Primeira prova de Matemática para Economia I

Primeira prova de Matemática para Economia I - 29/10/2013
Prof. Juliana Coelho
QUESTÃO 1 (1,0 pts) - Ache o domı́nio da função
√
5
x+1 √
− 4 2 − x.
f (x) =
x−1
Resp.: Lembrando que
temos que
√
√
5
A existe para qualquer valor de A e que 4 A existe se A ≥ 0,
f (x) está definida ⇔ x − 1 6= 0
⇔ x=
6 1 e
e 2−x≥0
x≤2
Assim o domı́nio de f (x) é o conjunto dos números reais x ≤ 2 diferentes de 1.
QUESTÃO 2 - Ache os limites pedidos:
3 √
− 3 x + 1;
x→−1
x
Resp.: O limite pedido é
(a) (1,0 pts) lim x2 +
lim x2 +
x→−1
(b) (1,0 pts) lim−
x→2
x2
√
3 √
3
− 3 x + 1 = (−1)2 +
− 3 −1 + 1 = 1 − 3 − 0 = −2.
x
−1
2x − 5
;
− 3x + 2
Resp.: Como
lim− 2x − 5 = 4 − 5 = −1
lim− x2 − 3x + 2 = 4 − 6 + 2 = 0,
e
x→2
x→2
vemos que o limite será +∞ ou −∞ e precisamos fazer a análise de sinal de x2 −3x+2.
Este polinômio tem raı́zes
√
3±1
3± 9−8
=
= 1 e 2.
2
2
Assim, já que x2 − 3x + 2 tem concavidade para cima, vemos pela figura a seguir que
lim−
x→2
x2
2x − 5
−1
=
= +∞.
− 3x + 2
−0
1
(c) (1,0 pts) lim
x→2
x2
2x − 4
;
− 3x + 2
Resp.: Como
lim 2x − 4 = 4 − 4 = 0
x→2−
lim x2 − 3x + 2 = 4 − 6 + 2 = 0,
e
x→2−
temos que fatorar o polinômio de 2o grau q(x) = x2 − 3x + 2. (Para o polinômio de 1o
grau 2x − 4 temos simplesmente que p(x) = 2x − 4 = 2(x − 2).) As raı́zes de q(x) são
1 e 2 (calculadas no item (b)) e logo este polinômio se fatora como
q(x) = (x − 1)(x − 2).
Assim
lim
x→2 x2
2(x − 2)
2
2
2x − 4
= lim
= lim
=
= 2.
− 3x + 2 x→2 (x − 1)(x − 2) x→2 x − 1
2−1
2x − 5
.
x→−∞ x2 − 3x + 2
Resp.: O limite procurado é
(d) (1,0 pts) lim
lim
x→−∞ x2
2x − 5
2x
2
= lim 2 = lim
= 0.
x→−∞ x
− 3x + 2 x→−∞ x
QUESTÃO 3 (1,0 pts) - Determine o valor de a ∈ R para que
√
4
2 − x se x ≤ 2
f (x) =
ax + 1
se x > 2
seja contı́nua no ponto x = 2.
Resp.: A função f (x) é contı́nua em x = 2 se
lim f (x) = f (2) = lim+ f (x).
x→2−
x→2
2
Temos f (2) =
√
4
2−2=0 e
lim− f (x) =
x→2
lim f (x) =
x→2+
lim−
√
4
2−x=
√
4
2−2=0
x→2
lim ax + 1 = 2a + 1.
x→2+
Assim, f (x) é contı́nua em x = 2 se
2a + 1 = 0
⇒
1
a=− .
2
QUESTÃO 4 - Ache a derivada f 0 (x) de cada função abaixo:
√
1
3
+
6
x;
2
x
Resp.: Como f (x) = 2x4 − 7 − x−2 + 6x1/3 , temos que
(a) (1,0 pts) f (x) = 2x4 − 7 −
1
f 0 (x) = 2 · 4x3 − 0 − (−2)x−3 + 6 · x−2/3
3
2
2
= 8x3 + 3 + 2/3
x
x
2
2
= 8x3 + 3 + √
3
x
x2
(b) (1,0 pts) f (x) = (2x3 − 3x2 + 6)6
Resp.: Lembrando que (g n )0 = ng n−1 · g 0 , temos que
f 0 (x) =
=
=
=
6(2x3 − 3x2 + 6)5 · (2x3 − 3x2 + 6)0
6(2x3 − 3x2 + 6)5 (2 · 3x2 − 3 · 2x + 0)
6(2x3 − 3x2 + 6)5 (6x2 − 6x)
(2x3 − 3x2 + 6)5 (36x2 − 36x)
(c) (1,0 pts) f (x) = x · ln(x)
Resp.: Lembrando que (g · h)0 = g 0 · h + g · h0 , temos que
f 0 (x) = x0 · ln(x) + x · (ln(x))0
1
= 1 · ln(x) + x ·
x
= ln(x) + 1
3
1
sen(2x + 1)
g 0 g 0 · h − g · h0
=
Resp.: Lembrando que
e que ( sen(g))0 = cos(g) · g 0 temos que
h
h2
(d) (1,0 pts) f (x) =
10 · sen(2x + 1) − 1 · ( sen(2x + 1))0
( sen(2x + 1))2
0 · sen(2x + 1) − 1 · cos(2x + 1)(2x + 1)0
=
( sen(2x + 1))2
−2 cos(2x + 1)
=
.
( sen(2x + 1))2
f 0 (x) =
Esta derivada pode também ser calculada notando que f (x) = ( sen(2x+1))−1 e usando
que (g n )0 = ng n−1 · g 0 e ( sen(g))0 = cos(g) · g 0 :
f 0 (x) = −1 · ( sen(2x + 1))−2 · ( sen(2x + 1))0
−1
· cos(2x + 1) · (2x + 1)0
=
( sen(2x + 1))2
−1
· cos(2x + 1) · 2
=
( sen(2x + 1))2
−2 cos(2x + 1)
=
( sen(2x + 1))2
4