Indução assimétrica

PROBLEMA DE FÍSICA – INDUÇÃO ASSIMÉTRICA
Enunciado:
“É dado um condutor de formato esférico e com cavidade (interna) esférica,
inicialmente neutra (considere que esse condutor tenha espessura não-desprezível).
Coloca-se uma carga pontual +q dentro dessa cavidade, porém fora do seu centro.
Pergunta-se como fica o campo elétrico (ou as linhas de campo elétrico) fora desse
condutor?” (Vagner MEC-00).
FIGURA 1 – Enunciado: condutor neutro esférico oco com carga elétrica no interior
Resolução: (Jozias Del Rios ELE-09)
Por efeito de indução, é esperado que a casca esférica interna tenha uma carga
elétrica total –q, distribuída de maneira não-uniforme. Por conservação, também é
esperado que uma carga elétrica +q exista na superfície da casca esférica externa.
Considere R, raio interno do condutor e αR a distância da origem O à carga
pontual +q. O raio externo do condutor é Rext.
O campo elétrico E na fronteira entre o condutor e o dielétrico é normal a
superfície do condutor e nulo dentro deste, onde o potencial escalar eletrostático V será
constante, para que seu gradiente se anule, pois:
E = −∇V
(1)
Para descobrir qual a forma das linhas de campo em torno da carga +q,
considere a sua carga imagem virtual, posicionada no mesmo eixo x por motivos de
simetria, com uma carga elétrica –q’, distante βR da origem O, conforme a figura 2:
FIGURA 2 – Cotas das cargas (real e virtual) e das bordas do condutor no eixo x
O lugar geométrico dos pontos P ( x, y , z ) na superfície interna do condutor pode
ser escrito em coordenadas esféricas, segundo as transformações em (2):
 x = R cos θ

 y = R sen θ cos φ
 z = R sen θ sen φ

(2)
O potencial elétrico é constante (e também nulo, se for tomado como referência)
nos pontos P. A superposição devido à carga +q e sua imagem –q’ é:

1 
q
q'
−

=
4πε 0  P − ( Rα , 0, 0 )
P − ( R β , 0, 0 ) 
1 1
q
q'

=
−
4πε 0 R  1 + α 2 − 2α cos θ
1 + β 2 − 2β cos θ

V ( P) =




(3)
Que se anula quando:
2 cos θ (α q '2 − β q 2 ) = q '2 (1 + α 2 ) − q 2 (1 + β 2 )
(4)
Como o mesmo deve ser verdade em todo ponto P, isto é, para todo θ e ϕ,
então:
α q '2 − β q 2 = 0
 2
2
2
2
q ' (1 + α ) = q (1 + β )
⇒
q ' = α −1q
e
β = α −1
(5)
Com isso, a posição e módulo da carga elétrica virtual –q’ foi obtida. O campo
resultante satisfaz o potencial constante dentro do condutor, e pelo teorema da
unicidade, é a única solução existente.
O campo vetorial elétrico resultante é mostrado abaixo para alguns valores de α:
FIGURA 3 – Direção do campo para r<R (módulo não corresponde á densidade de linhas)
Nota-se da figura 3 que o vetor do campo elétrico é normal na fronteira interna
do condutor, o que é necessário para que não coloque as cargas elétricas induzidas do
condutor em movimento na tangente, desfigurando um regime eletrostático permanente.
Quanto ao campo na direção normal, enquanto não seja rompida a rigidez
dielétrica do meio fora do condutor, o campo elétrico normal não conseguirá retirar
elétrons da (ou prover elétrons à) superfície condutora.
Pela Lei de Gauss:
∫∫
S =∂V
1
E ⋅ dS =
ε0
∫∫∫
V
ρ dV =
1
ε 0 ∫∫dS
σ dS
(6)
Para uma superfície gaussiana S prismática com faces de área infinitesimal dS
paralelas à superfície interna do condutor, torna-se:
E ( P)
1
( −∇V ) dS = σ ( P ) dS
ε0
(7)
Então poderá ser inferida a distribuição superficial de carga σ no condutor, que
depende apenas do ângulo θ, pois há simetria em relação ao eixo x:
 ∂V
lim  −
r→R
 ∂r
 1
 = σ (θ )
 ε0
(8)
O potencial para 0<r<R é:
carga − q '
carga + q
 
−1


q
1
α
−
V ( r ,θ , φ ) =


4πε 0  r 2 + α 2 − 2α r cosθ
r 2 + α −2 − 2α −1r cosθ 




(9)
Então, executando a derivada e o limite de (8) usando o potencial de (9):
σ (θ ) =
q
α 2 −1
3
4π R 2 (1 + α 2 − 2α cosθ ) 2
(10)
De fato, a integral desta densidade superficial de carga em toda superfície da
esfera é:
π
2π
0
0
∫ ∫
σ (θ ) R 2 sen θ dφ dθ = − q
(11)
Os gráficos de –σ(θ) para alguns valores de α é:
FIGURA 4 – Densidade de carga –σ(θ) para α=0,2; α=0,4; α=0,6.
Que apresenta picos na região mais próxima da carga +q, como era esperado.
A curva do potencial V(r,θ) para alguns valores de θ, resultante da carga +q e da
distribuição σ(θ), sem mais considerar a carga imagem virtual, é:
FIGURA 5 – Comportamento do potencial variando o raio para alguns ângulos θ
Percebe-se que o potencial é infinito onde se localiza a carga +q, e que é nulo
para r>R, caracterizando a situação de potencial constante dentro (e após) o condutor
elétrico, que procurávamos.
Para a distribuição externa de carga elétrica que totalize +q, uma distribuição
admissível (e pelo teorema da unicidade, também será a única existente) é a uniforme,
para que seja mantido constante o potencial elétrico dentro do condutor, pois o potencial
elétrico superposto aos pontos (r, θ, ϕ) do espaço é:
V ( r ,θ , φ ) =
1
4πε 0
σ ext
∫∫ ( r ,θ ,φ ) − ( R
esfera
externa
ext ,θ ', φ ' )
2
⋅ Rext
sen θ ⋅ dφ ' dθ '
(12)
Aproveitando que a distribuição é uniforme e tem simetria radial, o potencial
então dependerá apenas do raio:
V (r ) =
1
4πε 0
π
2π
0
0
∫ ∫
σ ext ,

=
Rext
σ ext r ,
σ ext
2
2
ext
r + R − 2rRext cosθ
2
⋅ ( Rext
sin θ ) ⋅ dφ dθ
se r ≤ Rext
(13)
se r > Rext
A distribuição externa deve totalizar uma carga +q, então:
2
4π Rext
σ ext = q
⇒
σ ext =
q
2
4π Rext
(14)
Verifica-se pelo resultado em (13) que dentro do condutor é adicionado um
potencial constante, e que fora do condutor o potencial elétrico cai com o inverso da
distância, caracterizando uma carga pontual centrada na origem O. A figura a seguir
mostra o comportamento radial do potencial total:
Como resultado final, o campo vetorial elétrico é mostrado a seguir:
FIGURA 5 – Direção do campo elétrico para α=0,6 e Rext=1,25R
(módulo não corresponde á densidade de linhas)