Análise Infinitesimal II LIMITES DE SUCESS˜OES 1

Análise Infinitesimal II
LIMITES DE SUCESSÕES
1-1. Calcule os seguintes limites
√
√
a) limn→∞ ( n + 1 − n)
b)
limn→∞
d)
limn→∞
f)
limn→∞
3n + 4n
5n + 7n+1
c)
√
√
limn→∞ ( n2 + n − n2 + 1)
e)
limn→∞ n −
g)
limn→∞ 1 −
n+2
2
n+1
h)
limn→∞ 1 −
1 3n
n
i)
limn→∞ 1 +
4 n
n2
j)
limn→∞ 1 −
1 n
n2
k)
limn→∞ n sin (nπ)
l)
limn→∞ n sin n1
m)
limn→∞
n)
limn→∞ nn
√
√
2n + 1 n + 3
sin n
n
32n + 4n
5n + 7n+1
n
3
1 + n+1
√
3
1/n
n cos n
n+1
o)
limn→∞ (n + n)
p)
limn→∞
q)
limn→∞ 3−n sin (n4 + n2 + 3n + 2)
r)
limn→∞ (3n + 7n )1/n
s)
limn→∞
t)
limn→∞
u)
2n − 3
3n + 5 − 51/n
Z 1
limn→∞
(xe−x )n dx
n+4
+ 3n
41/n
0
1-2. Dê exemplos de sucessões {un } e {vn } tais que un → +∞, vn → −∞ e
a) lim(un + vn ) = 0
b) lim(un + vn ) = 10
c) lim(un + vn ) = +∞
d) lim(un + vn ) = −∞
e) lim(un + vn ) não existe.
1-3. Dê exemplos de sucessões {un } e {vn } tais que un → 0, vn → +∞ e
a) lim(un vn ) = a, com a ∈ R \ {0}
b) lim(un vn ) = 0
1
2
c) lim(un vn ) = +∞
d) lim(un vn ) = −∞
e) lim(un vn ) não existe.
1-4. Considere a sucessão {an } definida por a1 = 0.3, a2 = 0.33 , a3 = 0.333
et cetera.
a) Determine o mais pequeno inteiro N tal que an − 13 < 0.01 para
toda a ordem n ≥ N .
b) Determine o mais pequeno inteiro N tal que an − 13 < 0.001 para
toda a ordem n ≥ N .
c) Dado > 0 determine p() tal que an − 31 < para toda a ordem
n ≥ p().
1-5. Considere a sucessão de termo geral a1 = 0.5, a2 =
cetera.
a) Determine o mais pequeno inteiro N tal que
para toda a ordem n ≥ N .
b) Dado > 0, encontre p(), tal que an − 59 < n ≥ p().
0.55, a3 = 0.555 et
an − 5 < 0.001
9
para toda a ordem
1-6. As sucessões {an }, onde an é definido por cada uma das seguintes expressões, convergem para 0.
1
1
1
a) an =
b) an = 2
c) an = n
n!
n
n
1
1
e)
a
=
n
2n
log n
Para cada uma das sucessões {an }, encontre o mais pequeno inteiro N ,
tal que
|an − 0| < 0.001
para toda a ordem n ≥ N . Qual das sucessões acima indicadas converge
mais rapidamente para zero?
d)
an =
1-7. Mostre usando a definição de limite de uma sucessão
2
a) lim = 0
n→∞ n
n
b) lim
=1
n→∞ n + 3
1
c) lim 5 1 −
=5
n→∞
n
sin na
d) lim
=0 a∈R
n→∞
n
3
1
cos n
+
=0
n→∞ n + 1
n−1
2
1
f) lim
−
=0
n→∞ n + 1
n−1
e) lim
1-8. Prove que para qualquer sucessão {an }, limn→∞ an = 0 se e só se
limn→∞ |an | = 0.
1-9. Prove que limn→∞ log n = +∞.
1-10. Seja {an } uma sucessão tal que limn→∞ a3n = 8
a) Determine uma função f (x) tal que |x3 − 8| = |x − 2|f (x).
b) Determine o valor mı́nimo de f (x).
c) Encontre uma constante C tal que |x − 2| ≤ C|x3 − 8|.
d) Mostre que limn→∞ an = 2.
1-11. Considere as sucessões {an } definidas recursivamente por
√
a) a1 = 1
an+1 = 1 + an (n ≥ 1)
3an + 1
(n ≥ 1)
b) a1 = 0
an+1 =
an + 3
√
c) a1 = 1
an+1 = 3 + an (n ≥ 1)
Mostre que cada uma das sucessões {an } converge e determine o seu
limite.
1-12. Considere a sucessão
√
u1 = 2√
un+1 = 2 + un
a) Calcule os três primeiros termos da sucessão.
b) Prove por indução que
√
1. 2 ≤ un ≤ 2, para todo o n ∈ N.
2. (un ) é crescente.
c) Prove que (un ) é convergente e determine o limite.
1-13. Sejam{an } e {bn } sucessões de termos positivos, tais que, para n ≥ 1
p
1
an+1 = (an + bn )
bn+1 = an bn
2
a) Prove que para n ≥ 2, {an } é monótona decrescente e {bn } é
monótona crescente.
b) Mostre que limn→∞ an = limn→∞ bn .
4
1-14. Chama-se proporção de um rectângulo à razão entre os comprimentos
dos seus lados maior e menor. A razão de um rectângulo é sempre um
número maior ou igual a um. Chama-se razão de oiro à proporção de um
rectângulo que possa ser decomposto num quadrado e noutro rectângulo
exactamente com a mesma proporção.
a) Mostre que a razão de oiro λ é solução da equação
1
x=1+ .
x
√
b) Veja que as√ raı́zes desta equação são λ = 1+2 5 = 1.618034 · · · e
−λ−1 = 1−2 5 = −0.618034 · · · .
c) Mostre que quaisquer que sejam os números a, b ∈ R, a sucessão
√ !n
√ !n
1− 5
1+ 5
xn = a
+b
,
2
2
satisfaz a equação recursiva
xn = xn−1 + xn−2 ,
para todo o n ≥ 2 .
d) Determine os coeficientes a e b de modo que a sucessão da alı́nea
anterior satisfaça as condições iniciais x0 = x1 = 1. Como relaciona
a sucessão obtida com a sucessão de Fibonacci?
e) Mostre que a sucessão de Fibonacci, fn = fn−1 + fn−2 , f0 = f1 = 1,
satisfaz
√
fn
1+ 5
lim
=
.
n→∞ fn−1
2
√
1-15. Considere o número de oiro λ = 1+2 5 = 1.618034 · · · , e a sucessão {rn }
definida recursivamente por r1 = 1, e
1
rn = 1 +
, para n > 1 .
rn−1
Mostre que:
fn
a) Sendo fn a sucessão de Fibonacci, rn = fn−1
, para todo o n ≥ 1.
5
b) Para todo o n ≥ 1, rn ≥ 1.
c) Para todo o n ≥ 1,
1
|rn − λ| ≤ |rn−1 − λ| .
λ
1
1
Sugestão: |rn − λ| = 1 + rn−1
− 1 − λ1 = rn−1
− λ1 .
d) Para todo o n ≥ 1,
1
|rn − λ| ≤ n+1 .
λ
e) limn→∞ rn = λ.
1-16. Seja an = (−1)n . Indique uma subsucessão de {an } que seja convergente
e uma subsucessão não convergente.
1-17. Seja an = (−1)n 2n + 2n. Indique uma subsucessão convergente.
1-18. Considere as sucessões {an } definidas por
n+1
(a) an =
+ 2(−1)n
(b) an = cos(nπ)
n+5
Mostre, usando subsucessões, que cada uma das sucessões acima indicadas não tem limite.
1-19. Para cada uma das sucessões {an } determine os seus sublimites e os
pontos de acumulação do seu conjunto de termos A = {an : n ∈ N}.
1
b) an = cos nπ
a) an =
n+5
1 1
1 1
c) {an } = { 1, , , 1, , , 1, ... }
5 6
7 8
1-20. Considere a sucessão {an } cujo termo geral é dado pela expressão
2
an =
+ (−1)n
(n ∈ N)
n+1
a) Prove que {an } tem dois sublimites: −1 e 1.
b) O que pode concluir sobre o limite desta sucessão?
1-21. Mostre que a sucessão de termo geral an dado por
an =
(n4 + 2n3 + 1) sin (2n2 + 1)
(n4 + 5n3 )
possui uma subsucessão convergente.
6
1-22. Seja {an } uma sucessão arbitrária de números reais. Para as sucessões
{bn } abaixo indicadas indique as que, independentemente da sucessão
{an } considerada, possuem sempre uma subsucessão convergente.
1
a) bn =
b) bn = ann + 2
1 + sin an 2
1
c) bn = 2cos an
d) bn =
1 + |an |
1-23. Considere a sucessão de termo geral an =
que {an } é uma sucessão de Cauchy.
√1 .
n
Usando a definição, prove
1-24. Seja {an } uma sucessão cujo termo geral an satisfaz a propriedade
1
|an − an+1 | ≤ n
2
Prove que {an } é uma sucessão de Cauchy.
1-25. Seja {an } uma sucessão cujo termo geral an satisfaz a propriedade
1
|an − an+1 | ≤ |an−1 − an |
2
Prove que {an } é uma sucessão de Cauchy.
1-26. Considere a sucessão de termo geral an , definida recursivamente por
1
a1 = 1
an+1 =
(n ≥ 1)
an + 1
Mostre que {an } converge e determine o seu limite.
1-27. Indique o supremo, infı́mo, máximo e mı́nimo, caso existam, de cada
um dosseguintes conjuntos:
1 + 2n
2n − 1
a)
: n∈N
b)
: n∈N
n
n
1
c) { x ∈ R : |x − 2| ≤ 3 }
d)
: n∈N
5n
e)
n ∈ N : n2 = 3
f) N.
1-28. Mostre que
Z
lim
n→∞
2
n
x dx
0
1/n
=2