Números Complexos.

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Números Complexos.
Se
tivermos
um
circuito
contendo uma multiplicidade de
capacitores e resistores, se torna
necessário lidar com resistências e
reatâncias de uma maneira mais
complicada. Por exemplo, considere
o circuito acima. R3 e C3 estão em
série, mas combinados com R2 em
paralelo. A combinação em paralelo está então combinada em série
com C2, e a sequencia se repete com R1 e C1. Usando a
representação vetorial podemos facilmente calcular a impedância de
R3 associado com C3, mas tentar combinar esta associação com R2
fica bastante complicado. A complicação apenas aumenta quando
incluirmos os outros elementos. Precisamos então de uma maneira
de lidar com componentes resistivos e componentes reativos de
modo que possamos separá-los (pois são diferentes), mas usando-os
de uma mesma maneira. Felizmente existe uma maneira de fazer
isto.
O requisito básico é que possamos separar os componentes
reativos e marcá-los de uma maneira que a apropriada defasagem de
90° fique evidente. Podemos fazer isso introduzindo um novo
operador matemático “i”, que representa tal rotação. Similarmente,
“-i” indica uma rotação de -90°. Rotações de 180° são indicadas por
i×i ou i². Uma vez que i é um fator multiplicador, é também verdade
que i²= -1. Se você já trabalhou com números imaginários, este
conceito será familiar a você. Frequentemente alguns autores usam a
letra j para representar este operador, para não haver confusão com
a letra i representando corrente elétrica.
Neste contexto, a impedância do nosso exemplo experimental
para o circuito RC série deve ser indicada como Z=15k –i.15,92k.
Números escritos neste formato são conhecidos como números
complexos e neste texto serão indicados por letras em negrito. Todos
os cálculos intermediários relativos ao circuito são realizados usando
números complexos, e a conversão final para determinar Z (o módulo
de Z) como uma impedância simples é realizada apenas no passo
final, ou as vezes nem é feita.
Note com especial atenção o sinal "-" associado com XC. Se
escrevermos a expressão em sua forma mais básica, temos:
=
−
1
2
pois como sabemos a reatância capacitiva esta “atrasada” de 90° em
relação á resistência, ou seja, possui uma defasagem de -90°.
É claro que
=
1
mas
− =−
=−
−1
=
1
e então podemos escrever
=
+
1
e ainda
=
=
−
=
−
=
+
e
=
| |
=
+(
1
)
Se Z é um número complexo, ε ou I ou ambos também devem ser
complexos para que a igualdade seja válida.
O ângulo de fase do gerador é dado por
=
−
=−
1
Isto simplesmente significa que a voltagem está atrasada em
relação à corrente no circuito, o que já sabemos.
No exemplo numérico do circuito RL teríamos Z=500+626i e
de forma geral, a impedância seria descrita por
=
+
pois como sabemos a reatância indutiva esta “adiantada” de 90° em
relação à resistência, ou seja, possui uma defasagem de +90°.
3
Temos ainda que como
=
=
=
= ( +
!
+
!
!) =
+
!=
+
e
#
= | $| =
%
#$
& '((
)&
.
O ângulo de fase do gerador é dado por
=
=
!
Isto simplesmente significa que a voltagem está adiantada em
relação à corrente no circuito, o que já sabemos.
Esta abordagem que faz uso de números complexos está
diretamente relacionada com a representação vetorial. É uma
abordagem, digamos estática, simples e bastante apropriada para o
cálculo das impedâncias, fases e amplitudes (e valores rms) das
correntes e tensões no circuito. Uma abordagem mais abrangente
pode ser aplicada usando números complexos na resolução das
equações diferenciais usando uma representação complexa
dependente do tempo. Da equivalência entre as representações
cartesianas e polares dos números complexos temos que
=
) *(+ =
) + 0)1(
,cos(
)2 =
cos(
)+
sen(
)
onde vemos que
( )=
cos(
) = )( )
Tomemos então a equação diferencial do circuito RC série que
desenvolvemos anteriormente
5
( )=
5
5 ( ) 1
+ ( )
5
E substituímos ε (real) por sua representação complexa ε temos
5
5
=
5 ( ) 1
+ ( )
5
4
E devemos obviamente supor que a solução buscada deva ser
uma função complexa I da forma
=
) *((+'6)
pois sabemos que no circuito RC a corrente está defasada em relação
à voltagem da fonte, como argumentado anteriormente. Assim como
para a tensão, a corrente real que passa pelo circuito pode ser obtida
tomando
= )( )
Voltando para a equação diferencial temos então
5
5
)
*(+
5 ) *((+'6) 1
+
) *((+'6)
5
=
) *(+ =
) *((+'6) +
=
=
=
) *6 +
(780 + 0)1 ) +
780 −
1
0)1 +
1
1
1
) *((+'6)
) *6
(780 + 0)1 )
780 +
1
0)1
Como as partes imaginárias e reais da igualdade devem ser
também iguais temos que
−
0)1( )] +
:
cos( ) = 0
o que nos dá
=
1
e
−
dando
cos( ) −
:
0)1( ) = 0
5
=
+(
1
)
resultados que já tínhamos obtido anteriormente.
Adiante, iremos usar números complexos sempre que necessário
para ajudar a descrever o desenvolvimento de vários circuitos.
Circuito RC paralelo
O circuito RC paralelo ao lado comportase bem diferente quando CA é aplicada a ele
do que quando aplicamos CC. Com uma
voltagem CC aplicada, o capacitor irá
carregar rapidamente com a voltagem da
fonte, e a partir deste ponto a corrente fluirá
somente através do resistor. Porém, quando um a tensão CA é
aplicada, o capacitor não conseguira nunca atingir a carga completa
e, portanto uma corrente sempre irá fluir pelo capacitor.
Sabemos que no circuito paralelo a voltagem será sempre a
mesma sobre todos os elementos. Entretanto, a corrente I que flui
pelo resistor R não é a mesma que flui através de C. Então, IR está
em fase com ε, mas IC está adiantada em relação à ε por 90°.
Porque a voltagem é a mesma sobre todos os elementos,
devemos usar a voltagem como referência e determinar a corrente
total no circuito em termos da voltagem. Para isso usamos a Lei de
Ohm. Sabemos que IR =V/R, mas a defasagem de +90°da corrente
em C requer o uso de número complexos. Então IC = i(V/XC). A
corrente total é então:
=
=I +
== +
>
Dois pontos devem ser destacados sobre esta equação: Primeiro,
lembre-se que i(ε/XC)=ε/(-iXC). Ou de outro modo, lembre-se que a
reatância capacitiva é definida como XC=1/(ωC). Incluindo o fator "i"
fator, temos que 1/(iωC). Isto novamente nos dá -iXC para a
capacitância reativa.
O Segundo ponto é que, uma vez que ε é o mesmo em todos os
termos da equação acima, podemos dividir cada membro por ε e
removê-lo da equação. Portanto, a equação que realmente devemos
resolver é:
6
1 1
= +
−
1
Para associações em paralelo, pode ser mais conveniente o uso da
admitânica Y, das condutâncias G e das susceptâncias B. Estes
valores são respectivamente os inversos das impedâncias,
resistências e reatâncias. A unidade no SI de admitância,
condutâncias e susceptâncias é o siemens (S) e 1S = 1/Ω.
Fazendo uso destas grandezas temos:
?=
1
; A =
1
;BC =
1
=
DC
;BE =
1
=− DE
!
e para uma associação em paralelo
? = A + (BE + BC )
e
=?
Cálculos envolvendo números complexos
A equação acima é simplesmente o embrião da equação para a
equação mais geral para impedâncias em circuitos paralelos. Temos
aqui uma resistência enquanto que no outro termo temos uma
reatância. Isso significa lidar com o incômodo "i" em um termo.
Felizmente isto não é uma grande dificuldade como parece ser.
A expressão para impedâncias em paralelo é simplesmente uma
adaptação da expressão para resistores em paralelo. Se agruparmos
todos os resistores juntos para formarmos um resistor R equivalente
e também agruparmos os capacitores em um capacitor C equivalente
e o mesmo para um indutor L equivalente, a expressão geral para
estes elementos em paralelo torna-se:
. ( −
+ ( −
=
)
)
No nosso caso temos apenas R e C, e o então o fator XL é
simplesmente retirado da equação ficando então:
=
. (−
−
)
Para completar o cálculo, devemos remover o termo "i" do
denominador. Podemos fazer isso aplicando a identidade:
7
(a + b)(a − b) = a² − b²
Neste caso,
( +
)( − ) = ² − ²
² = ² + ²
Então, podemos multiplicar a expressão para a impedância
paralela por (R+iXC)/(R+iXC) e obteremos o seguinte resultado:
=
. (−
( −
(−
)
=
) ( −
). ( +
). ( +
=
). ( +
). ( +
−
,
+
−
)
=
)
,
−
+
2
2
Esta expressão nos dá um número real no denominador tornando
os cálculos possíveis. Nossa impedância paralela tem agora um termo
real e um termo imaginário e pode ser escrita como:
=
,
+
2
−
,
+
2
Esta expressão pode ser usada para calcular a impedância
paralela de um resistor e um capacitor se a frequência do sinal é
conhecida.
Para verificar esta expressão matemática, vamos testar um
exemplo prático. Tomemos ε0=5V, R=100Ω e XC=200Ω. Então:
=
=
−
=
=
5
= 0,05K
100
5
= 0,025K
− 200
| M | = %(| | + | | ) = %(0,05 + 0,025 ) = 0,0559K
| |=
| M|
=
5
= 89,44Q
0.0559
O próximo passo é calcular Z usando a equação que derivamos
anteriormente, e comparar aquele resultado com o acima. Se nossa
matemática estiver correta, os resultados devem bater. Por
simplicidade vamos calcular primeiramente o denominador (D) e os
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dois numeradores (N1) e (N2) e então introduziremos estes valores
na equação.
R=
=
+
= 100 + 200 = 50.000
S1 =
= 100. 200 = 4.000.000
S2 =
= 100 . 200 = 2.000.00
S1
S2 4.000.000
2.000.000
−
=
−
= 80 − 40
R
R
50.000
50.000
| | = %80 + 40 = √6400 + 1600
| | = 89,44Q
Vemos que ambos os conjuntos de cálculos produzem
precisamente o mesmo resultado. Isto indica que nosso método de
calcular impedância sem saber (ou usar) a voltagem aplicada é
perfeitamente válido.
Circuito RL paralelo
Quando um sinal CA é aplicado a um
circuito
RL,
o
circuito
apresenta
uma
significante
impedância
à
passagem da
corrente. Esta impedância é dependente da
frequência, uma vez que dela depende XL, mas
para uma dada frequência, a impedância é
independente do tempo.
Como esperado, o tratamento equivalente à Lei de Ohm é
aplicável, como nos circuitos anteriores. Como a voltagem é a mesma
para todos os ela será a nossa referência. A corrente fornecida pelo
gerador é, entretanto, a soma das correntes que atravessam R e L,
tendo em mente que o indutor se opões às mudanças na corrente
que o atravessam, de modo que nele a corrente está atrasada de 90°
em relação à sua voltagem. Portanto, a equação para as correntes
deve ser:
=
=I +
== −
>
Se movermos o “i” para o denominador da fração devemos mudar
seu sinal. Isto está de acordo com o fato de que . iωL=iXL. Como no
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circuito RC paralelo, podemos dividir a equação por ε e calcular a
impedância complexa deste circuito. Ou seja:
1
=
1
+
1
Para calcular a impedância total do circuito faremos uso da
equação apresentada no item anterior:
=
. ( −
+ ( −
)
)
e agora deixaremos somente os valores de R e L, eliminando os
fatores que contém XC da equação. Teremos então:
.
+
=
E completamos os cálculos usando a mesma relação usada
anteriormente para remover “i" do denominador.
=
. (
( +
). ( −
). ( −
=
)
==
)
+
,
+
,
−
+
2
2
A impedância do circuito RL é então um número complexo que
pode ser escrito como:
=
,
+
+
2
+
,
+
2
Circuito LC série
O circuito esquematizado ao lado mostra
uma associação em série ideal de um capacitor e
um indutor ligados a um gerador. Como no
circuito RC e RL examinados anteriormente o
capacitor C e o indutor L formam um divisor da
tensão fornecida pelo gerador. Neste caso ideal,
entretanto, não temos o resistor para colocar um
limite na corrente que flui no circuito – temos
10
somente XC e XL.
Para este exemplo vamos assumir valores numéricos. Seja a
frequência f=1 MHz (1,000,000 Hz), L=150µH e C=220pF, e
εrms=10V.
Estes valores nos parecem razoáveis, mas quando medimos a
voltagem VC sobre o capacitor encontramos VCrms=33V e sobre o
indutor encontramos VLrms=43V enquanto a fonte de voltagem
continua fornecendo 10V. O que está acontecendo? Como podemos
ter 76V sobre dois componentes em série enquanto sobre a fonte
temos 20V?
A resposta será evidente se lembrarmos dos
circuitos RC e RL série tratados anteriormente e se
observarmos o diagrama de vetores que representa
as tensões no circuito mostrado ao lado.
Uma vez que temos um circuito em série, a
corrente no circuito é a mesma em todos os
elementos. Como não temos resistência no circuito,
não temos voltagem resistiva e, portanto só temos
o vetor representativo da corrente (em vermelho) no ângulo de
referência (fase 0°).
Sabemos que a voltagem está avançada em relação à corrente no
indutor, de modo que VL teme uma fase de +90°. Sabemos também
que no capacitor a voltagem está atrasada em relação à corrente, de
modo que VC tem uma fase de -90°. Isto nos dá a pista do que está
acontecendo neste circuito e como podemos ter VC e VL tão maiores
do que a voltagem da fonte. Estas voltagens estão em oposição e se
cancelam parcialmente, de modo que é a diferença entre estas duas
voltagens que deve se igualar à voltagem da fonte, e de fato 43V33V=10V.
Se XL > XC, a associação será puramente indutiva para a fonte. Se
XC > XL, o circuito parecerá capacitivo. A questão que permanece é
como determinar a intensidade dos vetores VC e VL.
Os cálculos para este circuito são equivalentes ao que fizemos
para os circuitos anteriores. Em geral, temos:
=
=
=
Vamos usar em nossos cálculos os valores reais pois sabemos de
antemão as orientações relativas das tensões e da corrente.
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Primeiramente temos que calcular o valor de ω necessário para ao
cálculo das reatâncias:
ω=2πf=6,2831853 × 1,000,000 = 6283185,3 rad/s
e então temos:
=
=
= %(
! = 6283185,3x0,000150 = 942,48Ω
1
=
1
6283185,3x220. 10
) =|
−
=
−
=
= 723,43Ω
| = 942,48 − 723,43 = 219,05Ω
10
= 45,652ZK
219,05
= [
= 0,045652[942,48 = 43
= [
= 0,045652[723,43 = 33
Que confirmam os valores apresentados. O fato de que possamos
ter nos elementos dos circuitos voltagens consideravelmente maiores
do que a voltagem fornecida pela fonte demanda dois cuidados na
montagem deste tipo de circuito. Primeiro os valores limites
suportados pelos indutores e capacitores não devem ser limitados
pelos valores da fonte e em segundo, muito cuidado deve ser tomado
no manuseio destes circuitos.
Uma vez que a impedância total do circuito é a diferença entre XL
e XC, o que acontece se estes dois valores são iguais. Não deve ser
difícil encontrar valores de capacitores e indutores que a uma dada
frequência se encaixe neste caso. Qual será o comportamento do
circuito neste caso?
Quando XL=XC
Examinamos um caso específico de um circuito LC e seu
comportamento sob uma particular frequência. Sabemos que se
aumentarmos a frequência o valor de XL aumenta enquanto que o
valor de XC diminui. Por outro lado, se diminuirmos a frequência, o
valor de XL diminui enquanto que o valor de XC aumenta.
A mesma questão apresentada logo anteriormente pode ser
colocada da seguinte forma. Qual será o comportamento do circuito
numa específica corrente quando XL = XC? Como podemos determinar
esta particular frequência?
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Encontrar esta frequência “mágica” não é problema, basta
igualarmos os valores de XL = XC:
=
!=
=
=
\=
1
1
!
1
√!
1
2]√!
Se este resultado te parece familiar, deveria. Esta é a frequência
de ressonância do circuito LC não forçado que calculamos
anteriormente e chamamos de ω0. A frequência de ressonância é a
mesma com uma voltagem CA aplicada, mas a voltagem AC forçada
elimina perdas no circuito e as oscilações não terminam.
Na ressonância, quando XL=XC, também é verdade que XL-XC=0.
Portanto, não existe componente reativo em Z na frequência de
ressonância. Na ausência de qualquer resistência, I cresce sem
limites e torna-se, teoricamente, infinita. A fonte de voltagem deve
se comportar como se estivesse ligada em um curto circuito.
Na verdade, não existem circuitos completamente livres de
resistência, e qualquer resistência presente servirá para limitar a
corrente. Entretanto se a resistência é muito pequena, a corrente
ainda será muito alta. Em muitos caos, um resistor é
deliberadamente adicionado ao circuito para definir uma impedância
mínima e uma corrente máxima na ressonância.
Circuito LC série
No diagrama mostrado ao lado temos
uma associação em paralelo de uma
indutância ideal e um capacitor ideal, ligados
uma fonte. Usaremos neste caso os mesmos
valores utilizados no circuito LC série.
a
Teremos então:
13
εrms = 10V.
f = 1 MHz. (ω= 6283185,3 rad/s)
L = 150 µH. (XL = 942.4778 Ω)
C = 220 pF. (XC = 723.43156 Ω)
E de acordo com a “Lei de Ohm”
=
=
10
= 0,01061 = 10,61ZK
942,48
=
=
10
= 0,01382 = 13,82ZK
723,43
Se medirmos a corrente fornecida pela fonte encontraremos
3,21mA – a diferença entre IL e IC.
A questão para este circuito é: De onde vem a corrente extra
que atravessa os dois elementos L e C e para
onde ela vai?
que
Os
vetores
mostrados
ao
lado,
que
representam este circuito têm a resposta. Aqui a
voltagem é a mesma para os dois elementos pois
temos um associação em paralelo, e ela é usada
como referência. Não existe resistência de modo
não temos corrente em fase com a voltagem
aplicada.
Sabemos que a corrente está atrasada em relação á voltagem de
90° no indutor e por isso desenhamos o vetor de IL em -90°.
Similarmente, sabemos que a corrente está adiantada de 90° no
capacitor e da mesma forma desenhamos IC em +90°.
Combinando estes dois vetores opostos notamos que o vetor
soma é de fato a diferença entre eles. Isto está de acordo com os
valores apresentados no exemplo.
A corrente restante em L e C é devida à energia obtida da fonte
quando o gerador foi ligado e que adiante está sendo transferida
entre o capacitor e o indutor, sem passar pela fonte.
Se começamos com uma voltagem máxima no gerador, o
capacitor C é instantaneamente e completamente carregado. Uma
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vez que a corrente está defasada de 90° com a voltagem, a corrente
neste instante é zero. Mas a partir daí C descarrega sobre L, com a
voltagem decrescendo enquanto a corrente cresce. Quando C está
completamente descarregado, a voltagem é nula e a corrente sobre L
está em seu máximo e o campo magnético em L cresce até seu valor
máximo. Isto completa ¼ do ciclo.
No segundo quarto de ciclo o campo magnético colapsa e tenta
manter a corrente fluindo sobre L. Esta corrente agora carrega C,
mas com polaridade inversa da carga original. Quando a corrente cai
para zero e a voltagem em C atinge seu valor máximo, o segundo
quarto de ciclo é completado.
Na segunda metade do ciclo temos o mesmo comportamento no
circuito, exceto que as polaridades são inversas e as correntes
fluem no sentido contrário. Na conclusão da segunda metade o
capacitor está novamente com a voltagem máxima inicial e o ciclo
se repete.
O cálculo da impedância combinada de L e C se faz pela
tradicional expressão produto-sobre-soma das associações em
paralelo, utilizando das impedâncias complexas para considerar as
diferenças de fase entre os componentes, ou seja:
=
(
(
)(− )
−
=
) + (− )
( −
)
=−
−
Esta equação nos diz duas coisas a respeito da combinação
paralela de L e C.
1- A defasagem entre a corrente e a voltagem no gerador
será comandada pela componente com menor reatância.
Isto é razoável pois será este elemento que drenará a
maior quantidade de corrente.
2- A impedância da associação paralela pode ser maior que
qualquer reatância individual. Isto se deve ao fato de que
as fases opostas das correntes em L e C forçam o
denominador da fração a ser a diferenças entre as
reatâncias, e não a soma.
Porque o denominador é a diferença entre XL e XC, temos aqui
uma questão óbvia. O que acontece quando XL=XC — a condição que
acontecerá na frequência de ressonância do circuito. Claramente
existe um problema quando temos um zero no denominador de uma
fração.
Quando XL = XC
15
Na frequência de ressonância do circuito LC paralelo sabemos que
XL=XC. Nesta frequência, de acordo com a equação acima, a
impedância efetiva da combinação paralela de L e C deve ser
infinitamente grande. De fato, isto é o que acontece para este circuito
teórico utilizando componentes teoricamente ideais.
As correntes fluindo por L e C podem ser determinadas pela “Lei
de Ohm”, como fizemos anteriormente. A corrente drenada da fonte é
a diferença entre IL e IC. Entretanto, quando XL=XC e a mesma
voltagem é aplicada aos dois componentes, suas correntes são
também iguais e a diferença sendo zero nenhuma corrente é drenada
da fonte. Isto corresponde a uma impedância infinita ou a um circuito
aberto.
Isto não significa que corrente não flui por L e C. Toda a corrente
circulando nestes elementos está simplesmente circulando, indo e
voltando entre estes dois elementos, sem envolver a fonte. As
correntes calculadas com a “Lei de Ohm” estão fluindo através de L e
C, mas permanecem confinadas somente a estes elementos. Como
resultado deste comportamento o circuito LC paralelo é chamado de
circuito tanque porque ele mantém a corrente circulando, sem perdêla.
Existe outro fator a se considerar quando trabalhando com um
circuito LC tanque: A magnitude da corrente. Podemos combinar uma
série de valores de L e C para uma dada frequência de ressonância.
Tenha em mente que na ressonância:
=
=
1
√!
Enquanto o produto L x C permanecer o mesmo, a frequência de
ressonância é a mesma. Entretanto se usarmos um valor de L alto e
um valor de C baixo, suas reatâncias serão altas e a quantidade de
corrente circulando no tanque será pequena. Por outro lado, usando
baixos valores de L e altos valores de C, suas reatâncias serão baixas
e a quantidade de corrente circulando no tanque será muito maior.
Muitas aplicações deste tipo de circuito são dependentes da
quantidade de corrente assim como da frequência de ressonância e
estes fatores devem ser levados em conta. De fato, em circuitos reais
não se pode evitar possuir alguma resistência, especialmente em L. É
possível ter uma corrente no circuito tanque tão alta que a energia
perdida em R (P=i2R) é suficiente para literalmente queimar L.