Slides - Capítulo 7

CIRCUITOS ELÉTRICOS
Cap. 7 – Circuitos Transientes de
Primeira e Segunda Ordem
Prof. Dr. Alex da Rosa
UnB – ENE – LARA
www.ene.unb.br/alex
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Circuitos de 1ª ordem
• Possuem 1 elemento armazenador de energia: capacitor ou indutor
• Circuito transiente (transitório): ocorre transição de um estado para outro
• O objetivo da análise transiente é descrever o comportamento do circuito
após uma mudança súbita na rede
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Circuitos de 1ª ordem
• Circuitos mais simples:
Método da equação diferencial
Método passo-a-passo
• Circuitos mais complexos:
Transformada de Laplace (Circuitos Elétricos 2)
• Equação diferencial ordinária de 1ª ordem, linear, com coeficientes
constantes:
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Circuitos de 1ª ordem
• Forma geral da solução para f (t) constante:
solução particular
(regime permanente)
solução homogênea
(transitória)
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Circuitos de 1ª ordem
• Solução transitória:
• O parâmetro  é denominado constante de tempo ( > 0)
• A cada “tau” segundos, o valor de xh(t) decresce 63,2%, tendendo
assintoticamente a zero
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Circuitos de 1ª ordem
• Solução transitória:
• Baixa constante de tempo: resposta converge rapidamente
• Alta constante de tempo: resposta converge lentamente
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Método da equação diferencial
• Procedimento para obter a tensão ou corrente em qualquer ponto do
circuito:
Escrever a EDO que descreve o circuito
Supor que a solução possui a forma geral:
Calcular k1 e  a partir da EDO
Determinar k2 usando uma condição inicial
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Circuitos de 1ª ordem
• Circuito RC
capacitor: circuito-aberto
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Circuitos de 1ª ordem
• Circuito RL
indutor: curto-circuito
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Exemplo 7.1
• No circuito abaixo, a chave estava na posição 1 por muito tempo e, em
t = 0, foi alterada para a posição 2. Determine a corrente i(t).
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Exemplo 7.2
• Considerando que a chave do circuito abaixo estava fechada por muito
tempo e abriu em t = 0, determine a tensão vo(t).
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Método passo-a-passo
1.
Analisar o circuito para t = 0
Circuito RC: substituir capacitor por circuito aberto e obter vC(0−)
Circuito RL: substituir indutor por curto-circuito e obter iL(0−)
2.
Analisar o circuito para t = 0+
Substituir capacitor por fonte de tensão de valor vC(0+) = vC(0−)
Substituir indutor por fonte de corrente de valor iL(0+) = iL(0−)
3.
Analisar o circuito para t → 
Substituir capacitor por circuito aberto e indutor por curto-circuito
4.
5.
Calcular RTh nos terminais do capacitor ou indutor:  = RThC ou  = L/RTh
Solução:
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Exemplo 7.3
• Considerando que o circuito abaixo estava em regime permanente antes
de se fechar a chave, determine a corrente i(t).
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Avaliação do Aprendizado E7.8
• Considerando que a chave do circuito abaixo estava fechada por muito
tempo, determine a corrente io(t) utilizando o método passo-a-passo.
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Problema 7.45
• Considerando que a chave do circuito abaixo estava fechada por muito
tempo e abriu em t = 0, determine a tensão vC(t).
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Observações
• A mudança da chave nem sempre ocorre em t = 0
• Se a chave mudar em um instante t0, então teremos a mesma expressão,
porém com um deslocamento no tempo:
• Caso o circuito possua mais de uma fonte independente, podemos utilizar
o Princípio da Superposição
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Circuitos de 2ª ordem
• Possuem 2 elementos armazenadores de energia (capacitor e/ou indutor)
• Circuito RLC paralelo
• Circuito RLC série
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Circuitos de 2ª ordem
• Circuito RLC série
d 2 vc (t ) R dvc (t ) 1
1


v
(
t
)

vS (t )
c
2
dt
L dt
LC
LC
• EDO da forma:
• Para f (t) constante, a solução particular será dada por:
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Circuitos de 2ª ordem
• Equação homogênea:
• Para determinar a solução homogênea, supomos:
• Equação característica:
• Raízes da equação característica:
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Circuitos de 2ª ordem
• Significado dos parâmetros
s1 e s2: frequências naturais
 (zeta): fator de amortecimento
0: frequência natural não-amortecida
• Quatro possíveis casos:
 > 1 → raízes reais e distintas
 = 1 → raízes reais e iguais
0 <  < 1 → raízes complexas conjugadas
 = 0 → raízes puramente complexas
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Circuitos de 2ª ordem
• Superamortecido ou sobre-amortecido ( > 1)
x(t )  k1es1t  k2es2t  k3
• Criticamente amortecido ( = 1)
x(t )  e0t k1  k2t   k3
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Circuitos de 2ª ordem
• Um circuito criticamente amortecido chega ao regime permanente mais
rápido que o superamortecido
• Circuitos criticamente amortecidos são raros na prática, pois requerem
valores exatos dos componentes
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Exemplo 7.7
• Obtenha v(t) no circuito RLC paralelo abaixo, considerando as condições
iniciais iL(0) = 1 A e vC(0) = 4 V.
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Problema 7.95
• Obtenha vo(t) no circuito abaixo e esboce a resposta.
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Circuitos de 2ª ordem
• Sub-amortecido (0 <  < 1)
• A resposta oscila com frequência angular d e decresce exponencialmente
até estabilizar em um valor constante
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Circuitos de 2ª ordem
• Não amortecido ( = 0)
• Como o fator de amortecimento é nulo, a resposta nunca entra em regime
permanente e fica oscilando indefinidamente
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Avaliação do Aprendizado E7.16
• Determine vC(t) no circuito abaixo.
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Avaliação do Aprendizado E7.17
• A chave do circuito abaixo se move da posição 1 para a posição 2 em t = 0.
Determine a corrente io(t) e a tensão vo(t).
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