Prova Final - Dr Andrei Toom

UFPE, 2o semestre de 2003. Curso ET-584, “Probabilidade 4”.
Professor André Toom
Prova Final
Problema 1.
1a) Num sistema de coordenadas desenhar os gráficos de funções
2
f (x) = ex e g(x) = 2e(x − 1) + 1 . (10 pontos)
2
1b) Provar que ex ≥ 2e(x − 1) + 1 para todos x reais. (10 pontos)
Problema 2. Temos duas seqüências xn e yn de números reais tais que xn n→∞→ 0
e yn n→∞→ 0 e xn > 0 e yn > 0 para todos n . Definimos mais uma seqüência
zn = (xn − yn )/(xn + yn ).
2a) Pode ser que zn n→∞→ 3 ? (10 pontos)
2b) Pode ser que zn n→∞→ 1 ? (10 pontos)
2c) Pode ser que zn n→∞→ 0 ? (10 pontos)
2d) Pode ser que zn n→∞→ −1/2 ? (10 pontos)
Em cado caso: se pode, apresentar um exemplo. Senão, provar.
Problema 3. Há uma seqüência de moedas M1 , M2 , M3 , . . . Quando moeda Mn
for lançada, mostra cara com probabilidade n2 /(n2 + 1) e coroa com probabilidade
1/(n2 + 1) . Lançamos todas moedas uma vez.
3a) O que é probabilidade que todas moedas mostram caras? Poe que? (10 pontos)
3b) O que é probabilidade que todas moedas mostram coroas? Por que? (10 pontos)
3c) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram caras é infinito?
Por que? (10 pontos)
3d) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram coroas é infinito?
Por que? (10 pontos)
3e) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram caras é finito?
Por que? (10 pontos)
3f) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram coroas é finito?
Por que? (10 pontos)
Problema 4. Variável aleatória X é distrubuida uniformemente em [0, 1] . Definimos
√
uma seqüência de variáveis aleatórias Xn = n X para n = 1, 2, 3, . . . .
4a) Escrever a formula de FXn função acumulada de FXn . (10 pontos)
4b) Num sistema de coordenadas desenhar os gráficos de funções acumuladas FX ,
FX1 e FX2 . (10 pontos)
UFPE, 2o semestre de 2003. Curso ET-584, “Probabilidade 4”.
Professor André Toom
Prova Final, versão 2
Problema 1.
1a) Num sistema de coordenadas desenhar os gráficos de funções
2
f (x) = ex e g(x) = 2e(x − 1) + 1 . (10 pontos)
2
1b) Provar que ex ≥ 2e(x − 1) + 1 para todos x reais. (10 pontos)
Problema 2. Temos duas seqüências xn e yn de números reais tais que xn n→∞→ 0
e yn n→∞→ 0 e xn > 0 e yn > 0 para todos n . Definimos mais uma seqüência
zn = (xn + yn )/(xn − yn ).
2a) Pode ser que zn n→∞→ 3 ? (10 pontos)
2b) Pode ser que zn n→∞→ 1 ? (10 pontos)
2c) Pode ser que zn n→∞→ 0 ? (10 pontos)
2d) Pode ser que zn n→∞→ −1/2 ? (10 pontos)
Em cado caso: se pode, apresentar um exemplo. Senão, provar.
Problema 3. Há uma seqüência de moedas M1 , M2 , M3 , . . . Quando moeda Mn
for lançada, mostra cara com probabilidade n2 /(n2 + 1) e coroa com probabilidade
1/(n2 + 1) . Lançamos todas moedas uma vez.
3a) O que é probabilidade que todas moedas mostram caras? Poe que? (10 pontos)
3b) O que é probabilidade que todas moedas mostram coroas? Por que? (10 pontos)
3c) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram caras é infinito?
Por que? (10 pontos)
3d) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram coroas é infinito?
Por que? (10 pontos)
3e) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram caras é finito?
Por que? (10 pontos)
3f) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram coroas é finito?
Por que? (10 pontos)
Problema 4. Variável aleatória X é distrubuida uniformemente em [0, 1] . Definimos
uma seqüência de variáveis aleatórias Xn = X n para n = 1, 2, 3, . . . .
4a) Escrever a formula de FXn função acumulada de FXn . (10 pontos)
4b) Num sistema de coordenadas desenhar os gráficos de funções acumuladas FX ,
FX1 e FX2 . (10 pontos)