Condensação e Característica de uma matriz Condensação e

Condensação e Característica de uma matriz
➢ Condensação é o processo que consiste em transformar uma dada matriz numa
triangular (superior ou inferior) de elementos principais significativos através das
operações elementares.
➢ Característica de uma matriz - r(A) - é o número máximo de linhas (colunas) da
matriz que são linearmente independentes.
➢ O processo de condensação é constituído por várias fases - reduções - onde se vão
anulando os elementos abaixo e/ou acima da diagonal principal da matriz quadrada
inicial ou duma submatriz quadrada da maior ordem possível (caso da matriz inicial
rectangular).
M atem ática para as ciências sociais
Condensação e Característica de uma matriz
➢ Exemplo: Determine a característica das seguintes matrizes.
2
 1

A = −1 − 4

 1 − 1
 −1
C = − 2

 1
1
2

2
2
 1

B = 0 −5

 1 − 3
1
2

− 1 − 2 − 2
2
−1
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3
1
− 1
3

2
Dependência linear com recurso à condensação
➢ É possível, através do recurso à condensação e ao cálculo da característica de uma
matriz, concluirmos acerca da dependência ou independência linear das filas da
matriz.
➢ Matrizes quadradas: Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
» Quando r(A) = n, as filas são linearmente independentes e a matriz designa-se
por Matriz regular.
» Quando r(A) < n, as filas são linearmente dependentes e a matriz designa-se por
Matriz singular.
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Dependência linear com recurso à condensação
➢ Matrizes rectangulares:Seja A uma matriz do tipo m × n
» Quando m > n
– Se r(A)<n, as colunas são linearmente dependentes.
– Se r(A) = n, as colunas são linearmente independentes.
– Como r(A)<m, as linhas são sempre linearmente dependentes.
» Quando m < n
– Se r(A)<m, as linhas são linearmente dependentes.
– Se r(A) = m, as linhas são linearmente independentes.
– Como r(A)< n, as colunas são sempre linearmente dependentes.
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