Potencial vector do campo de um fio corrente rectilínea Inexistência
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Potencial vector do campo de um fio corrente rectilínea
◆ Como B =
μo I
2π r
eθ em coordenadas cilíndricas e
η1 e1 η2 e2 η3 e3
∇ ×A =
1
η1 η2 η3
∂
∂ξ1
∂
∂ξ2
∂
∂ξ3
=
1
r
er
r eθ
ez
∂
∂r
∂
∂θ
∂
∂z
Ar r Aθ Az
η1 A1 η2 A2 η3 A3
vemos que
Bθ (r) =
μo I
∂ Ar
=
2π r
∂z
-
∂ Az
=-
∂r
∂ Az
∂r
Como A = Az(r) e z para o fio infinito a expressão reduz-se a
μo
A (r) = Az (r) ez = - I log(r) ez
2π
Esta expressão não é única: adicionar a A o gradiente ∇f de uma função arbitrária não altera
o resultado de ∇ × A já que ∇ × (∇f ) ≡ 0.
Inexistência de Monopolos Magnéticos:
Uma vez que B = ∇ × A então tem-se sempre
∇ · B(r) = ∇ · ∇ × A ≡ 0
Isto significa que, ao contrário do campo eléctrico, onde ∇ · D = ρ representa a densidade
de cargas eléctricas que dão origem ao campo D = ε E, não existem cargas magnéticas (ou
monopolos magnéticos) que dêm origem ao campo B.
Uma demonstração directa também pode ser obtida a partir da definição usando a Lei de
Biot-Savart:
μo
B (r) =
4π
1
∇r
r - s
× J (s) ⅆ V (s)
fazendo notar que em geral
∇ · a × b = b · ∇ × a - a · ∇ × b ;
∇r × J (s) = 0
∇ × (∇ ψ) ≡ 0 ;
pelo que directamente:
∇ · B(r) ≡ 0
◆ Se B = ∇ × A então em qualquer volume V
∇ · B (r) ⅆV(r) =
V
∂V
B (l ) · ⅆS(l ) = A · ⅆ ℓ + A · ⅆ l ≡ 0
γ
γ
Potencial vector e campo longe do anel.
Para pontos r longe de um circuito fechado com corrente I e parametrizado por vectores l ,
i.e. quando l ≪ r sempre, podemos usar a expansão em série de Taylor para uma função
f r - l = f (r) - l · ∇ f (r) + ...
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3
para aproximarf (r) = 1 quando r ≫ l :
r
1
1
l ·r
≈ +
+ℴ r-3
3
r
r
r - l
O cálculo do potencial vector A pode assim ser aproximado por
μo I
ⅆl
μo I
A (r) =
≈
4π
4π
r - l
r·l
1
r
+
r
3
μo I
ⅆl =
r · l ⅆ l
3
4π r
O integrando pode ser transformado num duplo produto externo e um diferencial exacto
(cujo integral num circuito fechado é necessáriamente nulo)
ⅆ r · l l = r · l ⅆ l + r · ⅆ l l
⟹
ⅆ l r · l + r × ⅆ l × l = 2 r · l ⅆ l
r × ⅆ l × l = r · l ⅆ l - r · ⅆ l l
obtemos
μo
ⅆl
μo I
1
A(r) =
I
≃
ⅆ l r · l + r × ⅆ l × l =
3
2
4π
4
π
r
r - l
=
μo I
4 π r3
μo I S × r
×
r
=
l
×
ⅆ
l
2
4 π r3
1
μo m × r
A (r) =
4 π r3
onde fizemos:
S=
1
2
l ×ⅆ l
m=IS
Área mínima duma superfície
com bordo no circuito
Momento Magnético
′
Se designarmos o baricentro do circuito por Rc então podemos escrever l = l + Rc e
′
′
′
ⅆ l = ⅆ l donde ∮ l × ⅆ l = ∮ l × ⅆ l e o resultado mantém-se.
Campo Dipolar Magnético
B usando a fórmula de Biot-Savart apenas resulta em geometrias muito
simples. Para um anel de corrente, por exemplo, apenas o campo no eixo do anel é
fácilmente calculável. Contudo é possível aproximar o valor do potencial-vector A em
regiões afastadas do anel, obtendo-se assim o campo de um dipolo magnético m.
Assim, longe de um dipolo magnético de momento m o potencial vector A e o campo
magnético B podem ser descritos por
◆ O cálculo directo de
μo m × r
A(r) ≃
4 π r3
μo
m 3 (m · r) r
μo
B(r) ≃ ∇ × A =
- +
=
2 m · er - m · eθ + eφ
3
5
3
4π
r
4πr
r
4
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B⩵
μo
4 π r3
(2 m∥ - m⊥)
Em geral
∇ × a × b = b · ∇ a - (a · ∇) b + ∇ · b a - (∇ · a) b
Pondo a = m e b = r3 , todas as derivadas de a são nulas e restam apenas os termos com
r
derivadas de b. Assim, para r ≠ 0, uma vez que ∇· r3
r
m×r
∇×
r3
r
= -(m · ∇)
r3
(m · ∇) r
=-
r3
- m·∇
r≠0
1
r3
= 0,
m 3 (m · r) r
r=+
r3
r5
Momento de Força em condutores e correntes:
◆ Para além da força resultante sobre um circuito fechado percorrido por uma corrente I
quando num campo magnético exterior B, vai - se observar um momento de força (binário)
que, no caso de se tratar de um circuito rígido, terá como efeito uma rotação de todo o
circuito em torno do seu centro de massa além duma rotação deste relativamente à
origem.Vamos calcular esse binário somando as contribuições elementares dos momentos
de forças a que um segmento ⅆ l do condutor fica sujeito :
ⅆ N m = l × ⅆ F m = I l × ⅆ l × B
Momento de Força sobre Corrente em campo homogéneo, momento dipolar
magnético m.
◆ Quando B é constante, usando a identidade algébrica:
a × b × c + b × (c × a) + c × a × b = 0
podemos calcular
ⅆ l × l × B = ⅆ l × l × B + l × ⅆ l × B
B × l × ⅆ l = ⅆ l × l × B - l × ⅆ l × B
ⅆ l × l × B - B × l × ⅆ l = 2 l × ⅆ l × B
Substituindo na expressão anterior e tendo em conta que o integral de um diferencial exacto
num circuito fechado é nulo, obtemos
1
1
N m = I l × ⅆ l × B = I ⅆ l × l × B - B × l × ⅆ l = I l × ⅆ l × B
2
2
Assim o momento sobre uma espira de área S percorrida por uma corrente I é
Nm = I S ×B = m×B
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Campo magnético H na matéria :
Magnetização M e Correntes de Magnetização
◆ Para uma distribuição contínua de momentos dipolares magnéticos, a Magnetização é o
momento dipolar por unidade de volume:
M =
ⅆm
ⅆV
Campo de uma distribuição contínua de momentos dipolares
magnéticos
◆ Tendo em conta que o Potencial Vector A do campo magnético B é definido para uma
distribuição arbitrária de correntes com densidade J (s) como :
μo
J (s)
A (r) =
ⅆV (s)
V r - s
4π
Longe de um dipolo magnético de momento m, o potencial vector A e o campo magnético
B podem ser descritos por
μo m × r
Am (r) ≃
4 π r3
Assim, para uma distribuição de momentos dipolares com uma densidade M = ⅆm , deve-se
ⅆV
ter
μo
Am (r) =
4π
V
M (s) × (r - s)
ⅆV (s) =
3
r - s
μo
1
M (s) × ∇s ⅆV (s)
r - s
=
4π
V
Tendo em conta a identidade
∇ × f M = ∇ f × M + f ∇ × M
M × ∇ f = f ∇ × M - ∇ × f M
pode-se escrever com f (s) = 1
r-s
μo
∇s × M (s)
M (s) × ⅆ S
) +
Am (r) =
ⅆV
(s
4π
r - s
r - s
V
∂V
onde usamos a identidade seguinte para transformar o integral de volume envolvendo o
termo ∇ × f M :
(∇ × a) ⅆV = - a × ⅆ S
V
∂V
◆ Demonstração
Usando um vector b constante arbitrário e a identidade ∇ · a × b = b · (∇ × a) - a · ∇ × b
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b · (∇ × a) ⅆV =
V
b · (∇ × a) ⅆV =
V
∇ · a × b ⅆV =
V
a × b · ⅆ S = -b · a × ⅆ S
∂V
∂V
Densidades de corrente de Magnetização
Definem-se assim densidades de corrente de magnetização em volume e superfície
Jm = ∇ × M
′
;
μo
Jm (l )
Am (r) =
4π
V r - l
Jm = M × n
′
μo
Jm (l )
ⅆV(l ) +
ⅆ S (l )
4π
∂V r - l
Lei de Ampère na matéria
∂S
H · ⅆ l = IS
◆ Lei de Ampére em geral:
∇ × B = μo J + Jm = μo J + ∇ × M ⟹
∇ × B · ⅆS = μo J +J m · ⅆS ⟹
S
S
B · ⅆ l = μo (I + Im)S
∂S
◆ A vantagem de usar a intensidade de campo magnético H na Lei de Ampère resulta de
apenas ser necessário ter em conta as correntes de condução.
∇×
B
μo
-M = J
B
H =
⟹
-M
μo
∇ ×H = J
⟹
∇ × H · ⅆS = J · ⅆS ⟹
S
S
H · ⅆ l = IS
∂S
Efeito dum campo magnético em correntes de Ampére: Modelo
de Langevin
Assumindo correntes elementares constituídas por electrões em movimento circular de raio
R e velocidade v, podemos assumir uma frequência ωo = v e consequentementeuma
R
corrente
I =-
qe
T
=-
qe
2π
ωo
3
4
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Em consequência existe um momento magnético orbital
m = I π R2 n = -
1
2
qe R2 ωo
Numa situação de órbita circular de raio R, deve existir uma força centrípeta tal que
Fcp = me ω2o R
A introdução de um campo magnético B acelera ou desacelera o electrão conforme a
orientação de B. Devido à força de Laplace adicional F m = qe v × B temos agora
Fcp + Fm = me ω2o R ± qe ω R B = me ω2 R
±qe ω B = meω2 - ω2o = me(ω - ωo) (ω + ωo) = 2 me Δω ωm
Assumindo ωm ≈ ω a variação de frequência é
Δω =
qe B
2 me
A variação de momento magnético dum electrão é
Δm = -
1
2
qe R2 Δ ω = -
q2e
4 me
R 2 μo H
Somando para todos os electrões numa molécula, assumindo n moleculas por unidade de
volume
M =-
μo q2e n
4 me
Ri 2 H = χ m H
i
Susceptibilidade Magnética χm
Permeabilidade Magnética μ = μo(1 + χm)
M = χm H
B = μo H + M = μo (1 + χm) H = μ H
μ = μo (1 + χm)
Em geral χm ≪ 1 para substâncias paramagnéticas ou diamagnéticas χm ~ 10-6,
μ ~ μo .
Diamagnéticas ( χm < 0) :
(repelidas por um campo magnético forte)
m ≡ 0 ; ⟨M ⟩ = 0
◆ Na ausência de um campo magnético exterior, os átomos e moléculas destes materiais não
possuem momento magnético m = 0 pelo que o valor médio da magnetização também é
nulo ⟨M ⟩ = 0.
◆ Na presença de campos magnéticos exteriores, aparece uma magnetização que tende a
reduzir o campo exterior.
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, ou seja quando o electrão viaja no sentido directo
◆ Quando a força de Laplace F m ∝ -e
r
relativamente à direcção de B, o momento magnético m - B, e então a força centrípeta
aumenta, o que significa que Δω > 0, ou seja Δ m - B.
, ou seja quando o electrão viaja no sentido retrógrado relativamente a B,
◆ Quando F m ∝ e
r
o momento magnético m B, e a força centrípeta diminui, o que significa que Δω < 0, ou
seja Δ m - B como anteriormente.
◆ - Cobalto, Bismuto;
Paramagnéticas ( χm > 0) :
(atraídas por um campo magnético forte)
m ≠ 0 ; ⟨M ⟩ = 0
◆ Na ausência de um campo magnético exterior, os átomos e moléculas destes materiais
possuem um momento magnético m ≠ 0, mas estando aleatóriamente orientados o valor
médio da magnetização é nulo ⟨M ⟩ = 0.
◆ Na presença de um campo magnético exterior, os momentos magnéticos individuais tendem
a orientar-se na direcção do campo magnético exterior, criando uma magnetização que
tende a reforçar o campo exterior.
- Alumínio;
Substância Paramagnética
χ
Substância Diamagnética
χ
Platina
2.9 × 10 -4
Azoto
-5. × 10 -9
Crómio
2.7 × 10 -4
Silica
-4.2 × 10 -6
Nióbio
2.6 × 10 -4
Cobre
Tungsténio
6.8 × 10 -5
Bismuto
Alumínio
2.3 × 10 -5
Chumbo
-1.7 × 10 -5
Lítio
2.1 × 10 -5
Diamante
-2.2 × 10 -5
Calcio
1.9 × 10 -5
Prata
-2.6 × 10 -5
Magnésio
1.2 × 10 -5
Mercúrio
-2.9 × 10 -5
Oxigénio
2.1 × 10 -6
Ouro
-3.6 × 10 -5
-9.8 × 10 -6
-1.66 × 10 -5
Ferromagnéticas ( χm ≫ 1):
m ≠ 0; ⟨M ⟩ ≠ 0
◆ Os materiais ferromagnéticos têm uma estrutura cristalina com iões cujo momento
magnético é devido essencialmente ao spin eletrónico.
◆ Iões adjacentes têm tendência a alinhar os seus momentos magnéticos com forças que
equivalem a intensidades de campo da ordem de 105 T em regiões de dimensão ≈ 10-5 m.
◆ Em materiais anti-ferromagnéticosos iões adjacentes têm os momentos magnéticos
alinhados em sentidos opostos, por isso a magnetização resultante é nula ⟨M o⟩ = 0 ou
pequena se houver assimetria na estrutura cristalina (ferrites).
Domínios de Weiss e curvas de histerese
Para Substâncias ferromagnéticas M ≠ χm H em geral, mas define-se à mesma uma
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relação entre os campos magnéticos e a magnetização (Curvas de Histerese) em que
instantâneamente B = μ H .
A curva de Histerese representa a magnetização resultante da reorientação de domínios de
magnetização quando submetidas a campos externos fortes
Temperatura de Curie
◆ A dependência da magnetização média da temperatura absoluta T atinge para substâncias
ferromagnéticas um limite à temperatura de Curie, em que passam a comportar-se como
substâncias paramagnéticas.
Problema
◆ Uma bobina toroidal, com 1 m de raio exterior e 20 cm de raio interior, é percorrida por
uma corrente de 5.0 A e tem 60 espiras por metro. No centro tem ferro que nestas condições
se pode supor como tendo uma permeabilidade magnética μ = 5000 μo.
◆ Qual seria o campo na ausência do ferro? Qual é a indutância desta bobina?
◆ Qual é o campo magnético com o ferro? Qual é a indutância desta bobina?
◆ Solução
◆ O comprimento total da bobina é L = 2 π R = 6.28 m pelo que o número total de espiras é
= 60 × L = 377.
◆ No interior da bobina, dado que o raio exterior R = 1 m é muito maior que o raio interior
r = 0.2. m, vamos considerar que o campo B é aproximadamente constante em cada
secção recta da bobina. Óbviamente, devido à simetria de rotação em torno do eixo do
toro, o campo numa secção obtém-se do campo de qualquer outra secção através da
rotação que converte uma na outra. A utilização da Lei de Ampère ao longo duma
circunferência γ de raio R passando pelo centro do toro permite-nos determinar a
componente azimutal Bφ eφ do campo B. Em coordenadas cilíndricas {ρ, φ, z} com eixo
e z coincidente com o eixo do toro devemos escrever, parametrizando a circunferência γ
com o ângulo azimutal φ ∈ [0, 2 π]:
rγ ⩵ R e ρ[φ] ≡ R {Cos[φ], Sin[φ], 0}
ⅆ rγ ⩵ R ⅆ φ eφ[φ] ≡ R ⅆ φ {-Sin[φ], Cos[φ], 0}
B[rγ ] · ⅆ rγ ⩵
γ
2π
0
ponto sobre a circumferência γ
trajecto infinitesimal sobre a circumferência γ
Bφ[R] R ⅆ φ ⩵ Bφ[R] 2 π R
pela simetria axial Bφ não depende de φ
Bφ[R] 2 π R ⩵ μo N ℐ
N é o número total de espiras na bobina
Bφ[R] ⩵ μo
ℐ
2πR
⩵ 4 π × 10-7 ×
377 × 5
2π×1
≈
3.7 (* G *) magnitudeda componentede B na direcção eφ
◆ Em qualquer outro ponto no interior da bobina assumimos que Bφ tem a mesma
magnitude que Bφ[R]. Para o fluxo do campo através de uma secção recta da bobina (
S = S e ) correspondente a uma só espira obtemos
φ
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ϕ ⩵ B · ⅆ S = Bφ[R] S ⩵ μo
S
ℐ
2πR
π r2
◆ Como as linhas de campo atravessam de forma semelhante todas as espiras da bobina,
o fluxo total é
Φ ⩵ ϕ ⩵ μo
2 r2
2R
ℐ = ℒo ℐ
◆ Da expressão anterior obtemos a indutância
ℒo ⩵
ⅆΦ
ⅆℐ
⩵ μo
2 r2
ℒo ⩵ 4 π × 10-7 ×
∴
2R
3772 × 0.22
2×1
⩵ 3.57 × 10-3 (* H *)
◆ Quando consideramos o núcleo de ferro deve-se substituir μo por μ = 5000 μo, pelo que
Bφ[R] ⩵ μ
ℐ
2πR
ℒf ⩵ μ
⩵ 5000 × 4 π × 10-7 ×
2 r2
2R
377 × 5
2π×1
≈ 1.85 (* T *)
⩵ 5000 ℒo ⩵ 17.86 (* H *)
7
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Condições Fronteira campo Magnético
◆ Usando uma caixa de altura infinitesimal com bases de cada lado da superfície que separa
duas regiões de permeabilidades diferentes, o fluxo de B através das bases (desprezando o
fluxo através da superfície lateral) deve ser nulo. Assim a componente normal de B é
contínua através de superfícies entre regiões de diferentes permeabilidades magnéticas μ
∇ ·B = 0
B2 - B1 · n = 0
⟺
Usando agora a Lei de Ampére para um circuito rectangular com lados paralelos à
superfície de separação entre meios de permeabilidades diferentes, e desprezando a
contribuição da circulação nos lados perpendiculares a esta, podemos mostrar que a
componente tangencial de H sofre descontinuidade apenas se existir uma densidade de
corrente de condução superficial entre duas regiões de diferentes permeabilidades.
∇ ×H = Jc
H 2 - H 1 × n = J cs
⟺
∥
∥
B1
=
μ1
⊥
B2
μ2
⊥
μ 1 H 1 = μ2 H 2
Lei de Faraday-Lenz
Fluxo magnético através de uma superfície
Φ (t) =
B(s, t) · ⅆ S (s)
(Wb = Weber ≡ V s)
S
Força electromotriz de indução magnética
◆ A variação temporal do fluxo magnético Φ através de um circuito condutor fechado faz
aparecer uma força electromotriz que actua no sentido de induzir uma corrente elétrica cujo
campo magnético contrarie a alteração do fluxo inicial.
ℰi = -
ⅆΦ
ⅆt
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Lei de Faraday: Campo B variável no tempo
◆ O fluxo magnético através de um circuito fechado pode variar porque o campo magnético
muda no tempo e/ou porque a geometria e localização do circuito mudam no tempo
relativamente ao campo magnético.
ℰi = -
ⅆΦ
ⅆt
≡ -
∂B
S
∂t
· ⅆ S + v × B · ⅆ ℓ
∂S
Lei de Faraday quando ∂B = 0 mas v ≠ 0.
∂t
◆ Quando o campo magnético é estacionário mas o circuito é móvel a força electromotriz
induzida é
ℰi =
Fm
γ
ⅆ
ⅆΦ
· ⅆ ℓ = v ⨯ B · ⅆ ℓ = - B · ⅆ S = q
ⅆ t Sγ
ⅆt
γ
Fluxo através de Superfície Móvel
◆ Em geral a variação temporal do fluxo de um campo variável a através de uma superfície
móvel S(s, t), onde s representa a posição dum ponto sobre a superfície, é
ⅆ
a · ⅆ S =
ⅆt S
S
∂a
∂t
+ (∇ · a)
ⅆ s
ⅆt
+ ∇ ⨯ a⨯
ⅆ s
ⅆt
·ⅆS
ou seja, usando o teorema de Stokes no último termo,
ⅆ Φa
ⅆt
=
∂a
S
∂t
+ (∇ · a)
ⅆ s
ⅆt
· ⅆ S +
a⨯
∂S
ⅆℓ
ⅆt
· ⅆ ℓ (t)
3
4
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Demonstração
◆ Por definição
ⅆΦ
ⅆt
= lim
1
t1→to
t1 - to
B (s1, t1) · ⅆ S (s1) -
S1
So
B (so, to) · ⅆ S (so)
◆ Para o campo magnético B a ausência de divergência ∇ · B ≡ 0 significa
∇ · B ⅆ V =
V
B (s1, t1) · ⅆ S (s1) +
S1
SL
B (sL, t1) · ⅆ S (sL) -
So
B (so, t1) · ⅆ S (so) = 0
onde a superfície So está orientada da mesma forma que S1, e não “para fora” do volume V .
Substituindo aqui o integral em S1 pelos integrais em So e S L da fórmula resultante da
divergência nula de B obtemos
ⅆΦ
ⅆt
= lim
t1→to
1
t1 - to
So
B (so, t1) · ⅆ S (so) -
So
B (so, to) · ⅆ S (so) - lim
SL
t1→to
B (s L, t1) · ⅆ S (s L)
t1 - to
O primeiro limite é
lim
So
B (so, t1) · ⅆ S (so) -
t1→to
So
B (so, to) · ⅆ S (so)
⟶
t1 - to
∂ B (so, to)
So
∂t
O limite do integral sobre a superfície lateral é
- lim
SL
B(s L, t1) · ⅆ S (s L)
t1→to
⟶
t1 - to
Γo= ∂So
ⅆ lo
B l o, to ×
· ⅆlo
ⅆt
porque
ⅆ lo
ⅆ S(sL) ≈ (t1 - to) v × τ ⅆ ℓo = (t1 - to)
× ⅆ lo
ⅆt
e ainda
Bℓo, to ·
ⅆ lo
ⅆt
× ⅆ lo ≡
B ℓo , t o ×
ⅆ lo
ⅆt
· ⅆ lo
· ⅆ S (so)
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Exemplos:
Espira rectangular rodando em campo magnético fixo
Barra condutora deslocando-se num campo magnético fixo.
Exemplos de Aplicação : Correntes de Foucault
Auscultador e Microfone
Segurança de Electromagnetes
Levitação de Anel de Alumínio em cima dum solenoide com AC
Motores: Disco metálico com ferromagnete AC parcialmente blindado
Campo magnético rotativo: entreferro toroidal com solenóides diametralmente opostos
emparelhados com correntes AC circulando em sentidos opostos e passando de solenóide
em solenóide.
Travão magnético.
Gerador trifásico.
Medição de velocidade de correntes marítimas.
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