Apostila Física Elétrica

1
Física III
2007

Objetivos da disciplina Física III:
Levar o aluno a compreender os fenômenos gerados por cargas estáticas e suas interações.
Entender e analisar os efeitos produzidos pela passagem da corrente elétrica em componentes de
circuitos de corrente contínua. Adquirir conhecimentos sobre os fenômenos magnéticos gerados
pela corrente elétrica e por materiais magnéticos e suas aplicações em circuitos elétricos.

Programa da disciplina:
1. Carga elétrica: Lei de Coulomb. Campo elétrico. Potencial elétrico.
2. Corrente Elétrica: Resistividade. Resistência. Força eletromotriz. Potência elétrica. Resistores
em série e em paralelo. Circuitos de corrente contínua. Leis de Kirchhoff.
3. Capacitância: Capacitores. Dielétricos. Capacitores em série e em paralelo. Circuitos R-C.
4. Magnetismo: Campo magnético. Força magnética. Torque. Movimento de cargas.
5. Fontes de Campo Magnético: Lei de Biot-Savart. Lei de Ampère. Aplicações da Lei de
Ampère. Fluxo Magnético. Corrente de deslocamento.
6. Indução Magnética: Lei de Faraday. Lei de Lenz. Força eletromotriz produzida pelo
movimento. Campos elétricos induzidos. Correntes de Foucault.
7. Indutância: Indutância mútua. Indutores e auto-indutância. Energia do campo magnético.
8. Materiais Magnéticos: Paramagnetismo. Diamagnetismo. Ferromagnetismo.

Bibliografia mínima:
 YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Física. São Paulo: Pearson, 2003, v. 3.
 KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron Books, 1999, v. 2.
 NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. São Paulo: Edgard Blucher, 2002, v. 3
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 1996. v. 3.
 TIPLER, P.A. Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999. v. 2.
 HENNIES, C. E.; GUIMARÃES, W.O.N; ROVERSI, J.A. Problemas Experimentais em Física.
Campinas-SP: UNICAMP, 1993. v. 1 e 2.
2
A Lei de Coulomb – Força elétrica



Cargas elétricas.
Grécia Antiga, 600 a.C., o âmbar quando atritado com a lã, adquiria a propriedade de atrair
objetos leves.
Cargas semelhantes repelem-se; cargas diferentes atraem-se.
Prótons: carga elétrica positiva; elétrons: carga elétrica negativa.
Corpo elétricamente neutro: a soma algébrica das cargas positivas do núcleo e das cargas
negativas dos elétrons cancelam-se.
Corpo eletrizado: objeto que perdeu ou recebeu elétrons.
Condutores e isolantes. Nos condutores, os elétrons livres, mais externos, se movem de uma
região à outra, o que não ocorre nos isolantes.
Eletrização por atrito, por contato ou por indução.
Eletrização por indução:

Lei de Coulomb:





A interação elétrica entre duas partículas eletrizadas é descrita em termos das forças que elas
exercem mutuamente. O módulo da força elétrica que a carga 1 exerce na carga 2, separadas por
uma distância r, é dado por:
Fk
q1q 2
r2
onde F= força de atração ou repulsão entre as cargas, em newtons (N).
k=8,98755.109 N.m2.C-2  9,0.109 N.m2.C-2 = constante eletrostática.
q1, q2 = carga elétrica da partícula, em coulomb (C).
r=distância entre as cargas elétricas, em metros (m).
A equação pode ser expressa, também, da seguinte forma:
F
onde



1 q1q 2
4o r 2
1
= k = 8,98755.109 N.m2.C-2  9,0.109 N.m2.C-2
4o
o = 8,854185.10-12 C2.N-1.m-2 = permissividade do espaço livre (vácuo).
Módulo das cargas elétricas do elétron e do próton=1,602192.10-19 C  1,6.10-19 C.
Coulomb: 1 C é a quantidade de carga que passa pela área da seção transversal de um fio
condutor em 1 segundo, quando circula pelo condutor uma corrente elétrica de 1 A.
Se várias forças atuam sobre uma carga elétrica, a força resultante sobre ela é determinada
através da soma vetorial de todas as forças:

  

FRe sul tan te  F1  F2  F3  ....  FN
3
O Campo Elétrico



Campo, de uma maneira geral, é uma grandeza que pode ser associada à posição. Exemplo: a
temperatura do ar em uma sala tem um valor específico em cada ponto.
Campos vetoriais: grandezas vetoriais definidas em cada ponto do espaço. A velocidade do vento
na atmosfera terrestre e o campo gravitacional da Terra são exemplos de campos vetoriais.
Campo elétrico é a região de influência de uma carga elétrica, manifestada através da força

elétrica que atua sobre uma carga de teste colocada neste campo. Define-se o campo elétrico E ,
no ponto P, como a força F exercida pela carga q sobre a carga de teste q0, dividida por q0.
O campo elétrico no ponto P:

 F
E
q0
Módulo do campo elétrico para uma carga puntiforme:
Ei 
k qi
1 qi

2
2
40 ri
ri
Campo elétrico resultante num ponto P, devido ao campo elétrico de N cargas geradoras:

 

N 
N kq 
ER   Ei  E1 E2 ...... EN   2i ri 0
i 1
i 1 r
i0
A unidade de campo elétrico, no S.I., é o newton por coulomb (N/C).
Exemplos de Campos Elétricos
Nos condutores elétricos domésticos
E (N/C)
10-2
Num tubo de imagem de TV
E (N/C)
105
Nas ondas de rádio
10-1
No cilindro carregado de uma copiadora
105
Na baixa atmosfera
102
Num tubo de raios X
106
Na luz do sol
103
Rigidez dielétrica do ar
3x106
Próximo a um pente de plástico carregado
103
No elétron de um átomo de hidrogênio
6x1011
Numa nuvem de tempestade
104
Na superfície de um núcleo de urânio
2x1021
Num raio
104
Linhas de Campo Elétrico
As linhas de campo elétrico constituem um auxílio para visualizar o campo. A linha de campo
é traçada de tal maneira que sua direção e sentido em qualquer ponto são os mesmos que os do
campo elétrico nesse ponto. A figura a seguir mostra alguns exemplos de linhas de campo.
4
Exemplos de linhas de campo elétrico. (a) Partícula com carga positiva; (b) Partícula com carga
negativa; (c) Dipolo; (d) Duas partículas com mesma carga positiva; (e) Duas partículas com cargas
+2q e -q; (f) Disco carregado uniformemente.
Energia Potencial Elétrica

Energia potencial de uma partícula de teste no campo elétrico de uma carga puntiforme.
O trabalho realizado pela força elétrica para deslocar a carga de teste qo de a para b, é dado por:
r

b 
q dr
qo q r dr qo q
w   F .dl  qo  E .dl  qo 



2
a
a
r 4  r
4  o r r 2 4  o
o
b
w
b
b
a
a
rb
 1
 r 
 r
a
qo q  1 1 
  
4  o  ra rb 
Como o trabalho é uma variação de energia potencial (U) que a carga de teste possui nos pontos
a e b, temos:
Ua  U b 
qo q  1 1 
  
4  o  ra rb 
5

Energia potencial de uma carga de teste no campo elétrico de várias cargas puntiformes:
U = U1 + U2 + U3 + .....+ Ui =
qo
4  o

qi
ri
A unidade de trabalho (w) e energia potencial (U), no S.I., é o joule (J).
Potencial Elétrico

O potencial elétrico V em um ponto P é igual à energia potencial elétrica U de uma carga de teste
no ponto P dividida pela carga de teste qo.
V 

U
qo
Potencial devido a partículas carregadas.
V
1
4  o

qi
ri
onde ri é a distância entre a carga i e o ponto P. O potencial elétrico é dado, no S.I., em J/C que
recebe o nome de volt (V).

Diferença de potencial.
Va Vb 

Ua  Ub
qo
Em um campo elétrico constante, a diferença de potencial entre os pontos a e b é dada por:
Va Vb  E x

Campo elétrico em termos do potencial:
Ex  
V
x
Ey  
V
y
Ez  
V
z
Estas equações mostram que a unidade de campo elétrico também pode ser o volt/metro (V/m).

Superfícies Equipotenciais
É uma superfície na qual o potencial é constante. A energia potencial de um corpo eletrizado é a
mesma em todos os pontos desta superfície. Com isto, não há trabalho realizado para mover o
corpo eletrizado em tal superfície. Portanto, a superfície equipotencial, em qualquer ponto, deve
ser perpendicular ao campo elétrico neste ponto.
6
Figura mostrando as linhas de força do campo elétrico e as superfícies equipotenciais.
Exemplos:



Lei de Coulomb:
1. Três cargas puntiformes estão sobre o eixo x. A carga q 1 = 25 nC está na origem, a q2 = -10
nC em x = 2 m e a qo = 20 nC em x = 3,5 m. Determine a força resultante sobre q o exercida
por q1 e q2.
2. Uma carga de 5 C é colocada em x=0, e uma segunda de 7 C é colocada em x=100 cm.
Em que posição deve se colocar uma terceira carga para que a força resultante sobre ela,
devido às outras duas, seja nula?
Campo Elétrico:
3. Quando uma carga de prova de 5 nC é colocada num certo ponto, sofre uma força de 2 x 10-4
N na direção X. Qual o campo elétrico neste ponto ?
4. Uma carga positiva q1 = 8 nC está na origem e uma outra carga positiva q 2 = 12 nC está em
x=4 m. (a) Determinar o campo elétrico deste sistema de cargas em x=7 m; (b) Determinar o
ponto, sobre o eixo dos X, onde o campo elétrico é nulo.
Potencial Elétrico:
5. Uma partícula cuja carga é q = 3x10-9 C move-se do ponto A ao ponto B, ao longo de uma
linha reta. A distância total é d = 0,5 m. O campo elétrico é uniforme ao longo desta linha, na
direção de A para B, com módulo E = 200 N/C. Determinar a força sobre q, o trabalho
realizado pelo campo e a diferença de potencial VA - VB.
6. Cargas puntiformes de 12x10-9 C e -12x10-9 C são colocadas a 10 cm de distância, como
indicado na figura. Calcular os potenciais nos pontos a, b e c.
7
Corrente elétrica


A força motriz (F = qE) sobre uma partícula carregada (q) faz com que esta se mova no mesmo
sentido da força, com uma velocidade de arrastamento vd (os choques entre as partículas
produzem aquecimento).
Corrente elétrica: carga resultante que flui através da área, por unidade de tempo.
(a) Corrente elétrica em
um fio com portadores
de carga positivos.
(b) Corrente em um fio
com portadores de
carga negativo. O
sentido da corrente é
para a direita em
ambos os casos.
i
Q
t
ou
i
dQ
dt
No S. I., a corrente elétrica é dada em ampére (A = C/s).
Seja:
n = número de partícula por unidade de volume.
vd = velocidade de arrastamento das partículas.
vd dt = dl = distância percorrida pela partícula em um tempo dt.
A vd dt = volume do cilindro.
n A vd dt = número de partículas dentro do cilinndro sombreado.
q = carga de uma partícula.
Então:
dQ = q n A vd dt
i
dQ
 q n Av d
dt
Generalizando para várias partículas diferentes, temos:
i  A  qi ni v i
i

Densidade de corrente (J): corrente por unidade de área transversal.
Da equação i  A  qi ni v i temos:
i
i
  q i ni v i  J
A i
Resistividade


A densidade de corrente em um condutor depende do campo elétrico E e da natureza do
condutor. Em metais, temos:
8


E

J
onde  = resistividade do material (.m)
Quanto maior a resistividade, maior será a intensidade do campo elétrico necessária para
estabelecer uma dada densidade de corrente (característica do material).
A resistividade  é constante para temperatura constante (Lei de Ohm). Para condutores
metálicos, temos:
T  o 1  (T To )
onde: T = resistividade à temperatura T (.m).
 o = resistividade à temperatura To (referência: 0 oC ou 20 oC).
 = coeficiente de temperatura da resistividade (oC-1).
0,1 a 92 K
Coeficientes de temperatura da resistividade () e Resisitividade () à temperatura ambiente
9
Resistência

Consideremos um segmento de um fio condutor dado pela figura abaixo:
A diferença de potencial V, entre as extremidades, é dada por:
V E L
V
E
L
Como  
Onde
L
A

E = campo elétrico uniforme ao longo do condutor.
E
, temos que, E   J , então:
J
V
i
J
como J 
L
A
V
i
L


V
i
L
A
A
temos:
para uma amostra particular de um material, é chamada de resistência R, ou seja,
R
L
A
Então,
V R i
(Lei de Ohm)
onde: V = diferença de potencial (V).
R = resistência elétrica do condutor, em ohm ().
i = intensidade da corrente elétrica através do condutor, em ampére (A).

A resistência elétrica de um condutor é constante para temperatura constante. Para intervalos
pequenos de temperatura, temos:
RT  Ro 1  (T To )
onde: RT = resistência do condutor à temperatura T ().
Ro = resistência à temperatura To (0 oC ou 20 oC).
 = coeficiente de temperatura da resistividade (oC-1).
10
Força eletromotriz

Para a fonte (gerador) em circuito aberto abaixo, a diferença de potencial (ddp) entre as
extremidades igual à força eletromotriz:
Vab = 

A força eletromotriz é uma característica da fonte, em muitos casos, uma constante independente
da corrente elétrica.
No circuito fechado, abaixo, temos:
Vab =  - r.i

A corrente i no circuito é dada por:
VR = Vab
Ri=-ri
Ri+ri=
i (R + r) = 
i

(R r )
Se os terminais da fonte forem curto-circuitados com um condutor de resistência nula ou
desprezível (R =0), a corrente de curto-circuito será igual a:
i cc 

r
e a ddp entre os terminais será:
Vab =  - r icc
Vab =  - r

=-
r
Vqb = 0
Gráfico característico de uma fonte (gerador) (Vab =  - r i)
11
Potência Elétrica

w Vab Q  Vab i t
w = trabalho = variação
de energia potencial da
carga circulante.
A taxa de ganho ou perda de energia é chamada de potência (P), ou seja,
P
w
 v ab i
t
ou
P=Vi
A unidade de potência, no S.I., é o joule por segundo (J/s) que é chamado de watt (W).
O trabalho também pode ser expresso da seguinte maneira,
w  P t
Se a potência for expressa em quilowatt (kW) e o tempo em horas (h), o trabalho será expresso
em quilowatt-hora (kWh).
Como V = R i, a potência dissipada por uma resistência será dada por:
P=Vi=Rii
ou, fazendo i 

P = R i2
V
, temos:
R
V
P V
R

V2
P=
R
Resistores

Resistores são dispositivos que convertem parte da energia elétrica recebida em energia térmica
(efeito joule).

Resistores em série:
- A corrente elétrica i é a mesma em todos os resistores.
- A diferença de potencial V é dada por: V = V1 + V2 + V3
- Como V = R i, temos:

R i = R1 i + R2 i + R3 i
R = R1 + R2 + R3 , onde R = resistor equivalente.
12

Resistores em paralelo:
- A ddp é a mesma em todos os resistores
- A corrente elétrica total i é dada por: i = i1 + i2 + i3
- Como V = R i, temos: i = V/R, então:
V V V V
 

R R1 R2 R3
1 1 1
1
 

, onde R = resistor equivalente
R R1 R2 R3

- Para dois resistores em paralelo, temos:
R  R1
1 1
1
 
 2
R R1 R 2
R1 .R 2

R
R1 R 2
, onde R = resistor equivalente
R1  R 2
- Para n resistores iguais em paralelo:
1 1 1 1
1  1 1  ...
  
 ... 
R R1 R1 R1
R1

R
R1
, onde R = resistor equivalente
n
Exemplos
1. Um fio de cobre tem 80 m de comprimento e seção transversal de 0,4 mm 2. A resistividade do
cobre é 1,72.10-8 m. Determine a resistência desse fio.
2. Deseja-se projetar um aquecedor elétrico que seja capaz de elevar a temperatura de 100 kg de
água de 20oC a 56oC em duas horas. (a) Que potência deve ter esse aquecedor?; (b) Se o
aquecedor for projetado para ser ligado em 220 V, que valor de resistência deverá ser utilizado?
(considere o calor específico da água = 4,2 J/goC)
3. No circuito a seguir, determine a potência dissipada pelo resistor de 20 , na Fig.1.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
4. Da Fig.2: (a) Calcular a resistência equivalente no circuito; (b) Determinar a ddp entre os pontos
x e y, se a corrente elétrica no resistor de 8  for 0,5 A.
5. Cada um dos três resistores na Fig.3 tem resistência igual a 2  e pode dissipar um máximo de
18 W, sem ficar excessivamente aquecido. Qual é a potência máxima que o circuito pode
dissipar?
13
As Leis de Kirchhoff

São aplicadas quando não for possível reduzir um circuito em combinações simples em série e
paralelo.
Definições:
Nó: é o ponto onde três ou mais condutores estão ligados. Exemplos no circuito acima: Pontos a,
b, d, e.
Malha: é qualquer caminho condutor fechado. Exemplos de possíveis malhas: aceda, defbd,
hadbgh, hadefbgh, etc.

Regra das Malhas (Primeira Regra de Kirchhoff): Quando se percorre uma malha fechada de um
circuito, as variações de potencial em cada um dos elementos do circuito tem uma soma
algébrica igual a zero.

Regra dos Nós (Segunda Regra de Kirchhoff): Em qualquer nó do circuito, onde a corrente se
divide, a soma das correntes que chegam para o nó é igual à soma das correntes que saem do
nó.

Procedimento para resolver um problema :
1. Em um circuito, nomear e escolher um sentido para a corrente em cada um dos ramos
(ramo=trecho do circuito entre dois nós).
2. Utilizar a regra dos Nós para minimizar o número de variáveis.
3. Escolher uma malha fechada no circuito e um sentido para percorrê-la (horário ou antihorário).
4. Percorrer a malha no sentido escolhido, aplicando a Regra das Malhas. Contar positivamente
a fem de uma fonte quando atravessá-lo no sentido do (-) para o (+) e negativamente quando
do (+) para o (-). No resistor, a diferença de potencial Ri será negativo se o resistor for
atravessado no mesmo sentido que o suposto para a corrente, e positivo se no sentido
oposto. Igualar a soma à zero.
5. Se necessário, escolher outras malhas para obter uma relação diferente entre as incógnitas, e
continuar até obter um número igual de equações e incógnitas, ou até que cada elemento do
circuito tenha sido incluído em, pelo menos, uma das malhas escolhidas.
6. Resolver as equações a fim de obter os valores das incógnitas.
14
Exemplos:
1. Determine a corrente em cada ramo do circuito na figura a seguir.
2. Determine a corrente em cada ramo do circuito e a diferença de potencial entre os pontos a e c
(Vac) na figura a seguir.
15
CAPACITORES

Capacitores são dispositivos utilizados para armazenar, temporariamente, carga elétrica e
energia em circuitos. São constituídos por dois condutores, isolados entre si, mas muito próximos
um do outro, que quando estão carregados, tem cargas elétricas iguais, porém, de sinais opostos.

Utilizados em flash de máquina fotográfica; para amortecer as ondulações da corrente alternada,
quando se converte esta corrente em corrente contínua; para sintonia de rádio ou televisão, etc.

Símbolos:

Tipos:
Capacitores: de poliéster metalizado, cerâmica, eletrolítico
Capacitor variável
Construção de dois tipos de capacitores: (a) Duas folhas de dielétrico (isolante) e
duas lâminas de metal são comprimidas e enroladas sob forma de um cilindro;
(b) Um capacitor eletrolítico utiliza um eletrólito (solução condutora) com uma
"placa" e uma lâmina de metal como outra placa. O dielétrico é constituído por
uma camada delgada de óxido na lâmina de metal.
16

Capacitância (C): é a medida da capacidade de armazenamento de carga para uma
determinada diferença de potencial nos terminais do capacitor.
C
Q
V
No S.I., a unidade de capacitância é o farad (F): 1 F = 1 C/V.

Capacitor de placas paralelas: Sejam duas placas planas, paralelas, de área A cada uma,
eletrizadas e separadas por uma distância d.
Da Lei de Gauss, temos que:
 En dA 
Q
o
 E
Q
o A
Do potencial elétrico, temos: Vab = E d , substituindo a expressão do campo elétrico nesta
equação:
Vab 
Qd
o A

Q
 A
 o
Vab
d

C
o A
d
onde: C = capacitância do capacitor.
A = área de cada placa.
d = distância entre as placas.

Dielétricos:
Um material não-condutor, como vidro, papel ou madeira, é um dielétrico. Quando o espaço
entre os dois condutores de um capacitor for ocupado por dielétrico, a capacitância do capacitor
aumenta por um fator K, característico do dielétrico, e denominado de constante dielétrica. A
razão deste aumento está na diminuição do campo elétrico, entre as placas do capacitor,
provocado pela presença do dielétrico. Assim, para uma dada carga elétrica nas placas, a
diferença de potencial fica diminuída e a razão Q/V fica aumentada.
Um dielétrico enfraquece o campo elétrico entre as placas de um capacitor, pois, na presença
de um campo elétrico externo, as moléculas no dielétrico são polarizadas, resultando numa carga
superficial nas faces do dielétrico, produzindo um campo elétrico adicional na direção oposta à do
campo externo.
Se o campo elétrico entre as placas de um capacitor sem dielétrico for Eo, o campo com o
dielétrico é:
E
Eo
K
17
onde K é a constante dielétrica. Num capacitor de placa planas e paralelas, com uma separação d,
a diferença de potencial entre as placas é:
V E d 
Eo d Vo

K
K
onde V é a diferença de potencial com o dielétrico e Vo = Eo d é a diferença de potencial sem o
dielétrico. A nova capacitância é:
C
Q
Q
Q

K
V Vo / K
Vo
ou
C  K Co
A capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas, com um dielétrico de constante
dielétrica K é então:
C
K o A  A

d
d
onde
  K  o é a permissividade do dielétrico
(a)
(b)
(c)
Figura: (a) Campo elétrico entre as placas de um capacitor sem dielétrico;
(b) Moléculas polarizadas em um material dielétrico devido a um campo
elétrico; (c) Campo elétrico entre as placas de um capacitor com dielétrico. A
carga superficial no dielétrico enfraquece o campo original entre as placas.
Tabela - Constantes Dielétricas e Rigidez Dielétrica de diversos materiais
Material
Constante dielétrica K
Rigidez dielétrica (kV/mm)
Água (a 20o C)
80
Ar
1,00059
3
Baquelite
4,9
24
Mica
5,4
10-100
Neoprene
6,9
12
Óleo de transformador
2,24
12
Papel
3,7
16
Parafina
2,1-2,5
10
Plexiglass
3,4
40
Poliestireno
2,55
24
Porcelana
7
5,7
Vidro Pyrex
5,6
14
18

Capacitor cilíndrico: Cabo coaxial
Capacitância de um cabo
coaxial de comprimento L,
com condutor interno de
raio Ra e condutor externo
de raio Rb.
C

2  o L
ln ( Rb / Ra )
Associação de capacitores em série:
Carga total na associação: Q = Q1 = Q2
Q
Q
V2  Vc  Vb 
C2
C1
V  Va  Vb  (Va  Vc )  (Vc  Vb )
V1  Va  Vc 
V  V1  V2 
1
Q Q
1 

 Q  
C1 C2
 C1 C2 
V 1
1


Q C1 C2
1
1
1
   ....
Ceq C1 C2
(capacitor equivalente série)

Associação de capacitores em paralelo:
Q1  C1 V
Q2  C2 V
Carga total na associação: Q = Q1 + Q2
Q = C1 V + C2 V = (C1 + C2) V
Q
 C1  C2
V
Ceq = C1 + C2 + ...
(capacitor equivalente paralelo)
19
Energia elétrica armazenada em um capacitor

Quando uma bateria carrega um capacitor, realiza trabalho ao transferir portadores de carga de
uma placa para outra, elevando a energia potencial dos portadores. Essa energia potencial
aumentada dos portadores de carga constitui a energia elétrica armazenada em um capacitor.
Como o potencial elétrico V é dado por: V 
U
, onde U é a energia potencial elétrica, temos
q
que a variação de energia potencial de um sistema quando a carga dq é transferida pela bateria é
dU = V dq
para determinarmos a energia potencial total U armazenada no capacitor ao carregá-lo de zero
até Q, fazemos a seguinte integração:
Q
q
1 Q
dq 
 q dq
0 C
C 0
Q
U   V dq  
0
U 
Q2
2C
Utilizando a definição de capacitância, C 
Q
, temos as seguintes expressões para a energia
V
potencial elétrica de um capacitor carregado:
Q2
U 
2C
CV 2
U
2
U
QV
2
Exemplos:
1. Constrói-se um capacitor de placas paralelas comprimindo-se fortemente uma folha de papel de
0,14 mm de espessura entre folhas de alumínio (constante dielétrica do papel igual a 3,7). As
dimensões laterais das folhas são 15 mm por 480 mm. Determine: (a) a capacitância do
capacitor; (b) a diferença de potencial máxima que pode ser estabelecida através dele sem
ruptura dielétrica. Despreze os efeitos de borda.
2. No circuito, C1=4 µF, C2=6 µF e C3=5 µF e a ddp entre a e b igual a 65 V. (a) Qual é a capacitância
equivalente da combinação?; (b) Qual é a ddp em cada capacitor?; (c) Qual é a carga em cada
capacitor?; (d) Qual é a energia potencial elétrica armazenada em cada capacitor?
20
Circuitos RC

Carregando um capacitor:
Consideremos um capacitor de capacitância C ligado em série com um interruptor S, um
resistor de resistência R e uma bateria de f.e.m. . Inicialmente, o capacitor está sem carga e o
interruptor S, aberto, de modo que não existe corrente. Quando se fecha S, a bateria começa a
transferir carga de uma placa do capacitor para outra, passando a existir uma corrente no circuito.
Se i é a corrente no circuito e seu sentido é o sentido horário, então,
i=
dq
dt
onde q é a carga instantânea na placa positiva do capacitor. Isto é, a corrente no circuito
corresponde à taxa na qual a carga é transferida de uma placa para a outra. Consequentemente,
a corrente é igual à taxa na qual o capacitor é carregado. A soma das diferenças de potencial ao
percorrer a malha no sentido horário (lei de Kirchhoff), começando pelo ponto a, é
(Vb - Va) + (Vc -Vb) + (Va - Vd) = 0
-
q
-Ri = 0
C
dq
q
-R
= 0
dt
C


q
dq
R
C
dt

Cq
dq
R
C
dt
dt
dq

RC Cq
Fazendo:

u =  C - q , temos du = -dq . Substituindo na equação acima:
dt
du

RC
u
ln ( C  q)  


du
dt
 
u
RC

ln u  
t
 cons tan te
RC
t
 cons tan te
RC
Para determinar a constante de integração, fazemos: para t=0, q=0, substituímos na equação
acima e obtemos:
ln ( C) = constante
Com este resultado temos:
21
t
ln ( C  q)  
 ln ( C)
RC
  C q 
t
  
ln 
RC
 C 
C  q   C e


q (t )   C (1 e

t
RC

C  q
e RC
C
t
t
RC


t
ln ( C  q)  ln ( C)  
RC
)
q   C   Ce

t
RC
Equação para a carga em um capacitor sendo carregado.
onde RC   = constante de tempo.
A carga em um capacitor em carregamento, em função do tempo, é dado pelo gráfico a
seguir.
Para obtermos a corrente elétrica, deriva-se a equação obtida em função tempo:
t
t



 1 
dq d 
RC
RC
 (  e
i
  C(1  e
)   C  
)
dt dt 
 RC

t

 
i(t )  e R C  io e 
R
t
Corrente elétrica no circuito de um capacitor
carregando.
A corrente elétrica no circuito de um capacitor em processo de carga é dado pelo gráfico a
seguir, onde io é a corrente inicial.
22

Descarregando um capacitor:
Consideremos um capacitor de capacitância C colocado em série com um interruptor S e um
resistor de resistência R. Inicialmente o capacitor tem carga Qo e o interruptor está aberto, de
modo que não existe corrente no circuito.
No instante em que S é fechado, passa a existir corrente. Se i é a corrente com sentido antihorário, então
i 
dq
dt
O sinal negativo deve ser incluído porque a carga diminui com o tempo. Partindo do ponto a,
somamos as diferenças de potencial (lei de Kirchhoff) percorrendo a mallha em sentido anti-horário e
obtemos:
Ri
q
0
C

Ri
q
C
Substituindo a expressão da corrente na equação acima, temos
R
dq q

dt C
ln q  

dq
1

dt
q
RC


dq
1

 dt
q
RC
t
 cons tan te
RC
Para determinarmos a constante de integração, fazemos: para
equação acima, temos:
t = 0, q = Qo. Substituindo na
constante = ln Qo
Com isto, temos:
ln q  
t
 ln Qo
RC

ln q  ln Q o  
t

q
e RC
Qo

q (t )  Qo e

t
R C
t
RC

 q
ln 
 Qo

t
  
RC

Equação da carga em um capacitor sendo
descarregado.
O gráfico a seguir mostra a carga em função do tempo em um capacitor em regime de
descarga.
23
Durante a descarga de um capacitor, a corrente elétrica no circuito é dada por:
i 
Como
t

 Q  t
dq
d
   Q o e R C   o e R C
dt
dt 
 RC
Qo
 Vo = diferença de potencial inicial, temos:
C
t
t

Vo  R C

i (t ) 
e
 io e
R
Corrente elétrica em um circuito com um capacitor
sendo descarregado.
Exemplos:
1. Uma bateria de 6 V, de resistência interna desprezível, é usada para carregar um capacitor de 2
µF através de um resistor de 100 . Determinar: (a) a corrente inicial; (b) a carga final no
capacitor; (c) o tempo necessário para a carga atingir 90% do seu valor final.
2. Um capacitor de 4 µF está carregado a 24 V e é ligado a um resistor de 200 . Determinar: (a) a
carga inicial no capacitor; (b) a corrente inicial no resistor de 200 ; (c) a constante de tempo;
(d) a carga no capacitor depois de 4 ms.
24
Campo Magnético

Magnetismo:
Não se sabe quando foi observada, pela primeira vez, a existência do magnetismo. Há mais
de 2000 anos, porém, os gregos sabiam que um certo tipo de pedra, a magnetita (Fe3O4), atraía
pedaços de ferro. A utilização de um magneto, como ponteiro de uma bússola, na navegação
data de cerca de 1000 anos de nossa era, embora os chineses possam ter tido conhecimento do
efeito alinhador norte-sul de um magneto muito tempo antes.
Foi observado que os magnetos ou ímãs possuíam dois pólos, o pólo norte e o pólo sul, onde
a força exercida pelo ímã era a mais intensa. Também se observou que os pólos de mesmo
nome de dois ímãs se repeliam mutuamente, e que pólos de nomes opostos se atraíam
mutuamente.
O ímã possui estas propriedades magnéticas devido ao alinhamento de correntes circulares
no interior do material, devido ao movimento dos elétrons nos átomos e ao spin do elétron.

O campo magnético ( B )

Carga em repouso:
1. Uma carga cria um campo elétrico E no espaço que o circunda.
2. O campo elétrico E exerce uma força F = qE na carga q, colocada no campo.

Carga em movimento:
1. Uma carga em movimento ou uma corrente elétrica cria um campo magnético no espaço que
a circunda.
2. O campo magnético exerce uma força sobre uma carga em movimento ou corrente, no
campo.
Campo magnético B em um ponto P é o campo vetorial que exerce uma força F sobre uma
partícula carregada em movimento.
A força magnética possui as seguintes características:
1. A força é proporcional à carga q. A força sobre uma carga negativa tem sentido oposto à da força
sobre uma carga positiva que tenha a mesma velocidade.
2. A força é proporcional ao módulo da velocidade v.
3. A força é perpendicular ao campo magnético B e à velocidade v.
4. A força é proporcional a sen, onde  é o ângulo entre a velocidade v e o campo magnético B. Se
v e B forem paralelos ou opostos ( = 0 ou  = 180o), a força é nula.
Estas características podem ser resumidas da seguinte maneira: quando uma carga q se
move com velocidade v num campo magnético B, a força magnética F sobre a carga é,

 
Fqv xB
O módulo da força magnética, para qualquer sinal da carga, é dado por:
F = q v B sen
25
Figura - Direção e sentido da força magnética para: (a) carga positiva; (b) carga negativa.
Como a força exercida por um campo magnético sobre uma partícula carregada em
movimento é sempre perpendicular à velocidade, o trabalho realizado por esta força é nulo.
A unidade de campo magnético no S.I. é chamada de tesla (T):
1T=1
N
N

m Am
C
s
No sistema CGS, a unidade de campo magnético é o gauss (G):
1 T = 104 G
O tesla é uma unidade muito grande. Por exemplo, o módulo do campo magnético da Terra
em pontos próximos à superfície varia, mas é cerca de 3.10-5 T, ou 0,3 G. Os maiores valores de
campos magnéticos até agora produzidos em laboratório são da ordem de 30 T.
(a)
(b)
Figura - Linhas do campo magnético: (a) na Terra; (b) no ímã.
26

Força sobre um condutor de corrente elétrica.
No trecho l do condutor, a velocidade v é dada por:
v
Como i 
l
t

t 
l
v
q
, temos:
t
q  i t

qi
l
v
A força magnética é dada por:
F q v B sen  
F i l B sen 
il
v B sen 
v
ou
 
Fi l xB
(Força magnética sobre um condutor de corrente dentro de um campo magnético)
Torque sobre espiras conduzindo corrente elétrica

Assim como um campo magnético exerce uma força sobre um fio portador de corrente, ele pode
produzir também um torque, isto é, uma força magnética pode produzir um movimento rotacional
da espira. De particular interesse é o torque sobre um fio em forma de anel que pivota sobre um
eixo e transporta uma corrente. O movimento rotacional causado por tal torque é a base de um
motor elétrico.
Consideremos o anel retangular de corrente mostrado em duas posições na figura seguinte. O
anel transporta a corrente i e está em um campo magnético uniforme B. As dimensões
retangulares do anel são l e w, de modo que a área do plano do anel é S = l w. É conveniente
usar o vetor de área S para especificar a orientação do anel (figura b). A direção de S é
perpendicular ao plano do anel. Para determinar o sentido, dobre os dedos de sua mão direita
para acompanhar o sentido da corrente ao longo do circuito. O polegar distendido dá a direção da
área.
27
O módulo da força magnética sobre cada segmento retilíneo do anel pode ser determinado
com base na equação
F = i l B sen
Como a corrente elétrica i é perpendicular ao campo B,  é igual a 90o e sen = 1. Com isto, a
força F1 sobre o elemento superior na figura (a) é dirigida para cima e tem módulo
F1 = i l B
A força F2 sobre o elemento inferior tem o mesmo módulo, mas sentido oposto, assim como
as forças F3 e F4 são iguais em módulo, mas com sentidos opostos.
Se o anel pivota em torno do eixo OO', na figura (a), as forças F3 e F4, que atuam
paralelamente ao eixo, não produzem nenhum torque em relação à este eixo. O torque  produzido
por uma força F, em relação a um eixo de rotação é dado por
=Fr
onde r é a distância entre o ponto de aplicação da força F e o eixo de rotação do anel, medido
perpendicularmente em relação à força F, como mostra a figura a seguir. A distância r é dada por:
r
w
sen 
2
Assim, o torque produzido pela força F1 é
  F1
w
w
sen  i l B sen 
2
2
Este torque tem sentido horário. A força F2 também produz um torque com o mesmo sentido
em relação a esse eixo e seu módulo é o mesmo produzido por F1, ou seja, 2 = 1. Portanto, o torque
magnético resultante no anel tem módulo
28
 = 1 + 2 = w i l B sen = i S B sen
onde S = w l = área do anel.
Em notação vetorial, temos
 
 i S x B
(Torque magnético sobre uma espira conduzindo corrente elétrica)
Se considerarmos uma bobina com N espiras, conforme a figura a seguir,
o torque resultante sobre esta bobina conduzindo corrente elétrica será
 
 N i S x B
(Torque magnético sobre uma bobina, com N espiras, conduzindo corrente elétrica)

Exemplos:
1. Um próton tem velocidade vetorial de módulo 4,4.106 m/s a um ângulo de 62o com um campo
magnético de módulo 18 mT. Determine: (a) o módulo e a direção da força magnética sobre o
próton (carga do próton=1,6.10-19 C); (b) Se a força magnética for a única força, qual a
aceleração do próton? (massa do próton=1,7.10-27 kg); (c) Qual a variação da energia cinética do
próton?
2. Uma bobina circular, com 2 cm de raio, tem 10 voltas de um fio condutor e conduz uma corrente
de 3 A. O eixo da espira faz um ângulo de 30o com um campo magnético de 8000 G. Determine o
torque sobre esta bobina.
3. Um motor elétrico simples tem uma bobina circular de 100 espiras de raio 15 mm, que transporta
uma corrente de 65 mA em um campo magnético uniforme de módulo 23 mT (ver figura anterior).
Em dado instante, a bobina é orientada de modo que a direção da área faça um ângulo de 25o
com o campo. A bobina pivota em torno de um eixo pelo seu centro, perpendicular a S e a B. (a)
Determine o módulo e a direção do torque magnético sobre a bobina; (b) Qual será o resultado
se a corrente for invertida? (c) Para qual orientação o módulo do torque é máximo e qual é esse
máximo?
29
Momento de Dipolo Magnético

Se uma bobina portadora de corrente elétrica é orientada em um campo magnético uniforme de
modo que S e B sejam paralelos ( = 0o), então, o torque magnético é zero. Na ausência de
torques devido a outras forças, a bobina está em equilíbrio rotacional com essa orientação.
Todavia, para qualquer outra orientação (exceto  = 180o), há um torque magnético que tende
alinhar a bobina de forma que S e B sejam novamente paralelos. Na figura (a) a seguir, a bobina
está suspensa por uma fibra vertical em um campo magnético horizontal. A bobina tende a girar
para o alinhamento com o campo (S paralelo a B) em consequência do torque magnético. Esse
mesmo tipo de comportamento é apresentado por um ímã em barra em um campo magnético
uniforme (figura b).
Figura - (a) Uma bobina portadora de corrente elétrica em um campo magnético;
(b) Um ímã em barra em um campo magnético.
O torque em uma bobina portadora de corrente, com N espiras, é dado pela equação:
 
 Ni S x B
Esta equação pode ser expressa como
 
 mx B
onde


m  Ni S
é o momento de dipolo magnético de uma bobina de área de base S, com N espiras e percorrida por
uma corrente i. A unidade do momento de dipolo magnético, no S.I., é ampére x metro ao quadrado
(A.m2).
A orientação de equilíbrio, ou seja, o momento de dipolo magnético m alinhado com o campo
magnético B, corresponde a uma posição de valor mínimo da energia potencial. A energia potencial
para um dipolo magnético em um campo magnético é dada pela equação
 
U   m . B   m B cos 
onde  é o ângulo entre m e B. A energia potencial é mínima quando m e B estão alinhados ( = 0o).
Movimento de cargas em campos eletromagnéticos

Para entender a operação de muitos dispositivos e instrumentos modernos, devemos considerar
o movimento de elétrons, prótons e outros íons em campos elétricos e magnéticos
(eletromagnéticos). As forças eletromagnéticas dominam o movimento de partículas carregadas
no nível atômico. Se existem um campo elétrico E e um campo magnético B em uma região,
então a força combinada F sobre uma partícula com carga q e velocidade vetorial v é dada por
 


 
F  FElétrica  FMagnética  q E  q v x B
30
Consideremos primeiro o movimento de uma partícula carregada em um campo magnético
uniforme sem campo elétrico presente, conforme a figura a seguir.
A força magnética sobre a partícula positiva é perpendicular ao vetor velocidade. Se a força
magnética for a única força atuando sobre a partícula, então, a aceleração produzida provoca apenas
mudança na direção do deslocamento. A partícula se move em uma trajetória circular de raio r com
velocidade constante v, e a aceleração é a aceleração centrípeta (ac = v2/r). A força centrípeta é igual
à força magnética, ou seja,
FCentrípeta  FMagnética

mv 2
 q v B sen 
r
como v e B são perpendiculares,  = 90o e sen = 1, então,
mv 2
qv B
r


r
mv
qB
Um seletor de velocidade.
Consideremos agora uma configuração de campos elétrico e magnético que serve como
seletor de velocidade para partículas carregadas. Suponha que, em uma região do espaço,
existam campos elétrico e magnético uniformes, e que esses campos sejam perpendiculares,
conforme mostra a figura a seguir.
A força sobre uma partícula carregada que se move nesta região é dada pela equação


 
F  qE  q v x B
Para esta partícula carregada positivamente, existe uma determinada velocidade para a qual
a força resultante é zero, ou seja, a força elétrica para cima equilibra a força magnética para baixo.
As cargas que se movem com esta determinada velocidade passarão através desta região sem se
desviarem. Como a força magnética depende da velocidade da partícula, mas a força elétrica não
depende, a força resultante já não será zero para uma velocidade diferente. Para uma carga com
maior velocidade, a força magnética terá módulo maior do que o da força elétrica. Estas partículas
31
carregadas positivamente e com maior velocidade serão defletidas para baixo. Da mesma forma,
partículas carregadas positivamente e mais lentas serão defletidas para cima.
Se as forças estão equilibradas, então,


 
F  qE  q v x B  0

q v B sen    q E
como  = 90o, sen = 1,
vB   E
em módulo,
v 

E
B
O Efeito Hall
Consideremos uma seção de um condutor de corrente elétrica em um campo magnético
uniforme, conforme a figura a seguir.
Supondo que cargas positivas estejam se movendo no condutor, elas sofrem a ação da força
magnética para cima, fazendo com que estas cargas sejam deslocadas para a parte superior do
condutor. Esta separação de cargas produz um campo elétrico no condutor (figura b). No caso
estacionário, o campo elétrico E, chamado campo de Hall, exerce uma força elétrica FE sobre as
cargas em movimento, a qual tende a equilibrar a força magnética F. Esses campos elétrico e
magnético cruzados atuam como seletores de velocidade para a velocidade de arraste vd.

Exemplos:
1. Um próton de massa 1,67.10-27 kg e carga q =e= 1,6.10-19 C, move-se num círculo de 21 cm de
raio, perpendicular a um campo magnético B = 4000 G. Determine a velocidade do próton.
2. O vetor velocidade de um elétron faz um ângulo de 66,5o com a direção do campo magnético.
Sabendo que o módulo da velocidade é 2,81.106 m/s e o do campo magnético é 4,55.10-4 T,
determine o raio da sua trajetória helicoidal. (massa do elétron = 9,11.10-31 kg)
32
Fontes de campo magnético

Campo magnético gerado por cargas puntiformes em movimento.
Quando uma carga q se move com velocidade v, gera, no espaço, um campo magnético B dado
por:
  o q v x r
B
4  r2
onde µo é a permeabilidade magnética do vácuo e µo = 4.10-7 T.m/A = 4.10-7 N/A2

Lei de Biot-Savart
Campo magnético gerado por um elemento de corrente elétrica:
  o i dlx r
Em notação vetorial: dB 
4  r2
 i dl sen 
O módulo de dB é: dB  o
4
r2


 o i dl x r
Na forma integral: B  
4  r2
O sentido do campo magnético é dado pela regra da mão direita, com o polegar no sentido da
corrente elétrica e os dedos segurando o fio indicam o sentido do campo.
Campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um fio longo e retilíneo:
B
o i
2 R
onde R é a distância perpendicular do fio ao ponto P.
33
Campo Magnético no centro de uma espira circular de raio R:
B
o i
2R
Campo magnético, no eixo de uma espira, a uma distância x do seu centro:
Bx 
 o ia 2
2 ( x 2  a 2 )3 / 2
Bobina ou Solenóide: Ambos são agrupamentos de espiras, mas na prática, há algumas pequenas
diferenças. Bobina tem um significado genérico. Qualquer enrolamento, não importa o formato, é
uma bobina. Solenóide tem um significado mais restrito. Em geral, esta denominação é usada para
conjuntos de espiras circulares enroladas uniformemente em espiral.
Campo Magnético no centro de uma bobina plana com N espiras:
B
o Ni
2R
Bobina Plana: todas as espiras são,
praticamente, concêntricas e tem, em média,
o mesmo raio R da espira. O comprimento L
da bobina é pequena em relação ao raio.
34
Campo magnético no centro de um solenóide comprido:
B  o
N
i
L

B   on i
onde N = número de espiras;
L = comprimento do solenóide;
n
N
= número de espiras por unidade de
L
comprimento.
Força entre dois condutores paralelos:
Figura - Linhas do campo magnético para dois condutores paralelos (a) com correntes no
mesmo sentido; (b) com corrente em sentidos opostos.
Figura - Forças atuando sobre dois condutores paralelos (a) com correntes no mesmo sentido; (b)
com corrente em sentidos opostos.
35
O fio 1 produz um campo magnético
dado por: B 1 
 o i1
.
2 R
O fio 2 encontra-se imerso no campo
magnético B1. Um comprimento L deste
fio fica sujeito a uma força lateral igual a
F12  i 2 L B1


F12 
 o i1 i 2 L
2d
Exemplos:
1. A figura representa uma montagem experimental denominada galvanômetro de tangente. Uma
bobina plana com N espiras de raio R, disposta verticalmente, está ligada a um circuito
constituído por fonte de tensão contínua, uma chave e um amperímetro. No centro da bobina há
uma pequena plataforma onde se coloca uma bússola. Com o circuito desligado, alinha-se o
plano da bobina ao campo magnético terrestre (a agulha da bússola deve ficar contida no plano
da bobina, apontando para o norte geográfico). Em seguida, fecha-se o circuito. Observa-se que
a agulha da bússola gira até encontrar nova posição de equilíbrio. O ângulo  formado pela
agulha da bússola com a direção leste-oeste permite medir o módulo do vetor campo magnético
terrestre local.
Suponha que, em determinado local, uma bobina de N = 10 espiras de 5 cm de raio, para
uma corrente 0,20 A, medida no amperímetro, faça a agulha da bússola desviar-se marcando
um ângulo de 60o. Qual o módulo do vetor campo magnético terrestre nesse local? (µo =
permeabilidade magnética do ar = 4.10-7 T.m/A; tg 60o = 1,73)
2. O campo magnético a uma distância de 2,3 cm do eixo de um fio retilíneo longo é de 13 mT. Qual
a corrente no fio ?
3. No circuito, a força eletromotriz da fonte é 1,5 V e a sua resistência interna é 0,30 . A
resistência do circuito é desprezível. (a) Qual a direção e sentido das forças de interação entre os
dois ramos mais longos do circuito? (b) Qual o módulo de cada uma dessas forças? (µo =
permeabilidade magnética do ar = 4.10-7 T.m/A
4. Um solenóide, de comprimento 50 cm e raio 1,5 cm, contém 2000 espiras e é percorrido por uma
corrente de 3 A. Determine o campo magnético no centro do solenóide.
36

Lei de Ampère
Um condutor conduzindo corrente elétrica, cujo sentido é saindo do plano da folha, gera um
campo magnético conforme mostra a figura a seguir.
Para obtermos a representação matemática da lei de Ampère, fazemos a integração do
produto escalar entre o vetor campo magnético B e o deslocamento infinitesimal dl ao longo do
círculo de raio R. O campo B e dl são paralelos, então, o ângulo entre eles é  = 0o. O campo
magnético B possui o mesmo módulo em todos os pontos a uma distância R do condutor. Então,

o
 B . dl   B dl cos 0   B dl  B  dl  B (2  R)
O campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um fio longo e retilíneo é dado pela
equação
B
o i
 B ( 2  R)   o i
2 R
Então, obtemos,

B
 . dl   o i
Se vários condutores conduzindo corrente contribuem para a geração do campo magnético,
então, temos,

 B . dl   o  i

( lei de Ampère)
Aplicações da lei de Ampère
Campo magnético dentro do solenóide:
O campo magnético dentro de um solenóide pode ser determinado aplicando-se a lei de
Ampère ao trajeto fechado mostrado na figura a seguir.
A integral ao longo do trajeto fechado é a soma das integrais ao longo de cada um dos quatro
segmentos retilíneos:
37

b 
c 
d 
a 
B
.
dl

B
.
dl

B
.
dl

B
.
dl





 B . dl
a
b
c
d

b 
b
o
 B . dl   B . dl   B dl cos 0  B  dl  B L
a
a
onde L é o comprimento do segmento ab. Para um solenóide com n espiras por unidade de
comprimento, o número de espiras dentro do trajeto fechado é nL. Como cada uma dessas espiras
transporta a corrente i, a corrente resultante unindo este trajeto fechado é
i  nL i
Então, de acordo com a lei de Ampère, temos

 B .dl  B L   o n L i
ou
B  o n i
(campo magnético no interior de um solenóide)
Campo magnético no interior de um solenóide toroidal:
Solenóide toroidal é um solenóide encurvado em forma de anel, como mostra a figura a
seguir.
Pela simetria, as linhas do campo magnético B formam círculos concêntricos dentro do
toróide. Aplicando a lei de Ampère, sobre a curva amperiana de raio r, temos,

 B .dl  B 2  r   o N i
B

 o Ni
2r
a<r<b
(campo magnético no interior do solenóide toroidal)
Fluxo magnético
Uma superfície pode ser dividida em elementos infinitesimais de área. A direção de um
elemento de área dS em um ponto na superfície é perpendicular à mesma naquele ponto. Na
figura a seguir, o fluxo magnético d B para o elemento de área dS é
 
d B  B . d S
38
O fluxo magnético total para uma superfície é obtido integrando-se as contribuições d B de
cada elemento de área dS.
 
 B   B . dS
No S.I., a unidade de fluxo magnético é o weber (Wb): 1 Wb = 1 T.m2.

Lei de Gauss para campos magnéticos.
Consideremos uma superfície fechada qualquer e o fluxo magnético para a mesma:
 
 B   B . dS
Cada linha do campo magnético que atravessa uma superfície fechada, em um ponto,
também atravessa, saindo, em algum outro ponto, conforme pode ser observado na figura a seguir.
O número resultante de linhas que atravessam a superfície fechada é, portanto, zero.
A lei de Gauss para o campo magnético pode ser enunciada como:
"O fluxo magnético para qualquer superfície fechada é zero".
Na forma matemática, temos:
 
B
 . dS  0

(lei de Gauss para campos magnéticos)
Exemplos:
1. Um solenóide toroidal, tendo seção transversal circular de raio 2cm e um raio interno de 15 cm,
possui 500 espiras e transporta uma corrente de 0,80 A. Qual o campo magnético em um ponto
localizado em r = 18 cm?
2. Determine o fluxo magnético para uma seção transversal circular de um solenóide de raio 7,5
mm, tendo o número de espiras por unidade de comprimento igual a 2.103 espiras/metro e a
corrente de 320 mA.
39
Corrente de Deslocamento
A lei de Ampère, vista anteriormente, não está completa. Agora, à medida que aprendermos como modificá-la para
abranger situações mais gerais, notaremos a introdução de alguns aspectos fundamentais do comportamento de um campo
magnético e de um campo elétrico.
Vamos considerar o processo de carga de um capacitor, na figura a seguir. Fios conduzem a
corrente iC para dentro de uma das placas e para fora da outra; a carga Q se eleva e o campo
elétrico E entre as placas aumenta. Usamos a notação iC para designar a corrente de condução,
diferenciando-a de outro tipo de corrente, que definiremos a seguir, chamada de corrente de
deslocamento e que será designada por iD. Usaremos letras minúsculas i e v para designar,
respectivamente, uma corrente variável e uma diferença de potencial que varia com o tempo.
Vamos aplicar a lei de Ampère para o percurso indicado pela circunferência na figura. A

integral  B.dl ao longo desse percurso é igual a µoIinte. Para a área circular plana limitada pela
circunferência, Iinte é apenas igual à corrente iC do fio do lado esquerdo. A superfície bojuda que
envolve a placa esquerda do capacitor também possui a mesma circunferência de contorno da área
plana, contudo, a corrente que atravessa a superfície bojuda é zero. Portanto, concluímos que a

integral  B.dl é simultaneamente igual a µo iC e igual zero. Isso é uma contradição clara.
Porém, algo diferente está ocorrendo sobre a superfície bojuda. À medida que o capacitor é
carregado, tanto o campo elétrico E quanto o fluxo elétrico  E através da superfície estão
aumentando. Podemos calcular a taxa desse aumento por meio da carga e da corrente. A carga
instantânea é dada por q = C v, onde C é a capacitância e v é a diferença de potencial instantânea.
Para um capacitor de placas paralelas, C   o A / d , onde A é a área da placa do capacitor e d é a
distância entre as placas. A diferença de potencial entre as placas é v=Ed, onde E é o módulo do
campo elétrico entre as placas. Desprezamos os efeitos de borda e consideramos E uniforme entre
as placas. Quando existe um material de permissividade  entre as placas, substituímos  o por
 ; usaremos  na discussão que faremos a seguir.
Figura – Capacitor de placas paralelas sendo carregado. A corrente de condução que entra na
superfície plana é igual a iC, porém, não existe nenhuma corrente de condução saindo
através da superfície bojuda que envolve a placa esquerda do capacitor. Essas duas
superfícies possuem um contorno circular comum, portanto, essa diferença de valores para
Iinte leva a uma aparente contradição quando aplicamos a lei de Ampère.
Substituindo as expressões anteriores de C e v na relação q=Cv, é possível escrever a carga
do capacitor na forma
qCv 
A
(E d)   E A   E
d
onde  E  E A é o fluxo elétrico através da superfície.
À medida que o capacitor está sendo carregado, a taxa de variação da carga q é a corrente
iC  dq / dt . Derivando a equação anterior em relação ao tempo, obtemos
iC 
d E
dq

dt
dt
40
Agora, definimos uma pseudocorrente iD na região entre as placas, à partir da equação
iD  
d E
dt
(corrente de deslocamento)
Ou seja, imaginamos que o fluxo que está variando através da superfície bojuda na figura
anterior é semelhante, na lei de Ampère, a uma corrente de condução através da superfície.
Incluímos essa corrente fictícia adicional com a corrente de condução real iC na lei de Ampère:

 B.dl   o (iC  iD )int e
(lei de Ampère generalizada)
A lei de Ampère na forma generalizada é válida qualquer que seja a superfície usada na
figura anterior. Para a superfície plana, iD é igual a zero, e para a superfície bojuda, iC é igual a zero,
e o valor de iD para a superfície bojuda é igual ao valor de iC para a superfície plana.
Essa corrente fictícia foi introduzida por Maxwell, que a chamou de corrente de deslocamento.
Existe uma correspondente densidade de corrente de deslocamento dada por jD=iD/A. Para verificar
se esta corrente tem algum significado real, vamos descrever uma experiência fundamental que
ajudará a esclarecer essa dúvida.
Considere a área plana circular entre as placas do capacitor, como na figura a seguir. Se a
corrente de deslocamento realmente desempenha o papel indicado na lei de Ampère, então deveria
haver um campo magnético na região entre as placas durante o processo de carregar o capacitor.
Podemos usar a lei de Ampère generalizada para fazer uma previsão de qual deveria ser esse
campo magnético.
Figura – Um capacitor de placas paralelas sendo carregado por uma corrente de condução iC possui
uma corrente de deslocamento igual a iC entre as placas, com uma densidade de corrente
de deslocamento jD. Isso pode ser visto como uma fonte de campo magnético entre as
placas.
Para sermos mais específicos, vamos considerar placas circulares de raio R. Para
determinarmos o campo magnético em um ponto na região entre as placas a uma distância r do eixo,
aplicamos a lei de Ampère a uma circunferência de raio r passando pelo ponto, sendo r<R. Essa
circunferência passa pelos pontos a e b na figura a seguir. A corrente total que flui através da área

delimitada por essa circunferência é igual a jD vezes sua área ou (iD/R2)(r2). A integral  B.dl
na lei de Ampère é igual a B vezes o comprimento da circunferência 2r, e, como iD=iC durante a
carga do capacitor, a lei de Ampère fornece

r2
B
.
dl

2

r
B


iC
o

R2
ou seja,
B
 o r iC
2  R2
41
O resultado obtido prediz que B entre as placas é igual a zero sobre o eixo e aumenta
linearmente com a distância ao eixo. Um cálculo semelhante mostra que, fora da região entre as
placas (ou seja, para r>R), B seria o mesmo que o obtido por um fio contínuo sem a presença das
placas do capacitor.
Quando medimos o campo magnético nessa região, verificamos que ele de fato existe e se
comporta exatamente como previsto pela equação anterior. Isso confirma diretamente o papel
desempenhado pela corrente de deslocamento como uma fonte do campo magnético. Assim
mostrou-se que o conceito de corrente de deslocamento, longe de ser apenas um artifício, é um fato
fundamental da natureza. A corrente de deslocamento foi o elo que faltava na teoria do
eletromagnetismo para que Maxwell e outros pudessem entender as ondas eletromagnéticas.
Dois comentários finais: primeiro, a forma generalizada da lei de Ampère, penúltima equação,
permanece válida no interior de um material magnético, desde que a magnetização seja proporcional
ao campo magnético externo e que µo seja substituído por µ. Segundo, a lei de Ampère é válida
mesmo no espaço vazio onde não pode existir nenhuma corrente de condução. Esse fato possui
implicações profundas: ele significa, entre outras coisas, que, quando os campos E e B variam com o
tempo, eles devem ser relacionados entre si. Em particular, um campo elétrico variável em uma
região do espaço induz um campo magnético nas regiões vizinhas mesmo quando não existe
nenhuma matéria nem nenhuma corrente de condução presente. Veremos, em tópicos seguintes,
que um campo magnético variável é uma fonte de campo elétrico. Essas relações, inicialmente
escritas de maneira completa por Maxwell forneceram a chave para o entendimento da radiação
eletromagnética e da luz como um exemplo particular dessa radiação.
42
Indução Magnética
Quando o fluxo magnético varia através de uma bobina, ocorre a indução de uma fem e de
uma corrente no circuito no qual a bobina está instalada. Este fenômeno é chamado de indução
magnética. Em uma usina geradora de energia elétrica, o movimento de um ímã em relação a uma
bobina produz um fluxo magnético que varia através das bobinas e, portanto, surge uma fem. Outros
componentes essenciais de sistemas elétricos também dependem desta indução; por exemplo, um
transformador funciona em virtude da ação de uma fem induzida.
Na figura a seguir estão ilustrados exemplos de geração de fem devido à indução magnética.
Figura – (a) Um ímã se aproximando de uma bobina conectada a um galvanômetro induz uma
corrente na bobina. Quando o ímã se afasta da bobina, a corrente induzida possui sentido
contrário ao anterior. Quando a bobina permanece em repouso, não existe nenhuma
corrente induzida. (b) Uma segunda bobina conduzindo uma corrente contínua se
aproximando da primeira bobina conectada ao galvanômetro induz uma corrente na
primeira bobina. Quando a segunda bobina se afasta da primeira, a corrente induzida
possui sentido contrário ao anterior. Quando as bobinas permanecem em repouso, não
existe nenhuma corrente induzida. (c) Quando a chave é aberta ou fechada, surge uma
corrente variável na bobina interna que induz uma corrente na bobina externa ligada ao
galvanômetro.

Lei de Faraday
Em algumas de suas investigações sobre correntes induzidas magneticamente, Faraday
utilizou um arranjo semelhante ao mostrado na figura a seguir. Uma corrente na bobina à esquerda
produz um campo magnético concentrado no anel de ferro. A bobina à direita é ligada a um
galvanômetro G que indica a presença de corrente induzida no circuito. Não há corrente induzida
para um campo magnético estacionário. Mas uma corrente induzida aparece momentaneamente no
circuito à direita quando o interruptor S é fechado no circuito à esquerda. Quando o interruptor é
aberto, aparece momentaneamente uma corrente induzida com o sentido oposto. Assim, a corrente
induzida só pode existir quando o campo magnético, devido à corrente no circuito à esquerda, está
variando.
Figura - Duas bobinas enroladas em torno de um anel de ferro. O galvanômetro G sofre uma
deflexão momentânea quando o interruptor é aberto ou fechado.
A necessidade da variação é demonstrada também no arranjo mostrado na figura a seguir. Se
o ímã está em repouso em relação à bobina, então não existe corrente induzida. Mas, se o ímã é
aproximado da bobina, então induz-se uma corrente com sentido indicado no item a da figura. Se o
ímã for afastado da bobina, induz-se uma corrente no sentido oposto (item b). Note que, em ambos
43
os casos, o campo magnético está variando na vizinhança da bobina. Aparece também uma
corrente induzida na bobina, se esta é movimentada em relação ao ímã.
Figura – (a) Uma corrente é induzida na bobina quando o ímã se aproxima dela. (b) A corrente
induzida tem o sentido oposto quando o ímã se afasta da bobina.
A presença de tais correntes em um circuito implica na existência de uma fem induzida  .
Isto é, deve-se fornecer energia aos portadores de carga que constituem a corrente, e a fem é a
energia, por unidade de carga, fornecida a um portador de carga que atravessa o circuito. Essa fem
induzida se faz presente quando o campo magnético está variando, conforme descrito acima.
A análise quantitativa entre o campo magnético variável e a fem induzida é realizada em
termos do fluxo magnético  B para uma superfície. Para simplificar, consideremos um anel fino de
fio condutor e uma superfície matemática, aberta delimitada pelo anel, como mostrado na figura a
seguir.
Figura – Um anel condutor  forma
a fronteira de uma superfície. O fluxo magnético através da

superfície é  B   B . dS .
O fluxo magnético para uma superfície delimitada pelo anel é dado pela integral de superfície
 
 B   d B   B . dS   B dS cos 
onde d B é o fluxo através do elemento de superfície dS.
Enunciado da lei de Faraday:
"Quando o fluxo magnético através de uma superfície delimitada por um anel condutor varia com o
tempo, induz-se uma fem no anel."
Matematicamente, a lei de Faraday é escrita na forma

d B
dt
A fem  depende da taxa de variação do fluxo magnético. O sinal negativo é devido ao
sentido da fem induzida no circuito (ver a lei de Lenz a seguir). Pela lei de Faraday, obtemos a
44
relação entre weber (Wb), que é a unidade de fluxo magnético, e o volt (V), unidade de fem:
1 V=1 Wb/s.
Consideremos a fem induzida em uma bobina compactamente enrolada. Cada volta (espira)
em tal bobina se comporta aproximadamente como um anel isolado; podemos, assim, aplicar a lei de
Faraday para determinar a fem induzida em cada espira. Então, a fem  é induzida em cada espira,
e a fem total induzida em uma bobina de N espiras é dada por
d B
 d B 
T  N   N  
N
dt
 dt 
onde  B é o fluxo magnético através de uma espira da bobina.

Lei de Lenz
A lei de Lenz é um método alternativo para determinar o sentido da fem ou da corrente
induzida. A lei de Lenz não constitui um princípio independente, pois pode ser deduzida a partir da lei
de Faraday. Ela sempre conduz ao mesmo resultado obtido quando usamos as regras de sinais
introduzidas em conexão com a lei de Faraday, contudo, ela é mais fácil de aplicar. A lei de Lens
também nos ajuda a adquirir conhecimentos intuitivos dos diversos efeitos de indução e do papel
desempenhado pela conservação da energia.
O enunciado da lei de Lenz afirma que:
"O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz
esse efeito".
A "causa" pode ser um fluxo que varia através de um circuito em repouso produzido pela
variação de um campo magnético, um fluxo magnético variável gerado pelo movimento relativo de
condutores que compõem o circuito ou qualquer outra combinação que produza variação de fluxo.
Quando o fluxo magnético varia através de um circuito em repouso, a própria corrente induzida
produz um campo magnético. No interior da área delimitada pelo circuito, esse campo é oposto ao
campo original quando o campo original está crescendo, porém, possui o mesmo sentido do campo
original quando ele está diminuindo. Ou seja, a corrente induzida se opõe à variação do fluxo
magnético através do circuito (e não ao próprio fluxo). Isto pode ser ilustrado pela figura a seguir.
Figura – A corrente induzida produzida pela variação de B possui sentido horário, se observada de
cima para baixo. O campo magnético adicional Binduzido criado por ela é orientado de cima
para baixo, opondo-se à variação do campo B de baixo para cima.
Visto que uma corrente induzida sempre se opõe a qualquer variação de fluxo magnético
através de um circuito, então como pode ocorrer alguma variação do fluxo? A resposta é que a lei de
Lenz fornece apenas o sentido da corrente induzida; o módulo da corrente induzida depende da
resistência do circuito. Quanto maior a resistência do circuito, menor é a corrente induzida que se
opõe a qualquer variação de fluxo e mais facilmente a variação de fluxo magnético pode ocorrer. Se
a espira da figura a seguir fosse de um material de altíssima resistência (um isolante), não existiria
quase nenhuma corrente induzida em resposta à variação do fluxo através da espira.
Reciprocamente, quanto menor a resistência do circuito, maior é a corrente induzida e mais
difícil se torna a variação do fluxo magnético através do circuito. Supondo que a espira da figura a
seguir seja feita com um bom condutor, surge uma corrente induzida toda vez que ocorre um
45
movimento relativo entre o ímã e a espira. Quando o movimento relativo termina, a corrente
induzida diminui rapidamente até zero em virtude da resistência da espira.
Figura – Sentidos das correntes induzidas quando um ímã desloca-se ao longo do eixo de uma
espira condutora. Quando o ímã está em repouso, não existe nenhuma corrente induzida.

Força Eletromotriz produzida pelo movimento
Em situações em que ocorre o movimento de um condutor em um campo magnético,
podemos compreender melhor a fem examinando as forças magnéticas que atuam sobre as cargas
do condutor. O item a da figura a seguir mostra uma haste em um campo magnético B uniforme e
dirigido para dentro da página. Se deslocarmos a haste para a direita com uma velocidade constante
v,
partícula com carga q no interior da haste sofre a ação de uma força magnética dada por
 uma
 
F  q v x B , cujo módulo é F = q v B. Se a carga for positiva, o sentido da força é de baixo para cima,
ou seja, de b para a.
Essa força magnética produz movimento de cargas na haste, criando um excesso de cargas
positivas na extremidade superior a e de cargas negativas na extremidade inferior b. Isso faz surgir
um campo elétrico E no interior da haste no sentido de a para b (contrário ao da força magnética).
As cargas continuam a se acumular nas extremidades da haste até que a força elétrica orientada
de cima para baixo (de módulo igual a qE) seja exatamente igual à força magnética de baixo para
cima (de módulo igual a qvB). Então, qE=qvB e as cargas permanecem em equilíbrio.
O módulo da diferença de potencial Vab = Va – Vb é igual ao módulo do campo elétrico E
multiplicado pelo comprimento L da haste. Então,
qE=qvB
E=vB
assim
Vab = E L = v B L
onde o ponto a possui um potencial maior do que o ponto b.
Suponha agora que a haste esteja deslizando sobre um condutor em forma de U, formando
um circuito fechado (item b da figura a seguir). Sobre as cargas nos condutores em repouso em
forma de U não existe nenhuma força magnética, porém as cargas nas vizinhanças de a e de b se
redistribuem ao longo dos condutores em repouso, criando um campo elétrico no interior deles. Esse
campo produz uma corrente no sentido indicado. A haste deslizante torna-se uma fonte de força
eletromotriz; no interior dela as cargas se movem do potencial mais baixo para o potencial mais
elevado e no restante do circuito as cargas se deslocam do potencial mais elevado para o potencial
mais baixo. Essa força eletromotriz produzida pelo movimento será designada por  e chamada de
força eletromotriz do movimento. De acordo com a equação anterior, temos:
  v BL
uniforme)
(fem do movimento; comprimento e velocidade perpendicular a B
46
Figura – Uma haste condutora se movendo em um campo magnético uniforme. (a) A haste, a
velocidade e o campo são mutuamente perpendiculares. (b) Sentido da corrente induzida
no circuito.
Chamando de R a resistência total dos condutores em forma de U com a haste, a corrente
induzida no circuito é dada por vBL=Ri.
Podemos generalizar o conceito de fem do movimento para um condutor que possui qualquer
forma e que se desloca em qualquer campo magnético, uniforme ou não (supondo que o campo
magnético em cada ponto não varie com o tempo). Para um elemento d l do condutor, a contribuição
 
d da fem é dada pelo módulo dl multiplicado pelo componente de v x B (a força magnética por

unidade de carga) paralela a d l , ou seja,


  
d  v x B . d l
para qualquer espira condutora fechada, a fem é dada por



 
  v x B .dl

Campos Elétricos Induzidos
Quando um condutor se move em um campo magnético, podemos entender a fem induzida
com base nas forças magnéticas que atuam sobre o condutor. Contudo, também existe uma fem
quando ocorre um fluxo magnético variável através de um condutor em repouso. Qual é a força que
atua sobre as cargas ao longo do circuito nesse tipo de situação?
Como exemplo, considere a situação ilustrada na figura a seguir. Um solenóide longo e fino
com seção transversal de área S com n espiras por unidade de comprimento é circundado em seu
centro por uma espira condutora circular. O galvanômetro G mede a corrente na espira. A corrente i
no enrolamento do solenóide produz um campo magnético B ao longo do eixo do solenóide.
Desprezando o campo magnético fora do solenóide, o fluxo magnético através da espira é dado por
B  B S  o n i S
Quando a corrente i do solenóide varia com o tempo, o fluxo magnético  B também varia, e,
de acordo com a lei de Faraday, a fem induzida na espira é dada por

dB
di
  o n S
dt
dt
47
Se R for a resistência total da espira e i' a corrente induzida na espira, temos i' = /R.
Porém, qual é a força que atua sobre as cargas obrigando-as a se mover ao longo do
circuito? Não pode ser uma força magnética porque a espira não está em movimento e nem mesmo
está dentro de um campo magnético. Podemos concluir, então, que se trata de um campo elétrico
induzido no condutor, produzido pela variação do fluxo magnético. Isto pode parecer estranho, pois
estamos acostumados a pensar em campos elétricos produzidos por cargas elétricas e agora
observamos que um campo magnético variável pode ser fonte de campo elétrico. A integral de linha
de E ao longo de um percurso fechado fornece a fem induzida:
 
E
 .d l  
De acordo com a lei de Faraday, a fem  é dada pela taxa de variação do fluxo magnético,
com o sinal negativo, através de uma espira. Logo, para esse caso podemos escrever a lei de
Faraday na seguinte forma


 E. d l  
dB
dt
Figura – (a) As espiras de um solenóide longo conduzindo uma corrente i que cresce com uma taxa
di/dt. O fluxo magnético no solenóide cresce com uma taxa d B / dt e esse fluxo variável
passa através da espira. Uma fem    d / dt é induzida na espira, produzindo uma
corrente induzida i', medida pelo galvanômetro G. (b) Vista frontal da montagem.

Correntes de Foucault (correntes de vórtice ou correntes parasitas)
Suponhamos que um campo magnético variável seja perpendicular a uma face de um
condutor extenso, tal como uma placa condutora. O campo elétrico induzido ocasiona correntes
circulatórias chamadas correntes de vórtice na placa. Tais correntes de vórtice surgem também
quando um condutor se move através de uma região de campo magnético. Essas correntes dissipam
energia por efeito Joule (a uma taxa P=Ri2). Um material condutor pode ser aquecido pelas correntes
de vórtice induzidas pela variação do campo magnético na substância; esse processo é chamado
aquecimento por indução.
Em outros casos, a dissipação de energia que acompanha as correntes de vórtice pode ser
indesejável. Para reduzir essas correntes no núcleo de ferro de um transformador, o núcleo é
laminado, isto é, lâminas finas de ferro condutor são separadas por camadas isolantes. Tais
camadas isolantes aumentam efetivamente a resistência do trajeto para cargas circulantes, de modo
que as correntes de vórtice ficam confinadas às lâminas. Então, não existem grandes circuitos para
as correntes de vórtice e a perda de potência se reduz grandemente, pois não podemos esquecer
que essas correntes de vórtice produzem campo magnético em oposição ao campo magnético
original.
48

Exemplos
1. O módulo do campo magnético entre os pólos de um eletroímã aumenta com uma taxa de 0,020
T/s. A área de uma espira condutora imersa no campo é igual a 120 cm2 e a resistência total do
circuito, incluindo o galvanômetro, é igual a 5 Ω. O vetor área da espira é paralelo ao campo
magnético. Calcule a fem induzida e a corrente induzida no circuito.
2. Utilizando a lei de Lenz, determine o sentido da corrente induzida em uma espira supondo que
exista um campo magnético perpendicular à superfície da espira e que seu módulo está
aumentando.
3. Um solenóide longo enrolado com 500 espiras por metro é percorrido por uma corrente que
aumenta a uma taxa de 100 A/s. A área da seção transversal do solenóide é de 4 cm 2.
(a) Determine o módulo da fem induzida em uma espira enrolada em torno do solenóide.
(b) Calcule o módulo do campo elétrico induzido na espira, sabendo-se que seu raio é igual a 2
cm.
49
Indutância

Indutância Mútua
Na interação magnética entre dois fios que conduzem correntes estacionárias, a corrente de
um dos fios produz um campo magnético que exerce uma força sobre a corrente do outro fio.
Contudo, quando existe uma corrente variável em um dos circuitos, ocorre uma interação adicional
entre os dois circuitos. Considere duas bobinas vizinhas, como ilustrado na figura a seguir. Uma
corrente circulando na bobina 1 produz um campo magnético B e, portanto, um fluxo magnético
através da bobina 2. Quando a corrente na bobina 1 varia, o fluxo magnético através da bobina 2
também varia; de acordo com a lei de Faraday, isso produz uma fem na bobina 2. Sendo assim, a
variação da corrente em um dos circuitos produz uma corrente induzida no outro circuito.
Figura – Uma corrente i1 na bobina 1 produz um fluxo magnético através da bobina 2. Quando i1
varia, uma fem é induzida na bobina 2; esse efeito pode ser descrito em termos de uma
indutância mútua.
Na figura, uma corrente i1 na bobina 1 induz um campo magnético (indicado pelas linhas de
campo) e algumas das linhas de campo passam através da bobina 2. Designamos por B2 o fluxo
magnético através de cada espira da bobina 2 produzido pela corrente i1 na bobina 1. O campo
magnético é proporcional a i1, de modo que B2 também é proporcional a i1. Quando i1 varia, B2
varia; esse fluxo magnético variável induz uma fem 2 na bobina 2 dada por
 2   N2
dB2
dt
Poderíamos representar a proporcionalidade entre B2 e i1 na forma B2=constante x i1,
contudo é mais conveniente incluir o número de espiras N na relação. Introduzindo uma constante de
proporcionalidade M21 chamada de indutância mútua das duas bobinas, temos
N2  B2  M21 i1
onde B2 é o fluxo magnético através de uma única espira da bobina 2. Portanto,
N2
dB2
di
 M21 1
dt
dt
e podemos escrever
 2   M21
di1
dt
ou seja, a variação da corrente i1 na bobina 1 induz uma fem na bobina 2 diretamente proporcional à
taxa de variação da corrente i1.
50
A indutância mútua pode, então, ser escrita na forma
M21 
N2 B2
i1
Podemos repetir o raciocínio anterior para o caso oposto no qual uma corrente variável i2 no
bobina 2 produz um fluxo magnético variável B1 e induz uma fem 1 na bobina 1. Poderíamos
pensar que a constante correspondente M12 fosse diferente de M21 porque em geral as duas bobinas
não são idênticas e os fluxos magnéticos através delas são diferentes. Contudo, verificamos que M12
é sempre igual a M21, mesmo quando as duas bobinas não são simétricas. Chamaremos esse valor
comum simplesmente de indutância mútua, designada pelo símbolo M sem nenhum índice inferior;
essa grandeza caracteriza completamente a fem induzida pela interação entre duas bobinas.
Portanto, temos
di
di
(fem mutuamente induzida)
2   M 1
e
1   M 2
dt
dt
onde a indutância mútua M é
M
N2 B2 N1  B1

i1
i2
(indutância mútua)
Os sinais negativos na penúltima equação são decorrentes da lei de Lenz, ou seja, a variação
da corrente na bobina 1 produz uma variação do fluxo magnético na bobina 2, induzindo uma fem na
bobina 2 que se opõe à variação desse fluxo.
No S.I., a indutância mútua é dada em henry (H).
1 H = 1 Wb/A = 1 V.s/A = 1 .s = 1 J/A2
A indutância mútua pode provocar perturbações em circuitos elétricos, visto que a variação da
corrente em um circuito é capaz de gerar uma fem indesejável em outro circuito. Para amenizar esse
efeito, os sistemas compostos por muitos circuitos devem ser projetados minimizando-se os valores
de M; por exemplo, duas bobinas devem ser montadas com distâncias grandes entre elas ou em
planos perpendiculares entre si.
Felizmente, a indutância mútua também possui muitas aplicações úteis. Um transformador,
empregado em circuitos de corrente alternada para aumentar ou diminuir a tensão, é
fundamentalmente um dispositivo semelhante ao arranjo de duas bobinas. Uma corrente alternada
em uma bobina do transformador produz uma fem alternada na outra bobina; o valor de M, que
depende da geometria das bobinas, determina a amplitude da fem induzida na outra bobina e,
portanto, a amplitude da tensão na saída do transformador.

Indutores e Auto-Indutância
Na discussão sobre a indutância mútua, foram considerados dois circuitos separados e
independentes; uma corrente em um dos circuitos cria um campo magnético que produz um fluxo
magnético sobre o outro circuito. Quando a corrente no primeiro circuito varia, o fluxo através do
segundo circuito varia, induzindo uma fem.
Um efeito importante relacionado com isto ocorre até mesmo quando consideramos um único
circuito isolado. Quando existe uma corrente em um circuito, ela produz um campo magnético que
gera um fluxo magnético através do próprio circuito; quando a corrente varia, esse fluxo também
varia. Portanto, qualquer circuito percorrido por uma corrente variável possui uma fem induzida nele
mesmo pela variação de seu próprio fluxo magnético. Tal fem denomina-se fem auto-induzida. De
acordo com a lei de Lenz, uma fem auto-induzida sempre se opõe à variação da corrente que produz
a fem e, portanto, tende a tornar mais difícil qualquer variação da corrente. Por esta razão, a fem
auto-induzida é muito importante quando existe uma corrente variável.
Uma fem auto-induzida pode ocorrer em qualquer circuito, visto que sempre existirá algum
fluxo magnético através de espiras fechadas em um circuito que conduz uma corrente. Porém, o
efeito é bastante ampliado quando o circuito contém uma bobina com N espiras (figura a seguir).
51
Figura – A corrente do circuito produz um campo magnético na bobina e, portanto, um fluxo
magnético através da bobina. Quando a corrente do circuito varia, o fluxo também varia,
produzindo uma fem auto-induzida no circuito.
Em virtude da corrente i, existe um fluxo magnético médio B através de cada espira da
bobina. Por analogia com a última equação, define-se a auto-indutância L do circuito da seguinte
maneira
N B
(auto-indutância)
L
i
A auto-indutância pode ser chamada simplesmente de indutância. As unidades de autoindutância são as mesmas que as unidades de indutância mútua; ou seja, a unidade no S.I. para a
auto-indutância é o henry (H).
Quando a corrente i no circuito varia, B também varia, as taxas de variação são relacionadas
por
dB
di
N
L
dt
dt
De acordo com a lei de Faraday para uma bobina com N espiras, a fem auto-induzida é dada
por    N d B / dt , portanto concluímos que
di
(fem auto-induzida)
 L
dt
O sinal negativo na equação anterior decorre da lei de Lenz; ele mostra que a fem autoinduzida em um circuito se opõe a qualquer variação de corrente que ocorra no circuito.
O dispositivo de um circuito projetado para possuir um valor particular de auto-indutância
denomina-se indutor. O símbolo usado para representar um indutor em um circuito é:
Assim como os resistores e os capacitores, os indutores são elementos indispensáveis na
moderna tecnologia eletrônica. A função de um indutor é criar uma corrente que se oponha à
variação da corrente no circuito. Um indutor colocado em um circuito de corrente contínua ajuda a
manter a corrente constante, apesar de eventuais flutuações da fem aplicada; em um circuito de
corrente alternada, o indutor pode ser usado para suprimir variações da corrente que sejam mais
rápidas do que as desejadas.
Para entendermos o comportamento de circuitos contendo indutores, precisamos desenvolver
um princípio geral semelhante à lei das malhas de Kirchhoff. Para aplicar essa lei, percorremos o
circuito calculando sucessivamente a diferença de potencial através de cada elemento do circuito. A
soma algébrica de todas as diferenças de potencial através do circuito fechado deve ser igual a zero,
porque o campo elétrico produzido pelas cargas distribuídas ao longo do circuito é conservativo e é
chamado de Ec.
Mas, se existe um indutor no circuito, a situação muda. O campo elétrico induzido
magneticamente nas bobinas do indutor não é conservativo; designamos esse campo por En. Vamos
supor que a bobina possua uma resistência desprezível. Então, basta um campo elétrico muito
pequeno para que a carga desloque-se através da bobina, daí o campo elétrico total Ec + En nas
espiras da bobina deve ser igual a zero, embora nenhum dos dois campos seja individualmente igual
a zero. Como Ec não é zero, sabemos que, para produzir esse campo, deve existir um acúmulo de
cargas nas extremidades do indutor e sobre as superfícies de seus condutores.
Considere o circuito da figura a seguir onde a fonte de tensão é variável, o que permite a
variação da corrente i no circuito.
52
Figura – Um circuito contendo uma fonte de tensão e um indutor. A fonte é variável, de modo
que a corrente i e sua taxa de variação di/dt podem variar.
De acordo com a lei de Faraday, a integral de linha de En em torno do circuito é a taxa da
variação do fluxo, com sinal negativo, que passa através do circuito, que por sua vez é dada pela
última equação (fem auto-induzida). Combinando estas duas relações, obtemos


di
E
.
d
l  L
n

dt
em que realizamos a integral no sentido horário. Porém, En só é diferente de zero dentro do indutor.
Portanto, a integral de linha de En em torno do circuito todo pode ser substituída por uma integral
somente de a até b através do indutor, ou seja,
b


di
 En . d l   L dt
a
A seguir, como Ec + En = 0 em cada ponto do interior das bobinas do indutor, podemos
escrever o resultado anterior na forma


di
E
.
d
l L
c

dt
a
b
Porém, a integral anterior é precisamente o potencial Vab do ponto b em relação ao ponto a,
de modo que obtemos finalmente
di
dt
Concluímos que existe uma genuína diferença de potencial entre os terminais do indutor
associada com as forças eletrostáticas conservativas, apesar de o campo elétrico associado com a
indução magnética não ser conservativo. Assim, justificamos o uso da equação anterior na lei das
malhas de Kirchhoff para a análise de circuitos.
Note que a fem auto-induzida não se opõe à própria corrente i; em vez disso, ela se opões a
qualquer variação da corrente (di/dt). Portanto, o comportamento de um indutor em um circuito é
completamente diferente do comportamento de um resistor. Na figura a seguir, comparamos o
comportamento de um indutor com o do resistor e resumimos as relações dos sinais.
Vab  Va  Vb  L
Figura – (a) Quando uma corrente i flui de a para b através de um resistor, o potencial sempre
diminui de a para b quando i é positivo e Vab = Va – Vb = R i. (b) Quando a corrente flui de a
para b através de um indutor, o potencial cai de a para b quando di/dt é positivo (corrente
crescente) e cresce de a para b quando di/dt é negativo (corrente decrescente). Para cada
caso, Vab=Va–Vb=Ldi/dt. Quando i é constante, Vab=0.
53

Energia do Campo Magnético
Para fazer uma carga elétrica circular em um circuito é necessário fornecer uma certa
quantidade de energia, e um indutor que conduz uma corrente possui uma energia nele armazenada.
Na penúltima figura, uma corrente i crescendo no indutor induz uma fem  entre os terminais e uma
correspondente diferença de potencial Vab nos terminais da fonte, e o ponto a possui um potencial
mais elevado do que o ponto b. Portanto, a fonte deve fornecer energia para o indutor, e a potência
instantânea P (taxa de transferência de energia para o indutor) é dada por P=Vabi.
Podemos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente final i em um
indutor com indutância L supondo que a corrente inicial seja igual a zero. Admitindo que a resistência
do indutor seja igual a zero, nenhuma corrente é dissipada no interior do indutor. Supondo que a
corrente em determinado instante seja i e sua taxa de variação igual a di/dt, a corrente está
aumentando, de modo que di/dt>0. A tensão entre os terminais a e b do indutor nesse instante é
Vab=Ldi/dt e a taxa P com a qual a energia está sendo fornecida ao indutor (igual à potência
instantânea fornecida pela fonte externa) é dada por
di
dt
A energia dU fornecida ao indutor durante um intervalo de tempo dt é dada por dU=Pdt,
portanto
dU  L i di
A energia total U fornecida enquanto a corrente está aumentando de zero até um valor final i
é dada por
i
1
(energia armazenada em um indutor)
U  L  i di  L i 2
2
0
Depois que a corrente atinge o seu valor estacionário final i, obtemos di/dt=0 e nenhuma
energia adicional é fornecida ao indutor. Poderíamos fazer uma analogia e imaginar a energia U
como uma espécie de energia cinética associada com a corrente. Quando não existe nenhuma
corrente, a energia é igual a zero e quando existe uma corrente, a energia é igual a ½(Li2).
Quando a corrente diminui de i até zero, o indutor atua como uma fonte que fornece a energia
total ½(Li2) para o circuito externo. Se interrompermos repentinamente o circuito, abrindo uma chave
ou puxando rapidamente o plugue da tomada, a corrente diminui rapidamente, a fem induzida é
muito grande e a energia pode ser descarregada através de um arco voltaico entre os contatos da
chave.
É importante não confundir o comportamento de indutores e de resistores. A energia é
sempre fornecida ao resistor, quer a corrente seja estacionária ou variável com o tempo; essa
energia é sempre dissipada sob a forma de calor. Em contraste, a energia flui para o interior de um
indutor ideal, sem resistência interna, somente quando a corrente no indutor cresce. Essa energia
não é dissipada; ela fica armazenada no indutor e é liberada quando a corrente diminui. Quando a
corrente permanece estacionária através de um indutor, não existe nenhuma energia que entra no
indutor ou sai dele.
A energia em um indutor é, na realidade, armazenada no campo magnético no interior da
bobina, assim como no caso da energia elétrica armazenada no interior de um capacitor. Vamos
considerar um caso simples: o solenóide toroidal ideal. Esse sistema possui a vantagem que seu
campo magnético fica confinado completamente no interior de seu núcleo. Vamos supor que a área
S de sua seção transversal seja suficientemente pequena para que possamos considerar o campo
magnético constante ao longo dessa área. O volume V de um solenóide toroidal é aproximadamente
igual ao comprimento da circunferência 2r multiplicado pela área S: V=2rS. A auto-indutância de
um solenóide toroidal com o vácuo no interior das suas espiras é
P  Vab i  L i
 o N2 S
2r
A energia U armazenada no solenóide toroidal quando passa uma corrente i através dele é
dada por
1
1  o N2 S 2
U  L i2 
i
2
2 2r
L
54
O campo magnético e, portanto, essa energia estão em um volume V=2rS no interior das
espiras. A energia por unidade de volume, ou densidade de energia magnética, é dada por u=U/V.
u
U
1
N2 i 2
 o
2r S 2
(2  r )2
Podemos expressar esse resultado em termos do módulo B do campo magnético dentro do
solenóide toroidal,
B
o N i
2r
e, portanto,
N2 i2
B2

(2  r )2  o2
Quando substituímos esse resultado na expressão de u obtida antes, finalmente encontramos
a expressão da densidade de energia magnética no vácuo:
u

B2
2 o
(densidade de energia magnética no vácuo)
Exemplos
1. Uma bobina de Tesla, que consiste em um solenóide longo de comprimento l = 0,50 m e uma
seção transversal de área S=10 cm2 possui N1=1000 espiras enroladas de modo compacto. Uma
bobina, com N2=10 espiras, é enrolada em seu centro. Determine a indutância mútua.
2. Um solenóide toroidal possui seção transversal com área 5 cm2, um raio 0,10 m e contém 200
espiras compactadas. Determine sua auto-indutância L. Suponha que B seja uniforme através da
seção transversal.
3. Determine a energia armazenada em uma bobina de 23 mH transportando uma corrente de 2,5
A. Em quantas vezes a corrente deve ser aumentada para que a energia armazenada seja
duplicada?
55

Materiais Magnéticos
Atualmente, os materiais magnéticos desempenham papel muito importante nas aplicações
tecnológicas do magnetismo. Nas aplicações tradicionais, como em motores, geradores,
transformadores, etc, eles são utilizados em duas categorias: os ímãs permanentes são aqueles que
têm a propriedade de criar um campo magnético constante; os materiais doces, ou permeáveis, são
aqueles que produzem um campo proporcional à corrente num fio nele enrolado, muito maior ao que
seria criado apenas pela corrente. A terceira aplicação tradicional dos materiais magnéticos, que
adquiriu grande importância nas últimas décadas, é a gravação magnética. Esta aplicação é baseada
na propriedade que tem a corrente numa bobina, na cabeça de gravação, em alterar o estado de
magnetização de um meio magnético próximo. Isto possibilita armazenar no meio a informação
contida num sinal elétrico. A recuperação, ou a leitura, da informação gravada, é feita,
tradicionalmente, através da indução de uma corrente elétrica pelo meio magnético em movimento
na bobina da cabeça de leitura. A gravação magnética é a melhor tecnologia da eletrônica para
armazenamento não-volátil de informação que permite re-gravação. Ela é essencial para o
funcionamento dos gravadores de som e de vídeo, de inúmeros equipamentos acionados por cartões
magnéticos, e tornou-se muito importante nos computadores.
As propriedades magnéticas das substâncias se devem a uma propriedade intrínseca dos
elétrons, seu spin (palavra em inglês que significa girar em torno de si mesmo). O spin é uma
propriedade quântica do elétron, mas pode ser interpretado, classicamente, como se o elétron
estivesse em permanente rotação em torno de um eixo, como o planeta Terra faz numa escala muita
maior. Como o elétron tem carga, ao spin está associado um momento magnético, o qual se
comporta como uma minúscula agulha magnética, tendendo a se alinhar na direção do campo
magnético a que está submetido. Nos átomos mais comuns o spin total é nulo, pois os elétrons
ocupam os orbitais satisfazendo o princípio de Linus Pauling, ora com o spin num sentido, ora no
outro. Entretanto, para certos elementos da tabela periódica, o spin total é diferente de zero, fazendo
com que o átomo tenha um momento magnético permanente. Este é o caso dos elementos do grupo
de transição do ferro, como níquel, manganês, ferro e cobalto, e vários elementos de terras raras,
como európio, gadolínio, etc. Os materiais formados por esses elementos ou suas ligas têm
propriedades que possibilitam suas aplicações tecnológicas.

Magnetização
A magnetização é definida como o momento de dipolo magnético por unidade de volume no
meio material:
m
M
V
A magnetização descreve o estado magnético de um meio ou de um material. Por exemplo,
se M=0 em todo o ponto de um meio, então, nenhum ponto desse meio tem momento de dipolo
magnético. Por outro lado, em um pedaço de aço magnetizado, o módulo da magnetização é grande
em toda a amostra. Constata-se que ela varia, por exemplo, se é imposto um campo magnético
externo ou se a temperatura varia. Vários materiais reagem de diferentes maneiras a alterações em
sua vizinhança. A maioria dos materiais se enquadra em uma das três categorias de comportamento
magnético: diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo.

Paramagnetismo
Em um átomo, muitos momentos magnéticos orbitais e de spin se somam produzindo uma
resultante igual a zero. Contudo, em alguns materiais, o átomo possui um momento magnético
resultante da ordem de m. Quando esse tipo de material é colocado em um campo magnético, o
campo exerce um torque sobre cada momento magnético. Estes torques tendem a alinhar os
momentos magnéticos com o campo, que é a posição correspondente a uma energia potencial
mínima. Nessa posição, o sentido de cada espira de corrente é tal que ela fornece um campo que se
soma com o campo magnético externo.
Dizemos que é paramagnético todo material que possui um comportamento análogo ao que
acabamos de descrever. O resultado é que o campo magnético no interior do material fica levemente
ampliado, em relação ao valor que existiria se ele fosse substituído pelo vácuo, por um fator
56
adimensional Km, conhecido como permeabilidade relativa do material ( K m   /  o ). A maioria dos
materiais são fracamente atraídas por campos magnéticos devido ao efeito paramagnético. Esses
efeitos são muito pequenos e não são percebidos em nossa experiência doméstica.

Diamagnetismo
O diamagnetismo é um tipo de magnetismo característico de materiais que se alinham em um
campo magnético não uniforme, e que parcialmente expelem de seu interior o campo magnético, no
qual eles estão localizadas. Através de estudos, Faraday concluiu que alguns elementos e quase
todos os compostos exibem esse magnetismo "negativo". De fato, todas as substâncias são
diamagnéticas: o forte campo magnético externo pode acelerar ou desacelerar os elétrons dos
átomos, como uma maneira de se opor à ação do campo externo em acordo com a Lei de Lenz. O
diamagnetismo de alguns materiais, no entanto, é mascarado por uma fraca atração magnética
(paramagnetismo) ou uma forte atração (ferromagnetismo). O diamagnetismo é observado em
substâncias com estrutura eletrônica simétrica (como por exemplo os cristais iônicos ou gases
nobres) e sem momento magnético permanente. Você nunca percebeu nem perceberá que o cobre é
repelido pelo ímã. O efeito é muito pequeno. O diamagnetismo não é afetado por mudanças na
temperatura.

Ferromagnetismo
O Ferromagnetismo é caracterizado por uma magnetização espontânea do material a
temperaturas abaixo de uma certa temperatura crítica. O ferro, o cobalto e o níquel são exemplos de
materiais ferromagnéticos. Este efeito é observado mesmo na ausência de um campo magnético
aplicado ao material em questão. Esta situação sugere que os spins dos átomos (ou moléculas) que
constituem o material tenham uma forte tendência a se alinhar uns aos outros, dando origem a um
momento magnético espontâneo. A situação está ilustrada esquematicamente na figura abaixo, no
caso de uma pequena rede bi-dimensional.
As setas na figura representam o spin do átomo (ou molécula).
Esta orientação espontânea tende a desaparecer gradualmente à medida que o sistema é
aquecido. Neste caso, os spins tendem a um estado de desordem. A temperatura crítica Tc para a
qual a magnetização espontânea desaparece, isto é, ocorre a transição entre "ordem" e "desordem",
é chamada Temperatura de Curie.
A permeabilidade relativa Km do material ferromagnético é muito maior do que 1, em geral da
ordem de 1000 até 100.000.
À medida que o campo magnético aumenta, por fim atinge-se um ponto para o qual quase
todos os momentos magnéticos do material ferromagnético estão alinhados com o campo magnético
externo. Essa condição é chamada de magnetização de saturação; depois de atingido esse ponto,
um aumento posterior do campo magnético externo não produz nenhum aumento da magnetização.
Para muitos materiais ferromagnéticos, a relação entre a magnetização e o campo magnético
externo quando o campo magnético aumenta é diferente da relação obtida quando ele diminui. A
figura a seguir mostra este tipo de comportamento para tal material. Quando o material é
magnetizado até atingir a saturação e a seguir o campo magnético é reduzido até zero, alguma
magnetização persiste. Esse comportamento é característico de um ímã, que mantém a maior parte
de sua magnetização de saturação quando o campo magnético é removido. Para reduzir a
magnetização até zero, é necessário aplicar um campo magnético em sentido contrário.
57
Esse tipo de comportamento denomina-se histerese e as curvas indicadas na figura a
seguir são chamadas de ciclos de histerese. A magnetização e a desmagnetização de um material
que possui histerese produz dissipação de energia e a temperatura do material aumenta durante o
processo.
Figura – Ciclos de histerese. Os materiais (a) e (b) permanecem fortemente magnetizados quando Bo
se reduz a zero. Visto que o material (a) dificilmente se desmagnetiza, ele seria bom para a
fabricação de um ímã permanente. Como o material (b) se magnetiza e desmagnetiza com
mais facilidade, ele seria indicado como material para a memória de um computador. O
material do tipo (c) seria útil para ser empregado no núcleo de transformadores e de outros
dispositivos que usam correntes alternadas para os quais uma histerese zero seria ideal.
Os materiais ferromagnéticos são largamente empregados em eletroímã, transformadores,
motores e geradores, nos quais é desejável a obtenção do mais elevado campo magnético possível
para uma dada corrente. Como a histerese produz dissipação de energia, os materiais usados
nessas aplicações devem possuir um ciclo de histerese o mais estreito possível. Geralmente, se
utiliza o ferro doce; ele possui elevada permeabilidade com uma pequena histerese, com um alto
valor de magnetização na ausência de campo externo e um campo inverso elevado para produzir
sua desmagnetização. Vários tipos de aço e muitas ligas, tal como a Alnico, são geralmente usadas
para a fabricação de ímãs. O campo remanescente nesses materiais, depois que são magnetizados
até as vizinhanças da saturação, é normalmente da ordem de 1 T, o que corresponde a uma
magnetização remanescente M  B /  o aproximadamente igual a 800.000 A/m.
Em geral, podemos classificar os materiais ferromagnéticos em dois grupos: materiais
ferromagnéticos duros (ímãs) e materiais ferromagnéticos moles ou doces. Uma das propriedades
que é utilizada para separar os dois tipos de ferromagnetismo é a coercividade, ou seja, o campo
necessário para levar a magnetização do material a zero. Embora não exista uma linha divisória
definida de maneira clara, assume-se que materiais ferromagnéticos que possuem uma coercividade
alta sejam duros, e aqueles que possuem coercividade baixa sejam classificados de moles ou doces.
Em geral, um material com uma coercividade maior que 104 A/m é duro, e um outro que tenha
coercividade menor que 500 A/m é doce.

Intensidade Magnética H
Em toda análise realizada até aqui, foi considerado que o campo magnético B era devido a
correntes macroscópicas em enrolamentos de um solenóide ou toróide, por exemplo. Desprezamos o
efeito de materiais vizinhos ao obtermos expressões para o campo magnético. O campo magnético
em um meio material pode apresentar dois tipos de contribuição. Uma delas é a contribuição devido
às correntes macroscópicas em solenóides ou toróides. Em alguns casos consideramos essa
contribuição do campo como um campo aplicado. A outra contribuição para B provém do meio
material. Descrevemos o efeito em termos da magnetização M no material. A corrente um uma
bobina, em geral, pode ser ajustada, mas a magnetização em um material não só depende de B,
como contribui para B. Assim, nem sempre é fácil determinar ou controlar B, particularmente para
materiais ferromagnéticos. Em um material ferromagnético, M e B dependem do tratamento prévio da
amostra.
58
Para determinar B e M, em geral convém introduzir outro campo. Esse campo vetorial é
representado pelo símbolo H e é chamado de intensidade magnética. Define-se pela expressão
H  B /  o  M ou, de maneira equivalente,
B   o (H  M)
onde H e M têm as mesmas dimensões; no S.I., a unidade de H é ampère por metro (A/m).
De acordo com esta equação, H e M (quando multiplicado por  o ) são as duas contribuições
para B. Consideremos essas contribuições para o caso simples do meio interior de um solenóide
longo, compactamente enrolado, conduzindo uma corrente i. Admitimos que não só os efeitos nos
extremos como a magnetização do enrolamento do solenóide possam ser desprezados.
Suponhamos primeiro que o núcleo de um solenóide seja o vácuo. Como a magnetização M=0 para
o vácuo, a equação anterior mostra que B   oH , ou H  B /  o , neste caso. Tanto o campo
magnético B como a intensidade magnética H são uniformes dentro do solenóide e possuem a
direção do seu eixo. Pela equação B   oni , onde n é o número de espiras por unidade de
comprimento, temos o módulo da intensidade magnética que é H  B /  o  ni . Concluímos que H no
interior do solenóide é devido à corrente no enrolamento. Note que H pode ser ajustada
experimentalmente fazendo-se variar a corrente no solenóide.
Suponhamos agora que o espaço no interior do solenóide esteja preenchido com algum
material e que a corrente i no solenóide seja ajustada para ter o mesmo valor que antes. Para essa
geometria, H no material é a mesma para o vácuo. Isto é, a intensidade magnética H no interior de
um solenóide ideal é determinada apenas pela corrente no solenóide. O campo magnético B no
material, entretanto, é diferente do caso do vácuo em razão da contribuição da magnetização M.
Como a intensidade magnética H pode ser determinada a partir da corrente i no solenóide,
pode-se calcular o campo magnético B   o (H  M) , desde que se conheça M. Em um material
diamagnético ou paramagnético linear típico, M e B são proporcionais. Então, H e B também são
proporcionais em tais substâncias. A relação linear entre H e B é
B  H
onde  é a permeabilidade magnética do material. Para o vácuo, M=0, de modo que B   oH e
  o .
Considerando a lei de Ampére sem a corrente de deslocamento e a intensidade magnética H,
obtemos uma outra maneira de expressar a integral,
 
H
 .d l  iC
Material diamagnético:  é ligeiramente menor que  o . O bismuto, uma das substâncias
mais diamagnéticas, tem uma permeabilidade magnética   0,99983  o . Para a maioria das
aplicações práticas, podem-se desprezar os efeitos diamagnéticos.
Material paramagnético: para muitas substâncias paramagnéticas em uma ampla faixa de
temperatura,  é ligeiramente maior do que  o . Por exemplo,   1,00026  o para a platina a 293 K.
Como    o sob tais condições, podem-se desprezar os efeitos paramagnéticos na determinação de
B, isto é, B  H   oH . Já em outras circunstâncias, especialmente a baixas temperaturas, os
efeitos paramagnéticos são importantes.
Material ferromagnético: em um material ferromagnético, não há linearidade entre M, H e B.
Embora possamos relacionar H e B, o valor de  não é característico do material, mas depende do
tratamento prévio da amostra.

Equações de Maxwell
Todas as equações envolvendo campos elétrico e magnético e suas respectivas fontes são
reunidas, constituindo um conjunto de quatro equações, conhecidas como equações de Maxwell. Ele
59
não formulou essas equações, porém as reuniu e explicou o significado delas, particularmente ao
prever a existência de ondas eletromagnéticas.
Duas das equações de Maxwell envolvem integrais de E e de B sobre uma superfície
fechada. A primeira é simplesmente a lei de Gauss para o campo elétrico, que afirma que a integral
de superfície de E  sobre qualquer superfície fechada é igual a 1/  o vezes a carga total Qinte
existente no interior da superfície fechada considerada:
  Q
int e
E
 .dA  o

(lei de Gauss para E )
A segunda é a relação análoga para o campo magnético, que afirma que a integral de
superfície de B  sobre qualquer superfície fechada é igual a zero:


 B.dA  0

(lei de Gauss para B )
O enunciado anterior equivale a dizer, entre outras coisas, que não existem monopolos
magnéticos (polos magnéticos isolados) que funcionem como fontes de campos magnéticos.
A terceira equação é a lei de Ampère incluindo a corrente de deslocamento. Ela afirma que
existem duas fontes de campos magnéticos, a corrente de condução ic e a corrente de deslocamento
 o d E / dt , onde  E é o fluxo elétrico:
 
dE
B
 .d l  o (iC  o dt )int e
(lei de Ampère)
A quarta equação é a lei de Faraday. Ela afirma que um fluxo magnético variável ou um
campo magnético variável induz um campo elétrico:
 
d B
E
 .d l   dt
(lei de Faraday)
Quando existe um fluxo magnético variável, a integral de linha da equação anterior não é
igual a zero, o que mostra que o campo E produzido por um fluxo magnético variável não é
conservativo.