Lista 1 - Matemática Discreta - 2014/01 Conjuntos 1. Sejam A = 10,1

Lista 1 - Matemática Discreta - 2014/01
Conjuntos
1. Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, C = {1, 3, 7, 8}, D = {3, 4}, E = {1, 3}, F = {1} e X
um conjunto desconhecido. Para cada item abaixo, determine quais dos conjuntos A, B, C, D, E ou
F podem ser iguais a X :
(a) X ⊆ A e X ⊆ B;
(b) X * B e X ⊆ C;
(c) X * A e X * C;
(d) X ⊆ B e X * C.
2. Dados os conjuntos U = {1, m, a, 2, 5, 6, 8, t, e, 9, 10, i, c, 11, 15, 16}, A = {9, 10}, B = {a, 2, 5, 6, m, t, 15},
C = {m, 2, 5, 6, t, e, i, 11, 16}, D = {2, e, m, i, 5, 6}, E = {i}, resolva:
(a) CCD ;
(b) B ′ ;
(c) E ′ ;
(d) CUE ;
CD
(e) CU C .
3. Faça o diagrama de Venn dos conjuntos do Exercı́cio 2.
4. Considerando os conjuntos do Exercı́cio 2, quais os conjuntos resultantes das seguintes operações:
(a) C ∩ D ′ ;
(b) (B ∪ A) ∩ C ′ ;
(c) (A ∪ D) − (C − B);
(d) (B − C) ∩ (D ′ − C).
5. Sejam A = {x ∈ R | cos(x) = 1} e B = {x ∈ R | sin(x) = 0}. Mostre que A ⊆ B.
6. Sejam P = {x ∈ R | sin x = 0}, Q = {nπ | n ∈ Z} e R = {2nπ | n ∈ Z}. Qual é a relação entre P e
Q? E entre P e R?
7. Todo conjunto possui pelo menos um subconjunto próprio? Justifique sua resposta.
8. Todo conjunto possuı́ partes triviais distintas? Justifique a sua resposta.
9. Descreva analiticamente o conjunto das partes dos conjuntos abaixo:
(a) A = {1, 3, 5};
(b) B = {a, b};
(c) A = {1, 2, 3, {1, 2}};
(d) D = {1, {3, 5}, a, ∅}.
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10. Descreva analiticamente os conjuntos:
(a) P (∅);
(b) P (P (∅));
(c) P (P (P (∅))).
11. Qual a quantidade de elementos do conjunto P (P (P (P {a, b, c})))?
12. Seja S um conjunto não vazio. Diga se cada uma das seguintes proposições é certa ou errada.
(a) S ∈ P(S);
(b) S ⊆ P(S);
(c) {S} ∈ P(S);
(d) {S} ⊆ P(S).
13. Você pode encontrar um conjuntos A para o qual P(A) = ∅?
14. É correto afirmar que ∅ = {∅}? Por quê?
15. Considere os seguintes conjuntos de figuras no plano Euclidiano:
Q = {x | x é um quadrilátero},
H = {x | x é um losango}, R = {x | x é um retângulo} e S = {x | x é um quadrado}. Diga quais
dos conjuntos são subconjuntos próprios dos outros.
16. Seja E = {0, 1}. Diga se as seguintes proposições são certas ou erradas.
(a) {0} ∈ E;
(b) ∅ ∈ E;
(c) {0} ⊂ E;
(d) 0 ∈ E;
(e) 0 ⊂ E.
17. Construir os diagramas de Venn dos três conjuntos não vazios A, B e C tais que:
(a) A ⊆ B, C ⊆ B, A ∩ C = ∅;
(b) A ⊆ B, C * B, A ∩ C 6= ∅;
(c) A ⊆ C, A 6= C, B ∩ C = ∅;
(d) A ⊆ B ∩ C, B ⊆ C, C 6= B, A 6= C.
18. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {x | x2 = 4 e x ≥ 0}, C = {x | x2 −6x+8 = 0} e D = {x | x é par}. Complete
as seguintes proposições, inserindo ⊆, ⊇ ou “nc”(não comparável) entre cada par de conjuntos:
(a) A · · · B;
(b) A · · · C;
(c) B · · · C;
(d) A · · · D;
(e) B · · · D;
(f) C · · · D.
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19. Diga se cada uma das seguintes proposições é certa ou errada.
(a) Cada subconjunto de um conjunto finito é finito.
(b) Cada subconjunto de um conjunto infinito é infinito.
20. Como se prova que um conjunto A não é um subconjunto de um conjunto B? Prove que A = {2, 3, 4, 5}
não é um subconjunto de B = {x | x é par}.
21. Seja V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, Y = {a, b} e Z = {a, b, d}. Diga se as seguintes proposições
são certas ou erradas.
(a) Y ⊂ X;
(b) W 6= Z;
(c) V * Y ;
(d) V ⊂ X;
(e) X = W ;
(f) W + V ;
(g) Z ⊃ V ;
(h) Z + X;
(i) Y * Z;
(j) W ⊂ Y.
22. Quais das seguintes proposições são verdadeiras:
(a) {4} ∈ {{4}};
(b) {4} ⊂ {{4}};
(c) ∅ ⊂ {{4}}.
23. Determinar os conjuntos A, B, C sabendo-se que:
A ∩ B = {2, 4},
A ∪ B = {2, 3, 4, 5},
A ∩ C = {2, 3} e A ∪ C = {1, 2, 3, 4}.
24. Considere os conjuntos R = {1, 3, π, 4, 9, 10}, S = {{1}, 3, 9, 10}, T = {1, 3, π} e U = {{1, 3, π}, 1}.
Quais afirmações são verdadeiras? E para as que não são, por que não?
(a) A ⊆ R;
(b) T ⊆ R;
(c) T ⊆ R;
(d) 1 ∈ R;
(e) {1} ∈ S;
(f) S ⊆ {1, 3, 9, 10};
(g) 1 ∈ S;
(h) ∅ ⊆ S;
(i) 1 ⊆ U ;
(j) T ⊆ U ;
(k) {1} ⊆ T ;
(l) T ∈ U ;
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(m) {1} ⊆ S;
(n) T ∈
/ R.
25. Diga se cada um dos seguintes conjuntos é finito ou infinito.
(a) o conjuntos de retas que são paralelas ao eixo x.
(b) o conjunto de letras do alfabeto.
(c) o conjuntos de números que são múltiplos de 3.
(d) o conjuntos de números que são as raı́zes da equação x38 + 42x23 − 17x18 − 2x5 + 19 = 0.
26. Seja A um subconjunto de B, e seja B um subconjunto de C, isto é, seja A ⊂ B e B ⊂ C. Suponha
que a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C e suponha que d ∈ A, e ∈
/ B, f ∈
/ C. Que proposições podem ser verdadeiras?
(a) a ∈ C,
(b) b ∈ A,
(c) c ∈
/ A,
(d) d ∈ B,
(e) e ∈
/ A,
(f) f ∈
/ A.
27. Se A e B são conjuntos não comparáveis. Então A e B são disjuntos? Justifique sua resposta.
28. Dados os conjuntos A, B, C, mostre que:
(a) [A ∩ (B ∪ C)]′ = A′ ∪ (B ′ ∩ C ′ );
(b) [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B ′ )]′ = A′ ;
(c) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ′ ) = A,
(d) (A ∪ B) − B = A − B;
(e) (A ∩ B) − B = ∅;
(f) A ∩ (A − B) = A − B;
(g) B ∪ (A − B) = A ∪ B;
(h) A ∩ B − (A − C)′ = A ∩ B − C;
(i) A − (A − (A − B)) = A ∩ B;
(j) (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A);
(k) (A′ ∪ (B ∩ C))′ = (A − B) ∪ (A − C);
(l) A ∩ ((B − C) ∪ (C − B)) = (A ∩ B − A ∩ C) ∪ (A ∩ C − A ∩ B);
(m) A − ((B − C) ∩ (C − B)) = A.
29. Encontre contra-exemplos para provar que as afirmações abaixo não são verdadeiras.
(a) Se b ∈ B e B * C, então b ∈
/ C;
(b) Se A 6= B e B 6= C, então A 6= C.
30. Prove que A ⊆ B se, e somente se, P (A) ⊆ P (B).
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