Energia Eletromagnética

Eletromagnetismo
Energia Eletromagnética
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
1
Introdução
A energia eletromagnética é uma das muitas formas de energia. Como tal, ela pode ser armazenada, transportada e transformada em outras formas de energia.
A energia eletromagnética encontra-se sob a forma de campos elétricos e magnéticos e, como
tal, ela é armazenada no espaço. Daí a relevância de definirmos densidade de energia. Em geral, ela
não é distribuída uniformemente. A densidade de energia eletromagnética ρE depende, em geral,
dos pontos do espaço e, eventualmente, do tempo. A densidade de energia é dada por uma soma
que envolve duas contribuições: uma contribuição de origem elétrica (associada à densidade de
energia elétrica ρel) e outra de origem magnética (descrita pela densidade de energia magnética ρmag).
Assim, escrevemos de forma geral:
ρ E ( x, y, z , t ) = ρel ( x, y, z , t ) + ρmag ( x, y, z , t )
( 1 )
A energia eletromagnética pode fluir de uma região do espaço para outra. Com isso estamos
tratando da questão do seu transporte. Em particular, encontraremos uma expressão para a
densidade de energia no espaço e outra expressão para o fluxo de energia que flui, saindo de uma
determinada superfície fechada. Do ponto de vista do transporte de energia, o vetor relevante é o

vetor de Poynting, S , definido pelo produto vetorial dos campos elétricos e magnéticos:
  
S = E×H
( 2 )
Neste capítulo, vamos analisar a questão da energia eletromagnética levando em conta todos os
aspectos relevantes em relação ao tema. Começaremos pelas expressões para as densidades de
energia elétrica e magnética.
Em seguida, procuraremos desenvolver uma equação levando em conta a conservação da
energia eletromagnética. É nesse contexto que é relevante introduzir o vetor de Poynting.
Finalmente, o que é mais importante, porquanto isso nos permite fazer uma análise mais geral
da questão da conservação da energia como um todo, derivaremos uma expressão para a conservação da energia quando analisamos todas as suas formas. Nesse caso, o ponto de partida de tal
análise será a determinação da taxa de transformação da energia eletromagnética quando levamos
em conta sua dissipação, ou seja, sua conversão em outras formas de energia.
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
2
Energia Elétrica
Quando há cargas elétricas distribuídas numa certa região do espaço, tem-se energia acumulada
nessa região.
Essa energia − energia elétrica − se acumulou porque, no processo de agruparmos cargas no
espaço, realizamos trabalho, trabalho esse que pode ser calculado a partir das forças elétricas.
Consequentemente, energia de algum tipo foi despendida para colocar essas cargas na posição
em que elas se encontram. Não nos interessaremos pela natureza da energia que foi despendida.
Ao calcularmos o trabalho, determinamos apenas o quanto foi despendido e, como consequência,
determinamos o quanto de energia foi acumulado.
Energia de uma Distribuiçao Discreta
Primeiramente, lembremo-nos de que, se uma partícula de carga Q1 estiver numa região do

espaço em que ela está sujeita a um potencial V ( r ), então, o trabalho realizado pela força elétrica


ao deslocarmos essa partícula de um ponto de referência r0 até um ponto r é dado por:


τ = Q1 (V ( r1 ) − V ( r0 ) )
( 3 )
Vamos utilizar a expressão acima para determinar não apenas a energia de uma partícula como
também a energia total do sistema que envolve uma distribuição de partículas. Visando a um
melhor entendimento, iniciaremos a análise, primeiramente, para o caso de apenas duas partículas.

Dada uma partícula numa posição dada pelo vetor r2, o trabalho realizado para trazer outra


partícula desde o ponto de referência r0 até a posição r1 é dado por:


QQ  1
1
τ = Q1 (V ( r1 ) − V ( r0 ) ) = 1 2    −  
4πε  r2 − r1 r2 − r0



( 4 )
onde (na expressão acima) utilizamos o potencial como aquele devido à existência da outra
partícula, que admitimos como puntiforme.
Definimos a energia eletrostática associada a duas partículas como a grandeza física dada pelo
trabalho associado ao deslocamento de qualquer uma delas desde o infinito. Com isso, a energia
eletrostática do conjunto de duas partículas será dada pela expressão:
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
3
Q1Q2 1
 
4πε0 r2 − r1
E=
( 5 )
Observe-se que agora essa energia não é energia de uma ou de outra partícula. É uma energia
associada à existência das duas cargas em posições distintas. A expressão acima pode ser escrita como:
E=
1
2
2
QiQ j
1
 
4πε0 ri − rj
2
∑∑
j ≠i =1 i =1
( 6 )
onde o fator ½ é necessário, na expressão acima, para que não haja uma contagem dupla.
Para quaisquer pares de partículas numa distribuição, podemos falar de uma energia associada
a esse par (par i, j), energia essa que, já sabemos, é dada por:
Eij =
QiQ j
1
 
4πε0 ri − rj
( 7 )
Assim, a energia de uma distribuição discreta de cargas elétricas é dada por:
E=
1
2
N
N
QiQ j
∑ ∑ 4πε
j ≠i =1 i =1
0
1
 
ri − rj
( 8 )
onde, novamente, o fator ½ é importante para se evitar uma contagem em dobro das contribuições
associadas a cada par de partículas.
A soma acima pode ser escrita como uma soma que envolve o produto da carga de cada partícula vezes o potencial produzido pelas demais, desde que calculado na posição de cada uma delas.
Em outras palavras, escrevemos:
E=
1
2
N

∑ QV ( r )
j ≠i =1
i
i
( 9 )
onde o potencial produzido pelas demais na posição da i-ésima partícula é dado por:
N
Q

1
V ( ri ) = ∑ j  
j ≠i 4πε 0 ri − rj
( 10 )
A expressão (iiii) permite-nos agora fazer uma extensão para uma distribuição discreta de cargas.
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
4
Energia de uma distribuição contínua de Cargas
Para isso, vamos dividir a distribuição em elementos infinitesimais de volume dV. Cada elemento
de volume contém uma carga infinitesimal dQ. A contribuição para a energia dE de uma carga infi
nitesimal dQ na posição dada pelo vetor de posição r é, de acordo com (000), dada por:
 1


dE ( r ) = dQ ( r )V ( r )
2
( 11 )
Expressando a carga infinitesimal em termos da densidade e do elemento de volume infinitesimal
e efetuando a soma (a integral, portanto), obtemos para a energia armazenada numa distribuição
de cargas a seguinte expressão:
E=


1
ρ ( r )V ( r )dV
∫∫∫
2 V
( 12 )
Densidade de energia elétrica
Pode-se expressar a energia eletrostática como uma integral sobre uma densidade de energia de
tal forma que essa densidade seja dada em termos do campo elétrico existente no espaço. De fato,
utilizando a lei de Gauss da eletrostática, podemos escrever a expressão para a energia sob a forma:
E=
 

1
∇
⋅
D
( r ) V ( r )dV
∫∫∫
2 V
(
)
( 13 )
Lembrando agora a identidade, envolvendo derivadas parciais, quando consideramos produto
de funções:






∂ i Di ( r )  V ( r ) = ∂ i  Di ( r )V ( r )  −  Di ( r )  ∂ iV ( r )
( 14 )
vemos que podemos escrever a expressão (000) sob a forma de dois termos:
E=
 
 
 

1
1
∇
⋅
D
r
ρ
r
dV
+
D
r
−∇
V ( r ) dV
(
)
(
)
(
)
2 ∫∫∫
2 ∫∫∫
V
V
(
)
(
)
( 15 )
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
5
O primeiro termo dá uma contribuição nula, na medida em que tomamos o volume do sistema
quando abarcamos todo o espaço. No segundo termo, podemos identificar o último termo do
produto como campo elétrico. Chegamos, assim, à expressão:
E=
   
   
1
ε
D
r
⋅
E
r
dV
=
E
(
)
(
)
( r ) ⋅ E ( r ) dV
2 ∫∫∫
2 ∫∫∫
( 16 )
onde agora integramos sobre todo o volume do espaço. Para o volume limitado a V, vale a expressão.
A conclusão é a de que, numa região em que existe um campo elétrico, existe energia armazenada de tal forma que a densidade de energia é dada por:

ε  
ρE ( r ) = E 2 ( r )
2
( 17 )
Uma importante conclusão a ser tirada das expressões acima é a de que, num meio dielétrico, a
energia armazenada é κ vezes maior do que no caso de esse meio ser o vácuo. E isso ocorre porque


ρ E diel ( r ) = κρ E vac ( r )
( 18 )
onde κ é a constante dielétrica do meio.
Vemos, assim, que um meio dielétrico aumenta a capacidade de se armazenar energia eletrostática.
Nenergia de correntes estacionárias e
densidade de energia magnética
A energia mecânica de uma corrente elétrica na aproximação de dipolo é:
U mec = −µi B
( 19 )
U mag = µi B
( 20 )
Designaremos por energia magnética
Figura 2: Onde houver campo magnético, aí
haverá energia elétrica distribuída.
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
6
Podemos determinar a energia magnética de um circuito arbitrário subdividindo-o em pequenos
“loops”, cada um deles percorrido pela corrente I (veja figura). Cada um deles pertence a uma
superfície S delimitada de curva Γ, na qual temos uma corrente I.
Figura 3: Circuito e uma distribuição superficial de dipolos equivalente.
Sendo AS a área de um desses loops, a energia associada a essa partição da superfície S é:
∆U = µBn = I ∆sBn
( 21 )
U = ∑ I ∆sBn
( 22 )
A energia total é dada por
Efetuando a soma para um número n de loops tendendo a infinito, a energia é dada por:
∪ mag = I ∫ B inds
( 23 )
  
Tendo em vista que B = ∇ × A, obtemos:
U mag = I ∫ ∇ × A ids
(
)
( 24 )
Utilizando o teorema de Stokes, a energia magnética de uma corrente pode ser escrita como o
produto da corrente pela circulação do potencial vetor:
U mag = I ∫ Aidl
( 25 )
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
7
No caso de uma distribuição de correntes, a expressão acima toma a forma:
U mag =
1
J i AdV
∫∫∫
2 v
( 26 )
Levando em conta a equação de Maxwell relativa à lei de Ampère, a energia magnética pode ser
escrita como:
U mag =
1
∇ × H i AdV
∫∫∫
2 v
(
)
( 27 )
A densidade de energia magnética pode ser escrita sob a forma:
(∇ × H )i A = ε
ijk
∂ ( H k Ai )
∂ ( H k Ai )
∂H k
− εijk
Ai = εijk
∂x j
∂x j
∂x j
( 28 )
Donde inferimos que:
(∇ × H )i A = ∇i( A × H ) + H i(∇ × A)
( 29 )
Portanto, a energia magnética pode ser escrita como:
U mag =
1
1
∇i A × H + ∫∫∫ H i ∇ × A dV
∫∫∫
2 V
2 V
(
)
(
)
( 30 )
Quando calculada sobre todo o espaço, o primeiro termo se anula. Lembrando a definição de
campo magnético, em termos do potencial vetor, concluímos que:
U mag =
1
H i BdV
∫∫∫
2
( 31 )
onde agora a integral é efetuada sobre todo o espaço. E, portanto, a densidade de energia
magnética é dada por:
ρmag
H iB
=
2
( 32 )
Figura 4: A energia se concentra nas regiões
onde os campos magnéticos são mais intensos.
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
8
Conservação da energia
A conservação de determinadas grandezas físicas pode ser formulada em termos de conceitos
bastante gerais. Considere um volume V do espaço delimitado por uma superfície A. Imaginemos,
primeiramente, que a energia não seja dissipada. Nesse caso, a lei que estabelece a conservação da
quantidade de energia seria da forma:
Edentro + Esaiu = Etotal
( 33 )
ou seja, a quantidade de energia que está dentro do volume mais a quantidade de energia que saiu
(ou entrou pela superfície A) é igual à energia total, a qual no momento estamos admitindo como
constante. Isto é,
d
( Edentro + Esaiu ) = 0
dt
( 34 )
A quantidade de energia dentro de um volume V pode ser escrita como a integral sobre o

volume de uma densidade de energia (ρ E (r , t )):

Edentro = ∫∫∫ ρ E (r , t )dV
( 35 )
V
A quantidade de energia que atravessa uma superfície (e que, portanto, deixa o volume V )
deverá ser expressa como o fluxo de um vetor sobre uma superfície. Tal vetor recebe o nome, no

eletromagnetismo, de vetor de Poynting. Essa grandeza é representada pelo vetor S . O vetor de
Poynting dá o quanto de energia flui através da superfície. Tanto pode ser a quantidade que sai
(como estamos admitindo) como a quantidade que entra. Dessa forma, escrevemos:
d
S
( Esaiu ) = ∫∫A ⋅ dA
dt
( 36 )
Assim, se a energia for conservada, essa conservação será descrita pela equação:
∂ρ E (r , t )
dV
+
S
∫∫∫
∫∫A ⋅ dA = 0
∂t
V
( 37 )
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
9
Utilizando agora o teorema de Gauss, podemos escrever o fluxo do vetor de Poynting como uma
integral sobre o volume. Isto é:
∫∫ S ⋅ dA = ∫∫∫ ∇ ⋅ SdV
A
( 38 )
V
Como o volume V é um volume arbitrário, conclui-se que o princípio da conservação de energia
pode ser expresso através da equação:

 
∂ρ E (r , t )
+ ∇ ⋅ S (r ,t ) = 0
∂t
( 39 )
Note-se a semelhança da equação acima com a equação da continuidade.
Para deduzir as expressões explícitas para a densidade de energia eletromagnética e para o
vetor de Poynting, devemos analisar a questão da dissipação da energia eletromagnética. Isso será
feito na próxima seção.
Transformando a energia eletromagnética
A energia eletromagnética pode ser transformada em outras formas de energia. Em se tratando
de energia calorífica, o termo mais apropriado seria dissipando energia eletromagnética. Essa energia
será denominada Etrans,
A taxa pela qual a energia é transformada é dada pela taxa pela qual o trabalho é realizado pelas
forças eletromagnéticas. Assim, escrevemos:
dEtrans dW
=
dt
dt
( 40 )
Levando-se em conta a possibilidade de transformações de uma forma de energia em outra, a
conservação da energia agora será expressa assim:
d
d
( Edentro + Esaiu + Etrans ) = ( Edentro + Esaiu + W ) = 0
dt
dt
( 41 )
A expressão acima é bem simples de entender. Ela estabelece que a taxa de variação da energia
eletromagnética é igual à taxa pela qual ela é convertida em outras formas de energias.
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
10
Para determinar as taxas pelas quais se realiza o trabalho, lembramos que para uma dada força

F a taxa, por unidade de tempo, pela qual o trabalho é realizado é dada pelo produto escalar da
força vezes a velocidade.
dw  
= F ⋅v
dt
( 42 )

Considerando-se uma partícula de carga q, dotada de uma velocidade v , movendo-se numa
região do espaço na qual existe um campo elétrico e um campo magnético, a força eletromagnética
que age sobre ela será:

  
F = q E+v×B
(
)
( 43 )
 
dw  
= F ⋅ v = qE ⋅ v
dt
( 44 )
Consequentemente,
O fato de o campo magnético não aparecer na expressão acima significa que o campo magnético
não realiza trabalho, ou seja, a potência associada à força magnética é nula.
Para um conjunto de cargas distribuídas num volume com uma certa densidade e com diferentes
velocidades em cada ponto, o análogo da expressão (000) é:

 
∂Ω ( r , t )  
= E (r ,t ) ⋅ J (r ,t )
∂t
( 45 )
onde agora o primeiro termo representa a taxa pela qual o trabalho é realizado, taxa essa que é por
unidade de volume. Com isso vemos que a equação para a conservação da energia agora se escreve:

 
 
 
∂ρ E (r , t )
+ ∇ ⋅ S (r ,t ) + E (r ,t ) ⋅ J (r ,t ) = 0
∂t
( 46 )
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
11
Densidade de energia e o vetor de poynting
A partir da taxa de transformação da energia eletromagnética, pode-se utilizar as equações de
Maxwell para determinar a densidade de energia no campo eletromagnético, bem como o vetor de
Poynting. A partir dessas grandezas físicas pode-se obter a densidade de momento e a taxa pela
qual o momento é carregado pelo campo eletromagnético que flui.
Utilizando a equação de Maxwell-Ampère, podemos escrever o vetor densidade de corrente
como uma soma que envolve dois termos:


 ∂D
J = ∇× H −
,
∂t
( 47 )
e, portanto, o termo que dá a taxa pela qual os campos eletromagnéticos realizam trabalho, por
unidade de volume, se escreve como:

  
  ∂D
E ⋅ J = E ⋅∇ × H − E ⋅
∂t
( 48 )
Utilizando agora a identidade vetorial:
 

 

∇ ⋅ E × H = H ⋅∇ × E − E ⋅∇ × H
(
)
( 49 )
bem como a lei de Faraday, temos agora:

 
 ∂B 

∇ ⋅ E × H = −H ⋅
− E ⋅∇ × H.
∂t
(
)
( 50 )
E, portanto, de (000) podemos escrever que a taxa de trabalho realizado, por unidade de
volume, pelos campos eletromagnéticos é:


 
 ∂B  ∂D  
∇⋅ E×H + H ⋅
+E⋅
+E⋅J =0
∂t
∂t
(
)
( 51 )
Para meios lineares, podemos escrever:
 
 


 ∂B  ∂D 1 ∂ H ⋅ B 1 ∂ E ⋅ D
H⋅
+E⋅
=
+
∂t
∂t 2
∂t
2
∂t
(
)
(
)
( 52 )
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
12
De (000) e (000), inferimos que, de acordo com (000), a densidade de energia no campo
magnético é dada por:
ρE =
1   1  
H ⋅B+ E⋅D
2
2
( 53 )
  
S = E×H
( 54 )
e que o vetor de Poynting é dado por:
Finalmente, é importante frisar que ao fluxo de energia corresponde também, no caso do
campo eletromagnético, um fluxo de momento.
Como a relação entre momento e a energia no caso dos fótons é:
1
Pfóton = Efóton
c
( 55 )
é de se esperar uma relação simples entre o fluxo de momento transportado pelas ondas eletromagnéticas e o fluxo de energia. De fato, com base em argumentos sobre conservação do momento
no campo eletromagnético, pode-se mostrar que é válida a seguinte relação entre a densidade do
momento e o vetor de Poynting:

 1  1  
P = 2 S = 2 E×H
c
c
( 56 )
onde P (na equação acima) é a densidade de momento do campo eletromagnético.
Energia e momento transportados
por ondas eletromagnéticas
Uma das aplicações mais importantes das equações acima, do ponto de vista prático, diz respeito à
propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo, e isso porque ela nos permite entender o mecanismo
de transmissão de energia eletromagnética do sol para o nosso mundo. Essa energia faz toda a diferença
do ponto de vista da manutenção da vida no nosso planeta. O sol emite radiação eletromagnética
cobrindo todo o espectro eletromagnético. É uma radiação típica de radiação do corpo negro.
Figura 5
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
13
Considerando-se uma onda eletromagnética plana e considerando a parte real do campo,
podemos escrever os campos elétrico e magnético sob a forma:
 


E ( r , t ) = E0 cos k ⋅ r − ωt

 k×E
B=
ω
(
)
( 57 )
O vetor de Poynting é um vetor na direção de propagação da onda (na direção do vetor de onda).
Obtemos então:

 
  
k
2
2
S ≡ E × H = ε0cE0 cos k ⋅ r − ωt
k
(
)
( 58 )
A densidade de energia, para a onda plana descrita por (000) e (000), é dada pela expressão:
ρE =
 
1   1  
H ⋅ B + E ⋅ D = ε0 E0 2 cos 2 k ⋅ r − ωt
2
2
(
)
( 59 )
Definimos a intensidade da onda eletromagnética (I ) como a média, num período, do módulo do
vetor de Poynting, isto é,

I ≡ S = ε0cE 2
( 60 )
onde a média no tempo de uma grandeza física ( f ), ao longo de um período, é definida como a
integral dessa grandeza dividida pelo período, ou seja:
f (t ) =
T
1
f ( t )dt.
T ∫0
( 61 )
Da definição acima e da definição (000) verifica-se que
I= S =
T
 
1
1
ε0cE0 2 cos 2 k ⋅ r − ωt dt = ε0cE0 2
∫
T0
2
(
)
( 62 )
enquanto a densidade de energia média é dada por:
ρE =
T
 
ε0 E0 2
ε0 E0 2
2
ω
=
cos
k
⋅
r
−
t
dt
2
T ∫0
(
)
( 63 )
Figura 6
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
14
Conclui-se que a taxa pela qual a energia é transportada do Sol para a Terra, por unidade de
área, é a intensidade que, no caso de uma onda plana, é dada por:
1
I = S = ε0cE0 2
2
( 64 )
I = S = cρ E
( 65 )
ou seja,
enquanto a densidade média, no tempo, da densidade de energia é dada, em função da amplitude
do campo elétrico, por:
ρE
ε0 E0 2
=
2
( 66 )
Momento é igualmente transportado pelo campo elétrico e a sua densidade, para uma onda
plana, é:
ρE
ε0 E0 2
P =
=
c
2c
( 67 )
E, portanto,
P =
ρE
I
= 2
c
c
( 68 )
Figura 7: Uma onda eletromagnética transporta
energia e momento.
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
15
Como usar este ebook
Orientações gerais
Caro aluno, este ebook contém recursos interativos. Para prevenir problemas na utilização desses recursos, por favor acesse o arquivo
utilizando o Adobe Reader (gratuito) versão 9.0 ou mais recente.
Botões
Indica pop-ups com mais informações.
Ajuda (retorna a esta página).
Sinaliza um recurso midiático (animação, áudio etc.) que pode
estar incluído no ebook ou disponível online.
Créditos de produção deste ebook.
Indica que você acessará um outro trecho do material.
Quando terminar a leitura, use o botão correspondente (  )
para retornar ao ponto de origem.
Bons estudos!
Eletromagnetismo » Energia Eletromagnética
Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
16