Lógica: aspectos algébricos e topológicos

Lógica: aspectos algébricos e topológicos
Vitor Tadeu Fracaroli Rocha, Marcelo Reicher Soares (orientador), Bauru, Faculdade de Ciências,
Licenciatura em Matemática, [email protected], bolsista FAPESP.
Palavras Chave: Cálculo Proposicional, Reticulados, Espaços quase topológicos.
Introdução
Desde que Aristóteles iniciou estudos que hoje
estariam contidos na área de Lógica, esta ciência
não parou mais de desenvolver-se. Pensadores
como G. Frege, B. Russel, K. Gödel e A. Tarski fizeram da Lógica uma ciência fundamental para o
desenvolvimento do mundo moderno. O estudo da
ligação entre álgebra e lógica tem precedentes
muito antigos tendo associado a ele nomes como G
W. Leibniz, De Morgan e George Boole, porém, foi
no século XX que o assunto começou realmente a
ser difundido de maneira sistemática, com trabalhos
de diversos matemáticos importantes como, por
exemplo, P. R. Halmos. Foram estabelecidas as
relações entre o cálculo proposicional clássico e a
álgebra de Boole e entre o cálculo proposicional
intuicionista e a álgebra de Heyting. Já as conexões
entre lógica e topologia são exploradas desde o
início do século passado, principalmente com os
trabalhos de Tarski, estudos mais recentes descrevem as correlações entre os sistemas dedutivos de
Tarski e os espaços quase topológicos.
Este trabalho é uma introdução ao estudo da lógica
matemática utilizando modelos algébricos e
topológicos. No que diz respeito à álgebra,
estudamos algumas estruturas algébricas tais como
reticulados, álgebras de Boole e de Heyting. Já para
atender aos requisitos da parte lógica analisamos
algumas noções básicas sobre o cálculo proposicional, a saber, as linguagens proposicionais e
alguns elementos da teoria da prova. Posteriormente, estabelecemos as conexões entre tais conceitos,
algébricos e lógicos, isto é, estudamos as álgebras
de Lindenbaum. Num segundo momento, abordamos o conceito de espaços topológicos e uma
variação de tal conceito, conhecida como espaços
quase topológicos. A partir disso, pudemos
estabelecer o vínculo entre a noção de espaço
quase topológico e o conceito de dedutibilidade.
Objetivos
Além de entrar em contato e poder aprender
conceitos básicos de lógica, álgebra e topologia, são
dois os objetivos deste trabalho: o primeiro é buscar
o que poderíamos chamar de uma “algebrização”
para os cálculos proposicionais clássico e
intuicionista; o segundo é estudarmos os espaços
XXV Congresso de Iniciação Científica
de Tarski e a correspondência destes com os
espaços quase topológicos.
Resultados e Discussão
A estrutura mais importante para a ligação entre
álgebra e lógica é o conceito de reticulado, este
pode ser pensado como um conjunto R, que é
parcialmente ordenado, e no qual qualquer
subconjunto de dois elementos possui supremo e
ínfimo em R. Se exigirmos que o reticulado, seja
distributivo e complementado, com 0 e 1 estabelecemos o que chamamos de álgebra de Boole, já se
ele tiver 0 e 1 bem como uma nova operação, a
implicação, obtemos uma álgebra de Heyting.
Para determinarmos as conexões entre o cálculo
proposicional e a álgebra partimos de um sistema
lógico e sua álgebra das fórmulas, buscamos uma
relação de equivalência adequada, compatível com
as noções lógicas em consideração, tomamos a
estrutura cujos elementos são as classes de
equivalência da relação considerada obtendo um
sistema que algebriza a lógica em estudo. No caso
do cálculo proposicional clássico resulta deste
processo uma álgebra de Boole, já para o cálculo
proposicional intuicionista resulta uma álgebra de
Heyting. Observemos que estas duas álgebras são
conhecidas como álgebras de Lindenbaum.
No caso dos espaços de Tarski, os quais são
definidos a partir de operadores de consequência de
Tarski, mostramos que aqueles determinam
exatamente um espaço quase topológico e cada
espaço topológico um espaço de Tarski. Cabe
observar que todo espaço topológico é um espaço
quase topológico.
Conclusões
O trabalho deixa claro algumas surpreendentes e
profundas relações existentes entre a lógica e a
álgebra, bem como entre a lógica e a topologia.
Agradecimentos
Agradeço a agência de fomento FAPESP pelo apoio
financeiro.
____________________
Miraglia, F.; Cálculo Proposicional Clássico: Uma interação da Álgebra
e da lógica. 1987.
Feitosa, H. A.; Nascimento, M. C. e Soares, M. R; Espaços quase
topológicos e lógica, To appear.