado. Entretanto, se a espessura do vidro for de alguns
quilômetros, provavelmente nenhuma parcela de energia estará chegando ao outro lado.
Por outro lado, um filme metálico, de alguns angstrons de espessura é totalmente
transparente. Isto é, a transmissividade de um material depende da natureza dele e da sua
espessura. Se o acabamento superficial for do tipo espelhado, podemos esperar uma grande
parcela de energia sendo refletida diretamente. Em todos os casos, sabemos que pela ação
de radiação incidente, os corpos têm sua energia interna aumentada, indicando que parte da
energia incidente foi absorvida. Isto nos permite escrever que:
G = αG + ρ G + τG
onde logicamente
α + ρ + τ = 1 e:
•
α : fração da energia incidente que é absorvida;
ρ : fração da energia incidente que é refletida;
•
τ : fração da energia incidente que é transmitida;
•
A figura abaixo, retirada do livro do Wolf (veja a lista de referência), mostra a interação
entre a irradiação G e uma superfície transparente, a situação mais geral possível (se, por
exemplo, o corpo for opaco, não haverá a parcela transmitida, simplificando a análise).
Vamos considerar que pela interface 1 está chegando G1 e pela interface 2, inferior, chega
G2. A temperatura da placa é uniforme e igual a T (estamos desprezando efeitos de
condução de calor). Pela lei de Stefan-Boltzmann, se a temperatura for igual, a quantidade
de energia emitida também o será, então poderemos escrever que E1 = E2.
Vamos agora definir a radiosidade, J, como sendo a soma de todos os componentes
de radiação que deixam a superfície: a parcela refletida do que chega, a parcela transmitida
da outra superfície pois o material é suposto transparente, e a parcela emitida. Isto é:
J1 = ρ.G1 + τ.G 2 + E1
J 2 = ρ.G 2 + τ.G1 + E2
Considerando as fronteiras do sistema como as linhas pontilhadas "A", observamos que:
•
Energia entrando:
G1 + G 2
•
Energia saindo:
J1 + J 2
Podemos concluir então que se G1 + G 2 > J1 + J 2 , a temperatura T da placa
começará a subir (mais energia chegando que saindo). De forma oposta, se
G1 + G 2 < J 1 + J 2 ,
G1 + G 2 = J 1 + J 2
a
temperatura
da
placa
irá
cair.
No
equilíbrio,
e nenhuma variação de temperatura
Substituindo as expressões para J1 e J2, podemos escrever:
será
percebida.
G1 + G 2 = ρ G1 + τG 2 + E1 + ρ G 2 + τG1 + E 2
que se reduz à:
G1 (1 − ρ − τ ) + G 2 (1 − ρ − τ ) = E1 + E2
ou finalmente:
α( G1 + G 2 ) = E1 + E 2
Vamos agora repetir esta análise escolhendo agora uma outra fronteira como a "B",
imediatamente inferior à interface. Neste caso:
•
Energia entrando no sistema,
•
Energia saindo do mesmo:
α(G1 + G 2 ) - energia absorvida
E1 + E2
- energia emitida
Chegamos então no mesmo resultado. Naturalmente, a energia absorvida é armazenada na
matéria, aumentando a energia interna. Da mesma forma, a energia sendo emitida é
retirada da mesma matéria, diminuindo a energia interna. Se a parcela absorvida for igual à
parcela emitida, nenhum armazenamento líquido, positivo ou negativo, irá ocorrer. Ou
seja, se:
α( G1 + G 2 ) > E1 + E2
a energia interna acumulada irá aumentar, resultando num aumento de temperatura.
Entretanto, se:
α( G1 + G 2 ) < E1 + E2
isto é, se a emissão de energia for superior à absorção, então a energia interna irá diminuir e
em conseqüência, a temperatura irá cair. No regime permanente, teremos o equilíbrio entre
energia sendo absorvida e energia sendo emitida, resultando numa temperatura constante.
Uma melhor discussão sobre os conceitos de radiosidade, irradiação, poder emissivo, etc.,
serão vistos num outro capítulo, quando os usaremos para calcularmos o calor trocado entre
superfícies reais.
Para terminar esta breve análise dos fatores de radiação, analisaremos os efeitos do
fator de vista entre as superfícies trocando calor. Como a explicação dos mecanismos
básicos de radiação utiliza a teoria eletromagnética que trata radiação de uma forma única,
usaremos a analogia com a parcela do espectro chamada de radiação visível, aquela que
enxergamos. Se duas superfícies se enxergam, elas poderão trocar calor. Se alguma parte
delas estiver invisível à outra, então a troca de calor, que como vimos, depende das
extensões das superfícies, será penalizada. Esta é a essência de um fator de forma, F12, que
pode ser definido como a fração da radiação difusa que sai da superfície A1 e alcança a
superfície A2. Assim, o fluxo radiante que sai de A1 na direção de A2 se escreve:
Q12 = ( E1 A1 ) F12
e, por analogia:
Q21 = ( E2 A2 ) F21
O fluxo líquido é, então:
Qrad = E1 A1 F12 - E2 A2 F21
Intuitivamente, se T1 = T2, então: E1 = E2 e, para que o fluxo líquido seja nulo, torna-se
necessário que: A1 F12 = A2 F21. Esta lei, e outras semelhantes, fazem parte da chamada
álgebra de fator de forma, que analisaremos adiante no curso. Por ora, bastará escrever que
para os corpos negros:
q rad = σ.A1 .F12 .( T14 − T24 )
O mesmo conceito de fator de forma se aplica à radiosidade, J, de forma que:
q rad = A1 .F12 .(J1 − J 2 )
representa o calor líquido trocado entre as superfícies A1 e A2 se as superfícies não forem
negras mas forem difusas. Esta última observação nos permitirá desenvolver o conceito da
analogia entre troca de calor e circuitos elétricos para os mecanismos de condução,
convecção e radiação.
Analogia Elétrica
Podemos observar que os três mecanismos básicos de troca de calor podem se
escrever de forma a lembrar o equacionamento mais simples de circuitos elétricos: ∆ V =
R I, onde V é a voltagem, R a resistência e I a corrente que circula. Vejamos como
recuperar isto em base no que foi apresentado anteriormente:
Condução de Calor:
Vimos que a lei de Fourier se escreve: q = - k A [d T / d x]. Se considerarmos Q e k
constantes, poderemos integrar esta equação e escrever:
q cond = ∆T / [L / k .A ] = ∆T / R k
onde Rk é a resistência elétrica equivalente para condução de calor.
Convecção:
q conv = h.A s .(Ts − T∞ ) = ∆T /[1 / h.A s ] = ∆T / R c
e Radiação Térmica:
q rad = A1 .F12 (J1 − J 2 ) = (J1 − J 2 ) / [1 / A1 .F12 ] = ∆J / R Rad
O uso destas resistências nos permitirá, eventualmente, a resolver alguns problemas
simples de Transmissão de Calor. Se tivermos duas placas de diferentes materiais, uma
justaposta à outra, isto será equivalente a termos um circuito elétrico no qual duas
resistências em série estão colocadas.
Esta superposição de resistências térmicas
equivalentes é uma excelente maneira de visualizarmos circuitos térmicos, levando em
conta as diversas formas de troca de calor, inclusive nas fronteiras. Veja, por exemplo, as
resistências em série que apareceram no exercício proposto desta Aula.
Efeitos Combinados
Pelas situações físicas que encontramos em engenharia, é muito incomum
observarmos o aparecimento independente dos mecanismos que nós acabamos de ver, ainda
que teoricamente alguns deles possam acontecer. Vejamos alguns exemplos:
•
Peça quente se resfriando em contato com o meio ambiente: lógico que
convecção deve ser um mecanismo importante. Entretanto, se a espessura da
peça for muito grande, logo teremos um gradiente de temperaturas acontecendo,
e portanto, condução de calor entrará em jogo. Além disto, deve ser lembrado
que, pela equação de Stefan-Boltzmann, se um corpo tem temperatura absoluta
diferente do zero, ele emitirá radiação e portanto, teremos também troca de calor
agora por radiação entre a peça e o meio ambiente. Poderemos desprezar? Ah,
tudo depende do nível de temperaturas. Devemos lembrar que o mecanismo de
radiação depende da quarta potência da temperatura.
•
Satélite no espaço: aparentemente, este seria um caso onde apenas efeitos de
radiação estariam presentes. Entretanto, deve ser lembrado que "atrás" da
superfície do satélite, há a espessura do material de revestimento, onde
condução é importante. Lógico, em várias situações, esta variação pode ser
considerada pequena e eventualmente desprezível.
Este é o ponto de uma boa modelagem: simplificar o problema sem complicar a
validade da solução. Entretanto, há situações nas quais eliminar alguns destes mecanismos
acaba eliminando o problema, tipo "elefante sem massa", ou movimentação sem atrito.
Imagine um coletor solar, por exemplo, destes utilizados mesmo no Brasil para o
aquecimento da água de uso para banhos. Uma figura interessante de uma destas casas onde
um banco de coletores solares é utilizado tanto para o aquecimento de água quanto para a
geração de eletricidade aparece no endereço http://www.northlink.com/solar/hitney5.htm.
Observe que o coletor consiste em tubos que são soldados em chapas, formando um arranjo
do tipo tubo-placa-tubo... sequencial.
No interior dos tubos há um fluido circulando que é responsável em transportar a
energia coletada a partir dos raios solares até o interior do sistema. Suponha que as placas
expostas ao sol recebam energia estimada em Hs (radiação solar) e percam energia por
convecção para o ar ambiente. Como o balanço de energia é positivo, há um fluxo por
condução ao longo das placas, resultando no aquecimento das paredes dos tubos.
Desprezando a interação por radiação entre tubos e placas, este fluxo de calor por condução
será transformado em convecção pelo fluido de trabalho circulando nos tubos. A análise
detalhada deste problema é difícil e só poderá ser feita após o entendimento dos três
processos.
Balanço de Energia
Uma vez que os modos de troca de calor tenham sido apresentados, ainda que em
formulações genéricas, convem que os mesmos sejam trabalhados dentro do contexto da
Primeira Lei da Termodinâmica. Para isto, acesse o endereço http://venus.rdc.pucrio.br/wbraga/transcal/tutor/tutor1.htm para uma avaliação do teu entendimento do Balanço
de Energia em situações nas quais podemos desprezar a variação de temperaturas no
interior dos corpos. Esta situação, chamada de parâmetros concentrados, é útil quando as
dimensões e a natureza da peça são adequadas. Veremos na AULA 3, o que isto significa.
Por ora, o objetivo é "apenas" trabalhar os conceitos de Termodinâmica com o material das
AULAS 1 e 2. O problema em questão é mostrado na próxima figura.
Paredes Simples
Vamos ver algumas possibilidades de combinação destes modos de troca de calor,
analisando algumas situações simples com o uso de um aplicativo, disponível na Internet
no endereço http://venus.rdc.puc-rio.br/wbraga/transcal/simjava/sim4.htm.
A figura
adiante mostra a tela deste aplicativo.
Usando o aplicativo, avalie:
•
O perfil de temperaturas obtido considerando um material bom condutor de
calor;
•
O perfil de temperaturas para um material mal condutor de calor;
•
O efeito do comprimento no calor trocado;
•
Considerando fluxo de calor por radiação entrando no corpo e convecção
saindo, analise o fluxo de calor trocado pela face direita, comparando-o com o
fluxo de calor que entra no corpo;
•
A diferença entre fluxo de calor entrando na face esquerda ou fluxo de calor
entrando na face direita;
•
Deseja-se manter a temperatura da face direita numa determinada temperatura.
Para isto, iremos aquecer a face esquerda e podemos fazer isto de três maneiras:
•
Mantendo-se a temperatura da face esquerda num determinado valor;
•
Trocando-se calor por convecção na face esquerda;
•
Cedendo-se calor por radiação na face esquerda;
Qual a maneira mais eficiente? Para responder isto, você deve primeiramente
determinar o critério de eficiência. Para isto, avalie a temperatura e o fluxo de
calor da face esquerda. Comente.
•
Que tal modelar matematicamente estas possibilidades?
Paredes Compostas
Vamos ver agora o efeito de termos dois corpos em contato. Veja na Internet, a
página com o aplicativo que permite algumas análises, mediante combinações de materiais
e condições de contorno: http://venus.rdc.puc-rio.br/wbraga/transcal/simjava/sim1.htm. A
figura adiante mostra a tela deste aplicativo. Usando o aplicativo, avalie:
•
Perfil de temperaturas, sem resistência interna de contato, para as seguintes
combinações:
•
Material bom condutor - material mal condutor;
•
Material mal condutor - material bom condutor;
•
Mesmo material, temperatura especificada - fluxo de calor especificado na
face esquerda;
•
Mesmo material, temperatura especificada - troca de calor por convecção na
face direita;
•
Repita a análise considerando agora a influência da resistência térmica de
contato;
•
Supondo fluxo de calor especificado na face esquerda, analise o fluxo de calor
perdido pela face direita, para diferentes combinações de materiais e valores do
coeficiente de troca de calor por convecção. O que você pode dizer sobre o
fluxo de calor trocado na interface entre os dois materiais?
•
Como os comprimentos influenciam cada um dos perfis de temperaturas?
•
Que tal modelar matematicamente estas possibilidades?
Avaliação do aprendizado
Neste ponto é conveniente você fazer uma avaliação do seu estudo e da sua
compreensão sobre ele. Veja http://venus.rdc.puc-rio.br/wbraga/transcal/edir/econd.htm ou
veja o CD com o material do curso. Procure ler o material antes de responder às questões.
Exercício de Modelagem
Exercite a sua capacidade de observação e transforme, utilizando argumentos
físicos, hipóteses e observações, as situações físicas descritas abaixo, de forma que os
modelos matemáticos possam ser representados por uma placa plana sujeita a conduçãoconvecção-radiação.
•
Tampa do porta-malas do carro exposto ao sol;
•
Preparando um filé numa chapa quente;
•
Pegando um sol na praia, em um dia claro, sem nuvens;
Perguntas de Revisão
As questões abaixo foram formuladas para que você avalie seus conhecimentos
sobre o material visto. Não procure respondê-las antes de ter lido o material
adequadamente. Após tê-las respondido, faça os exercícios propostos.
1. Se a taxa de troca de calor [W] for conhecida, como se pode determinar o calor
trocado entre dois instantes, t1 e t2?
2. Explique a razão do sinal negativo da Lei de Fourier.
3. Mostre a diferença entre dT/dx positivo e dT/dx negativo.
4. Usar isolante garante que o calor trocado seja nulo?
5. Para aumentar a taxa de troca de calor, é recomendável:
•
aumentar k, aumentar Delta T, aumentar L?
•
diminuir L, aumentar A, diminuir k?
•
aumentar Delta T, diminuir L, aumentar k?
6. Para aumentar a dissipação de energia de uma parede de aço inoxidável de
espessura L e Delta T = 30 C é mais recomendável:
•
usar parede de aço carbono e L/2?
•
diminuir a espessura para L/2 e usar Delta T = 50 C?
•
aumentar Delta T para 50 C, diminuir espessura para L/2 e usar parede de
alumínio?
•
usar parede de cobre e espessura = 5L?
7. Supondo que haja troca de calor, qual é o valor do gradiente de temperatura para um
material de condutividade térmica infinita (se tal existisse)?
8. Se a temperatura da face esquerda de uma parede de platina, de 5 cm de espessura,
for 80 C, qual será a temperatura da outra face?
9. O que você poderá dizer se a espessura for aumentada para 5 km?
10. Repita os dois casos anteriores considerando que a parede seja de aço inoxidável.
11. Desenhe o perfil de temperaturas, em regime permanente, em dois corpos, um de
alumínio e outro de mármore, justapostos e de mesma espessura.
12. A queda de temperaturas num bloco de alumínio é sempre menor que a queda em
um bloco de concreto?
13. Se a troca de calor por convecção em água é mais intensa que a troca em ar, por que
se usa radiadores nos automóveis? É este um bom nome para este equipamento?
14. Explique o mecanismo que faz, com a agitação, o café quente se esfriar mais
rapidamente. O que acontece com a temperatura média do líquido?
15. A formação de nata no copo de leite ajuda ou dificulta a troca de calor?
16. Por que a parcela de energia transmitida por radiação não contribui para o aumento
de energia de uma peça transparente?
17. Para onde vai a energia que penetra numa peça opaca?
18. Aliás, o que é uma peça opaca?
19. O que acontece se tivermos uma placa trocando calor por condução em contato com
um fluido? Como se dá a troca de calor?
20. Dê um exemplo de troca de calor onde o mecanismo de radiação seja importante.
21. Suponha que a face esquerda de uma placa esteja recebendo calor na taxa de q watts
e a face direita está liberando calor à mesma taxa. Analise a situação física.
22. Observe uma lâmpada incandescente de, digamos, 100 watts. Para onde vai esta
energia dissipada?
Dúvidas Mais Comuns
P: Que tipos de fontes podem existir no caso?
R. Podemos classificar dois tipos: diretas e difusas. Fontes diretas são aquelas diretamente
orientadas para a superfície (caso do sol incidindo sobre uma superfície, caso de uma
lâmpada, etc). Fontes difusas são aquelas que iluminam ou aquecem uma superfície mas
não tem energia própria. Imagine que o mesmo sol que aquece os banhistas na praia
também aquece os prédios vizinhos que, por sua vez, refletem radiação de volta e parte
desta pode alcançar os banhistas. A melhor característica de uma superfície plenamente
difusa é a sua capacidade de emitir radiação de maneira uniforme em todas as direções.
P: Fator de forma pode ser maior que um?
R. Bem, se entendermos que fator de forma diz respeito a uma fração da energia sendo
trocada, o valor máximo desta fração será a unidade. Se toda a radiação emitida por uma
superfície chegar à outra, o fator de forma da primeira com relação à segunda valerá 1.
Mas observe que o fator de forma da segunda com relação à primeira não será
necessariamente também igual. Lembre-se do buraco da fechadura que do lado de dentro
da porta você consegue enxergar bastante mas do lado de fora a visão é muito pequena. As
áreas entram nestas considerações.
P: Quando é possível o uso da analogia elétrica nos problemas de Transmissão de Calor?
R. Essencialmente, é uma aproximação válida para problemas unidimensionais. Outras
hipóteses: regime permanente, ausência de fontes internas. Se a variação de temperaturas
for tal que seja inevitável considerarmos a variação das propriedades com a temperatura, a
saída é a determinação das propriedades médias para podermos continuar usando esta
analogia.