Revisão de Circuitos Monofásicos

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO
FACULDADE DE ENGENHARIA - DEP.
ELE-0941
DE
ENGENHARIA ELÉTRICA
ELETROTÉCNICA
Revisão de Circuitos Monofásicos
1.0
Introdução
O intuito desta revisão é recordar as noções básicas de circuitos monofásicos em
corrente contínua e corrente alternada. Ressalta-se que tais conceitos são supostos
conhecidos, sendo aqui feita somente uma rápida revisão.
2.0
Corrente contínua
As primeiras linhas de transmissão de energia elétrica surgiram no final do
século XIX. Destinavam-se exclusivamente ao suprimento do sistema de iluminação,
pequenos motores e sistema de tração (railway) e operavam em corrente contínua a
baixa magnitude de tensão (100, 200 ou 500 volts).
Em 1882, surgia a primeira estação geradora de energia elétrica da história, a
“Pear Street Station”, na cidade de Nova York, criada por Thomas Edison. A figura
abaixo o Dínamo (Gerador CC) “Jumbo”, empregado na estação, desenvolvido por
Edison, de 27 toneladas com capacidade de 100 kW, suficiente para alimentar 1200
lâmpadas. Seis desses dínamos eram necessários para iluminar uma área de 2
quilômetros quadrados.
1
Características:
• O sistema de corrente continua funcionava bem com lâmpadas
incandescentes (que eram as cargas principais) e com os pequenos
motores.
• O sistema de corrente contínua podia ser usada diretamente com baterias,
proporcionando uma reserva de energia durante as interrupções de
funcionamento do gerador.
• Edison inventou um medidor para permitia aos clientes ser cobrados pela
energia consumida.
•
A geração e transmissão usando os mesmos níveis de tensão das
diferentes cargas restringiu a distância entre a planta de geração e os
consumidores.
Dificuldades:
•
Assim, não podia realizar uma transmissão de energia elétrica a grandes
distâncias.
•
A queda de tensão (devido à resistência dos condutores) era tão alto que
as plantas geradoras tiveram que ser localizada a uma milha (aprox. 1,2
km) de distancia ou ao lado da carga.
• A tensão da geração em corrente contínua não podia ser facilmente
aumentada para a transmissão a grandes distâncias.
• Classes diferentes de cargas exigem diferentes níveis de tensões, e
diferentes geradores e circuitos eram usados especificamente para cada
conjunto de carga.
2
3.0
Corrente Alternada (Regime permanente)
Figura da Patente 390.721 nos EUA, ilustrando um sistema de corrente alternada
criado por Nikola Tesla
• O empresário George Westinghouse achava que as invenções de Tesla
poderiam ser a chave para a transmissão de energia a longa distância.
• Westinghouse,
em
1886,
fundou
a
Westinghouse
Electric
&Manufacturing Company, renomeada para Westinghouse Electric
Company em 1889.
3
•
Comoçou a rivalidade entre Thomas Edison (corrente contínua) e George
Westinghouse (corrente alternada).
•
Envolvendo tanto empresas americanas quanto europeias, com grandes
investimentos em ambos tipos de correntes (contínua e alternada)
•
Para realizar uma transmissão de energia elétrica a grandes distâncias era
necessário um nível elevado de magnitude de tensão, e essa tecnologia de
conversão para corrente contínua não era viável naquela época.
•
A mudança da transmissão de corrente continua para corrente alternada
foi devido principalmente aos seguintes motivos:
o O desenvolvimento e uso dos transformadores, permitindo a
transmissão a grandes distâncias usando altos níveis de tensão,
reduzindo as perdas elétricas dos sistemas e a queda de tensão;
o Surgimento de geradores e motores em corrente alternada,
construtivamente mais simples, eficientes e baratos que as máquinas
em corrente contínua;
o A elevação/redução da magnitude de tensão é realizado com uma alta
eficiência e a baixo custo através dos transformadores.
Em circuitos de corrente alternada, a tensão e a corrente apresentam
comportamento senoidal do tipo
Forma de onda senoidal para tensão e corrente
4
v(t)= Vm cos (ωt + θ)
i(t)= Im cos (ωt + ϕ)
Onde:
v(t), i(t) – valores instantâneo da tensão (V) e da corrente (A) no tempo (t)
Vm , Im – valores máximo da tensão e da corrente
ω - frequência angular (rd)
ω= 2πf sendo f a frequência em (Hz)
θ - ângulo de fase da tensão (graus)
ϕ- ângulo de fase da corrente (graus)
T – período T= 1/f = 2π (rd)
Pode-se provar que o valor eficaz ou valor rms (root-mean-square) é dado por
Vrms = Veficaz =
O
Conceito
Vm
I rms = I eficaz =
2
de
valor
Im
2
eficaz
pode
ser
visto
em:
http://www.youtube.com/watch?v=nxpSgrKOrLU
De maneira geral as conotações em letras minúsculas indicam grandezas em funções
do tempo, valores instantâneos (v, i), já as letras maiúsculas indicam grandezas em
valores constantes, valores eficaz (V, I), já os valores máximos ou de pico recebem o
.
 , I ).
sub índice “m” (Vm, Im), as grandezas fasoriais recebem o sobre índice “ ” ( V
3.1
Valores característicos das formas de ondas periódicas
Valores nominais: Os equipamentos eletro-eletrônicos e componentes de um
circuito elétrico devem ser comercializados dispondo de informações mínimas com
relação aos valores das respectivas grandezas elétricas.
Exemplo: No caso da lâmpada incandescente, no bulbo devem estar gravadas a potência
e a magnitude da tensão, como por exemplo, 100 W e 127 V, respectivamente.
5
Convencionou-se que os valores nominais das magnitudes da tensão e da
corrente devem corresponder aos respectivos valores eficazes.
Portanto, nos equipamentos/componentes que podem ser conectados em uma
fonte c.a. ou em uma fonte c.c., o valor da tensão especificada (tensão nominal) é o
mesmo para ambos os tipos de fonte, sendo que no caso da fonte c.a. o valor nominal
corresponde ao respectivo valor eficaz.
4.0
Fasores
A resolução de circuitos de corrente alternada no domínio do tempo, através da
manipulação de equações diferenciais. pode apresentar níveis de dificuldade e trabalho
bastante elevados. A resolução e análise de circuitos c.a. através dos conceitos de fasor
e de impedância é vantajosa na maioria das análises por propiciar uma maneira simples
de manipular essas grandezas.
Considerando a frequência fixa (como é o caso usual), as grandezas senoidais
podem ser definidas por dois parâmetros
M∠α
M – representa o módulo (valor eficaz)
α - representa a fase de M, em graus
Em termo fasorial (para tensão e corrente) temos:
 = V∠θ
V
I = I∠ϕ
Representação gráfica:
6
Figura 2 – Representação fasorial
Os fasores também têm representação cartesiana, valendo todas as relações
trigonométricas usuais, por exemplo, para a corrente:
Figura 3 – Representação polar da corrente complexa
I = I∠ϕ = I + j I
x
y
j = −1
I x = I cos(ϕ )
I y = I sen(ϕ )
I = (I x ) 2 + (I y ) 2
 Iy
 Ix
ϕ = tg −1 



Cabe aqui uma observação, a corrente complexa (I) pode ser representada de quatro
formas diferentes, sendo que o emprego de cada uma das formas depende da operação a
ser efetuada. As formas são as seguintes:
7
5.0
•
Forma polar
I = Ix + j Iy
•
Forma polar (Steinmetz)
I = I∠ϕ
•
Forma trigonométrica
I = I (cos ϕ + j sen ϕ )
•
Forma exponencial (Euler)
I = I cos ϕ + j I sen ϕ = I e jϕ
Elementos passivos e respectivas equações
5.1
Resistor (R)
A ddp v(t) entre os terminais de um resistor puro é diretamente proporcional à
corrente i(t) que o atravessa. A constante de proporcionalidade (R) entre v(t) e i(t) é
denominada resistência do resistor e é expressa em volts/amperes ou ohm (Ω).
V(t) = R i(t)
e
i(t) = v(t)/R
v(t) e i(t) podem ser constantes em relação ao tempo como nos circuitos em corrente
contínua (CC), ou podem ser funções senoidais, co-senoidais, como nos circuitos em
corrente alternada (CA).
Resistor
Corrente em fase com a tensão
8
Figura 4 – Circuito puramente resistivo
4.2
Indutância (L)
Quando a corrente em um circuito varia, o fluxo magnético que o envolve
também varia. Essa variação ocasiona a indução de uma força eletromotriz (f.e.m.) “v”
no circuito. A f.e.m. v é proporcional à taxa de variação da corrente em relação ao
tempo, desde que a permeabilidade seja constante. A constante de proporcionalidade é
denominada auto indutância ou simplesmente indutância do circuito.
v(t) = L
di(t)
dt
e
i(t) =
1
v(t) dt
L∫
Com v em volts e di/dt em amperes, L é expressa em volts/amperes ou Henrys (H).
Indutor
Corrente atrasada em relação à tensão
Figura 5 – circuito puramente indutivo
4.3
Capacitância (C)
A ddp v(t) entre os terminais de um capacitor é proporcional à carga “q” mele
existente. A constante de proporcionalidade (C) é denominada capacitância do
capacitor. Com “q” em Coulombs e v(t) em volts C é expressa em Coulombs/volt ou
Farads (F).
9
q(t) = C v(t)
Capacitor
e
i(t) =
dq(t)
dv(t) 1
=C
= ∫ i(t) dt
dt
dt
C
Corrente adiantada em relação à tensão
Figura 6 – Circuito puramente capacitivo
6.0
Impedância
A resistência é um número real puro, enquanto que as reatâncias ( indutivas e
capacitivas) são números imaginários puros.
A impedância Z contém ambas as partes
6.1
Circuito RL
10
Figura 7 – Circuito equivalente com respectivo diagrama fasorial
=V
 +V
 = R I + j X I = (R + j X ) I = Z I
V
R
L
L
L
Z = R + j X L = R + jω L
6.2
⇒
Z∠ϕ
ϕ⟩0
Circuito RC
Figura 8 – Circuito equivalente com respectivo diagrama fasorial
 =V
 +V
 = R I − j X I = (R − j X ) I = Z I
V
R
C
C
C
1
Z = R − j X C = R − j
ωC
6.3
⇒
Z∠ϕ
ϕ⟨0
Associação de Impedâncias
Série
Z = Z 1 + Z 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Z n
Paralelo
1 1
1
1
= +
+ ⋅⋅⋅ +
Z Z 1 Z 2
Z n
11
Admitância
 = 1 = g + j b → susceptância
Y
Z
↓
condutância
7.0
Potência
 e corrente I vale:
Potência consumida por uma carga submetida à tensão V
Figura 9 – Circuito em análise, carga genérica
 I ∗ = S∠ϕ
S = V
Na forma cartesiana
S = P ± j Q
onde:
12
S = VI
→ Potência Aparente (VA)
P = V I cosϕ → Potência Ativa (W)
Q = V I senϕ → Potência Reativa (VAr)
ϕ = defasagem entre a tensão e a corrente sendo seu cosseno denominado " fator de potência"
fator de potência = fp = cos ϕ
O sinal positivo é para potência Reativa com características indutivas enquanto que o
sinal negativo é para potência Reativa com características capacitivas.
A potência aparente é a grandeza utilizada no dimensionamento de instalações
elétricas industriais e de equipamentos em geral (transformadores, motores, etc.).
A potência ativa é associada à energia que, ou nos circuitos ou nos equipamentos, é
convertida em outras formas: mecânica, térmica, acústica, etc.
A potência reativa é associada à energia necessária para formar os campos elétricos
e/ou magnéticos necessários em determinados equipamentos, como por exemplo, nos
motores
Analogia:
•
A Potência Ativa (W) representa a porção líquida do copo, ou seja, a parte
que realmente será utilizada para matar a sede.
•
Como na vida nem tudo é perfeito, junto vem uma parte de espuma,
representada pela Potência Reativa (VAr).
•
Essa espuma está ocupando lugar no copo, porém não é utilizada para matar a
sede.
•
O conteúdo total do copo representa a Potência Aparente (VA).
13
•
A analogia da cerveja pode ser utilizada para tirarmos algumas conclusões
iniciais:
o Quanto menos espuma tiver no copo, haverá mais cerveja.
o Da mesma maneira, quanto menos Potência Reativa for consumida,
maior será o Fator de Potência.
o Se um sistema não consome Potência Reativa, possui um Fator de
Potência unitário, ou seja, toda a potência drenada da fonte (rede
elétrica) é convertida em trabalho
Resumindo:
•
A AMBEV é uma usina;
•
O caminhão é uma linha de transmissão;
•
O boteco é uma Subestação;
•
A chopeira é um Transformador;
•
O garçom é uma linha de distribuição;
•
Você é o consumidor;
•
Seu pai e sua mãe são a ANEEL: “a Agência Reguladora”
•
7.1
Relacionamento entre potência
Figura 10 - Relacionamento entre potência
S = P + j Q L
(ϕ ⟩0 )
S = P − j Q C
( ϕ ⟨0 )
14
8.0
Análise do ângulo do fator de potência
8.1
Circuito com característica indutiva
Ver figura 7
V = V∠0 (referência)
I = I∠ − ϕ
V V∠0
Z = =
= Z∠ϕ = R + j X L
I I∠ − ϕ
S = V I ∗ = V∠0 I∠ϕ = S∠ϕ = P + j QL
Observar que:
8.2
no caso da corrente ϕ ⟨ 0
no caso da impedância (e da potência) ϕ ⟩ 0
Circuito com característica capacitiva
Ver figura 8
V = V∠0 (referência)
I = I∠ϕ
V V∠0
Z = =
= Z∠ − ϕ = R − j X L
I I∠ϕ
S = V I ∗ = V∠0 I∠ − ϕ = S∠ − ϕ = P − j QC
9.0
Exercícios
1) Efetuar as operações:
a) Y = ( 1 + j 2 ) + 4∠45 o − 5∠20 o + ( 4 + j 4 ) ∗
(
3 + j 4 ). 7∠60 o

b) Z =
(3 + j 4 ) + 7∠60 o
Resp. 3,25∠ − 15,7 Ω
Resp. 2,92∠56 Ω
15
2) Determinar a impedância equivalente dos circuitos:
a)
Resp. 36,2∠ − 65,56 Ω
b)
Resp. 105,26∠84 Ω
3) Achar a corrente e as tensões nos elementos passivos do circuito abaixo.
Considerar f = 60 Hz
Resp.
.
Z = 10 Ω
I =10∠0 A
VR =100∠0 V VL =1000∠90 V VC =1000∠ − 90 V
4) Calcule a tensão e a corrente em cada um dos elementos passivos do circuito
16
Resp.
Tensão
(V)
Corr.
(A)
R1
53,1∠ − 45
L1
53,1∠ − 45
R2
24,92∠0
L2
24,92∠0
R3
8,91∠45
L3
17,8∠45
R4
8,91∠45
5,31∠ − 45
5,31∠ − 45
2,49∠0
2,49∠ − 90
1,78∠ − 45
1,78∠ − 45
1,78∠ − 45
5) Seja o circuito abaixo onde Z é uma carga com fator de potência 0,94 em
avanço. Qual deve ser a potência fornecida pela fonte, se a carga absorve 1 KVA com
exatos 100V. Adotar a tensão da carga na referência angular.
Resp.
S = 1,44 ∠5 KVA
Prof. Malange
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