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Mecânica Geral
Apostila 5: Estática do Corpo Rígido
Professor Renan Faria
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Condições de Equilíbrio para Corpos Rígidos
Para um corpo rígido estar em equilíbrio (estático ou dinâmico) é
necessário duas condições:
1) ∑ 𝐹⃗ = 0
2) ∑ 𝜏⃗ = 0
(não há aceleração transversal)
(não há aceleração rotacional)
Desse modo, um corpo estará em equilíbrio estático se satisfizer ambas as
condições anteriores e estiver em repouso, ver figura 11.1.
Centro de Gravidade
Em um grande número de problemas de equilíbrio, uma das forças que
atuam sobre um corpo é o seu peso. Precisamos ser capazes de calcular o
torque dessa força. O peso não atua sobre um único ponto; ele age de forma
dispersa sobre todos os pontos do corpo. Entretanto, podemos sempre calcular
o torque do peso de um corpo supondo que a força total da gravidade (o peso)
esteja concentrada em um ponto chamado centro de gravidade “cg” . A
aceleração devido a gravidade diminui com a altitude, porém, se pudermos
desprezar essa variação ao longo da vertical do corpo, o centro de gravidade
coincidirá com seu centro de massa
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Há como demonstrar que o torque total , assim como o peso total, agiria no
centro de massa do corpo rígido, ver no livro. Assim:
𝜏⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑐𝑚 × 𝑃⃗⃗
O torque gravitacional total, dado pela equação acima, é obtido como se o
peso total estivesse atuando no ponto dado pelo vetor posição do centro
⃗⃗⃗ possui valor
massa, que também chamamos de centro de gravidade. Se 𝒈
constante em todos os pontos de um corpo, seu centro de gravidade
coincide com seu centro de massa.
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Determinação e uso do Centro de Gravidade
Geralmente podemos usar considerações de simetria para determinar a
posição do centro de gravidade de um corpo, do mesmo modo que fizemos no
caso do centro de massa. O centro de gravidade de uma esfera homogênea,
de um cubo, de um disco fino ou de uma placa retangular coincide com o
centro geométrico de cada um desses corpos. O centro de gravidade de um
cilindro ou de um cone se encontra sobre seus respectivos eixos de simetria.
Para um corpo de forma mais complexa, algumas vezes podemos localizar
o centro de gravidade imaginando o corpo constituído por pequenas partes
simétricas. Por exemplo, podemos considerar o corpo humano como um
conjunto de cilindros sólidos, sendo a cabeça considerada uma esfera.. A
seguir podemos calcular o centro de gravidade da combinação.
Usando o mesmo raciocínio, podemos ver que um corpo apoiado em
diferentes pontos deve possuir seu centro de gravidade em algum local entre
as extremidades da área delimitada pelos pontos de apoio, ver fig. 11.5. Isso
explica como um carro pode se deslocar em uma pista retilínea, mas inclinada,
desde que o ângulo de inclinação seja pequeno. Mas deve se virar quando o
ângulo é grande demais. O caminhão da figura possui um centro de gravidade
mais elevado do que o do carro e deve virar em inclinações menores do que a
do carro.
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Quanto mais baixo for o centro de gravidade e quanto maior for a área
suporte, menor se torna a possibilidade de o corpo virar.
Solução de Problemas de Equilíbrio de Corpos Rígidos
Exemplo 1
Uma revista de automóveis afirma que certo carro esportivo possui 53% do seu
peso sobre a rodas dianteiras e 47% sobre as rodas traseiras, sendo a base de
roda igual 2,46 m. Isso significa que a força normal sobre as rodas dianteiras é
0,53p e sobre as rodas traseiras é 0,47p, onde p é p peso total. A base da roda
é a distância entre os eixos traseiro e dianteiro. Qual é a distância entre o eixo
traseiro e o centro de gravidade do carro ?
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Pela figura temos:
∑ 𝐹 = 0,47p + 0,53p - P = 0
∑ 𝜏 = 0,47𝑝. 0 − 𝑝. 𝐿𝑐𝑔 + 0,53𝑝. 2,46 = 0
Lcg = 1,30 m
Exemplo 2
Sir Lancelot está tentando resgatar Lady Elayne do Castelo von Doom subindo
em uma escada uniforme de 3m de comprimento e que pesa 180 N. Lancelot,
que pesa 800 N, para a um terço da distância entre a base e a extremidade da
escada. A base da escada está apoiada sobre a borda de uma pedra e a
escada está sobre um fosso, em equilíbrio sobre uma parede vertical sem atrito
por causa da camada de lodo. A escada faz um ângulo de 53,1º com a
horizontal, formando um triângulo retângulo.
a) Calcule a força normal e a força de atrito sobre a escada em sua base.
b) Ache o coeficiente de atrito estático mínimo para impedir que a base da
escada escorregue.
c) Determine o módulo, a direção e o sentido da força de contato com a
base da escada.
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a)
Pela condição de equilíbrio de forças temos:
∑ 𝐹𝑥 = 𝑓𝑠 − 𝑛1 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 𝑛2 − 800 − 180 = 0
O que nos fornece 𝑛2 = 980 𝑁
Mas temos mais equações do que incógnitas. Então, precisamos da
condição de equilíbrio de torques para resolver o restante. Podemos
escolher os torques em relação a qualquer ponto que quisermos. A escolha
mais inteligente é o ponto B, que fornece o menor número de termos e de
incógnitas na operação dos torques. Podemos ver que o ângulo entre os
pesos do homem e da escada em relação às suas distâncias ao eixo é
φ=90º - 53,1º = 36,9º . Assim, temos:
∑ 𝜏𝐵 = −1.800. sin 36,9 − 1,5.180. sin 36,9 + 𝑛1 . 3. sin 53,1 = 0
n1=268
Pela primeira equação:
𝑓𝑠 = 268 𝑁
b) A força de atrito estático não pode ser maior do que 𝜇𝑠 . 𝑛2 , portanto o
coeficiente de atrito mínimo para evitar o deslizamento é:
𝑓𝑠 268
(𝜇𝑠 )𝑚𝑖𝑛 =
=
= 0,27
𝑛2 980
c) Os componentes da força de contato ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐵 na base da escada são a força
de atrito 𝑓𝑠 e a força normal n2, portanto :
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐵 = 268𝑖⃗ + 980𝑗⃗
O módulo, a direção e o sentido de ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐵 são:
𝐹𝐵 = √2682 + 9802 = 1020 𝑁
980
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
= 75𝑜
268
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Exemplo 3
A figura abaixo mostra um braço humano erguendo um haltere. O antebraço
está em equilíbrio sob a ação do peso p do haltere., da tensão T no tendão
conectado ao músculo bíceps e da força E exercida sobre o antebraço pelo
braço na junta do cotovelo. Para maior clareza, o ponto A no qual o tendão está
ligado foi desenhado mais afastado do cotovelo do que em sua posição real. O
peso P e o ângulo θ são fornecidos; desejamos achar a tensão no tendão e os
dois componentes da força no cotovelo. Desprezamos o peso do antebraço em
si.
Escolhendo os torques em relação ao cotovelo teremos:
∑ 𝜏𝐸 = 𝐿. 𝑝 − 𝐷. 𝑇𝑦 = 0
𝑇𝑦 =
𝐿.𝑝
𝐷
e como Ty=Tsenθ temos:
𝑇=
𝐿. 𝑝
𝐷. 𝑠𝑒𝑛𝜃
Agora usamos:
∑ 𝐹𝑥 = 𝑇𝑥 − 𝐸𝑥 = 0
𝐸𝑥 = 𝑇𝑥 = 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝐿. 𝑝
𝐿. 𝑝
𝐿. 𝑝 𝐷 𝐿. 𝑝
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 =
=
𝐷𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐷
𝐷 ℎ
ℎ
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∑ 𝐸𝑦 = 𝑇𝑦 + 𝐸𝑦 − 𝑝 = 0
𝐸𝑦 = 𝑝 −
𝐿𝑝
(𝐿 − 𝐷)
=−
𝑝
𝐷
𝐷
O sinal negativo indica que o sentido de Ey é de cima para baixo.
EXEMPLO 4
Uma prancha homogênea, de comprimento L=3,00 m e massa M=35 Kg, está
apoiada sobre balanças de mola distantes d=0,50 m. de suas extremidades,
como mostra a figura abaixo. a) Determine a leitura das escalas quando Maria,
de massa m=45 Kg, está de pé na extremidade esquerda da prancha. b) Sérgio
sobe na prancha e caminha ao encontro de Maria, que salta fora quando a
prancha começa a se inclinar. Sérgio continua caminhando até a extremidade
esquerda da prancha e, quando chega lá, a escala da balança da direita indica
zero. Determine a massa de Sérgio.
FR = 0
FL+FR – mg – Mg = 0
𝐿 − 2𝑑
𝜏𝑅 = 0 → 𝐹𝐿 . (0) + 𝐹𝑅 . (𝐿 − 2𝑑) − 𝑀𝑔 (
) + 𝑚𝑔𝑑 = 0
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a)
b)
FL=61 N
M=70 Kg
FR=723 N
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Lista de Exercícios: Capítulo 11 Livro do Freedman
11.4 Um alçapão uniforme de 300 N existente em um pavimento está articulado
em um dos seus lados. Encontre a força resultante orientada de baixo para
cima necessária para começar a abri-lo e a força total exercida sobre essa
porta pelas articulações; a) supondo que a força de baixo para cima seja
aplicada em seu centro; b) que a força de baixo para cima seja aplicada no
centro da aresta oposta à aresta da articulação.
R: a) 300 N b) 150 N
11.5 Uma escada transportada em um caminhão de bombeiro possui 20,0 m de
comprimento. A escada pesa 2800 N, e o centro de gravidade está situado em
seu centro. A escada é articulada em uma extremidade (A) com um eixo de
apoio, ver figura; o torque devido ao atrito no eixo pode ser desprezado. A
escada é levantada para sua posição mediante uma força aplicada em C por
um pistão hidráulico. O ponto C está a 8,0 m do ponto A, e a força exercida
pelo pistão faz ângulo de 40º com a escada. Qual deve ser o módulo de 𝐹⃑
para que a escada esteja na iminência de ser levantada do seu apoio no ponto
B?
𝐹⃑
40º
B
C
A
R: F=5450 N
11.6 Duas pessoas transportam uma prancha de madeira uniforme com 3,0 m
de comprimento e peso 160 N. Se uma das pessoas aplica em uma
extremidade uma força de baixo para cima de 60 N, em qual ponto a outra
pessoa deve suspender a prancha ?
R: F=100 N X=2,.4 m
11.7 Duas pessoas transportam um motor elétrico pesado, colocando-o sobre
uma prancha leve com 2,0 m de comprimento. Uma das pessoas suspende
uma das extremidades com uma força de 400 N e a outra suspende a outra
extremidade com uma forma de 600 N. a) Qual o peso do motor e em que
ponto ao longo da tábua está localizado o seu centro de gravidade ? b)
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Suponha que a prancha não seja leve, mas pese 200 N, com o centro de
gravidade localizado em seu centro, e as duas pessoas exerçam as mesmas
forças de antes. Qual é o peso do motor nesse caso, e onde está localizado
seu centro de gravidade ?
R: a) 1000 N e 1,2 m
b) 800 N e 1,25 M
11.8 Uma prateleira uniforme de 60 cm e 50 N é horizontalmente sustentada
por dois cabos verticais presos ao teto inclinado, ver figura. Uma ferramenta
muito pequena de 25 N é colocada sobre a prateleira no meio do caminho entre
os pontos em que os cabos estão presos. Ache a tensão em cada cabo.
20 cm
R: 25 N e 50 N
11.9 Uma barra uniforme de 350 N 1,50 m é suspensa horizontalmente por dois
cabos verticais presos em cada extremidade. O cabo A pode suportar uma
tensão máxima de 500 N e o cabo B pode suportar 400 N. Você deseja colocar
um pequeno peso sobre essa barra. a) Qual é o peso máximo que você pode
colocar sem romper qualquer dos dois cabos e b) em que ponto você deve
colocar esse peso ?
R: 550 N e 0,614 m
11.10 Uma escada uniforme de 5,0 m de comprimento repousa contra uma
parede vertical sem atrito e sua extremidade inferior encontra-se a 3,0 m da
parede. A escada pesa 160 N. O coeficiente de atrito estático entre o solo e a
base da escada é igual a 0,40. Um homem pesando 740 N sobe lentamente a
escada. Comece desenhando o diagrama de corpo livre para a escada. a) Qual
é a força de atrito máxima que o solo pode exercer sobre a escada em sua
extremidade inferior ? b) Qual é a força de atrito efetiva quando o homem sobe
1,0 m ao longo da escada ? c) Até que distância ao longo da escada pode ele
subir antes que a escada comece a escorregar ?
R: 360 N ; 171,12 N ; 2,7 m
11.13 Determine a tensão T em cada cabo e o módulo, a direção e o sentido da
força exercida sobre a viga pelo pivô no arranjo da figura abaixo. Seja a massa
da caixa suspensa igual a 2 Kg. A viga de suporte é uniforme e também possui
massa igual a 2 Kg com comprimento de 2 m.
11
30º
45º
R: 4,15p
11.14 A viga horizontal da figura abaixo pesa 150 N e seu centro de gravidade
está localizado em seu centro. Ache a) a tensão no cabo; b) os componentes
horizontal e vertical da força exercida sobre a viga na parede.
5,0 m
3,0 m
4,0 m
300 N
R: 625 N
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