Prova Final - Dr Andrei Toom
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UFPE, 2o semestre de 2003. Curso ET-584, “Probabilidade 4”. Professor André Toom Prova Final Problema 1. 1a) Num sistema de coordenadas desenhar os gráficos de funções 2 f (x) = ex e g(x) = 2e(x − 1) + 1 . (10 pontos) 2 1b) Provar que ex ≥ 2e(x − 1) + 1 para todos x reais. (10 pontos) Problema 2. Temos duas seqüências xn e yn de números reais tais que xn n→∞→ 0 e yn n→∞→ 0 e xn > 0 e yn > 0 para todos n . Definimos mais uma seqüência zn = (xn − yn )/(xn + yn ). 2a) Pode ser que zn n→∞→ 3 ? (10 pontos) 2b) Pode ser que zn n→∞→ 1 ? (10 pontos) 2c) Pode ser que zn n→∞→ 0 ? (10 pontos) 2d) Pode ser que zn n→∞→ −1/2 ? (10 pontos) Em cado caso: se pode, apresentar um exemplo. Senão, provar. Problema 3. Há uma seqüência de moedas M1 , M2 , M3 , . . . Quando moeda Mn for lançada, mostra cara com probabilidade n2 /(n2 + 1) e coroa com probabilidade 1/(n2 + 1) . Lançamos todas moedas uma vez. 3a) O que é probabilidade que todas moedas mostram caras? Poe que? (10 pontos) 3b) O que é probabilidade que todas moedas mostram coroas? Por que? (10 pontos) 3c) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram caras é infinito? Por que? (10 pontos) 3d) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram coroas é infinito? Por que? (10 pontos) 3e) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram caras é finito? Por que? (10 pontos) 3f) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram coroas é finito? Por que? (10 pontos) Problema 4. Variável aleatória X é distrubuida uniformemente em [0, 1] . Definimos √ uma seqüência de variáveis aleatórias Xn = n X para n = 1, 2, 3, . . . . 4a) Escrever a formula de FXn função acumulada de FXn . (10 pontos) 4b) Num sistema de coordenadas desenhar os gráficos de funções acumuladas FX , FX1 e FX2 . (10 pontos) UFPE, 2o semestre de 2003. Curso ET-584, “Probabilidade 4”. Professor André Toom Prova Final, versão 2 Problema 1. 1a) Num sistema de coordenadas desenhar os gráficos de funções 2 f (x) = ex e g(x) = 2e(x − 1) + 1 . (10 pontos) 2 1b) Provar que ex ≥ 2e(x − 1) + 1 para todos x reais. (10 pontos) Problema 2. Temos duas seqüências xn e yn de números reais tais que xn n→∞→ 0 e yn n→∞→ 0 e xn > 0 e yn > 0 para todos n . Definimos mais uma seqüência zn = (xn + yn )/(xn − yn ). 2a) Pode ser que zn n→∞→ 3 ? (10 pontos) 2b) Pode ser que zn n→∞→ 1 ? (10 pontos) 2c) Pode ser que zn n→∞→ 0 ? (10 pontos) 2d) Pode ser que zn n→∞→ −1/2 ? (10 pontos) Em cado caso: se pode, apresentar um exemplo. Senão, provar. Problema 3. Há uma seqüência de moedas M1 , M2 , M3 , . . . Quando moeda Mn for lançada, mostra cara com probabilidade n2 /(n2 + 1) e coroa com probabilidade 1/(n2 + 1) . Lançamos todas moedas uma vez. 3a) O que é probabilidade que todas moedas mostram caras? Poe que? (10 pontos) 3b) O que é probabilidade que todas moedas mostram coroas? Por que? (10 pontos) 3c) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram caras é infinito? Por que? (10 pontos) 3d) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram coroas é infinito? Por que? (10 pontos) 3e) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram caras é finito? Por que? (10 pontos) 3f) O que é probabilidade que o conjunto de moedas quais mostram coroas é finito? Por que? (10 pontos) Problema 4. Variável aleatória X é distrubuida uniformemente em [0, 1] . Definimos uma seqüência de variáveis aleatórias Xn = X n para n = 1, 2, 3, . . . . 4a) Escrever a formula de FXn função acumulada de FXn . (10 pontos) 4b) Num sistema de coordenadas desenhar os gráficos de funções acumuladas FX , FX1 e FX2 . (10 pontos)
