Lista 1

MAT B46 - Funções Holomorfas
Primeira Lista de Exercı́cios
Professor: Kleyber Mota da Cunha
1. Reduza à forma x + iy os seguintes números:
(1 − 5i)2 − 4i;
−i(−1 + i) + 2;
√
√ √
√
( 2 − i 5)( 5 + i 2);
3 − 4i
;
2i
(2 − 2i)2
;
1+i
z − zi
.
z − zi
2. Resolva as seguintes equações:
(a) z − z = 1
(b) z + zi = 2 + i
(c) z + 2z = 1 − i
3. Mostre que z é real puro ou imaginário puro se, e somente se, (z)2 = z 2 .
4. Mostre que a equação |z − z0 | = R do cı́rculo centrado em z0 e raio R pode ser escrita como
|z|2 − 2Re(zz0 ) + |z0 |2 = R2 .
5. Mostre as seguintes desigualdades:
a)|Im(1 − z + z 2 )| < 3 quando |z| < 1;
c) ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 + z2 |;
1
1
≤ ;
e) 4
2
z − 4z + 3 3
g)
|z1 + z2 |
|z1 | + |z2 |
≤
, se |z3 | =
6 |z4 |;
|z3 + z4 |
||z3 | − |z4 ||
b) |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |;
d) |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |;
z1 |z1 |
≤
f) , se z2 6= −z3 ;
z2 + z3
||z2 | − |z3 ||
h) |z1 + z2 | < |1 + z1 z2 |, se |z1 | < 1 e |z2 | < 1.
6. Encontre todas as soluções das equações:
√
(a) z 2 = 1 − i 3;
(b) z 5 = −1;
7. Deduza a fórmula
1 + z + z 2 + ... + z n−1 =
(c) z 3 = 1;
(d) z 7 = −(1 + i)
zn − 1
, se z 6= 1.
z−1
8. Utilize o exercı́cio anterior e mostre que se w 6= 1 e wn = 1 então 1 + w + w2 + ... + wn−1 = 0.