Evolução temporal de uma Partícula Livre descrita por um Pacote

Evolução temporal de uma Partícula Livre descrita por um Pacote de Onda
Gaussiano Unidimensional
Caio Vaz Rímoli
Resumo: Partículas Livres não relativísticas estão entre os sistemas mais básicos e mais
importantes da mecânica clássica e quântica. Nesta monografia, analisamos alguns tipos de
funções de onda unidimensionais, introduzimos o conceito de partícula livre do ponto de vista
quântico. Em particular, discutimos a origem de um Pacote de onda Gaussiano e sua dispersão
temporal usando Transformadas de Fourier.
Introdução:
Em Mecânica Clássica, o conceito de
partícula livre se refere a um sistema que está livre
da ação de forças ou de potenciais. Em Mecânica
Quântica, a definição de partícula livre não é tão
simples. Se definíssemos uma partícula livre
quântica (PLQ) como sendo somente uma função de
onda que é livre de Potenciais, a Equação de
Schrödinger no caso unidimensional não relativístico
que descreve o sistema é:
(Eq.01):
totalmente deslocalizada no espaço das posições
(Δx∞) e, portanto,
não pode ser
1(x,t)
considerada uma partícula, ie, uma entidade física
de caráter corpuscular (com dimensões bem
definidas). Logo, uma Partícula Livre Quântica (PLQ)
tem que ter uma função de onda localizada (Δx
finita) também.
A Origem dos Pacotes de Ondas:
Por sorte, a Eq.01 é uma equação diferencial linear.
Então, uma combinação linear de ondas planas, com
diferentes momentos pn, também é solução:
(Eq.04):
Em que
x t tem variáveis x e t separáveis. Em
particular, um bom Ansatz de função de onda para
(Eq.01) é o que descreve uma Onda Plana:
(Eq.02):
Tal que, com as Relações de Planck e de Louis de
Broglie:
Embora não seja mais autofunção do operador
momento. Porém, quanto maior o número de ondas
planas somadas, maior a interferência entre elas e,
consequentemente, maior a chance de se obter
corpúsculo de onda (pulso):
(Eq.03):
Fazem com que 1(x,t) não somente seja solução da
Equação de Schrödinger (autofunção da energia com
autovalor E=p²/2m), como também seja a
autofunção do operador momento, com autovalor p
= (2mE)1/2. Entretanto, pelo Princípio de Incerteza de
Heisenberg, uma onda plana de momento “p”
definido (Δp=0) corresponde a uma função de onda
Figura 01 – Ilustração da interferência de várias ondas diferentes
gerando um pulso. Quanto maior a incerteza nos momentos (Δp
finito e grande), maior a chance de localizar um pulso de onda
no espaço das posições (Δx finito e pequeno).
Se ao invés de uma soma discreta, podemos criar
uma 3(x,t) que seja uma superposição de funções
de ondas planas de distribuição contínua de
momentos:
(Eq.05):
Pacote de Onda Gaussiano nas condições iniciais
(t=0):
Antes de verificar o que acontece com 4(x,t) para
t>0, vamos obtê-lo explicitamente caracterizá-lo nas
condições iniciais. Para t=0, o Pacote de onda
Gaussiano é descrito por:
(Eq.09):
Em que A(p) seria a função de distribuição dos
valores de momentos p. Em outras palavras, a Eq.05
nos diz que A(p) é uma função que descreve um
envelope do pulso. Já as ondas planas (exponencial
complexa) atuam como uma fase dentro do
envelope que oscila no espaço (em x) e no tempo (t).
Tendo em mente que Eq.06 é uma Transformada de
Fourier no tempo e no espaço, uma boa distribuição
A(p) para discutir pulsos de onda é uma de perfil
gaussiano em torno de um p0 máximo central:
Se reescrevermos:
(Eq.10):
E deixarmos em função de P = p-p0 , em que dP = dp ,
a integral da Eq.09 fica na forma:
(Eq.06):
A constante de normalização:
Se completarmos quadrados em P e resolvermos a
integral gaussiana, obtemos 4(x,0):
(Eq. 07):
(Eq.11):
Garante que a área sob a gaussiana seja igual à
unidade. A largura desta em torno de p0 é da ordem
de
.
Como a Transformada de Fourier de uma gaussiana
é a gaussiana conjugada, sabemos que
x t terá
um perfil gaussiano nas coordenadas das posições
descrito pela seguinte função:
(Eq.08):
Note que a largura da gaussiana nas coordenadas
das posições é da ordem de x
.
Tendo
(Eqs.12):
4(x,0),
é fácil verificar que em t=0:
Logo, para t=0, a Relação de Incerteza de Heisenberg
é mínima:
(Eq.16):
(Eq.13):
Evolução Temporal do Pulso Gaussiano:
Agora podemos substituir a Eq.16 na Eq.08
resultando em uma função de onda:
Antes de começar a calcular os valores esperados
usando Eq.08, é conveniente fazer uma série de
transformações para deixar tudo em função de P=pp0.
(Eq.17):
A ideia é a mesma que a transformação da Eq.10,
mas deve incluir também o termo quadrático:
Em que:
(Eq.14):
Em que é só completar quadrados em P e resolver a
integral gaussiana para finalmente obter 4(x,t):
Como o termo em verde ainda não pode ser escrito
em termos de P = p-p0, fazemos mais uma
manipulação (completar os quadrados):
(Eq.18):
(Eq.15):
Em que, Z(t) é da seguinte forma:
(Eq.19):
Ou seja, deixando em termos de P = p-p0,
Que, substituindo em (Eq.14) e já deixando tudo em
função de P e p0, temos:
Agora, podemos calcular os valores de <x>, <p> e as
incertezas <Δx> e <Δp> e analisar a evolução
temporal do pacote gaussiano.o comportamento.
Como esses cálculos são bastante trabalhosos,
porém simples de efetuar, aqui simplesmente vamos
expô-los e discuti-los. Para t>0, o Pacote de onda
Gaussiano se comporta com:
evolui. Entretanto, é interessante notar que, pela
Eq.22, a fase complexa de faz com que Φ(p,t) oscile
com uma frequência maior conforme o tempo
aumenta – isso acontece mantendo o perfil do feixe
gaussiano de Φ(p,t).
(Eqs.20):
E, consequentemente, a Relação de Heisenberg fica:
(Eq.21):
Por outro lado, analisando as equações o
comportamento do perfil gaussiano na coordenada
das posições, 4(x,t), vemos que tanto a posição
média quando a incerteza nas posições variam com
o tempo (Equações 20). A posição média varia de
acordo com um movimento retilíneo uniforme com
veloficade v0=p0/m, como era de se esperar.
Contudo, vemos também que a largura da gaussiana
em 4(x,t) aumenta com o tempo. Como a área sob
a curva tem que se manter igual à unidade, é de se
esperar que o pulso se disperse com o tempo (Figura
02).
t0=0
Discussão:
Primeiramente, é interessante evidenciar a
transformada de Fourier da Eq. 18 que é
imediatamente obtida pela Eq. 08, reformulada:
t1>t0
t2>t1
t3>t2
Portanto, a transformada de
4(x,t)
é:
(Eq.22):
Note, pelas Equações 20, que o valor do momento
médio <p> e a largura do envelope gaussiano na
coordenada dos momentos são constantes no
tempo. Isso era de se esperar, uma vez que estamos
lidando com uma Partícula Livre. Assim, não há nada
que altere o número de uma população de ondas
planas de um dado momento pn específico. Portanto
não há dispersão do envoltório gaussiano na
coordenada dos momentos conforme o tempo
Figura 02 – Ilustração da Dispersão do Pacote de onda
Gaussiano no tempo na coordenada das posições. Em azul, a
posição média <x> = p0t/m.
Podemos interpretar esse comportamento de da
seguinte forma: a variedade momentos diferentes
do momento médio, pn≠p0, faz com que haja a
possibilidade de uma partícula estar cada vez mais
distante da posição média <x>. Isso pode ser
entendido como perda da informação da partícula:
conforme o tempo passa, sabemos cada vez menos
onde ela realmente está ela pode ter ido.
Consequentemente o produto das incertezas no
momento e nas posições também aumenta com o
tempo (Eq.21).
Além disso, vemos pelas Equações 20, que se uma
partícula está muito localizada no instante inicial, ou
seja, σ é muito pequeno em t=0, a tendência é de a
dispersão do pacote de onda gaussiano na
coordenada das posições ser muito mais abrupta do
que uma partícula não tão localizada. Ver tabela 01.
Tabela 01 (cf. Referência [1])
Partícula 1 (Elétron, m≈10-30kg)
Dispersão em Inicial,
Tempo para
σ0
σ(t)= . σ0
σ0 (t=0)
t(
)
0,1 nm
1,72 fs
1,0 µm
17,2 ns
1,0 mm
17,2 ms
Partícula 2 (Pérola, m≈10-3kg)
Dispersão em Inicial,
Tempo para
σ0
σ(t)= . σ0
σ0 (t=0)
t(
)
16
0,1 mm
≈10 anos
Conclusões:
Nesta monografia, revisamos a importância de se
somar um conjunto de ondas planas para obter um
pulso ondulatório com dimensões finitas (partícula
quântica, localizada). Em particular, usando
Transformadas de Fourier e o conceito de valor
esperado de mecânica quântica, pudemos obter
informações qualitativas e quantitativas de como um
envelope ondulatório gaussiano se comporta no
espaço e no tempo. No caso específico de uma
partícula livre com uma distribuição normal de
momentos, verificamos que o pacote de onda dos
momentos não sofre dispersão, porém o pacote de
onda das posições sofre, aumentando sua largura e
diminuindo sua intensidade com o tempo. Além
disso, confirmamos que partículas pouco massivas
são mais susceptíveis a esse fenômeno.
Referências:
[1]http://www.jick.net/~jess/hr/skept/GWP/
Junho/2014];
[Acessado
em
[2] Cohen-Tannoudji, et al. Quantum mechanics, vol.1, pp 21-31.
[3] Ashby, Miller. Principles of modern physics, pp 178-183,
1970.