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MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA P/ ISS-TERESINA
Prof. Arthur Lima
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA
Caro aluno,
Disponibilizo abaixo a resolução das questões de Matemática Financeira e
Estatística da prova para o cargo de Auditor Fiscal da Receita Estadual do Piauí
(Auditor da SEFAZ/PI). Esta prova ocorreu em 2015, foi aplicada pela banca FCC, e
o seu edital foi praticamente idêntico ao do ISS/Teresina 2016. Portanto, trata-se
de um ótimo treino!
Caso você tenha alguma dúvida, basta me procurar no Facebook:
www.facebook.com/ProfArthurLima
Faça uma excelente preparação!
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FCC – SEFAZ/PI – 2015) Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram
descontados em um banco, com taxa de desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o
valor nominal do primeiro título era o dobro do valor nominal do segundo. Para o
primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o segundo, a
de desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então,
o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi
(A) R$ 3.965,00
(B) R$ 9.285,00
(C) R$ 3.035,00
(D) R$ 3.500,00
(E) R$ 3.830,00
RESOLUÇÃO:
Sendo M o valor nominal do segundo título, podemos dizer que o do primeiro
é 2M, ou seja, o dobro. Assim, temos os valores atuais:
A1 = N x (1 – j x t) = 2M x (1 – 4% x 3) = 2M x 0,88 = 1,76M
A2 = N / (1 + j x t) = M / (1 + 4% x 3) = M / 1,12 = 0,89M (aproximadamente)
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Os descontos são tais que:
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D1 + D2 = 1215
(N1 – A1) + (N2 – A2) = 1215
(2M – 1,76M) + (M – 0,89M) = 1215
0,35M = 1215
M = 3471,43 reais
Logo, a diferença entre os valores líquidos é:
A1 – A2 =
1,76M – 0,89M =
0,87M =
0,87 x 3471,43 =
3020,14 reais
RESPOSTA: C
(aproximadamente o valor da alternativa C)
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um capital de R$ 14.700,00 foi aplicado a juro simples da
seguinte forma:



1
à taxa de 6% ao mês por um trimestre;
3
2
à taxa de 13% ao bimestre por 5 meses e
5
o restante à taxa de x% ao bimestre por 1 semestre.
O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Se um capital de R$ 18.000,00 for aplicado
a juros compostos, à taxa de x% ao bimestre, por um período de 4 meses, o montante
dessa aplicação será
(A) R$ 20.608,20
(B) R$ 23.594,33
(C) R$ 19.260,00
(D) R$ 19.945,95
(E) R$ 20.520,00
RESOLUÇÃO:
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Lembrando que devemos sempre utilizar a mesma unidade temporal para a
taxa e prazo, nessa questão vamos substituir um trimestre por 3 meses, 5 meses por
2,5 bimestre e um semestre por 3 bimestres, de modo a deixar os prazos de cada
aplicação na mesma unidade temporal das respectivas taxas. Note que o valor
investido na última aplicação é igual a:
14.700 - (1/3)x14.700 - (2/5)x14.700 =
14.700 - 4.900 - 5.880 =
3.920
Como estamos no regime de juros simples podemos utilizar a fórmula
J=
C.j.t calcular o valor dos juros de cada aplicação, lembrando que a soma deles é
igual a 3616,20 reais:
J = 4.900 x 6% x 3 + 5.880 x 13% x 2,5 + 3.920 x j x 3
3.616,20 = 882 + 1.911 + 11.760j
3.616,20 - 882 - 1.911 = 11.760j
(3.616,20 - 882 - 1.911) / 11.760 = j
0,07 = j
7% ao bimestre = j
Aplicando o valor de 18 mil reais à taxa de 7% ao bimestre pelo período de 4
meses, ou seja, 2 bimestres, o montante obtido será igual a:
M = C x (1 + j)t
M = 18.000 x (1 + 7%)2
M = 18.000 x 1,1449
RESPOSTA: A
M = 20.608,20 reais
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um capital C foi aplicado a juros compostos, à taxa de 5%
ao mês. Ao completar 1 bimestre, seu montante foi resgatado e imediatamente
aplicado a juro simples, à taxa de 6% ao mês. Ao fim de 1 semestre da segunda
aplicação, o montante M era de R$ 14.994,00. Suponha que, desde o início, o capital
C tivesse sido aplicado a juro simples, à taxa mensal i, de modo que o montante final
fosse igual a M. Dos números abaixo, o mais próximo de i é
(A) 6,4%
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(B) 6,5%
(C) 6,1%
(D) 6,2%
(E) 6,3%
RESOLUÇÃO:
Efetuando as aplicações descritas no enunciado, temos:
M1 = C x (1 + 5%)2 = C x 1,1025 = 1,1025C
M2 = (1,1025C) x (1 + 6% x 6) = 1,1025C x 1,06 = 1,4994C
Este último montante é igual a 14.994 reais, ou seja,
14.994 = 1,4994C
C = 14.994 / 1,4994
C = 10.000 reais
Veja que aplicamos 10.000 no início, e obtivemos 14.994 reais ao fim das duas
aplicações, de modo que o total de juros é J = 4.994 reais. Para obter estes juros em
uma única aplicação de juros simples pelo período total (8 meses), a taxa seria:
J=Cxjxt
4.994 = 10.000 x j x 8
4.994 / 10.000 = j x 8
0,4994 = j x 8
0,4994 / 8 = j
0,0624 = j
RESPOSTA: D
6,24% ao mês = j
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um investidor aplicou um capital de R$ 10.000,00 e
resgatou o total de R$ 13.600,00 ao fim de 1 semestre. Se, nesse período, a taxa real
de juros foi de 32%, então, dos valores seguintes, o que mais se aproxima da taxa de
inflação do período é
(A) 3%
(B) 2,5%
(C) 4,5%
(D) 4%
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(E) 3,5%
RESOLUÇÃO:
Veja que tivemos um ganho de 13.600 - 10.000 = 3.600 reais no período. Este
é o ganho aparente ou nominal. Percentualmente ele é igual a:
jn = 3.600 / 10.000 = 0,36 = 36%
assim:
Como a taxa de juros real foi igual a 32% no período, podemos obter a inflação
(1 + jreal) = (1 + jn) / (1 + i)
(1 + 32%) = (1 + 36%) / (1 + i)
1,32 = 1,36 / (1 + i)
1 + i = 1,36 / 1,32
1 + i = 1,0303
i = 1,0303 - 1
i = 0,0303
RESPOSTA: A
i = 3,03%
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Considere a tabela abaixo, com taxa de 4% ao período.
Use somente duas casas decimais em seus cálculos.
Nessa tabela, tem-se que o fator de acumulação de capital para pagamento único é
dado por (1+ i )n , o fator de valor atual de uma série de pagamentos é dado por
(1  i )n  1
e o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos é dado por
i.(1  i) n
(1  i )n  1
.
i
Um empresário tomou em um banco um empréstimo no valor de R$ 94.550,00, a ser
pago em 36 meses. Será utilizado o Sistema Francês de Amortização, à taxa de 4%
ao mês, com parcelas mensais e consecutivas, a primeira vencendo um mês após a
data do contrato. Sobre a terceira prestação desse empréstimo, é verdade que
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(A) ela difere de R$ 100,00 da segunda prestação.
(B) ao ser paga, ela deixa um saldo devedor de R$ 93.500,00.
(C) seu valor é de R$ 5.200,00.
(D) sua cota de amortização é R$ 1.266,22.
(E) sua parcela de juros é R$ 3.682,61.
RESOLUÇÃO:
No sistema francês de amortização temos uma série de pagamentos iguais.
Observe na tabela fornecida que para 36 períodos o fator de valor atual de uma série
de pagamentos é igual a 18,91. Assim, podemos escrever que:
VP = P x a(n,j)
94.550 = P x 18,91
P = 94.550 / 18,91
P = 5.000 reais
Portanto teremos 36 prestações iguais a 5 mil reais. Isso nos permite excluir
a alternativa que diz que a terceira prestação é igual a 5.200 reais.
Para chegar até a terceira prestação devemos calcular juros incorridos em
cada mês, a amortização efetuada em cada mês,
pagamento de cada prestação. Veja:
e o saldo devedor após o
J1 = 4% x 94.550 = 3.782
A1 = 5.000 - 3.782 = 1.218
Novo saldo devedor = 94.550 - 1.218 = 93.332
J2 = 4% x 93.332 = 3.733,28
A2 = 5.000 - 3.733,28 = 1.266,72
Novo saldo devedor = 93.332 - 1.266,72 = 92.065,28
J3 = 4% x 92.065,28 = 3.682,61
A3 = 5.000 - 3.682,61 = 1.317,38 reais
Com base nos valores calculados você pode observar que a única alternativa
correta é aquela que diz que a parcela de juros da 3ª prestação é igual a 3.682,61
reais.
RESPOSTA: E
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FCC – SEFAZ/PI – 2015) Uma pessoa deve a um credor três parcelas mensais
consecutivas de mesmo valor nominal R$ 1.000,00 cada, a primeira a vencer daqui a
30 dias. Deseja hoje substituí-las por dois pagamentos iguais entre si, um com
vencimento para daqui a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o critério
do desconto racional composto, com taxa de 5% ao mês, o valor X de cada uma
dessas duas prestações, em reais, é tal que
(A) 1 585 < X < 1 590
(B) 1 570 < X < 1 575
(C) 1 590 < X < 1 595
(D) 1 575 < X < 1 580
(E) 1 580 < X < 1 585
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de P o valor de cada uma das duas prestações que serão
utilizadas em substituição ao esquema de pagamentos original.
Veja que para
comparar os dois esquemas de pagamentos precisamos levar todas as prestações
para a mesma data. Uma possibilidade todos os pagamentos para a data t = 4 meses.
Para fazer isso devemos multiplicar cada valor por 1 + 5%, ou seja, 1,05, quantas
vezes for necessário para levar até a data focal que decidimos.
podemos igualar os valores das duas séries de pagamentos:
Fazendo isso
P + Px1,052 = 1.000x1,053 + 1.000x1,052 + 1.000x1,051
P + Px1,1025 = 1.157,625 + 1.102,5 + 1.050
2,1025P = 1.157,625 + 1.102,5 + 1.050
P = (1.157,625 + 1.102,5 + 1.050) / 2,1025
RESPOSTA: B
P = 1.574,37 reais
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Uma pessoa contraiu uma dívida a ser paga pelo Sistema
de Amortização Constante − SAC em 40 prestações mensais e consecutivas. Se a
primeira prestação, que vence ao completar um mês da data do empréstimo, é de R$
3.000,00 e a décima é igual a R$ 2.550,00, então a última prestação é de
(A) R$ 1.150,00
(B) R$ 1.200,00
(C) R$ 1.000,00
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(D) R$ 1.050,00
(E) R$ 1.100,00
RESOLUÇÃO:
Vamos chamar de A o valor de cada uma das parcelas de amortização a serem
pagas.
Portanto como temos 40 prestações o valor total da dívida assumida
inicialmente é igual a 40A.
Chamando de j
a taxa de juros mensal deste
financiamento podemos dizer que no primeiro período os juros incidentes são iguais
40Axj, de modo que a primeira prestação é:
P=A+J
3.000 = A + 40Axj
Imediatamente antes da 10ª prestação sabemos que já foram amortizadas 9
cotas iguais a A, sobrando o saldo devedor de 40A - 9A = 31A. Durante o décimo
período esse saldo devedor rende juros que totalizam 31Axj. Desse modo a 10ª
prestação é igual a:
P=A+J
2.550 = A + 31Axj
com:
Subtraindo esta segunda equação daquela primeira equação obtida ficamos
3.000 - 2.550 = (A + 40Aj) - (A + 31Aj)
450 = 9Aj
450 / 9 = Aj
50 = Aj
Substituindo em uma das equações podemos obter o valor da amortização
mensal:
3.000 = A + 40Aj
3.000 = A + 40x50
3.000 = A + 2.000
3.000 - 2.000 = A
1.000 = A
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No início do último período o saldo devedor é igual somente a última cota de
amortização (A), rendendo juros iguais a Axj neste último período, de modo que a
parcela final a ser paga é igual a:
P=A+J
P = A + Aj
P = 1.000 + 50
RESPOSTA: D
P = 1.050 reais
FCC – SEFAZ/PI – 2015) No fluxo de caixa abaixo, a taxa interna positiva de retorno
é de 20% ao ano.
O valor de K é
(A) R$ 3.896,00
(B) R$ 5.000,00
(C) R$ 117,84
(D) R$ 260,00
(E) R$ 714,00
RESOLUÇÃO:
Sabemos que o valor presente líquido desse fluxo de caixa é igual a zero
quando utilizamos a taxa interna de retorno, ou seja, j = 20% ao ano. Assim:
VPL = 3K / 1,2 + (4K – 128) / 1,22 – (5K + 1300)
0 = 3K / 1,2 + (4K – 128) / 1,22 – (5K + 1300)
Multiplicando todos os valores por 1,22 ficamos com:
0 = 3K x 1,2 + (4K – 128) – (5K + 1300)x1,22
(5K + 1300)x1,22 = 3K x 1,2 + (4K – 128)
(5K + 1300)x1,44 = 3K x 1,2 + (4K – 128)
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7,2K + 1.872 = 3,6K + 4K – 128
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2000 = 0,4K
2000 / 0,4 = K
RESPOSTA: B
5.000 = K
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Na tabela abaixo, têm-se os fluxos de caixa de dois projetos,
A e B.
Sabe-se que a taxa mínima de atratividade é de 20% e os valores presentes líquidos
dos dois projetos são iguais. Nessas condições, o valor de E é, em reais,
(A) 5.170,00
(B) 5.832,17
(C) 4.485,60
(D) 4.533,00
(E) 4.965,00
RESOLUÇÃO:
Igualando os dois fluxos de caixa, usando a taxa j = 20% ao ano, temos:
4.998/1,2 + 6.192/1,22 – 8.000 = 4.020/1,2 + E/1,22 – 6.000
4.998/1,2 + 6.192/1,44 – 8.000 = 4.020/1,2 + E/1,44 – 6.000
4.165 + 4.300 – 8.000 = 3.350 + E/1,44 – 6.000
3.115 = E / 1,44
E = 4.485,60 reais
Note, entretanto, que foi preciso assumir que a taxa fornecida (20%) era AO
ANO, pois isso não foi explicitado pelo enunciado. Há, entretanto, uma noção implícita
dessa periodicidade, visto que a tabela fornecida apresenta os prazos em anos.
Assim, creio que seja difícil anular essa questão.
RESPOSTA: C
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Instruções: Se Z tem distribuição normal padrão, então:
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P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z <
2) = 0,977.
Uma auditoria feita em uma grande empresa considerou uma amostra aleatória de 64
contas a receber. Se a população de onde essa amostra provém é infinita e tem
distribuição normal com desvio padrão igual a R$ 200,00 e média igual a R$ 950,00,
a probabilidade da variável aleatória média amostral, usualmente denotada por X,
estar situada entre R$ 980,00 e R$ 1.000,00 é dada por
(A) 28,5%
(B) 47,7%
(C) 86,2%
(D) 18,4%
(E) 9,2%
RESOLUÇÃO:
Efetuando a transformação:
Z1 
Z2 
Assim,
980  950
 1, 2
200
64
1000  950
2
200
64
P(980<X<1.000) =
P(1,2<Z<2) =
P(Z<2) – P(Z<1,2) =
0,977 – 0,885 =
0,092 =
RESPOSTA: E
9,2%
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Instruções: Se Z tem distribuição normal padrão, então:
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z <
2) = 0,977.
Atenção:
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O efeito do medicamento A é o de baixar a pressão arterial de indivíduos hipertensos.
O tempo, em minutos, decorrido entre a tomada do remédio e a diminuição da pressão
é uma variável aleatória X com distribuição normal, tendo média µ e desvio padrão 
.
Uma amostra aleatória de n indivíduos hipertensos foi selecionada com o objetivo de
se estimar µ. Supondo que o valor de  é 10 min, o valor de n para que o estimador
não se afaste de µ por mais do que 2 min, com probabilidade de 89%, é igual a
(A) 49
(B) 64
(C) 36
(D) 100
(E) 81
RESOLUÇÃO:
Queremos encontrar um valor Z0 tal que P(-Z0 < Z < Z0) = 89%. Ou seja,
devemos retirar 11% da curva normal, ou melhor, 5,5% de cada lado. Assim,
precisamos de um Z0 tal que P(Z<Z0) = 100% - 5,5% = 94,5% = 0,945. Foi fornecido
o valor P(Z<1,6) = 0,945. Logo, temos Z0 = 1,6.
temos:
Assim, com o erro aceitável d = 2 minutos, e o desvio padrão de 10 minutos,
 Z .   1, 6.10 
n
 
  64
 d   2 
2
RESPOSTA: B
2
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Instruções: Se Z tem distribuição normal padrão, então:
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z <
2) = 0,977.
Atenção:
O efeito do medicamento A é o de baixar a pressão arterial de indivíduos hipertensos.
O tempo, em minutos, decorrido entre a tomada do remédio e a diminuição da pressão
é uma variável aleatória X com distribuição normal, tendo média µ e desvio padrão 
.
Se o valor de µ é de 56 min e o valor de  é de 10 min, a probabilidade de X estar
compreendido entre 52 min e 74 min é igual a
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(A) 30,9%
(B) 56,0%
(C) 61,9%
(D) 52,4%
(E) 64,5%
RESOLUÇÃO:
Temos:
Z1 = (52 – 56) / 10 = -0,4
Z2 = (74 – 56) / 10 = 1,8
Portanto,
P(52min < X < 74min) =
P(-0,4 < Z < 1,8) =
P(Z<1,8) – P(Z<-0,4)
Veja que P(Z<1,8) = 0,964, como foi fornecido. E também veja que
P(Z<0,4)
= 0,655, de modo que P(Z>0,4) = 1 – 0,655 = 0,345. Pela simetria da curva normal,
P(Z<-0,4) = P(Z>0,4) = 0,345. Logo,
P(Z<1,8) – P(Z<-0,4) =
0,964 – 0,345 =
0,619 =
61,9%
RESPOSTA: C
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um relatório, redigido por um auditor de um órgão público,
tem 2 capítulos com 40 páginas cada. Esse relatório apresenta uma média de 1 erro
ortográfico a cada 10 páginas. Considere que:
I. a variável X que representa o número de erros por página tem distribuição de
Poisson com média 0,1;
II. existe independência entre os eventos número de erros ortográficos do capítulo 1
e número de erros ortográficos do capítulo 2.
Nessas condições, a probabilidade de que pelo menos um dos capítulos possua no
máximo um erro ortográfico é igual a
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Dados: e-0,1 = 0,905
13
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e-2
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= 0,135
e-4 = 0,018
(A) 0,1800
(B) 0,1815
(C) 0,0180
(D) 0,1719
(E) 0.0164
RESOLUÇÃO:
Como temos uma média de 1 erro a cada 10 páginas, em 40 páginas é
esperado obter 4 erros, ou seja,   4 . Na distribuição Poisson,
f (k ) 
e   . k
k!
Assim, as probabilidades de obter 0 erros ou 1 erro em um capítulo são:
f (0) 
f (1) 
e 4 .40
 e 4  0, 018
0!
e 4 .41
 4e4  4  0, 018  0, 072
1!
Para que "pelo menos um dos capítulos possua no máximo um erro
ortográfico", basta que um dos capítulos possua 0 erro ou 1 erro, ainda que o outro
tenha mais erros. Assim podemos somar as probabilidades de encontrar um ou
nenhum erro em cada capítulo, mas devemos subtrair aqueles casos onde temos
nenhum erro nos dois capítulos ou apenas um erro nos dois capítulos:
Probabilidade = P(0 erro no cap. 1) + P(1 erro no cap. 1) + P(0 erro no cap. 2) + P(1
erro no cap. 2) - P(0 erro nos dois cap.) - P(1 erro nos dois cap.) - P(0 erro no
primeiro e 1 erro no segundo) - P(1 erro no primeiro e 0 erro no segundo)
Probabilidade = 0,018 + 0,072 + 0,018 + 0,072 - 0,072x0,072 - 0,018x0,018 0,018x0,072 - 0,072x0,018
RESPOSTA: D
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Probabilidade = 0,1719
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MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA P/ ISS-TERESINA
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FCC – SEFAZ/PI – 2015) Sabe-se que uma urna contém uma proporção de p bolas
pretas e de (1 - p) bolas brancas. O valor de p é desconhecido, mas sabe-se que é
3/5 ou é 1/2. A fim de se chegar a uma conclusão, seleciona-se ao acaso e com
reposição 10 bolas da urna e observa-se o número de bolas pretas. Um teste de
hipóteses é proposto, esse considera testar a hipótese nula H0: p = 1/2 contra a
hipótese alternativa Ha: p = 3/5. Se o teste rejeitar H0 quando pelo menos 8 bolas
pretas forem encontradas, o nível de significância do teste é igual a
(A) 7/128
(B) 17/256
(C) 25/512
(D) 15/256
(E) 9/128
RESOLUÇÃO:
O nível de significância é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula mesmo
quando ela é correta. Ou seja, é a probabilidade de obtermos 8, 9 ou 10 bolas pretas
( o que nos faria rejeitar a hipótese nula conforme foi proposto o teste de hipótese)
quando o valor p fosse igual 1/2 ( ou seja quando a hipótese nula estava correta).
Calculando a probabilidade de obter 8, 9 ou 10 bolas pretas, considerando p = 1/2, e
observando a fórmula da distribuição binomial, temos:
Probabilidade = C(10,8)x(1/2)8x(1/2)2 + C(10,9)x(1/2)9x(1/2)1 +
C(10,10)x(1/2)10x(1/2)0
Probabilidade = 45x(1/2)10 + 10x(1/2)10 + 1x(1/2)10
Probabilidade = 56x(1/2)10
Probabilidade = 56x1/1024
RESPOSTA: A
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Probabilidade = 56/1024 = 7/128
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FCC – SEFAZ/PI – 2015) A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências
relativas dos valores cobrados, em reais, do Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU)
em determinado município no ano de 2014.
Sabe-se que o valor da mediana desses dados, calculado pelo método da
interpolação linear, é igual a R$ 1.250,00. Nessas condições, o valor médio do IPTU,
calculado considerando que todos os valores incluídos num intervalo de classe são
coincidentes com o ponto médio do intervalo, é, em reais, igual a
(A) 1.240,00
(B) 1.275,00
(C) 1.260,00
(D) 1.280,00
(E) 1.320,00
RESOLUÇÃO:
Veja que:
100% = x + 0,20 + 0,40 + y + 0,10
1= x + y + 0,70
y = 0,30 – x
Fazendo a interpolação linear na classe mediana:
Valores:
|---------------------------|-------------------------|
Frequências:
|---------------------------|-------------------------|
1000
1250
1400
0,2+x
0,50
0,6+x
(1250 – 1000) / (1400 – 1000) = (0,50 – 0,2 – x) / (0,6 + x – 0,2 – x)
250 / 400 = (0,3 – x) / (0,4)
0,4 x 250 / 400 = 0,3 – x
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x = 0,3 – 0,4 x 250 / 400
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x = 0,3 – 0,25
x = 0,05
Logo, y = 0,3 – x = 0,3 – 0,05 = 0,25. Assim, a média é:
Média = 0,05x400 + 0,2x800 + 0,4x1200 + 0,25x1600 + 0,1x2000
Média = 1260
RESPOSTA: C
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um estudo mostra que 20% de todos os candidatos que
estão prestando determinado concurso público possuem doutorado em determinada
área do conhecimento. Selecionando-se ao acaso e com reposição 4 desses
candidatos, a probabilidade de que exatamente 2 possuam doutorado é igual a
(A) 13,24%
(B) 10,24%
(C) 5,72%
(D) 8,46%
(E) 15,36%
RESOLUÇÃO:
Temos uma distribuição binomial onde a chance de sucesso (ter doutorado) é
p = 20%, de fracasso é q = 100% - 20% = 80%, e o número de tentativas é n = 4, das
quais queremos 2 sucessos. Ou seja,
Probabilidade = C(4,2) x (20%)2x(80%)2
Probabilidade = 6x0,04x0,64
Probabilidade = 0,1536 = 15,36%
RESPOSTA: E
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Atenção: Considere as informações dadas na tabela seguir.
Se t tem distribuição de Student com g graus de liberdade, a tabela fornece os valores
de tc tais que P(t > tc ) = c
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Um pesquisador deseja estimar o tempo médio µ em horas, para a realização de
determinada tarefa pelos funcionários de determinada empresa. Uma amostra
aleatória de 9 funcionários que realizam a tarefa revelou os seguintes tempos de
realização:
x1, x2, ..., x9. Considerando que essa amostra provém de uma população infinita e que
x
9
1
i
 54 horas e
x
9
2
i
1
 396 (horas)2, um intervalo de confiança para µ com
coeficiente de confiança de 95%, em horas, é dado por
(A) (3,74; 8,26)
(B) (4,17; 7,83)
(C) (3,80; 6,60)
(D) (4,14; 7,86)
(E) (3,69; 8,31)
RESOLUÇÃO:
Temos a média:
Média(X) = 54 / 6 = 9
E a variância:
Var ( X ) 
1
2
 54 
9
9
9 1
396 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja, 3.
Podemos ainda observar que essa amostra tem n = 9 elementos, de modo que
o número de graus de liberdade é gl = n – 1 = 9 – 1 = 8. Como queremos um intervalo
com 95% de confiança, devemos eliminar 5% da curva t de Student, isto é, 2,5% de
cada lado da curva. Assim, para 8 graus de liberdade e retirando 2,5% (ou 0,025) de
cada lado da curva, temos t0,025 = 2,31 na tabela. Isto é,
P(-2,31 < t < 2,31) = 95%
O intervalo de confiança é:
[ X  t.
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
n
; X  t.

n
]
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[6  2,31.
3
3
;6  2,31. ]
9
9
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[3,69; 8,31]
RESPOSTA: E
FCC – SEFAZ/PI – 2015) Considere as seguintes afirmações:
I. O histograma é um gráfico apropriado para representar dados de variáveis
quantitativas contínuas.
II. Se X é uma variável aleatória com parâmetros n e p, onde n representa o número
de ensaios de Bernoulli e p representa a probabilidade de sucesso em cada ensaio,
então a variância de X é dada pelo produto np.
III. O nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer erro do tipo
I.
IV. Se r é o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis, então
−1 < r < 1.
É verdade o que se afirma APENAS em
(A) II e III.
(B) I, III e IV.
(C) III.
(D) II e IV.
(E) I e III.
RESOLUÇÃO:
A afirmação I (sobre os histogramas) é correta, pois podemos usá-lo para
representar variáveis contínuas.
A afirmação II é errada, pois a distribuição descrita é do tipo Binomial (formada
pro vários ensaios de Bernoulli), onde a variância é dada por Var(X) = n.p.q.
A afirmação III é correta, pois esta é a definição de erro do tipo I.
A afirmação IV está errada, pois o coeficiente de correlação linear pode
assumir os valores -1 e 1, portanto o correto seria dizer que 1  r  1 .
RESPOSTA: E
FCC – SEFAZ/PI – 2015) O modelo Yt     t   t , t = 1, 2, 3, ..., foi considerado para
prever o lucro de uma companhia no ano (2007 + t).
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Sabe-se que:
. Yt representa o lucro, em milhões de reais no ano t;
. α e β são parâmetros desconhecidos;
.  t é o correspondente erro aleatório, com as respectivas hipóteses da regressão
linear;
. as estimativas de α e β foram obtidas pelo método de mínimos quadrados,
considerando-se as observações Yt no período de 6 anos (2008 a 2013).
Os dados relativos às observações são:
Nessas condições, a previsão de mínimos quadrados para o lucro da companhia, em
milhões de reais, no ano de 2014, é igual a
(A) 8,80
(B) 9,50
(C) 7,55
(D) 8,15
(E) 7,90
RESOLUÇÃO:
Podemos calcular o coeficiente  na regressão linear entre “t” e “y” assim:


que:
t 2  y   (t. y ) t
n t 2  ( t ) 2
91.36  140.21
 3, 2
6.91  212
A média de t é 21 / 6 = 3,5 e a média de y é 36 / 6 = 6. Assim, podemos escrever
Y   t
6  3, 2   .3, 5
(6  3, 2) / 3, 5  
0,8  
Assim, temos a regressão:
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y = 3,2 + 0,8.t
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Veja que 2014 = 2007 + 7, logo devemos usar t = 7 para obter o valor
correspondente ao ano de 2014:
y = 3,2 + 0,8.7
y = 8,8
RESPOSTA: A
***********************************
Continuo à sua disposição!
Saudações,
Prof. Arthur Lima
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