Evolução Temporal e Integral Funcional em Mecânica

MECÂNICA QUÂNTICA E INTEGRAIS DE
CAMINHO
Prof. Dr. Tobias Frederico
ITA
São José dos Campos, SP
Fevereiro de 2008
Bibliogra…a
- J.J. Sakurai "Modern Quantum Mechanics "
- L. Landau e E. Lifchitz "Mecânica "
Conteúdo
I - Mecânica cássica
I.1 - Ação e Lagrangeana
I.2 - Conservação da Energia
I.3 - Hamiltoniana e Equações de Hamilton
II - Mecânica Quântica
II.1 - Dualidade partícula-onda
II.2 - Equação de Schrodinger
II.3 - Notação de Dirac
II.4 - Evolução Temporal
II.5 - Propagador
III - Integral de Caminho
III.1 - Noções Intuitivas
III.2 - Integral de Trajetória - partícula livre
III.3 - Integral de Trajetória - Interação
I - MECÂNICA CLÁSSICA
Trajetória e o princípio da mínima ação.
(
Sistema Clássico:
posição (q )
velocidade (q_)
Equação de movimento:
mq• = F
Sistema conservativo:
F =
dV
dq
onde, V (q ) representa a energia potencial. Assim:
mq• =
dV
dq
I.1 - Ação e Lagrangeana
A trajetória clássica minimiza a ação:
Rt
S = t12 L (q; q;
_ t) dt
onde L (q; q;
_ t) é a Lagrangeana que independe das condições
de contorno.
Princípio de mínima ação e as equações de Euler-Lagrange:
S=
Z t
2
t1
L (q; q;
_ t) dt = 0;
para variações de q em torno da trajetória q (t).
S=
Z t
2
@L
@L
q+
q_
@q
@ q_
t1
!
dt = 0;
onde
d
d
q_ =
q=
q
dt
dt
e substituindo
S=
Z t
2
@L
@L d
q+
q
@q
@ q_ dt
t1
!
dt = 0
Agora, buscando encontrar a diferencial total,
Z t
2
t2
@
S=
q +
@ q_ t
t1
1
@L
q
@q
d @L
q
dt @ q_
!
dt;
com extremos …xos q (t1) = q (t2) = 0, logo
t2
Z t
2
@
@L
d @L
S=
q +
@ q_ t
@q
dt @ q_
t1
1
Então, para qualquer variação q )
@L
@q
d @L
dt @ q_
=0
!
q dt
que é a equação de Euler-Lagrange.
) Equação de movimento
dV
dq
) @L
@q
dV
dq
mq• = 0
d @L = mq•
e dt
@ q_
8
< @L = dV ) L
potencial = V
@q
dq
m q_2
: d @L = mq• ) L
=
cinetico
dt @ q_
2
A lagrangeana de um sistema conservativo:
m
L = q_2 V (q )
2
p = mq_ = @L
@ q_ (momento)
Sistemas de muitas partículas ou graus de liberdade:
N
X
mi 2
L (qi; q_i; t) =
q_i
i=1 2
Forças entre pares: vij qi
N
X
mi 2
L (qi; q_i; t) =
q_i
i=1 2
qj
X
i>j
N equações de movimento
@L
@qi
d @L
=0
dt @ q_i
+
p_ i =
V (q i )
P
@vij
i>j @ q_
ação e reação
vij qi
qj
I.2 - Conservação da Energia
Em geral L (q; q;
_ t) depende explicitamente do tempo,
porém em sistemas conservativos isto não ocorre e a energia mecânica é conservada.
dL
@L
@L
@L
=
q_ + q• +
dt
@q
@ q_
@t
| {z }
d @L
(eq. de Euler-Lagrange)
dt @ q_
assim:
dL
d @L
@L d
@L
=
q_ +
q_ +
dt
dt @ q_
@ q_ dt
@t
!
d @L
@L
=
q_ +
dt @ q_
@t
+
d @L
q_
dt @ q_
!
L =
dL
dt
@L q_
Se @L
=
0
)
H
=
L é conservada.
@t
@ q_
m 2
V
L = q_
2
+
H = mq_2
m 2
q_ + V
2
mq_2
=
+V
2
= E
A Hamiltoniana H para a trajetória clássica é a energia
que é conservada se @L
@t = 0 (sistema conservativo).
Simetrias e Leis de Conservação (Teorema de Noether
para campos clássicos).
Se L é independente do tempo ) E conservada.
Se L é invariante frente translação espacial o momento
total é conservado:
0
qi = qi + "
e
q_i0 = q_i
X @L
dL
=
"
d"
@q
i
i
X d @L
"
=
i dt @ q_i
3
2
d 4X @L 5
"
=
dt i |{z}
@ q_i
pi
para
N m q_2
X
i i
L=
i=1 2
X
v qi
i>j
d P = 0; P =
e portanto dt
P
i pi.
qj )
dL
=0
d"
I.3 - Hamiltoniana e Equações de Hamilton
H = pq_
(forma geral de H )
L
Transformada de Legendre de L, todas as informações
sobre dinâmica do sistema clássico estão presentes em
H , e portanto deve conter a equação de movimento.
dH = qdp
_ + pdq_
= qdp
_
@L
dq
@q
)
@L
dq_ H (q; p)
@ q_
pdq
_
Equações de Hamilton:
@H
= q_
@p
e
@H
=
@q
p_
Resumo:
S=0
) Equações de Euler-Lagrange
) L=T V
) Eq.de Newton
@L
=0
@t
) E conservada;
H = pq_
L (Eqs. de Hamilton)
Qual o papel das outras trajetórias com S 6= 0?
Na Mecânica Clássica nenhum. E na Mecânica Quântica?
II - MECÂNICA QUÂNTICA
II.1 - Dualidade partícula-onda
Planck em 1900 para resolver o problema da catástrofe
da "radiação ultravioleta" do corpo negro, postulou que
a radiação eletromagnética só poderia ser emitida ou
absorvida pelo corpo negro em unidades de hf , onde
h = 6; 634 10 34 (erg s) (constante de Planck) e f
a frequência da radiação.
E = hf:
O momento transferido pela absorção de uma energia E
oriunda de uma onda eletromagnética é
E
p= :
c
A unidade básica de energia transportada por uma onda
E.M. é hf , portanto:
h
hf
= ;
p=
c
)
f = c:
= hp para a "unidade" do campo E.M.
(mais tarde a "unidade " básica do campo E.M. foi associada ao fóton por Einstein)
De Broglie (1923):
h
=
p
para o elétron
Toda partícula tem uma onda associada com
= hp .
O conceito de trajetória clássica foi destruido!
Na mecânica clássica a trajetória da partícula é descrita
pela posição e o momento. Uma partícula quântica não
pode ter a posição e momento determinados simultâneamente ) trajetória!
Difração de um elétron:
p
(1)
p sin min : =
ph
/
x:p/
Princípio de incerteza de Heisenberg:
h
h
; h=
)
2
2
) x e p não podem ser determinados simultâneamente!
p x
h
( p x
II.2 - Equação de Schroedinger
Partícula livre:
8
<
= hp (De Broglie)
f =E
h (Planck)
:
Onda associada:
(x; t) = ei(kx !t)
onde,
k=
2
=
p
h
e
(x; t) =
!=2 f =
i hp x E
ht
e
Qual é a equação de onda que
ip
@
(x; t) =
(x; t)
@x
h
e
E
h
(x; t) é solução?
@
(x; t) =
@t
iE
h
(x; t)
Operador momento
p!
ih
@
!
@x
~
ihr
p2
=E
2m
+
h2 @ 2
2m @x2
@ (x; t)
(x; t) = ih @t
A Hamiltoniana da partícula livre clássica é a energia
cinética. Sob a ação de uma força conservativa: H =
p2
2m + V (x). O operador Hamiltoniano é escrito como:
H=
h2 @ 2
+ V ( x)
2
2m @x
A equação de Schroedinger para uma força conservativa
…ca:
h2 @ 2
2m @x2
(x; t) + V (x)
@ (x; t)
(x; t) = ih @t
Interpretação probabilística:
= j (x; t)j2
é a densidade de probabilidade para
R
dx j (x; t)j2 = 1
A equação de Schroedinger é de primeira ordem no
tempo.
A função de onda determina completamente o estado
do sistema quântico.
Sistema quântico de N - partículas:
2
4
N
X
i=1
h2
@2
@x2i
+
X
i> j
= ih
vij xi
3
xj 5
@
(x1; :::xN ; t)
@t
(x1; :::xN ; t)
Estados estacionários:
(x; t) =
E ( x) e
iEt
h
h2 @ 2
E ( x) + V ( x) E ( x) = E E ( x)
2
2m @x
é autofunção do operador H com autovalor
E e a energia é real. (o operador H é hermitiano ou
autoadjunto)
E ( x)
j E (x; t)j2 é independente do tempo.
Operador autoadjunto ou Hermitiano: exemplo p.
Z +1
@
dx ' (x; t) ( ih)
(x; t) = ('; p )
@x
1
@
ih ' (x; t)
@x
=
+
Z +1
1
dx
ih
+1
(x; t)
1
@
' (x; t)
@x
(x; t)
= (p'; )
(Sistemas com extensão …nita condições de contorno periódicas)
Produto interno: Generalização do produto escalar para
um espaço de Hilbert (Espaço vetorial de funções complexas de norma …nita).
Produto escalar: ~a:~b = (a; b)
~a:~b =
X
aibi
(espaço vetorial real)
i
(a; b) =
X
ai bi
(espaço vetorial complexo)
i
No caso do espaço de Hilbert
(a; b) =
Z
a (x) b (x) dx
X
x a ( xi ) b ( xi )
i
Notação vetorial ! Notação de Dirac
(a; b)
!
hajbi
bra
ket
II.3 - Notação de Dirac
~a ! jai
~b ! jbi
espaço vetorial
base
e^i; e^i:e^j = ij
P
vetor (estado)
~a = i aie^i
~b = Pi aibi
prod. esc. (interno) ~a
:
1
0
a1
B a C
B 2 C
notação matricial
B .. C
@ . A
an
espaço de Hilbert
jii ; hijji = ij
P
jai = i ai jii
P
hajbi
=
a b
1 i i i
0
a1
B a C
B 2 C
B .. C
@ . A
an
Exemplo: Série de Fourier - Integral de Fourier
iknx
e
f ( x) =
f~n p ;
L
n
onde:
X
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
f~n =
L
2
Z +L
2
L
2
x L
2;
L =f L
f
2
2
2
n
kn = L ;
n = 0; 1; 2:::
eiknx
dx p f (x)
L
Na notação de Dirac:
8
L
>
< jf i = P f~ jk i ; hk jk i = R + 2 dx ei(kn kn0 )x =
n;n0
n n n
L
n0 n
L
2
>
:
f~n = hknjf i (projeção de jf i em jkni)
Se L ! 1?
f ( x) =
Z
L
2
L
2
"
#
X
1
dx0
eiknxe iknx0 f x0
L n
k
2n
)L
=
kn =
L
2
[:::] =
XL
k ik(x x0)
e
Z +1
dx0
Z +1
dx0
x
n L2
Z +1
n=1
1 ik(x x0)
=
e
x x0
dk
2
1
onde percebemos a de…nição da função Delta de Dirac.
f ( x) =
=
1
Z +1
1
1
dk
1 ik(x x0)
e
f x0
2
x0 f x0
Z +1
1
(x) dx = 1;
(x) = 0 para x 6= 0
podemos escrever da seguinte forma:
Z +1
Z +1
0
eikx e ikx
0
p
f x0
f ( x) =
dx
dk p
1
1
2
2
0
Z +1
Z +1
ikx
ikx
e
e
=
dk p
f x0
dx0 p
1
1
2
2
assim
jf i =
Z +1
mas a quantidade
Z +1
dk jki hkj = 1
Z +1
dx jxi hxj = 1
1
e
1
ikx
e
@
p
ih @x
2
i
e
p
px
h
2 h
=
1
dk jki hkjf i
ikx
e
p
hk
;
2
p = hk = h
é autofunção do operador momento (partícula no
estado de momento p)
R +1
1 = 1 dp jpi hpj
@ eipx
= p eipx
ih p
@x 2
p^ jpi = p jpi
e a interpretação de jxi?
Se jpi é o estado quântico de uma partícula com momento p
Analogamente podemos dizer que jxi é o estado quântico de uma partícula com posição em x
e
p^ jpi = p jpi
x
^ jxi = x jxi
Princípio da incerteza de Heisenberg
p x
jhxjpij2 =
1
2
(
)
)
h
2
x = 1 para
x = 0 para
p=0
p=1
[^
p; x
^] = p^x
^
x
^p^ =
@
@
=
ih x + ihx
@x
@x
ih
p^ e x
^ não comutam.
Observáveis incompatíveis, não podem ser medidos simultâneamente ) conceito de trajetória destruído!
II.4 - Evolução Temporal
"
h2 @ 2
2m @x2
+ V ( x)
#
@
(x; t) = ih
(x; t)
@t
H j (t)i = ih
d
j (t)i
dt
Operador evolução temporal:
t0
E
= U t0; t j (t)i
Interpretação:
No instante t a partícula encontra-se na posição x portanto no estado jxi.
No instante t0 a amplitude de transição para uma posição
x0 ou para o estado x0 é dada por
k x0t0; xt
=
D
x0 U t0; t
x
E
D
x0 t0 jx (t)
E
Equação diferencial para U t0; t :
d
H U t0; t j (t)i = ih 0 U t0; t j (t)i
dt
j (t)i é qualquer e portanto:
H U t0; t
d
= ih 0 U t0; t
dt
na forma operatorial:
U t0; t = e
iH (t0 t)
h
se V é independente do tempo.
Exemplo: partícula livre
p^2
;
H0 =
2m
x0 e
iH0 t
h
K0
x0t0; xt
x = x0 e
iH0 t
h
=
D
x0 U0 t0; t
Z +1
1
x
E
dp jpi hpj x
p^2
p2
jpi =
jpi
H0 jpi =
2m
2m
Qualquer função do operador H0 tem como autofunção
jpi:
e
iH0 t
h
P1 1
iH0
= n=0 n!
h
n
2
p
H0n jpi = 2m
jpi
x0 e
iH0 t
h
x
9
t n >
>
=
>
>
;
=
Z +1
=
Z +1
dp
completando quadrado
p2
t
2m
p x=
t
p
=
2m
x 2
m
t
1
1
dp
D
2 h
t 2
p
2m
e
iH0 t
h
jpi = e
ip2 t
2mh
E
ip2 t
0
x jp e 2mh hpjxi
e
i p2 t
h
2m
2m
m 2
v t;
2
p x
x
p
t
v=
x
t
jpi
R +1
Integral Gaussiana:
1 dx e
K0
x0t0; xt
=
Z +1
dp
1
2 h
x2
e
=
i p2
h 2m
q
t hi m
v2 t
2
e
1
2
im 2
2 ih t
eh 2 v t
m
A evolução temporal de qualquer pacote de onda livre:
K0 x0t0; xt =
x0; t0
=
=
Z +1
1
Z +1
1
dx K0 x0t0; xt
dx
2 ih t
m
(x; t)
1
2
i m (x
eh 2
0 x) 2
t
(x; t)
II.5 - Propagador e operador evolução
S t0; t = U t0; t
t0
t
Função degrau:
(t) =
(
1; t 0
0; t < 0
Derivada da função degrau:
d
(t) = (t)
dt
Equação para S :
d
0; t
S
t
dt0
d
0; t
S
t
dt0
=
d
0; t
U
t
dt0
+U t0; t
t0
i
=
H t0; t
h
+1 t0 t
t0
t
t
t0
t
assim
d
ih 0 S t0
dt
t
HS t0
t = i1S t0
t
Na representação das coordenadas:
x0 x
t0 t
@
= ih 0 K x0; t0; xt
@t
!
2
2
h @
0
0 ; t0 ; xt
+
V
x
K
x
2m @x02
i
O propagador do sistema quântico é i função de Green
da eq. de Schrodinger. ( K x0; t0; xt = 0 para t0 < t).
O propagador de um sistema qu^antico interagente pode
ser obtido da seguinte equação:
d
H0S t0
ih 0 S t0 t
dt
= i1 t0 t + V S t0 t
t
d S t0
lembrando que: ih dt
0 0
Podemos escrever:
S t0
t
= S0 t0
i
Z t0
t
t
H0S0 t0
t = i1
t0
t00 V t00 S t00
t
t00 V t00 S t00
t
t
dt00S0 t0
Iterando temos que:
S t0
t
= S0 t0
i
Z t0
t
t
dt00S0 t0
+ ( i)2
S0 t00
Z t0
t
dt00
Z t00
t
dt000S0 t0
t000 V t000 S0 t000
t00 V t00
t + :::
t.
III - INTEGRAL DE CAMINHO
III.1 - Noções intuitivas: partícula livre
D
E
x0t0jxt = K0 x0t0; xt = q
i m v2
eh 2
t
2 ih t=m
Caminho (a)
8 2
<i m
4
exp
:h 2
x2
t
!2
a
x1
m
t+
2
xa1
x0
t
!2
39
=
t5
;
Caminho (b)
8 2
<i m
4
exp
:h 2
x2
t
!2
b
x1
m
t+
2
xb1
x0
t
Amplitude total: (a) + (b)
#
X
caminhos
e
i P2
j=1
h
xj xj 1 2
m
t2
t
!2
39
=
t5
;
#
X
e
caminhos
i P3
j=1
h
xj xj 1 2
m
t2
t
#
X
caminhos
X
caminhos
e
i Pn
j=1
h
R
i tn dt mv 2
2
e h t0
=
xj xj 1 2
m
t2
t
X
caminhos
R
i tn L(x;x;t)
_
e h t0
dt
III.2 - Integral de trajetória: partícula livre
D
x0t0jx0t0
E
=
Z +1
1
D
E
0
0
dx1 x t jx1t1 hx1t1jx0t0i
R
0 0
= +1
1 dx2 x t jx2 t2 hx2 t2 jx1 t1 i hx1 t1 jx0 t0 i
0
1
nY1 R
+1
A x0t0jxn 1tn 1
=@
1 dxj
j=1
hxn 1tn 1jxn 2tn 2i ::: hx1t1jx0t0i
K0 x0t0; x0t0
1
0
nY1 Z +1
i Pn
m
dx
j
B
C h j=1 2
q
= @
A e
1
2 ih t=m
j=1
xj xj 1 2
t
t
x0t0
Pn m xj xj
j=1 2
t
R
Dx
t = t0
(xntn) ;
nY1 R
j=1
1
2
t0 =n ! 0 ?
R t0
t ! t0 dt L (x; x;
_ t) = S t0; t0
+1 p dxj
1
2 ih t=m n!1
(medida da integral de caminho)
K0
x0t0; xt
=
Z
Dx
i S t0 ;t
h
e ( )
III.3 - Integral de trajetória: interação
p2
H=
+ V ( x)
2m
K x0t0; x0t0
0
= @
nY1 Z +1
j=1
1
1
E
D
0
0
A
dxj
x t jxn 1tn 1
hxn 1tn 1jxn 2tn 2i ::: hx1t1jx0t0i
D
E
0
0
x t jxt
iH t
0
h
x
x e
=
=
=
=
t!0
i
H t x
h
+
2
i p^
i
1
t
V ( x) t x
h 2m
h
!
i p^2
i
t
1
V ( x) t
1
h 2m
h
x0 1
*
x0
*
x0
onde desprezamos os termos com
t2.
x
+
D
=
=
=
E
0
0
x t jxt
*
x0
1
*
x0 e
e
t!0
i p^2
h 2m
i p^2
h 2m
2
i m x0 x
h 2
t
q
t x
+
t
x e
V (x)
+
i
V ( x)
h
1
i
h V (x)
=
t
t
2 ih t=m
K x0t0; xt0
=
0
1
nY1 Z +1
dxj
B
C
q
@
A
1
2 ih t=m
j=1
Z
e
2
i Pn m xj xj 1
j= 2
h
2
Dx
t
R
i t0 dt
e h t0
L(x;x;t)
_
V
xj +xj 1
2
t
ou seja,
K x0t0; xt
=
Z
Dx
i S t0 ;t
h
e ( )
E a trajetória clássica? (h ! 0)
Ponto de fase estacionária S = 0 terá a maior contribuição na integral de caminho!
S = 0 é a trajetória clássica entre os pontos (x; t) e
x0; t0 .