Cultura Acadêmica PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: Coleta e

apresentado ao leitor o manuseio de instrumentos de medidas elétricas, o procedimento
de montagem e a análise de circuitos elétricos (RC, RL e RLC), entre outros temas. Concomitantemente à descrição de cada experimento, há uma exposição da teoria envolvida
e uma breve discussão, em termos dos tópicos relacionados, dos resultados obtidos experimentalmente.
Em suma, esta obra pretende complementar os fundamentos usualmente transmitidos
em aulas teóricas das disciplinas básicas de Eletricidade e Magnetismo.
Carlos. Foi docente da Universidade de El Salvador até o ano de 1979 e atualmente é professor
assistente doutor da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Tem experiência
na área de Física da Matéria Condensada. Atua no estudo de variações conformacionais e
processos de enovelamento e aglomeração de proteínas e membranas em solução, fazendo uso
da teoria e da técnica de espalhamento de Raio-X a Baixo Ângulo (SAXS).
Antonio Bento de Oliveira Junior possui Bacharelado em Física Biológica pelo Instituto
de Biociências, Letras e Ciências Exatas – IBILCE, da Universidade Estadual Paulista Júlio de
Mesquita Filho. Por dois anos, atuou como monitor do laboratório de Física do Centro Integrado de Ciência e Cultura (CICC). Tem experiência na área de Biofísica Molecular Computacional, com ênfase no estudo do processo de enovelamento de proteínas.
Daniel Lucas Zago Caetano possui Bacharelado em Física Biológica pelo Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas – IBILCE, da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Atua na área de Biofísica Molecular Computacional, com ênfase no estudo da
interação entre polianfóteros fracos e macroíons cilíndricos opostamente carregados.
Guilherme Volpe Bossa possui Bacharelado em Física Biológica pelo Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas – IBILCE, da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita
Filho. Atua na área de Biofísica Molecular Teórica, desenvolvendo modelos aplicados à caracterização de propriedades físico-químicas e dielétricas de aminoácidos e oligopeptídeos.
José Ramon Beltran Abrego
Antônio Bento de Oliveira Junior
Daniel Lucas Zago Caetano
Guilherme Volpe Bossa
PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO:
Coleta e Análise de Dados Experimentais
PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: Coleta e Análise de Dados Experimentais
José Ramon Beltran Abrego possui doutorado em Física pelo Instituto de Física de São
Cultura
Acadêmica
netismo frequentemente abordados nos cursos de Física básica. Ao longo do texto, é
Abrego / Oliveira Junior / Caetano / Bossa
A presente obra expõe os experimentos referentes aos tópicos de eletricidade e mag-
ISBN 978-85-7983-248-2
9 788579 832482
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PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO:
Coleta e Análise de Dados Experimentais
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Universidade Estadual Paulista
Vice-Reitor no exercício da Reitoria Julio Cezar Durigan
Chefe de Gabinete Carlos Antonio Gamero
Pró-Reitora de Graduação Sheila Zambello de Pinho
Pró-Reitora de Pós-Graduação Marilza Vieira Cunha Rudge
Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini
Pró-Reitora de Extensão Universitária Maria Amélia Máximo de Araújo
Pró-Reitor de Administração Ricardo Samih Georges Abi Rached
Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto
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Cultura
Acadêmica
José Ramon Beltran Abrego
Antônio Bento de Oliveira Junior
Daniel Lucas Zago Caetano
Guilherme Volpe Bossa
PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO:
Coleta e Análise de Dados Experimentais
São Paulo
2012
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©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2012.
Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp
P912
Práticas de eletromagnetismo : coleta e análise de dados experimentais / José
Ramon Beltran Abrego ... [et al.]. – São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade
Estadual Paulista, Pró-Reitoria de Graduação, 2012.
139 p.
Programa de apoio à produção de material didático da Pró-Reitoria de
Graduação da UNESP.
ISBN 978-85-7983-248-2
1. Eletromagnetismo – Coleta e análise de dados. I. Beltran Abrego, José
Ramon. II. Oliveira Júnior, Antonio Bento de. III. Caetano, Daniel Lucas Zago.
IV. Bossa, Guilherme Volpe. V. Universidade Estadual Paulista. Pró-Reitoria de
Graduação.
CDD 537
equipe
Pró-reitora Sheila Zambello de Pinho
Secretária Silvia Regina Carão
Assessoria José Brás Barreto de Oliveira
Klaus Schlünzen Junior (Coordenador Geral – NEaD)
Laurence Duarte Colvara
Maria de Lourdes Spazziani
Técnica Bambina Maria Migliori
Camila Gomes da Silva
Cecília Specian
Eduardo Luis Campos Lima
Fúlvia Maria Pavan Anderlini
Gisleide Alves Anhesim Portes
Ivonette de Mattos
Maria Emília Araújo Gonçalves
Maria Selma Souza Santos
Renata Sampaio Alves de Souza
Sergio Henrique Carregari
Projeto gráfico Andrea Yanaguita
Diagramação Estela Mletchol
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PROGRAMA DE APOIO
À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
Considerando a importância da produção de material didático-pedagógico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP,
por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a
Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção
de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às
aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras
mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibilizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado
sob demanda.
Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade acadêmica mais esta obra, “Práticas de Eletromagnetismo: coleta e análise de dados experimentais”, de autoria do Prof. Dr. José Ramon Beltran Abrego e dos
Pós-Graduandos do Programa de Pós-Graduação em Biofísica Molecular: Antônio Bento de Oliveira Júnior, Daniel Lucas Zago Caetano e Guilherme Volpe
Bossa, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas do Câmpus de São
José do Rio Preto, esperando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado.
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SUMÁRIO
Prefácio
9
1 introdução ao uso de instrumentos de medidas elétricas
2 estudo de elementos lineares
21
3 estudo de elementos não lineares
33
4 superfícies equipotenciais e campos elétricos
5 estudo das leis de kirchhoff
45
55
6 estudo do circuito rc e descarga de capacitores
67
7 momento de dipolo e campo magnético terrestre
83
8 balança de ampère
95
9 introdução ao uso do osciloscópio
10 estudo do circuito rc em série
11 estudo do circuito rlc
Bibliografia
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PREFÁCIO
Devido a pouca vivência experimental que os alunos, em geral, adquirem
ao longo do ensino fundamental e do ensino médio, foi observado que estes
alunos, ao ingressarem em cursos de graduação, possuem uma grande necessidade de se familiarizarem, tanto com os instrumentos de laboratórios didáticos quanto com os conceitos diretamente envolvidos com a Física básica. Para
sanar esta necessidade, lançamos este livro que reúne uma análise minuciosa
não só dos experimentos realizados, mas também dos resultados obtidos nos
laboratórios do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas – IBILCE –
da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”.
Este trabalho resulta da experiência adquirida em mais de 4 semestres de
aulas práticas e tem por base as seguintes metas: introduzir o aluno à teoria dos
erros; desenvolver a organização de dados coletados, apresentando-os em forma de tabelas e gráficos; proporcionar a interpretação crítica dos resultados,
confrontando-os com a teoria e comparando-os com dados de textos clássicos
de livros de Física.
Pelo grande enfoque na Física básica, este material destina-se aos alunos
que tomam contato com ela. Assim, este material é de grande valia não só para
estudantes do curso de Física, mas também para estudantes de Química Ambiental, Matemática, Ciência da Computação e Engenharia de Alimentos.
Este livro foi desenvolvido pelos estudantes de Pós-Graduação em Biofísica Molecular, IBILCE, Antônio Bento de Oliveira Junior, Daniel Lucas Zago
Caetano e Guilherme Volpe Bossa, tendo sob coordenação o Prof. Dr. José
Ramón Beltran Abrego. Contou-se também com o grande auxilio dos técnicos
Antonio Aparecido Barbosa, Marcelino Belusi e Paulo Roberto Salinas.
Quanto à organização, cada capítulo corresponde a uma prática experimental que foi cuidadosamente elaborada, visando sempre cumprir os objetivos citados no início deste texto. No capítulo 1, por exemplo, há a introdução
ao uso de instrumentos de medidas elétricas. Progressivamente, nos capítulos
seguintes, são abordados tópicos tais como elementos não lineares, superfícies
equipotenciais, balança de Ampère e circuitos RC e RLC.
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1
INTRODUÇÃO AO USO DE INSTRUMENTOS DE MEDIDAS ELÉTRICAS
1.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática aqui relatada é proporcionar a familiarização com os componentes e instrumentos elétricos, bem como o correto manuseio destes, uma vez que serão utilizados em todas as práticas da disciplina
Laboratório de Física III. Para isso, realizaram-se quatro experimentos que
aqui serão apresentados.
1.2.
INTRODUÇÃO
Um circuito elétrico fornece basicamente um caminho para transferir
energia de um local para outro. À medida que as partículas carregadas fluem
através do circuito, a energia potencial elétrica é transferida de uma fonte até
um dispositivo no qual essa energia é armazenada ou, então, convertida em
outras formas de energia.
Abaixo, encontram-se alguns exemplos de componentes existentes em um
circuito elétrico e algumas de suas propriedades, assim como a descrição dos
instrumentos necessários para medir diversas grandezas elétricas.
• Fontes de tensão contínua (Fontes DC): dispositivos que proporcionam
energia elétrica para a alimentação de um circuito elétrico. São exemplos de fontes DC as pilhas convencionais (1,5 V ou 9 V) ou uma fonte
especial, que transforma a tensão alternada da rede (110 V ou 220 V) em
tensão contínua, que pode ser variada normalmente entre 0 V e 30 V.
• Resistores: são elementos que oferecem resistência à passagem de corrente elétrica. Para muitos materiais, o valor da resistência não depende
da tensão nem da corrente, ou seja, obedecem à lei de Ohm (V  I  R).
O valor nominal da resistência de um resistor pode ser obtido usando-se
um código de cores mediante convenção indicada na Tabela 1.1 e a
expressão a seguir:
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
 [( AB)  10 C  D]
R
(1.1)
A leitura é feita tomando-se o resistor de forma que a faixa mais próxima
de um de seus terminais fique à sua esquerda, conforme a Figura 1.1:
Figura 1.1
Representação esquemática de uma resistência.
Algarismos
Signifivativos
Tolerância
Multiplicador
Tabela 1.1
Cor
1ª Faixa
2ª Faixa
3ª Faixa
4ª Faixa
Preto
0
0
10
Marrom
1
1
102
1%
Vermelho
2
2
102
2%
Laranja
3
3
103
Amarelo
4
4
104
Verde
5
5
105
Azul
6
6
106
Violeta
7
7
107
Cinza
8
8
108
Ouro: 5%
9
10
Prata: 10%
Branco
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Código de cores para obter o valor da resistência de um resistor.
9
2
9
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Introdução ao Uso de Instrumentos de Medidas Elétricas |
13
As duas primeiras faixas (A e B) indicam os dois algarismos significativos
do valor da resistência. A terceira faixa (C) mostra o fator de multiplicação em
potência de 10. A quarta faixa (D) indica a precisão do valor nominal, chamada tolerância.
• Multímetros: são aparelhos que incorporam diversos instrumentos de
medidas elétricas num único dispositivo, como amperímetro (para medir a corrente elétrica), voltímetro (para medir a tensão) e ohmímetro
(para medir o valor de uma resistência).
1.3.
•
•
•
•
•
•
1.4.
MATERIAL UTILIZADO
Editor gráfico ORIGIN;
Fonte de tensão contínua;
Multímetro;
Pilhas diversas;
Placa para montagem de circuitos;
Resistores diversos.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
Experimento I
1.4.1.
Inicialmente, anotaram-se as cores de nove resistências escolhidas ao acaso. Em seguida, utilizando-se a expressão 1.1 e a Tabela 1.1, determinou-se o
valor nominal de cada uma dessas resistências. Posteriormente, utilizando-se
um multímetro configurado para funcionar como ohmímetro, mediu-se o valor de cada resistência individualmente. A margem de erro do multímetro,
quando configurado como ohmímetro, é de 0,15%, conforme especificado no
manual do instrumento. Os valores obtidos estão transcritos na Tabela 1.2:
Tabela 1.2
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Valores de resistência calculados e medidos pelo multímetro.
Resistência
Cores
Valor obtido pela
expressão 1.1 (Ω)
Valor medido pelo
multímetro (Ω)
1
Amarelo-VioletaVermelho-Ouro
4700±235
4698±7
2
Cinza-VermelhoVermelho-Ouro
8200±410
8294±12
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continuação
Resistência
Cores
Valor obtido pela
expressão 1.1 (Ω)
Valor medido pelo
multímetro (Ω)
3
Marrom-PretoLaranja-Ouro
10000±500
10022±15
4
Laranja-BrancoMarrom-Ouro
390±20
376±1
5
Azul-CinzaVermelho-Ouro
6800±340
6678±10
6
Cinza-VermelhoMarrom-Ouro
820±41
795±1
7
Vermelho-VermelhoVermelho-Ouro
2200±110
2166±3
8
Verde-AzulMarrom-Ouro
560±28
551±1
9
Amarelo-VioletaVermelho-Ouro
4700±235
4640±7
1.4.2.
Experimento II
Primeiramente, mediu-se a tensão de cinco pilhas (3 pilhas com valor nominal de 1,5 V e 2 pilhas com valor nominal de 9 V), utilizando-se, para isso, um
multímetro configurado para funcionar como voltímetro. A margem de erro do
multímetro, quando configurado como voltímetro, é de 0,05%, conforme especificado no manual do instrumento. Veja-se os dados obtidos na Tabela 1.3:
Tabela 1.3
Comparação entre valores nominais e mensurados.
Pilha
Valor
nominal (V)
Valor obtido pelo
multímetro (V)
1
1,5
1,561±0,001
3,91
2
1,5
1,461±0,001
2,67
3
1,5
1,593±0,001
5,84
4
9,5
7,061±0,004
27,46
5
9,5
7,592±0,004
18,55
1.4.3.
Diferença
percentual (%)
Experimento III
Num primeiro momento, configurou-se o multímetro para funcionar como voltímetro. Em seguida, ajustou-se o voltímetro para uma escala superior
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a 30 V. Num momento seguinte, conectou-se o voltímetro à fonte de tensão
variável e mediram-se os valores de tensão para diversas posições do botão da
fonte. A margem de erro do multímetro, quando configurado como voltímetro, é de 0,05%. Para a fonte, considerou-se a margem de erro de 0,01, que
corresponde, aproximadamente, à metade do menor intervalo da escala do
instrumento. Os valores de tensão informados pela fonte e pelo voltímetro estão transcritos na Tabela 1.4:
Tabela 1.4
Comparação entre valores de tensão informados e medidos.
Valor informado
pela fonte (V)
Valor obtido pelo
multímetro (V)
Diferença
percentual (%)
5,00±0,01
5,10±0,01
1,96
10,00±0,01
10,06±0,01
0,60
15,00±0,01
15,09±0,01
0,60
20,00±0,01
20,11±0,01
0,55
25,00±0,01
25,07±0,01
0,28
30,00±0,01
30,13±0,02
0,43
1.4.4.
Experimento IV
Inicialmente, montou-se um circuito composto por uma fonte de tensão
variável, um amperímetro, um resistor de resistência R desconhecida e um
voltímetro. A figura abaixo representa o circuito citado:
Figura 1.2
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Desenho esquemático do circuito montado.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Uma vez montado o circuito, variou-se a tensão da fonte de 0 V até 20 V,
em intervalos de 1 V. Os valores exibidos pelo voltímetro e pelo amperímetro
foram anotados e encontram-se transcritos na Tabela 1.5:
Tabela 1.5
Valores medidos no Voltímetro (V) e Amperímetro (A).
Voltímetro
Amperímetro
Voltímetro
Amperímetro
1,03
0,00022
11,06
0,00240
2,00
0,00044
12,03
0,00261
3,05
0,00066
13,01
0,00282
4,01
0,00088
14,01
0,00303
5,05
0,00110
15,00
0,00325
6,03
0,00130
16,04
0,00347
7,02
0,00152
17,08
0,00369
8,02
0,00174
18,06
0,00391
9,03
0,00196
19,02
0,00412
10,06
0,00218
20,03
0,00433
Com os valores contidos na Tabela 1.5, foi possível construir o gráfico da
Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A). Veja:
Figura 1.3
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Gráfico da Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A), onde A e B representam
o coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
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17
Por meio da Figura 1.3, determinou-se o valor da resistência R desconhecida, utilizando-se o coeficiente angular gerado pelo editor gráfico Origin. Em
notação matemática, tem-se:
R
V
 R  B  R  (4626  4)
I
(1.2)
Após determinar o valor da resistência R, o circuito foi desmontado, e a
resistência R foi medida por um multímetro, configurado como ohmímetro.
Considerando-se que a margem de erro do instrumento é de 0,15%, o valor
obtido foi de (4698±7) Ω. Em seguida, os passos acima foram repetidos tomando-se, no entanto, uma nova resistência R1 desconhecida, o que resulta,
dessa forma, uma nova tabela (Tabela 1.6).
Tabela 1.6
Valores medidos no Voltímetro (V) e Amperímetro (A).
Voltímetro
Amperímetro
Voltímetro
Amperímetro
1,02
0,00012
11,00
0,00133
2,05
0,00025
12,06
0,00146
3,05
0,00037
13,01
0,00158
4,00
0,00049
14,02
0,00170
5,04
0,00061
15,01
0,00182
6,07
0,00074
16,05
0,00195
7,01
0,00085
17,02
0,00206
8,08
0,00098
18,02
0,00218
9,02
0,00110
19,00
0,00230
10,00
0,00121
20,02
0,00242
Utilizando-se os valores contidos na Tabela 1.6, foi possível construir o
gráfico da Tensão (V) versus Corrente elétrica (A), como se pode observar na
Figura 1.4 a seguir.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 1.4
Gráfico da Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A), onde A e B representam
o coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
Baseando-se na Figura 1.4, determinou-se o valor da resistência R1 desconhecida, utilizando-se o coeficiente angular gerado pelo editor gráfico Origin.
Matematicamente, tem-se:
V
R1   R1 B  R1 (8265  9)
I
(1.3)
Após determinar o valor da resistência R1 pelo gráfico acima, o circuito foi
desmontado, e a resistência R1 foi medida por um multímetro, configurado
como ohmímetro. Considerando-se que a margem de erro do instrumento é
de 0,15%, o valor obtido foi de (8294±12) Ω.
1.5.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Objetivando não só proporcionar a familiarização com os componentes e
instrumentos elétricos, mas também o correto manuseio destes instrumentos,
foram realizados quatro experimentos para atingir tal objetivo.
No primeiro experimento, determinou-se o valor nominal de nove resistências pelo código de cores descrito na Tabela 1.1. Em seguida, elas foram
medidas, utilizando-se, para isso, um ohmímetro, o que possibilitou comparar
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Introdução ao Uso de Instrumentos de Medidas Elétricas |
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os valores nominais com os valores indicados pelo instrumento. Com base nisso, é possível afirmar que todos os valores medidos pelo ohmímetro estão dentro do intervalo de confiabilidade fornecido pelo fabricante das resistências.
No experimento II, verificou-se se a tensão de cinco pilhas distintas correspondia ao valor nominal indicado pelo fabricante. Após medir cada pilha, utilizando-se, para tal tarefa, um voltímetro, verificou-se que os valores indicados
pelo aparelho não coincidiram com o valor nominal fornecido por nenhuma
delas (1,5 V ou 9 V). Esse fato pode ser explicado pela utilização de pilhas químicas, ou seja, pilhas em que a tensão produzida é decorrente de uma reação
química chamada reação de óxido-redução. No caso das pilhas, essa reação é
irreversível, acarretando, assim, o aumento da “resistência interna”, diminuindo, conseqüentemente, a tensão. Outro fator que explica essa diferença de valores é o fato de que as pilhas deveriam ser medidas em um circuito fechado, com
uma corrente elétrica passando por elas.
Já no terceiro experimento, comparou-se a tensão fornecida por uma fonte
de tensão contínua de 30 V, com o valor indicado por um voltímetro ligado a
essa mesma fonte. Como resultado, notou-se que o valor apresentado pelo voltímetro foi sempre maior que o valor informado pela fonte (cerca de 0,74%
maior). Baseando-se nos dados obtidos, é possível afirmar que o voltímetro é
mais confiável que a fonte, pois apresenta uma maior precisão de medida, devido à sua chave seletora, que pode variar desde a casa do mV (milivolt) até a
casa do kV (quilovolt).
No quarto experimento, calcularam-se o valor de duas resistências desconhecidas, R e R1, utilizando-se, para isso, dois métodos. O primeiro deles consistiu em estabelecer dois gráficos tensão (V) versus corrente elétrica (A) e, por
meio da inclinação das retas geradas, determinou-se o valor das resistências. Os
valores obtidos para as resistências R e R1 foram, respectivamente, (4626±4) Ω
e (8265±9) Ω. O segundo método consistiu em medir as resistências diretamente, utilizando-se, para tal tarefa, um ohmímetro. Por esse método, o valor
determinado para R foi de (4698±7) Ω, e para R1 foi de (8294±12) Ω. Dentre
os dois métodos utilizados, é possível afirmar que o primeiro é o mais confiável, pois existe, para as duas resistências, uma proporcionalidade direta da tensão com a corrente elétrica. Isso possibilita atestar que as duas resistências obedecem à lei de Ohm, ou seja, elas não dependem nem da tensão nem da
corrente elétrica.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Como fica evidente pela leitura deste capítulo, faz-se importante não só
conhecer o manuseio dos instrumentos de medida, mas também as propriedades dos componentes e circuitos elétricos. Tal postura permite evitar leituras
incorretas dos valores medidos e, conseqüentemente, uma interpretação errônea dos experimentos.
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2
ESTUDO DE ELEMENTOS LINEARES
2.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática descrita neste capítulo é o estudo da associação de resistores, seja ela em série, em paralelo ou mista. Para a realização
de tal objetivo, executaram-se três experimentos que aqui serão relatados.
2.2.
INTRODUÇÃO
Resistores são elementos que oferecem resistência à passagem de corrente
elétrica. Existem muitos resistores cujo valor da resistência não depende da
tensão nem da corrente, obedecendo, portanto, à lei de Ohm:
V I R
(2.1)
Esses materiais são denominados elementos ôhmicos ou lineares. Para um
resistor que obedece a lei de Ohm, o gráfico da corrente elétrica em função da
tensão aplicada é uma linha reta, cuja inclinação é igual ao inverso do valor da
resistência R.
É muito comum que se usem dois ou mais resistores combinados. A análise de um circuito, muitas vezes, pode ser simplificada pela substituição de dois
ou mais resistores por um resistor equivalente (Re), percorrido pela mesma
corrente com a mesma tensão aplicada aos resistores primitivos. Desse modo,
pode-se afirmar que existem três tipos de associação:
• Associação em série: quando todos os resistores estão ligados em seqüência, como indicado na Figura 2.1.
Figura 2.1
Eletro_2.indd 21
Associação de resistores em série.
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22
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Nesse tipo de associação, a corrente I deve ser a mesma através de todos os
resistores, porém, a tensão V nos terminais dos resistores não é a mesma. Desse modo, a resistência equivalente de qualquer número de resistores conectados em série é igual à soma das resistências individuais, ou seja:
R e  R1  R 2  R 3
(2.2)
• Associação em paralelo: quando todos os resistores estão ligados à mesma tensão, como representado na Figura 2.2.
Figura 2.2
Associação de resistores em paralelo.
Na associação em paralelo, a corrente I em cada resistor não é a mesma, contudo, a tensão V nos terminais de cada resistor deve ser a mesma. Assim, para
qualquer número de resistores conectados em paralelo, o inverso da resistência
equivalente é igual à soma dos inversos das resistências individuais, ou seja:
1
1
1
1
 

R e R1 R 2 R 3
(2.3)
• Associação mista: é aquela na qual se encontram, ao mesmo tempo, resistores associados em série e em paralelo, como na figura esquemática 2.3.
Figura 2.3
Eletro_2.indd 22
Associação mista de resistores.
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Estudo de Elementos Lineares |
23
A determinação da resistência equivalente Re é feita a partir da substituição
de cada uma das associações, em série ou em paralelo, que compõem o circuito pela sua respectiva resistência equivalente.
2.3.
MATERIAL UTILIZADO
• Editor gráfico ORIGIN;
• Fonte de tensão contínua;
• Multímetros;
• Placa para montagem de circuitos;
• Resistores.
2.4.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
Inicialmente, determinou-se, utilizando-se um multímetro configurado
para funcionar como um ohmímetro, a resistência de três resistores que aqui
serão denominados R1, R2 e R3. A margem de erro do multímetro, quando
configurado como ohmímetro, é de 0,15%, conforme especificado no manual
do instrumento.
Os valores obtidos estão transcritos na Tabela 2.1:
Tabela 2.1
Valores da resistência obtidos pelo ohmímetro.
Resistência (Ω)
R1
R2
R3
4699±7
551,4±0,8
375,8±0,6
Esses três resistores (R1, R2 e R3) foram utilizados nos três experimentos
que serão descritos a seguir.
2.4.1.
Experimento I
Num primeiro momento, montou-se um circuito composto por uma fonte
de tensão variável, um amperímetro, três resistores e um voltímetro. A Figura 2.4
representa o circuito citado:
Eletro_2.indd 23
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24
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 2.4
Representação do circuito montado no experimento I.
Uma vez montado o circuito, variou-se a tensão da fonte de 0 V até 20 V,
em intervalos de, aproximadamente, 1 V. Os valores exibidos pelo voltímetro e
pelo amperímetro foram anotados e encontram-se transcritos na Tabela 2.2:
Tabela 2.2
Eletro_2.indd 24
Valores medidos no Voltímetro (V) e Amperímetro (A).
Voltímetro
Amperímetro
Voltímetro
Amperímetro
1,18
0,00020
11,02
0,00195
2,11
0,00037
12,08
0,00214
3,05
0,00053
13,10
0,00232
4,13
0,00072
14,12
0,00250
5,08
0,00089
15,11
0,00268
6,08
0,00107
16,10
0,00285
7,06
0,00124
17,02
0,00303
8,14
0,00144
18,10
0,00321
9,11
0,00161
19,09
0,00338
10,10
0,00178
20,13
0,00357
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Estudo de Elementos Lineares |
25
A partir dos valores contidos na Tabela 2.2, foi possível construir o gráfico
da Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A), como se pode observar.
Figura 2.5
Gráfico da Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A), onde A e B representam
o coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
Baseando-se no gráfico representado na Figura 2.5, determinou-se o valor
da resistência equivalente Re, utilizando-se o coeficiente angular gerado pelo
editor gráfico Origin. Matematicamente, tem-se:
R e  B  R e  (5619  5)
(2.4)
Em seguida, a resistência equivalente Re do circuito foi determinada novamente, utilizando-se, no entanto, para tal tarefa, os valores contidos na Tabela 2.1
e a Equação 2.2. Veja-se.
R e  R1  R 2  R 3  (4699  7)  (551, 4  0,8)  (375,8  0,6)
 (5626  8)
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(2.5)
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26
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
2.4.2.
Experimento II
Inicialmente, montou-se o circuito esquematizado pela Figura 2.6:
Figura 2.6
Representação do circuito montado no experimento II.
Com o circuito montado, variou-se a tensão da fonte de 0 V até 20 V, em
intervalos de, aproximadamente, 1 V. Os valores exibidos pelo voltímetro e
pelo amperímetro foram anotados e encontram-se transcritos na Tabela 2.3:
Tabela 2.3
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Valores medidos no Voltímetro (V) e Amperímetro (A).
Voltímetro
Amperímetro
Voltímetro
Amperímetro
1,02
0,00471
11,01
0,05158
2,02
0,00945
12,09
0,05663
3,09
0,01430
13,05
0,06113
4,05
0,01911
14,09
0,06602
5,10
0,02385
15,06
0,07055
6,03
0,02828
16,06
0,07522
7,05
0,03308
17,05
0,07980
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Estudo de Elementos Lineares |
27
continuação
Voltímetro
Amperímetro
Voltímetro
Amperímetro
8,03
0,03765
18,03
0,08431
9,02
0,04233
19,07
0,08914
10,05
0,04723
20,00
0,09338
Tomando-se os valores contidos na Tabela 2.3, foi possível construir o gráfico da Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A), como se pode observar na
Figura 2.7.
Figura 2.7
Gráfico da Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A), onde A e B representam
o coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
Com base no gráfico ilustrado na Figura 2.7, determinou-se o valor da
resistência equivalente Re, utilizando-se o coeficiente angular gerado pelo editor gráfico Origin. Matematicamente, tem-se:
R e B  R e (213,8  0,2)
(2.6)
Em seguida, a resistência equivalente Re do circuito foi determinada novamente, utilizando-se, no entanto, para tal tarefa, os valores contidos na Tabela 2.1
e a Equação 2.3. Observe-se.
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28
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
1
1
1
1
1
1
1
 




R e R1 R 2 R 3 (4699  7) (551, 4  0,8) (375,8  0,6)
 (213,3  0,3)
2.4.3.
(2.7)
Experimento III
Como primeiro passo, montou-se um circuito composto por uma fonte de
tensão variável, um amperímetro, um voltímetro e três resistores. A Figura 2.8
representa o circuito esquematizado:
Figura 2.8
Representação do circuito montado no experimento III.
Posteriormente, com o circuito montado, variou-se a tensão da fonte de 0 V
até 20 V, em intervalos de, aproximadamente, 1 V. Os valores exibidos pelo
voltímetro e pelo amperímetro foram anotados e encontram-se transcritos na
Tabela 2.4:
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Estudo de Elementos Lineares |
Tabela 2.4
29
Valores medidos no Voltímetro (V) e Amperímetro (A).
Voltímetro
Amperímetro
Voltímetro
Amperímetro
1,05
0,00020
11,05
0,00223
2,08
0,00041
12,06
0,00244
3,17
0,00063
13,06
0,00264
4,11
0,00083
14,09
0,00285
5,12
0,00103
15,02
0,00305
6,14
0,00123
16,09
0,00326
7,09
0,00143
17,05
0,00346
8,15
0,00165
18,07
0,00366
9,12
0,00184
19,10
0,00387
10,08
0,00205
20,06
0,00407
A partir dos valores contidos na tabela acima, foi possível produzir o gráfico da Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A), como se pode verificar na Figura 2.9 a seguir.
Figura 2.9
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Gráfico da Tensão (V) versus Corrente Elétrica (A), onde A e B representam
o coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
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30
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Baseando-se no gráfico ilustrado na Figura 2.9, determinou-se o valor da
resistência equivalente Re do circuito, utilizando-se o coeficiente angular gerado pelo editor gráfico Origin. Em termos matemáticos, tem-se:
R e  B  R e  (4916  5)
(2.8)
Em seguida, a resistência equivalente Re do circuito foi determinada novamente, utilizando-se, no entanto, para tal tarefa, os valores contidos na Tabela 2.1
e as equações 2.2 e 2.3. Veja-se.
R e parcial 
1
1
1
1



 (223,5  0,3)
R 2 R 3 (551, 4  0,8) (375,8  0,6)
 R e parcial  R

R e total
(223,5  0,3)  (4699  
7) (4922  7)
1
(2.9)
(2.10)
2.5. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Com o intuito de estudar as diversas formas de associação de resistores
(em série, em paralelo e mista), foram realizados três experimentos. No primeiro deles, determinou-se a resistência equivalente (Re) de um circuito contendo três resistores (R1, R2 e R3) associados em série, utilizando-se, para isso,
dois métodos. O primeiro visou estabelecer um gráfico da tensão (V) versus
corrente elétrica (A), e, por meio do coeficiente angular da reta gerada, determinar o valor de Re. O valor obtido por esse método foi de (5619±5) Ω. O segundo método consistiu em medir cada resistência separadamente, utilizando-se, para tal tarefa, um ohmímetro. Com os valores de cada resistência
determinado, utilizou-se a Equação 2.2 para se obter o valor de Re, ou seja,
(5626±8) Ω.
No experimento II, determinou-se também a resistência equivalente (Re)
de um circuito, utilizando-se os mesmos métodos descritos no experimento I.
A diferença entre eles era que no segundo experimento os resistores estavam
associados em paralelo. Pelo primeiro método, o valor obtido para Re foi de
(213,8±0,2) Ω, e, pelo segundo método, utilizando-se, no entanto, a Equação
3, o valor determinado para Re foi de (213,3±0,3) Ω.
Verificou-se também, no terceiro experimento, a resistência equivalente (Re)
de um circuito contendo os mesmos três resistores utilizados anteriormente, po-
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Estudo de Elementos Lineares |
31
rém associados de forma mista. Os métodos utilizados para se determinar Re
foram os mesmos dos outros dois experimentos. Os valores obtidos pelo primeiro e segundo métodos foram (4916±5) Ω e (4922±7) Ω, respectivamente.
Como fica evidente pela leitura deste texto, todos os experimentos trataram de elementos lineares, ou seja, elementos que obedecem a lei de Ohm. Nos
três experimentos, o objetivo era determinar o valor da resistência equivalente
(Re), utilizando-se, para tal tarefa, dois métodos diferentes. Em todos os experimentos, os valores obtidos pelos dois métodos foram praticamente iguais,
confirmando, por esse motivo, a validade da lei de Ohm.
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3
ESTUDO DE ELEMENTOS NÃO LINEARES
3.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática aqui relatada é a determinação da resistência de uma lâmpada e a caracterização de um diodo. Para atingir tal objetivo,
realizaram-se dois experimentos que aqui serão descritos.
3.2.
INTRODUÇÃO
Existem elementos que, quando submetidos a uma diferença de potencial
V (tensão), ficam sujeitos a uma corrente elétrica I, de tal forma que um gráfico da tensão em função da corrente é uma linha reta. A inclinação da reta é
igual à resistência R do elemento, e esta não depende nem da tensão V nem da
corrente I. Esses elementos são denominados elementos lineares ou ôhmicos.
No entanto, também existem elementos que não obedecem à lei de Ohm,
sendo, por isso, denominados elementos não lineares ou não ôhmicos. A característica fundamental desses elementos é que a resistência R depende da
corrente I, e esta pode não ser proporcional à tensão V. Desse modo, não se
pode designar uma determinada resistência a um elemento não linear, mas,
sim, uma resistência local, dada pela inclinação da curva gerada pelo gráfico
da tensão em função da corrente no ponto considerado.
Um exemplo de elemento não linear é o diodo. Um diodo é um dispositivo
constituído por uma junção de dois materiais semicondutores (em geral, silício ou germânio dopados), cuja principal característica é permitir a passagem
de corrente, com facilidade, num sentido, e oferecer uma grande resistência à
passagem no sentido contrário.
O diodo Zener é um tipo de diodo utilizado para regular a tensão. Ele é
fabricado para trabalhar em polarização reversa, pois, nessas circunstâncias,
apresenta uma característica de tensão constante para uma faixa de corrente.
Essa propriedade é denominada Efeito Zener. A curva característica de um
diodo Zener é apresentada na Figura 3.1.
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34
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 3.1
Curva característica de um diodo Zener.
Pela curva nota-se que, ao trabalhar na região reversa (zona de trabalho),
com corrente maior que Iz min até o limite de Iz máx, a tensão Vz sobre o diodo
permanecerá praticamente constante.
O símbolo do diodo Zener e as indicações dos sentidos da tensão e da corrente de trabalho estão representados na Figura 3.2.
Figura 3.2
3.3.
•
•
•
•
•
•
•
Eletro_3.indd 34
Símbolo do diodo Zener.
MATERIAL UTILIZADO
Diodo Zener;
Editor gráfico Origin;
Fonte de tensão contínua;
Lâmpada;
Multímetros;
Placa para montagem de circuitos;
Resistor.
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Estudo de Elementos Não Lineares |
3.4.
35
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
3.4.1.
Experimento I
Inicialmente, montou-se o circuito esquematizado pela Figura 3.3:
Figura 3.3
Desenho esquemático do circuito montado no experimento I.
Uma vez montado o circuito, variou-se a tensão da fonte de 1 V até 24 V,
em intervalos de, aproximadamente, 1 V. Os valores exibidos pelo voltímetro e
pelo amperímetro foram anotados, considerando-se que a margem de erro do
voltímetro e do amperímetro é de 0,05% e de 2%, respectivamente. Em seguida, os valores foram transcritos, conforme expostos na Tabela 3.1.
Tabela 3.1
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Valores medidos no Voltímetro (V) e Amperímetro (A).
Voltímetro
Amperímetro
Voltímetro
Amperímetro
1,045±0,001
0,036±0,001
13,041±0,007
0,163±0,003
2,063±0,001
0,053±0,001
14,046±0,007
0,171±0,003
3,013±0,002
0,067±0,001
15,060±0,008
0,178±0,004
4,032±0,002
0,080±0,002
16,023±0,008
0,185±0,004
14/06/2012 21:50:45
36
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
continuação
Voltímetro
Amperímetro
Voltímetro
Amperímetro
5,051±0,003
0,092±0,002
17,001±0,009
0,191±0,004
6,023±0,003
0,102±0,002
18,063±0,009
0,198±0,004
7,023±0,004
0,112±0,002
19,04±0,01
0,206±0,004
8,012±0,004
0,122±0,002
20,06±0,01
0,211±0,004
9,042±0,005
0,131±0,003
21,00±0,01
0,217±0,004
10,032±0,005
0,139±0,003
22,04±0,01
0,223±0,004
11,052±0,006
0,148±0,003
23,05±0,01
0,229±0,005
12,030±0,006
0,156±0,003
24,03±0,01
0,234±0,005
A partir dos valores contidos na 3.1, foi possível construir um gráfico tensão
(V) versus corrente elétrica (A), como se pode observar na Figura 3.4 abaixo.
Figura 3.4
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Gráfico da Tensão versus Corrente Elétrica do circuito montado no experimento I.
18/06/2012 17:58:31
Estudo de Elementos Não Lineares |
37
De acordo com o gráfico acima, conclui-se que existe uma dependência
não linear entre a tensão (V) e a corrente elétrica (I). Pode-se, portanto, escrever que:
V cIn
(3.1)
Calculando o logaritmo de ambos os lados, efetua-se a linearização da
Equação 3.1, ou seja, obtém-se uma nova função dada por:
log V
 log c  n  log I
(3.2)
Construindo o gráfico de log V em função de log I, obtém-se uma linearização do gráfico anterior. Observe-se, abaixo, o novo gráfico.
Figura 3.5
Gráfico do Log(Tensão) versus log(Corrente elétrica), onde A e B representam o coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
Valendo-se da Figura 3.5 e da Equação 3.2, foi possível determinar os valores de c e n desta equação. Observe, a seguir, os cálculos realizados.
Eletro_3.indd 37
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38
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Cálculo de n:
O valor de n é o mesmo do coeficiente angular (B) da reta do gráfico. Desse modo, o valor gerado pelo editor gráfico Origin foi:
n B  1,66
(3.3)
Cálculo de c:
O valor do logaritmo de c é igual ao coeficiente linear (A) da reta do gráfico gerado pelo editor gráfico Origin. Para se obter o valor de c, aplica-se a
função inversa da função logarítmica, ou seja, a função exponencial, nos dois
membros da equação. Matematicamente, tem-se:
log c  A  c  10 A  c  10 2,42  c  263
(3.4)
Uma vez determinados os valores de n e c, pode-se reescrever a Equação 3.1
da seguinte forma:

V 263  I 1,66
(3.5)
Como o circuito utilizado apresenta uma relação não linear entre a tensão
e a corrente elétrica, não se pode determinar uma resistência geral para ele.
Neste caso, deve-se determinar uma resistência local R, que é dada pela inclinação da curva V x I (Figura 3.4), no ponto em que se quer calcular. Em termos matemáticos, aplica-se a derivada (dV/dI) na Equação 3.5 sobre o ponto
considerado, ou seja
dV
d
R
 (263  I 1,66 ) 437  I 0,66
dI
dI
(3.6)
Outro método para se obter a resistência R em um ponto qualquer do gráfico V x I (Figura 3.4) é derivando-o, utilizando-se, para tal tarefa, o editor
gráfico Origin. Como resultado, o editor fornecerá outro gráfico que, utilizado
em conjunto com a Tabela 3.1, fornece o valor de qualquer resistência no intervalo medido. Veja-se, a seguir, o novo gráfico.
Eletro_3.indd 38
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Estudo de Elementos Não Lineares |
Figura 3.6
39
Derivada dV/dI (Resistência) versus Corrente elétrica, gerado pelo editor
gráfico Origin, para o circuito utilizado no experimento I.
Valendo-se da Equação 3.6, montou-se uma tabela com todos os valores da
resistência instantânea do circuito, medidos no intervalo de 1 V a 24 V.
Tabela 3.2
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Valores da tensão (V), da corrente elétrica (A) e da resistência instantânea
(Ω) medidos no circuito.
V
I
R
V
I
R
1,045±0,001
0,036±0,001
48,7±0,9
13,041±0,007
0,163±0,003
132±2
2,063±0,001
0,053±0,001
62,9±0,8
14,046±0,007
0,171±0,003
136±2
3,013±0,002
0,067±0,001
73,4±0,7
15,060±0,008
0,178±0,004
140±2
4,032±0,002
0,080±0,002
83±1
16,023±0,008
0,185±0,004
143±2
5,051±0,003
0,092±0,002
90±1
17,001±0,009
0,191±0,004
147±2
6,023±0,003
0,102±0,002
97±1
18,063±0,009
0,198±0,004
150±2
7,023±0,004
0,112±0,002
103±1
19,04±0,01
0,206±0,004
154±2
8,012±0,004
0,122±0,002
109±1
20,06±0,01
0,211±0,004
157±2
9,042±0,005
0,131±0,003
114±2
21,00±0,01
0,217±0,004
159±2
10,032±0,005
0,139±0,003
118±2
22,04±0,01
0,223±0,004
162±2
11,052±0,006
0,148±0,003
124±2
23,05±0,01
0,229±0,005
165±2
12,030±0,006
0,156±0,003
128±2
24,03±0,01
0,234±0,005
168±2
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40
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Como última etapa, calculou-se a resistência média entre os pontos 4 V e
10 V, uma vez que, observando-se a Figura 3.4, esse trecho corresponde à,
aproximadamente, uma reta. Dessa forma, pode-se concluir que há uma dependência linear entre a tensão (V) e a corrente elétrica (I), sendo a resistência
média (Rm) dada pela inclinação da reta compreendida entre esses pontos. Em
notação matemática, tem-se que:
V (10,032  0,005)  (4,032  0,002) 6,032  0,003


I
(0,139  0,003)  (0,080  0,002) 0,059  0,001
 (102  2)
(3.7)
R m  tg
3.4.2.
Experimento II
Como primeiro passo, determinou-se, utilizando-se um ohmímetro, a resistência direta e reversa de um diodo Zener. A margem de erro do ohmímetro
é de 0,15%, conforme especificado no manual do instrumento. Os valores obtidos encontram-se transcritos na Tabela 3.3.
Tabela 3.3
Valores da resistência direta e reversa de um diodo Zener.
Resistência direta (Ω)
Resistência reversa (Ω)
3269±5
∞
Em seguida, montou-se um circuito composto por uma fonte de tensão
variável, um amperímetro, um resistor de resistência (551,3±0,8) Ω e o diodo
Zener medido anteriormente, ligado em sua forma direta. A Figura 3.7 representa o circuito citado.
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Estudo de Elementos Não Lineares |
Figura 3.7
41
Desenho esquemático do circuito montado no experimento II.
Montado o circuito, variou-se a tensão fornecida pela fonte de 0 V até 0,8 V,
em intervalos de, aproximadamente, 0,1 V. Os valores exibidos pelo amperímetro foram anotados e encontram-se transcritos na Tabela 3.4.
Tabela 3.4
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Valores da tensão e da corrente elétrica do diodo Zener utilizado no experimento II.
Tensão (V)
Corrente Elétrica (A)
0,0
0,0
0,1
0,0
0,2
1,0  10 –8
0,3
3,0  10 –8
0,4
1,1  10 –7
0,5
8,9  10 –7
0,6
9,4  10 –6
0,7
2,9  10 –4
0,8
1,0  10 –2
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42
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Em seguida, inverteu-se a polaridade do diodo, conforme indica a Figura
3.8 a seguir.
Figura 3.8
Desenho esquemático do circuito montado no experimento II, com a polaridade do diodo invertida.
Após montar o circuito, ajustou-se a tensão da fonte de tal forma a ter no
diodo uma corrente elétrica de 0 A a 40  10 –3 A, em intervalos de, aproximadamente, 5  10 –3 A. Os valores obtidos estão transcritos na Tabela 3.5.
Tabela 3.5
Valores da tensão e da corrente elétrica do diodo Zener, com polaridade
invertida.
Corrente Elétrica (A)
Tensão (V)
0,000
0,00
5  10
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–3
6,24
10  10 –3
6,28
15  10 –3
6,31
20  10
–3
6,34
25  10 –3
6,37
30  10 –3
6,39
35  10 –3
6,44
40  10 –3
6,47
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Estudo de Elementos Não Lineares |
3.5.
43
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Objetivando não só determinar a resistência de uma lâmpada, mas também a caracterização de um diodo, foram realizados dois experimentos.
No primeiro experimento, montou-se um circuito formado por uma lâmpada, uma fonte de tensão variável e um amperímetro. Montando o circuito,
variou-se a tensão de 1 V a 24 V, e obteve-se 24 valores para a corrente elétrica.
Com esses dados, estabeleceu-se um gráfico da tensão (V) versus corrente elétrica (I). Como o gráfico gerado corresponde a uma parábola, o circuito possui
um elemento não linear (lâmpada), não se podendo determinar uma resistência geral para o elemento, mas, sim, uma resistência local ou instantânea para
um determinado valor de tensão e corrente. Por exemplo, considerando-se o
ponto correspondente a (8,012±0,004) V e a (0,122±0,002) A, o valor da resistência para esse ponto é de (109±1) Ω. Outro aspecto do gráfico da tensão (V)
versus corrente elétrica (I) é que no trecho compreendido entre os pontos 4 V
e 10 V, o gráfico se comporta como um reta, possuindo, dessa forma, um trecho de resistência média (Rm) igual a (102±2) Ω. O comportamento não linear
da lâmpada é explicado pelo fato de que a resistência de seu filamento de tungstênio varia com o aumento da temperatura.
No experimento II, determinou-se a resistência de um diodo Zener, medindo-o com um ohmímetro em sua posição direta e reversa. Os valores obtidos foram (3269±5) Ω na posição direta e infinito (∞) para a posição reversa,
permitindo, portanto, a passagem de corrente elétrica, com facilidade, num
sentido, e oferecendo uma grande resistência à sua passagem no sentido contrário. Logo após esse procedimento, montou-se um circuito composto por
esse diodo (colocado em sua polaridade direta), uma fonte de tensão regulável,
um resistor (551,3±0,8) Ω e um amperímetro. Em seguida, variou-se a tensão
de 0 V a 0,8 V, anotando-se os valores da corrente elétrica do diodo. Com base
nos dados obtidos, percebe-se que há um aumento da corrente somente quando
a tensão ultrapassa a faixa dos 0,7 V, sendo, antes desse valor, a corrente muito
pequena. Um segundo teste foi feito com esse mesmo diodo, ligando-o com sua
polaridade invertida nesse mesmo circuito. Nessa situação, ajustou-se a tensão
da fonte de tal forma a ter no diodo uma corrente elétrica de 0 A a 40  10 –3 A.
Nesse caso, é possível afirmar que a tensão permaneceu praticamente constante, em torno de 6,36 V.
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44
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Como fica evidente pela leitura deste texto, todos os experimentos trataram de elementos não lineares ou não ôhmicos. Para tal tarefa, utilizou-se uma
lâmpada, que possui uma resistência que varia com o aumento da temperatura, e um diodo Zener, que possui uma zona de trabalho específica, na qual sua
tensão de saída varia muito pouco, funcionando como uma espécie de chave
seletora.
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4
SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS E CAMPOS ELÉTRICOS
4.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática aqui relatada é mapear as superfícies equipotenciais de diferentes configurações de cargas e, por meio dessas superfícies,
desenhar as linhas do campo elétrico. Para alcançar tal objetivo, realizaram-se
quatro experimentos que aqui serão descritos.
4.2.
INTRODUÇÃO
A força que uma carga elétrica exerce sobre outra é um exemplo de força
de ação à distância, semelhante à força gravitacional de uma massa sobre ou
tra. Uma carga elétrica provoca um campo elétrico E em todo o espaço, e é este
campo que atua sobre outra partícula a certa distância. A força exercida sobre
a partícula distante é devida ao campo elétrico produzido pela primeira carga
e não diretamente por ela.
A força é uma grandeza vetorial, de modo que o campo elétrico também o

é. Desse modo, define-se o campo vetorial E em um ponto como a força elé
trica Fe que atua sobre uma carga q0 nesse ponto, dividido pela carga q0. Ou
seja, o campo elétrico em um dado ponto é igual à força elétrica por unidade de
carga que atua sobre uma carga situada nesse ponto:

 Fe
E
q0
(4.1)
Pode-se figurar o campo elétrico mediante curvas que indicam a respecti
va direção e sentido. Em qualquer ponto do campo, o vetor do campo E é
tangente a uma das curvas. As linhas do campo elétrico são também chamadas
linhas de força, pois mostram, em cada ponto, a direção da força que se exerce
sobre uma carga de prova positiva. De qualquer ponto ocupado por uma carga
positiva, as linhas de força se irradiam para além da carga. As linhas do campo
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
elétrico, ao contrário, convergem para qualquer ponto ocupado por uma carga
negativa. É importante salientar que duas linhas do campo nunca têm um pon
to de cruzamento, o que indicaria duas direções do campo E num mesmo
ponto do campo.
Denomina-se potencial elétrico a energia potencial por unidade de carga.
Define-se o potencial elétrico V, em qualquer ponto de um campo elétrico,
como a energia potencial U por unidade de carga associada com uma carga de
teste q0 nesse ponto:
U
V 
Vb  V a  

q0

b
a
 
E d
(4.2)
Do mesmo modo que as linhas de campo auxiliam a visualização de um
campo elétrico, os potenciais em diversos pontos de um campo elétrico podem
ser representados graficamente por suas superfícies equipotenciais. Assim,
denomina-se superfície equipotencial uma superfície tridimensional sobre a
qual o potencial elétrico V permanece constante em todos os seus pontos. Em
qualquer ponto, as linhas de força do campo são perpendiculares à superfície
equipotencial que passa por ele.
O potencial (em relação ao potencial nulo no infinito) de um condutor finito, isolado, com carga Q, é proporcional a esta carga e depende do tamanho
e da forma do condutor. Em geral, quanto maior o condutor, maior a quantidade de carga que pode reter para um dado potencial.
A razão entre a carga Q e o potencial V de um condutor isolado é a capacitância C. No caso específico de um capacitor formado por placas paralelas,
com um campo elétrico uniforme entre elas, tem-se que:
C
Q
A
 0 
Vab
d
(4.3)
onde ε0 é uma constante denominada permissividade do vácuo, cujo valor é
8,85  10 –12 F/m; A é área da placa; e d é a distância entre as placas.
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Superfícies Equipotenciais e Campos Elétricos |
4.3.
47
MATERIAL UTILIZADO
• Conjunto de eletrodos e fios;
• Cuba eletrolítica;
• Fonte de tensão alternada;
• Papel milimetrado;
• Solução de NaCl;
• Voltímetro.
4.4.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
Em todos os experimentos, montou-se o circuito representado pela Figura 4.1.
Figura 4.1
Esquema geral do circuito utilizado em todos os experimentos realizados
nesta prática.
Visando uma maior familiarização com a montagem do circuito esquematizado na Figura 4.1, encontra-se, a seguir, uma fotografia do equipamento
utilizado.
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48
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 4.2
4.4.1.
Fotografia do equipamento utilizado nos experimentos descritos neste
capítulo.
Experimento I
Como primeiro passo, montou-se o circuito representado pela Figura 4.1,
utilizando-se dois eletrodos puntiformes. Em seguida, colocou-se uma folha
de papel milimetrado sob a cuba eletrolítica para servir como referência. Utilizando-se outra folha de papel milimetrado, aqui denominada de guia, anotou-se a posição dos dois eletrodos.
Uma vez anotada no papel guia a posição dos eletrodos, ligou-se a fonte de
tensão alternada em 12 V e, utilizando-se um voltímetro, mediu-se a ddp (diferença de potencial) V em vários pontos entre os dois eletrodos, anotando-se,
no papel guia, a posição e o valor de cada ponto. Logo após anotar a posição
dos pontos no papel guia, procurou-se por outros pontos cuja ddp fosse igual
às encontradas anteriormente, anotando-se a posição e valor de cada ponto.
Em seguida, os pontos de mesma ddp foram unidos, representando, dessa
forma, as superfícies equipotenciais do circuito estudado. Uma vez desenhadas
as superfícies equipotenciais, foi possível obter as linhas do campo elétrico do
circuito, que são sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais e partem
da superfície de maior potencial para a de menor potencial, sendo o ponto A o
de menor potencial e comum na Figura 4.1. O desenho que representa as superfícies equipotenciais e as linhas do campo elétrico se encontra na Figura 4.3.
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Superfícies Equipotenciais e Campos Elétricos |
Figura 4.3
49
Fotografia das superfícies equipotenciais e das linhas de força referentes ao
experimento I.
Superfície equipotenciais e
Linhas de força referente
ao experimento I
4.4.2.
Experimento II
Neste experimento repetiram-se os mesmos procedimentos utilizados no
experimento I. Neste, no entanto, utilizou-se um eletrodo puntiforme e um
eletrodo plano.
O desenho que representa as superfícies equipotenciais e as linhas do campo elétrico se encontra na Figura 4.4.
Figura 4.4
Fotografia das superfícies equipotenciais e das linhas de força referentes ao
experimento II.
Superfície equipotenciais e
Linhas de força referente
ao experimento II
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
4.4.3.
Experimento III
Neste experimento repetiram-se os mesmos procedimentos utilizados nos
experimentos I e II. Contudo, neste, utilizaram-se dois eletrodos planos.
O desenho que representa as superfícies equipotenciais e as linhas do campo elétrico se encontra na Figura 4.5.
Figura 4.5
Fotografia das superfícies equipotenciais e das linhas de força referentes ao
experimento III.
Superfície equipotenciais e
Linhas de força referente
ao experimento III
4.4.4.
Experimento IV
Neste quarto experimento, os procedimentos utilizados nos experimentos
anteriores foram repetidos, sendo que a diferença entre este e os outros é que
neste utilizaram-se dois eletrodos cilíndricos de tamanhos diferentes. Estes
eletrodos foram colocados na cuba eletrolítica de forma a ficarem concêntricos. Neste experimento, além de medir a ddp entre os dois eletrodos, mediu-se
também a ddp em alguns pontos na região mais interna do sistema (dentro do
eletrodo de menor diâmetro) e na região mais externa (fora do eletrodo de
maior diâmetro).
O desenho que representa as superfícies equipotenciais e as linhas do campo elétrico se encontra na Figura 4.6 a seguir. Veja-se.
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Superfícies Equipotenciais e Campos Elétricos |
Figura 4.6
51
Fotografia das superfícies equipotenciais e das linhas de força referentes ao
experimento IV.
Superfície equipotenciais e
Linhas de força referente
ao experimento IV
Questões
1. Explique o significado dos termos: Linhas de força, Campo elétrico e Superfície equipotencial.
Linhas de força ou linhas do campo elétrico são linhas retas ou curvas
imaginárias, desenhadas passando por uma região do espaço, de modo que a
sua tangente em qualquer ponto forneça a direção e o sentido do campo elétrico no ponto considerado. Campo elétrico é definido como uma alteração introduzida no espaço pela presença de um corpo com carga elétrica, de modo
que qualquer outra carga de prova localizada ao redor indicará sua presença.
Superfície equipotencial é o conjunto de pontos no espaço sobre o qual o potencial elétrico V permanece constante em todos os seus pontos.
2. Explique como se determina experimentalmente uma superfície equipotencial e
como se chega às linhas de campo.
Para se determinar experimentalmente uma superfície equipotencial, deve-se proceder como descrito no experimento I.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
3. Calcule o campo entre duas placas planas paralelas, cujas ddp é 10V e a distância
entre elas é de 5 cm (despreze efeitos de borda). Se a área das placas for de 50 cm2,
qual será a capacitância deste sistema?
Para se calcular o campo elétrico entre duas placas planas paralelas, deve-se
utilizar a Equação 4.2, considerando-se o campo elétrico constante:

b 
0
10
Vb  V a 
 E  d   10 
 Ed  0,05  E 

a
E

0,05
10
 E 200 V m 200 N C
0,05
(4.4)
Já para se calcular a capacitância do sistema, deve-se utilizar a Equação 4.3:
C  0 
A
0,005
 C  8,85  10 12 
d
0,05
C
8,85  10 13 F 
0,885pF
4.5.
(4.5)
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Com o intuito de não só mapear as superfícies equipotenciais de diferentes
configurações de cargas, mas também desenhar as linhas do campo elétrico,
foram realizados quatro experimentos.
No primeiro experimento, obtiveram-se as superfícies equipotenciais de
um sistema composto por dois eletrodos puntiformes. Por meio dessas superfícies, foi possível desenhar as linhas do campo elétrico desse sistema, que são
sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais e partem da região de
maior potencial para a região de menor potencial.
No experimento II, desenharam-se as superfícies equipotenciais de um
circuito formado por um eletrodo puntiforme e um eletrodo plano. Assim
como no primeiro experimento, por meio das superfícies equipotenciais, foi
possível obter as linhas do campo elétrico desse circuito, que são sempre perpendiculares às superfícies e partem do eletrodo plano para o eletrodo puntiforme. Nas proximidades do eletrodo plano, o campo elétrico é praticamente
constante, visto que as linhas de força são paralelas e eqüidistantes.
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Superfícies Equipotenciais e Campos Elétricos |
53
No terceiro experimento, determinaram-se as superfícies equipotenciais
de um sistema formado por dois eletrodos planos. Assim como nos dois experimentos anteriores, por meio dessas superfícies, foi possível obter as linhas de
força, que são sempre perpendiculares às superfícies equipotenciais e partem
da região de maior potencial para a região de menor potencial. O campo elétrico desse sistema de cargas é dito uniforme, pois as linhas de força são paralelas e eqüidistantes.
No último experimento, obtiveram-se as superfícies equipotenciais de um
circuito formado por dois eletrodos cilíndricos de tamanhos diferentes, dispostos de forma a ficarem concêntricos. As linhas do campo elétrico, assim
como nos outros experimentos, são sempre perpendiculares as superfícies
equipotenciais, partindo do eletrodo de menor diâmetro e terminando no eletrodo de maior diâmetro. Neste experimento, mediu-se também a ddp no interior do eletrodo de menor diâmetro e fora do eletrodo de maior diâmetro.
Nesse caso, a ddp medida no interior do eletrodo de menor diâmetro foi constante (12,6±0,1) V, devido ao equilíbrio eletrostático, que diz que todo excesso
de carga colocado em um condutor será encontrada inteiramente sobre sua
superfície. Já na região exterior ao eletrodo de maior diâmetro, a ddp medida
foi igual a zero, fato que se deve também ao equilíbrio eletrostático.
Como fica evidente pela leitura deste capítulo, em todos os experimentos
foi possível desenhar as superfícies equipotenciais e, a partir delas, obter as linhas de campo do campo elétrico para qualquer configuração de cargas.
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5
ESTUDO DAS LEIS DE KIRCHHOFF
5.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática relatada aqui é verificar, experimentalmente,
as leis de Kirchhoff. Para atingir tal objetivo, realizaram-se dois experimentos
sobre o qual se pauta então a descrição abaixo.
5.2.
INTRODUÇÃO
Muitos circuitos envolvendo resistores não podem ser reduzidos a combinações simples de resistores em série e em paralelo. A Figura 5.1 é um exemplo
de circuito que não pode ser analisado pela substituição de combinações de
resistores em série ou em paralelo por outros resistores equivalentes. Os resistores não se encontram em paralelo, ou seja, não estão sob a mesma ddp. Também não estão em série, pois não conduzem a mesma corrente.
Figura 5.1
Exemplo de circuito que não pode ser reduzido a combinações simples de
resistores em série ou em paralelo.
Não é necessário utilizar nenhum princípio novo para encontrar as correntes nesse circuito; contudo, existem algumas técnicas que auxiliam a resol-
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
ver tais problemas de modo sistemático. O comportamento dos circuitos elétricos é governado por duas leis básicas chamadas Leis de Kirchhoff, em
homenagem ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), e decorrem diretamente das leis de conservação de carga e da energia existentes no
circuito. Antes do enunciado das referidas leis, torna-se, entretanto, necessário
a introdução de algumas definições básicas:
• Ramo: é a representação de um único componente conectado entre
dois nós, tal como um resistor ou uma fonte de tensão.
• Nó: é o ponto de junção entre dois ou mais ramos.
• Circuito fechado: é o caminho (fechado) formado por um nó de partida,
passando por um conjunto de nós e retornando ao nó de partida, sem
passar por qualquer nó mais de uma vez.
• Malha: é um caminho fechado que não contém dentro de si outro caminho fechado. O caminho fechado mais externo do circuito é denominado malha externa e inclui todos os elementos do circuito no seu
interior. As demais malhas são denominadas malhas internas.
Observando a Figura 5.1, nota-se que o circuito é composto por três malhas: ABEF, BCDE e ABCDEF. Os pontos B e E formam dois nós, em que se
interligam geradores e resistores, constituindo três ramos distintos: o ramo à
esquerda, composto por V6, R1, V1 e V2; o ramo central, composto por V3 e R2;
e o ramo da direita, formado por R5, V5, R4, V4 e R3.
Após essas considerações, podem-se enunciar as leis de Kirchhoff:
• 1ª Lei de Kirchhoff das correntes – A soma algébrica das correntes que
chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó.
As correntes que entram em um nó são consideradas positivas e as que
saem são consideradas negativas. Logo, a soma algébrica das correntes
é nula em qualquer instante de tempo.
 I 0  i
1
 i 2  i 3  ...  i n 0
(5.1)
• 2ª Lei de Kirchhoff das tensões – A soma das elevações de potencial ao
longo de um percurso fechado qualquer (malha) é igual à soma das
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Estudo das Leis de Kirchhoff |
57
quedas de potencial no mesmo percurso fechado. Assumindo-se que as
quedas de potencial (sentido do percurso do terminal positivo para o
negativo) são negativas ao longo do trajeto e que as elevações de potencial (sentido do percurso do terminal negativo para o positivo) são positivas, a 2ª Lei de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das tensões
em um percurso fechado é nula.
V 0  V
1
 V R 1  ...  Vn  V R n 0
(5.2)
onde Vn é a tensão fornecida pela fonte ou gerador, e VRn é dada pela lei de
Ohm.
5.3.
MATERIAL UTILIZADO
• Amperímetro;
• Fonte de 3V;
• Fonte de 5V;
• Fonte de tensão contínua regulável;
• Ohmímetro;
• Resistores diversos;
• Voltímetro.
5.4.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
5.4.1. Experimento I
Como primeiro passo, determinou-se o valor da resistência de três resistores, utilizando-se para tal tarefa um ohmímetro. Os valores obtidos para os três
resistores, que serão chamados de R1, R2 e R3, se encontram na Tabela 5.1,
lembrando que a margem de erro do ohmímetro é de 0,15%, conforme especificado no manual do instrumento.
Tabela 5.1
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Valores das resistências utilizadas no experimento I.
R1 (Ω)
R2 (Ω)
R3 (Ω)
2177±3
996±1
810±1
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Uma vez determinados os valores dos resistores, montou-se o circuito esquematizado na Figura 5.2.
Figura 5.2
Desenho esquemático do circuito montado no experimento I.
Em seguida, mediu-se a tensão de cada componente do circuito. Para realizar tal tarefa, utilizou-se um voltímetro ligado em paralelo com cada componente. A margem de erro do voltímetro é de 0,05%, conforme especificado no manual do instrumento. Os valores obtidos estão transcritos na Tabela 5.2. Veja-se.
Tabela 5.2
Valores da tensão de cada componente do circuito utilizado no experimento I.
Componente
Tensão (V)
V1
6,093±0,003
V2
5,061±0,003
V3
3,075±0,002
R1
1,764±0,001
R2
0,732±0,001
R3
1,253±0,001
Após medir a tensão em cada componente do circuito, verificou-se a corrente elétrica em cada ramo do circuito (A, B e C). Para tal empreendimento,
utilizou-se um amperímetro ligado em série em cada ramo do circuito. A margem de erro do amperímetro é de 0,5%, conforme indicado no manual do
aparelho. Os valores medidos estão transcritos na Tabela 5.3.
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Estudo das Leis de Kirchhoff |
Tabela 5.3
59
Valores da corrente elétrica em cada ramo do circuito utilizado no experimento I.
Ramo
Corrente elétrica (A)
A
8,08  10 –4 ± 0,04  10 –4
B
7,35  10 –4 ± 0,04  10 –4
C
1,54  10 –3 ± 0,08  10 –4
Outro método para se determinar o valor das correntes elétricas nos ramos
A e C, é utilizar a 2ª Lei de Kirchhoff (Equação 5.2). Assim, considerou-se o
sentido horário para as correntes nas duas malhas. Em termos matemáticos,
tem-se:
Malha A:
V1  R1  I 1  R 2  I 1  R 2  I 2  V2 
0
(6,093  0,003)  (2177  3)  I 1  (996  1)  I 1 
(996  1)  I 2  (5,061  0,003) 
0
(3173  4)  I 1  (996  1)  I 2 
(1,032  0,006)
(5.3)
Malha C:
V2  R 2  I 2  R 2  I 1  R 3  I 2  V3
(5,061  0,003)  (996  1)  I 2  (996  1)  I 1 
(810  1)  I 2  (3,075  0,002) 
0
(1,986  0,005)
(996  1)  I 1  (1806  2)  I 2 
(5.4)
Montando-se um sistema com as Equações 5.3 e 5.4, tem-se:
(1,032  0,006)
(3173  4)  I 1  (996  1)  I 2 

(1,986  0,005)
(996  1)  I 1  (1806  2)  I 2 
(5.5)
Para resolver o sistema e, conseqüentemente, encontrar os valores de I1 e
I2, utiliza-se o método de Cramer, ou seja:
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
det
I1
(1,032  0,006) (996  1)
(1,986  0,005) (1806  2)
3173  4
996  1
det
996  1 1806  2
det
I2 
(3173  4) (1,032  0,006)
(996  1)
(1,986  0,005)
(3173  4) (996  1)
det
(996  1)
(1806  2)
 (0,811  10 3  0,007  10 3 )A (5.6)
 (1,55  10 3  0,01  10 3 )A
(5.7)
Para determinar o valor da corrente I3 no ramo B (ramo central), deve-se
utilizar a 1ª Lei de Kirchhoff (Equação 5.1):
I1  I 3  I 2  I 3  I 2  I1
I 3  (1,55  10 3  0,01  10 3 )  (0,811  10 3  0,007  10 3 )
 (0,74  10 3  0,02  10 3 )A
(5.8)
Calculados os valores das correntes dos três ramos pelas Leis de Kirchhoff,
foi possível não só compará-los com os valores medidos pelo amperímetro,
mas também calcular a diferença percentual entre eles.
Tabela 5.4
Comparação entre os valores da corrente elétrica medidos pelo amperímetro e os valores calculados pelas Leis de Kirchhoff no experimento I.
Ramo
Valor medido pelo
amperímetro (A)
Valor calculado pelas
Leis de Kirchhoff (A)
Diferença
percentual
(%)
A
8,08  10 –4 ± 0,04  10 –4
8,11  10 –4 ± 0,07  10 –4
0,37
B
7,35  10 –4 ± 0,04  10 –4
7,4  10 –4 ± 0,2  10 –4
0,68
C
1,54  10 –3 ± 0,08  10 –4
1,55  10 –3 ± 0,01  10 –3
0,39
O procedimento adotado acima para as correntes foi também empregado
para as tensões dos componentes do circuito, lembrando que, para os resistores, a tensão V é dada pela lei de Ohm (V R  I ).
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Estudo das Leis de Kirchhoff |
Tabela 5.5
Comparação entre os valores da tensão medidos pelo voltímetro e os valores calculados pelas Leis de Kirchhoff para cada componente do circuito
utilizado no experimento I.
Componente
Valor medido pelo
voltímetro (V)
Valor calculado pelas
Leis de Kirchhoff (V)
Diferença
percentual
(%)
V1
6,093±0,003
6,093±0,003
0,00
V2
5,061±0,003
5,061±0,003
0,00
V3
3,075±0,002
3,075±0,002
0,00
R1
1,764±0,001
1,77±0,02
0,34
R2
0,732±0,001
0,74±0,02
1,09
R3
1,253±0,001
1,26±0,01
0,56
5.4.1.
61
Experimento II
Inicialmente, determinou-se o valor da resistência de cinco resistores, utilizando-se para tal tarefa um ohmímetro. Os valores obtidos para os cinco resistores, que aqui serão chamados de R1, R2, R3, R4 e R5, estão transcritos na
Tabela 5.6, lembrando que a margem de erro do ohmímetro é de 0,15%, conforme especificado no manual do instrumento.
Tabela 5.6
Valores das resistências utilizadas no experimento II.
R1 (Ω)
R2 (Ω)
R3 (Ω)
R4 (Ω)
R5 (Ω)
996±1
219,0±0,3
10,01±0,02
68,0±0,1
178,0±0,3
Após determinar o valor das resistências dos cinco resistores, montou-se o
circuito esquematizado na Figura 5.3.
Montado o circuito, mediu-se, por meio de um amperímetro, o valor da
corrente elétrica no ramo γ. Mediu-se também, utilizando-se um voltímetro, a
tensão no resistor R5 (178,0±0,3) Ω. A margem de erro do voltímetro e do amperímetro é de 0,05% e de 0,5%, respectivamente. Veja-se, na Tabela 5.7, os
resultados obtidos.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 5.3
Desenho esquemático do circuito montado no experimento II.
Tabela 5.7
Valores da corrente elétrica no ramo γ e da tensão no resistor R5 medidos
no circuito montado no experimento II.
Corrente no ramo γ (A)
Tensão no resistor R5 (V)
2,48  10 –2 ± 0,01  10 –2
1,572 ± 0,04  10 –4
Para constatar a veracidade desses valores, empregou-se a 2ª Lei de Kirchhoff
(Equação 5.2), de modo a obter os valores das correntes nos ramos α e β. Para
tanto, considerou-se o sentido horário para as correntes nos dois ramos. Matematicamente, tem-se:
Malha α:
(10,00  0,01)  (219,0  0,3)  I   (219,0  0,3)  I  
(5,061  0,003)  (178,0  0,3)  I   (996  1)  I  
0
(1393  2)  I   (219,0  0,3)  I  
(4,94  0,01)
(5.9)
Malha β:
(5,061  0,003)  (219,0  0,3)  I   (219,0  0,3)  I  
(3,075  0,002)  (10,01  0,02)  I   (68,0  0,1)  I  
0
(219,0  0,3)  I   (297,0  0, 4)  I  
(8,136  0,005)
(5.10)
Montando-se um sistema com as Equações 5.9 e 5.10, tem-se:
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Estudo das Leis de Kirchhoff |
(4,94  0,01)
(1393  2)  I   (219,0  0,3)  I  

(8,136  0,005)
(219,0  0,3)  I   (297,0  0, 4)  I  
63
(5.11)
Para resolver o sistema e, conseqüentemente, encontrar os valores de Iα e
Iβ, utiliza-se o método de Cramer, ou seja:
det
I 
(4,94  0,01)
det
det
I 
(219,0  0,3)
(8,136  0,005) (297,0  0, 4)
(1393  2)
(219,0  0,03)
 (8,88  10 3  0,06  10 3 )A
(5.12)
(219,0  0,3) (297,0  0, 4)
(1393  2)
(4,94  0,01)
(219,0  0,3) (8,136  0,005)
(1393  2)
(219,0  0,3)
det
(219  0,3) (297,0  0, 4)
 (3,39  10 2  0,02  10 2 )A
(5.13)
Para determinar o valor da corrente Iγ no ramo γ (ramo central), deve-se
utilizar a 1ª Lei de Kirchhoff (Equação 5.1), ou seja:
I  I  I   I  I   I
I   (3,39  10 2  0,02  10 2 )  (8,88  10 3  0,06  10 3 )
 (2,50  10 2  0,03  10 2 )A
(5.14)
Determinado o valor da corrente no ramo α, foi possível determinar a tensão no resistor R5, utilizando-se, para tanto, a lei de Ohm. Observe-se, abaixo,
o cálculo realizado.
V R 5  R 5  I   V R 5  (178,0  0,3)  (8,88  10 3  0,06  10 3 )
 (1,58  0,01)V
(5.15)
Após determinar o valor da tensão no resistor R5, foi possível comparar os
valores da corrente e da tensão obtidos por meio dos aparelhos (voltímetro e
amperímetro) com os valores calculados pelas Leis de Kirchhoff e de Ohm. As
Tabelas 5.8 e 5.9 resumem o que foi relatado.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Tabela 5.8 Comparação entre o valor da tensão medido pelo voltímetro e o valor calculado pelas Leis de Kirchhoff para o resistor R5 utilizado no experimento II.
Valor medido pelo
voltímetro (V)
Valor calculado pelas
Leis de Kirchhoff (V)
Diferença
percentual (%)
1,572 ± 0,001
1,58 ± 0,01
0,51
Tabela 5.9
Comparação entre o valor da corrente elétrica medida pelo amperímetro e
o valor calculado pelas Leis de Kirchhoff para o ramo γ do circuito utilizado
no experimento II.
Valor medido pelo
amperímetro (A)
Valor calculado pelas
Leis de Kirchhoff (V)
Diferença percentual
(%)
2,48  10 –2 ± 0,01  10 –2
2,50  10 –2 ± 0,03  10 –2
0,81
5.5.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Objetivando verificar experimentalmente as Leis de Kirchhoff, foram realizados dois experimentos. No primeiro deles, montou-se um circuito composto por 3 resistores e 3 fontes de tensão. Como etapa inicial, mediu-se a
tensão de cada componente (Tabela 5.2) e a corrente em cada ramo do circuito (Tabela 5.3). Em seguida, os valores das tensões de cada componente do
circuito e das correntes em cada ramo do circuito foram calculados, utilizando-se, para tal tarefa, as Leis de Kirchhoff (Equações 5.1 e 5.2). Desse modo,
foi possível comparar os valores medidos experimentalmente com os valores
calculados teoricamente. Observando-se a Tabela 5.4, que contém os valores
da corrente obtidos pelos dois métodos, é possível afirmar que a diferença
percentual média entre eles é de, aproximadamente, 0,48%. Já em relação à
Tabela 5.5, que contém os valores da tensão de cada componente obtidos pelos dois métodos, constata-se que a diferença percentual média entre eles é de,
aproximadamente, 0,66%.
No experimento II, montou-se um circuito formado por 5 resistores e 3
fontes de tensão. Uma vez montado o circuito, mediu-se, utilizando-se um
amperímetro, o valor da corrente elétrica no ramo central (ramo γ). Mediu-se
também, por meio de um voltímetro, a tensão no resistor R5 (178,0±0,3) Ω. Os
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Estudo das Leis de Kirchhoff |
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valores obtidos estão transcritos na Tabela 5.7. Em seguida, esses mesmos valores foram calculados, utilizando-se, então, as Leis de Kirchhoff e de Ohm
(Equações 5.1 e 5.2). Feito isso, foi possível comparar os valores medidos experimentalmente com os valores calculados teoricamente. Observando-se a Tabela 5.8, verifica-se que a diferença percentual entre o valor da tensão medido
experimentalmente e o valor calculado teoricamente é de apenas 0,51%. Examinando a Tabela 5.9, constata-se que a diferença percentual entre o valor
medido experimentalmente e o valor calculado pelas Leis de Kirchhoff, para a
corrente no ramo γ, é de 0,81%.
Como se pode observar pela leitura deste capítulo, todos os experimentos
têm como base as Leis de Kirchhoff. Nos dois experimentos realizados, verificou-se uma pequena diferença entre os valores medidos e os valores calculados
pelas Leis de Kirchhoff (valores teóricos). Essa diferença pode ser atribuída não
só à dissipação da corrente elétrica em forma de calor, mas também a possíveis
erros experimentais, como a medida incorreta de uma grandeza ou a falta de
precisão do instrumento utilizado. De qualquer forma, como as diferenças foram muito pequenas, é possível afirmar que a Lei de Kirchhoff é válida.
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6
ESTUDO DO CIRCUITO RC E DESCARGA DE CAPACITORES
6.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática aqui relatada é determinar a constante de
tempo τ em um circuito RC, assim como a capacitância equivalente relativa à
associação de capacitores em série e em paralelo. Para atingir tal objetivo, realizaram-se três experimentos que aqui serão apresentados.
6.1.
INTRODUÇÃO
Um capacitor é um sistema constituído de dois condutores separados por
um isolante (ou imersos no vácuo). Usualmente, o capacitor é carregado pela
transferência de uma carga Q de um para outro condutor, de modo que um
deles fique com carga +Q e o outro com carga –Q. O campo elétrico em qualquer ponto na região entre os condutores é proporcional ao módulo Q da carga
em cada condutor. A partir disso, conclui-se que a tensão V entre os condutores
também é proporcional à Q. A razão entre a carga Q e a tensão V de um condutor isolado é a capacitância C. No caso específico de um capacitor formado por
placas paralelas, com um campo elétrico uniforme entre elas, tem-se que:
C
Q
A
 0 
V
d
(5.9)
onde ε0 é uma constante denominada permissividade do vácuo, cujo valor é
8,85  10 12 F/m; A é área da placa; e d é a distância entre as placas.
Assim como os resistores, é muito comum que se usem dois ou mais capacitores associados. A análise de um circuito, muitas vezes, pode ser simplificada pela substituição de dois ou mais capacitores por um capacitor equivalente
(Ceq). Com referência a esse fato, as duas associações mais utilizadas são:
• Associação em série: quando todos os capacitores estão ligados em seqüência, como indicado na Figura 6.1 a seguir.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 6.1
Associação em série de capacitores.
Nesse tipo de associação, a carga Q acumulada é a mesma em todas as placas dos capacitores; a tensão V, contudo, não é a mesma. Assim, para qualquer
número de capacitores conectados em série, o inverso da capacitância equivalente é igual à soma dos inversos das capacitâncias individuais, ou seja:
1
1
1
1
 

C eq C1 C 2 C 3
(6.2)
• Associação em paralelo: quando todos os capacitores estão submetidos
à mesma tensão, como indicado na figura a seguir.
Figura 6.2
Associação em paralelo de capacitores
Na associação em paralelo, a carga Q acumulada não é a mesma em todos
os capacitores, contudo, a tensão V é a mesma. Desse modo, a capacitância
equivalente de qualquer número de capacitores conectados em paralelo é igual
à soma das capacitâncias individuais, ou seja:
C eq  C1  C 2  C 3
(6.3)
Um circuito constituído somente por um resistor e um capacitor é denominado circuito RC. A corrente nesse circuito circula num só sentido, mas o
seu valor varia com o tempo devido à carga ou à descarga do capacitor. Desse
modo, as Equações 6.4, 6.5, 6.6 e 6.7 a seguir representam, respectivamente, as
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Estudo do Circuito RC e Descarga de Capacitores |
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equações da descarga, da carga, da corrente e da tensão de um capacitor em
um circuito RC. Em todas as equações, o produto RC é uma constante denominada constante de tempo capacitiva do circuito (τ), e representa a velocidade de
carga ou descarga do capacitor.
t
t
Q(t ) 
Q 0  e RC 
Q0  e 
t
(6.4)
t
Q(t )  Q f  (1  e RC )  Q f  (1  e  )
t
t
I (t ) 
I 0  e RC 
I0 e 
t
(6.6)
t
V (t ) 
V0  e RC 
V0  e 
6.3.
(6.5)
(6.7)
MATERIAL UTILIZADO
• Capacitores;
• Cronômetro;
• Editor gráfico Origin;
• Fonte de tensão contínua regulável;
• Ohmímetro;
• Resistor;
• Voltímetro.
6.4.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
Inicialmente, determinou-se, utilizando-se um ohmímetro, a resistência
de um resistor. O valor obtido foi de (268,3×103±0,4×103) Ω, lembrando que a
margem de erro do ohmímetro é de 0,15%, conforme especificado no manual
do instrumento. Uma vez determinado valor da resistência do resistor, este foi
utilizado nos três experimentos que serão descritos a seguir.
6.4.1.
Experimento I
Como etapa inicial, montou-se um circuito composto por uma fonte de
tensão contínua, um resistor, uma chave seletora S e um capacitor de capacitância nominal igual a (470±24) μF. A Figura 6.3 representa o circuito citado.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 6.3
Desenho esquemático do circuito montado no experimento I.
Após montar o circuito, a chave S foi fechada, efetuando-se, desse modo,
a carga do capacitor. Carregado o capacitor, a chave S foi aberta, o que permitiu medir periodicamente a tensão daquele, em intervalos de, aproximadamente, 1 V. Para tal tarefa, foram utilizados um voltímetro e um cronômetro,
considerando-se a margem de erro dos instrumentos iguais a 0,05% e a 0,5s,
respectivamente.
Tabela 6.1
Valores da tensão e do tempo, referentes à descarga do capacitor utilizado
no experimento I.
Tensão (V)
Tempo (s)
Tensão (V)
Tempo (s)
20,00±0,01
0,0±0,0
9,000±0,005
105,0±0,5
19,00±0,01
7,0±0,5
8,000±0,004
120,0±0,5
18,00±0,01
14,0±0,5
7,000±0,004
138,0±0,5
17,00±0,01
21,0±0,5
6,000±0,003
158,0±0,5
16,00±0,01
29,0±0,5
5,000±0,003
183,0±0,5
15,00±0,01
38,0±0,5
4,000±0,002
212,0±0,5
14,00±0,01
47,0±0,5
3,000±0,002
251,0±0,5
13,00±0,01
57,0±0,5
2,000±0,001
306,0±0,5
12,00±0,01
67,0±0,5
1,000±0,001
403,0±0,5
11,00±0,01
78,0±0,5
1  10 ±1  10
1000,0±0,5
10,00±0,01
91,0±0,5
–2
–5
A partir dos valores contidos na Tabela 6.1, foi possível construir um gráfico
da tensão em função do tempo, como se pode observar na Figura 6.4 a seguir.
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Estudo do Circuito RC e Descarga de Capacitores |
Figura 6.4
71
Gráfico da Tensão (V) versus Tempo (s) referente à descarga do capacitor
utilizado no experimento I.
De acordo com a Figura 6.4, pode-se afirmar que o valor da tensão (V)
tende à zero, exponencialmente. Calculando-se o logaritmo natural da tensão,
obtém-se um novo gráfico, agora linearizado. Veja-se, abaixo, o novo gráfico.
Figura 6.5
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Gráfico do ln(Tensão) versus Tempo, onde A e B representam o coeficiente
linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Valendo-se do gráfico na Figura 6.5 e da Equação 6.7, foi possível determinar o valor da constante de tempo capacitiva (τ) do circuito. Observe, abaixo,
o cálculo realizado.
1
1

B    
(131,9  0,3)s
3

7,58  10  2  10 5
(6.8)
Uma vez determinado o valor de τ, calculou-se o valor da capacitância do
capacitor utilizado no circuito. Para tanto, utilizou-se a seguinte expressão:
  RC  C 

R

131,9  0,3
268,3  10 3  0, 4  10 3
 4,92  10 4  0,02  10 4  (492  2)μF
(6.9)
Como fator de comparação, calculou-se a constante de tempo capacitiva
(τ) por meio do valor nominal do capacitor e da resistência. Veja-se, a seguir,
o cálculo realizado.
  R  C  (268,3  10 3  0, 4  10 3 )  (470  10 6  24  10 6 )  (126  7)s (6.10)
Após determinar experimentalmente os valores da constante de tempo capacitiva e da capacitância, foi possível compará-los com os valores calculados
teoricamente. A Tabela 6.2 apresenta um resumo dessas informações.
Tabela 6.2
Comparação entre os valores obtidos experimentalmente e os calculados
teoricamente da constante de tempo capacitiva e da capacitância, do capacitor utilizado no experimento I.
Valor teórico
Valor
experimental
Diferença
percentual (%)
Constante de tempo
capacitiva (s)
126±7
131,9±0,3
4,40
Capacitância (μF)
470±24
492±2
4,47
Grandeza
6.4.2.
Experimento II
Inicialmente, montou-se um circuito composto por uma fonte de tensão
contínua, um resistor, uma chave seletora S e dois capacitores associados em
paralelo, com capacitâncias nominais idênticas ao do capacitor utilizado no
experimento anterior. A Figura 6.6 representa o circuito montado.
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Estudo do Circuito RC e Descarga de Capacitores |
Figura 6.6
73
Desenho esquemático do circuito montado no experimento II, contendo
dois capacitores associados em paralelo.
Depois de montar o circuito, a chave S foi fechada, efetuando-se, desse
modo, a carga do capacitor. Após carregar o capacitor, a chave S foi aberta,
permitindo medir periodicamente a tensão daquele, em intervalos de, aproximadamente, 1 V. Para tal tarefa, foram utilizados um voltímetro e um cronômetro, considerando-se a margem de erro dos instrumentos iguais a 0,05% e a
0,5s, respectivamente. Os resultados foram anotados e encontram-se transcritos na Tabela 6.3.
Tabela 6.3
Valores da tensão e do tempo, referentes à descarga dos capacitores associados em paralelo utilizados no experimento II.
Tensão (V)
Tempo (s)
Tensão (V)
Tempo (s)
20,00±0,01
0,0±0,0
9,000±0 ,005
206,0±0,5
19,00±0,01
13,0±0,5
8,000±0,004
236,0±0,5
18,00±0,01
27,0±0,5
7,000±0,004
272,0±0,5
17,00±0,01
41,0±0,5
6,000±0,003
312,0±0,5
16,00±0,01
57,0±0,5
5,000±0,003
360,0±0,5
15,00±0,01
73,0±0,5
4,000±0,002
422,0±0,5
14,00±0,01
91,0±0,5
3,000±0,002
496,0±0,5
13,00±0,01
110,0±0,5
2,000±0,001
605,0±0,5
12,00±0,01
131,0±0,5
1,000±0,001
793,0±0,5
11,00±0,01
154,0±0,5
1  10 ±1  10
1421,0±0,5
10,00±0,01
178,0±0,5
–1
–4
A partir dos valores contidos na Tabela 6.3, foi possível construir um gráfico da tensão em função do tempo, como se pode observar na Figura 6.7.
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74
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 6.7
Gráfico da Tensão (V) versus Tempo (s) referente à descarga dos capacitores, associados em paralelo, utilizados no experimento II.
De acordo com a figura acima, pode-se afirmar que o valor da tensão (V)
do circuito RC tende à zero, exponencialmente. Desse modo, calculando-se o
logaritmo natural da tensão, obtém-se um novo gráfico, agora linearizado.
Veja-se, na Figura 6.8, o novo gráfico obtido após a linearização do anterior.
Figura 6.8
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Gráfico do ln(Tensão) versus Tempo referente à associação em paralelo dos
capacitores utilizados no experimento II. A e B representam o coeficiente
linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
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Estudo do Circuito RC e Descarga de Capacitores |
75
Utilizando-se a Figura 6.8 e a Equação 6.7, foi possível determinar o valor
da constante de tempo capacitiva (τ) do circuito. Observe, abaixo, o cálculo
realizado.
1
1

B    
(267, 4  0,7)s
3

3,74  10  1  10 5
(6.11)
Uma vez determinado o valor de τ, calculou-se o valor da capacitância
equivalente (Ceq) referente aos capacitores utilizados no circuito. Para isso,
utilizou-se a seguinte expressão:

 R  C eq  C eq  
R
267, 4  0,7
268,3  10 3  0, 4  10 3
 9,97  10 4  0,04  10 4  (997  4) μF
(6.12)
Como fator de comparação, calculou-se novamente a capacitância equivalente (Ceq) do circuito e a constante de tempo capacitiva (τ), utilizando-se, no
entanto, os valores nominais de cada capacitor e a Equação 6.3. Veja-se.
C eq  C1  C 2  (470  24)  (470  24)  (940  48) μF
(6.13)
 R  C eq (268,3  10 3  0, 4  10 3 )  (940  10 6  48  10 6 ) (252  13)s (6.14)
Após determinar experimentalmente os valores da constante de tempo capacitiva e da capacitância equivalente do circuito, foi possível não só compará-los com os valores estimados teoricamente, mas também calcular a diferença
percentual entre eles.
Tabela 6.4
Comparação entre os valores obtidos experimentalmente e os calculados
teoricamente da constante de tempo capacitiva e da capacitância equivalente, referentes ao experimento II.
Valor teórico
Valor
experimental
Diferença
percentual (%)
Constante de tempo
capacitiva (s)
252±13
267,4±0,7
5,76
Capacitância
equivalente (μF)
940±48
997±4
5,72
Grandeza
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76
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
6.4.3.
Experimento III
Primeiramente, montou-se o circuito esquematizado pela Figura 6.9 abaixo.
Figura 6.9
Desenho esquemático do circuito montado no experimento III, contendo
dois capacitores associados em série.
Em seguida, os mesmos procedimentos adotados nos experimentos anteriores foram repetidos, obtendo-se, desse modo, a Tabela 6.5. A diferença entre
este experimento e os anteriores é que a capacitância nominal dos capacitores
utilizados é igual a (1000±50) μF.
Tabela 6.5
Valores da tensão e do tempo, referentes à descarga dos capacitores associados em série utilizados no experimento III.
Tensão (V)
Tempo (s)
Tensão (V)
Tempo (s)
20,00±0,01
0,0±0,0
9,000±0,005
101,0±0,5
19,00±0,01
6,0±0,5
8,000±0,004
116,0±0,5
18,00±0,01
13,0±0,5
7,000±0,004
135,0±0,5
17,00±0,01
20,0±0,5
6,000±0,003
154,0±0,5
16,00±0,01
28,0±0,5
5,000±0,003
177,0±0,5
15,00±0,01
36,0±0,5
4,000±0,002
205,0±0,5
14,00±0,01
44,0±0,5
3,000±0,002
243,0±0,5
13,00±0,01
54,0±0,5
2,000±0,001
296,0±0,5
12,00±0,01
64,0±0,5
1,000±0,001
387,0±0,5
11,00±0,01
75,0±0,5
1  10 ±1  10
682,0±0,5
10,00±0,01
87,0±0,5
–1
–4
A partir dos valores contidos na Tabela 6.5, foi possível construir um gráfico
da tensão em função do tempo, como se pode observar na Figura 6.10 a seguir.
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Estudo do Circuito RC e Descarga de Capacitores |
Figura 6.10
77
Gráfico da Tensão (V) versus Tempo (s) referente à descarga dos capacitores, associados em série, utilizados no experimento III.
Observando-se o gráfico acima, pode-se afirmar que o valor da tensão (V)
do circuito tende à zero, exponencialmente. Desse modo, calculando-se o logaritmo natural da tensão, obtém-se um novo gráfico, agora linearizado. Veja-se,
na Figura 6.11, o novo gráfico obtido após a linearização do anterior.
Figura 6.11
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Gráfico do ln(Tensão) versus Tempo referente à associação em série dos
capacitores utilizados no experimento III. A e B representam o coeficiente
linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Valendo-se da figura acima e da Equação 6.7, foi possível determinar o
valor da constante de tempo capacitiva (τ) do circuito. Observe, abaixo, o cálculo realizado.
1
1

B    
(129,0  0,2)s
3

7,75  10  1  10 5
(6.15)
Uma vez determinado o valor de τ, calculou-se o valor da capacitância
equivalente (Ceq) do circuito. Para tal tarefa, utilizou-se a seguinte expressão:

 R  C eq  C eq  
R
129,0  0,2
268,3  10 3  0, 4  10 3
 4,81  10 4  0,01  10 4  (481  1) μF
(6.16)
Como fator de comparação, calculou-se novamente a capacitância equivalente (Ceq) do circuito e a constante de tempo capacitiva (τ), utilizando-se, no
entanto, os valores nominais de cada capacitor e a Equação 6.2. Veja-se.
1
1
1
1
1
2
 



 (500  25)μF
C eq C1 C 2 1000  50 1000  50 1000  50
(6.17)
 R  C eq (268,3  10 3  0, 4  10 3 )  (500  10 6  25  10 6 ) (134  7)s (6.18)
Após determinar experimentalmente os valores da constante de tempo capacitiva e da capacitância equivalente do circuito, foi possível não só compará-los
com os valores estimados teoricamente, mas também calcular a diferença percentual entre eles. A tabela a seguir resume o que foi mencionado.
Tabela 6.6
Comparação entre os valores obtidos experimentalmente e os calculados
teoricamente da constante de tempo capacitiva e da capacitância equivalente, referentes ao experimento III.
Valor teórico
Valor
experimental
Diferença
percentual (%)
Constante de tempo
capacitiva (s)
134±7
129,0±0,2
3,88
Capacitância
equivalente (μF)
500±25
481±1
3,80
Grandeza
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Estudo do Circuito RC e Descarga de Capacitores |
79
Questões
1. Qual a carga armazenada num capacitor quando t = τ? Dê em termos de porcentagem da carga inicial.
Utilizando-se a Equação 6.4 e tomando t = τ, tem-se:
t
Q(t ) Q 0  e  Q 0  e


Q 0  e 1
 0,37  Q 0 
37% de Q0
(6.19)
2. Para construir um capacitor de placas paralelas separadas por uma camada de ar de
1,0 mm de espessura, cuja capacitância seja de 500 μF; qual deve ser a área das
placas?
Para calcular a área das placas, deve-se utilizar a Equação 6.1:
C  0 
A
C  d 500  10 6  10 3
A

 5,65  10 4 m 2
12
0
d
8,85  10
(6.20)
3. Existe diferença na constante de tempo quando um capacitor está no período de
carga e de descarga?
Período de carga:
q
dq
q
0     R  0
C
dt
C
1
dq 
q
 


 (q  C   )
dt R R  C
R C
 iR 
(6.20)
Pode-se reagrupar a expressão 6.20 na seguinte forma:
dq
dt
 
q  C 
R C
(6.21)
Em seguida, integram-se os dois membros da Equação 6.21, sendo o limite
do primeiro membro de 0 a Q e o limite do segundo de 0 a t:

Q
0
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t dt
dq
 Q  C 


 ln 
0
q  C 
RC
 C  

t



RC

(6.22)
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80
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Tomando a função exponencial de ambos os membros da equação acima e
explicitando Q, tem-se:
t
t
Q  C 
 e RC  Q(t )  C    (1  e RC )
C  
t
Q(t )  Q f  (1  e  )
(6.23)
Período de descarga:
iR 
q
dq
q
dq
q
 0   R   0   R 
C
dt
C
dt
C
(6.24)
Reagrupando os membros, a Equação 6.24 adquire a seguinte forma:
dq
dt
 
q
RC
(6.25)
Em seguida, integram-se os dois membros da Equação 6.25, sendo o limite
do primeiro membro de Q0 a Q e o limite do segundo membro de 0 a t.
t dt
Q 
dq
t


 ln 



0 R C
Q0 q
R C
 Q0 

Q

(6.26)
Tomando a função exponencial em ambos os membros da equação acima
e explicitando Q, obtém-se:
t
t
t
Q
e RC  Q(t ) Q 0  e RC Q 0  e 
Q0
(6.27)
Comparando-se as Equações 6.23 e 6.27, pode-se afirmar que a constante
τ é idêntica para as duas equações, ou seja, não existe diferença na constante de
tempo quando um capacitor está no período de carga ou de descarga.
6.5.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Com o intuito de não só determinar a constante de tempo em um circuito
RC, mas também a capacitância equivalente relativa à associação de capacitores em série e em paralelo, realizaram-se três experimentos.
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81
No primeiro experimento, montou-se um circuito composto por uma fonte de tensão, uma chave seletora, um resistor e um capacitor. Uma vez montado o circuito, carregou-se o capacitor para, logo em seguida, medir seu tempo
de descarga (Tabela 6.1). Utilizando-se os valores contidos na Tabela 6.1, foi
construído um gráfico da ln(tensão) em função do tempo (Figura 6.5) e, a
partir dele, determinou-se o valor da constante de tempo capacitiva (τ) do
circuito. De posse do valor da constante de tempo, foi possível determinar
também o valor da capacitância do capacitor utilizado no circuito. Em seguida, esses valores, de constante de tempo e de capacitância, foram comparados
com os valores calculados teoricamente, como se pode observar na Tabela 6.2.
Considerando-se as informações contidas na Tabela 6.2, verifica-se que a diferença percentual média entre os valores experimentais e os valores teóricos foi
de, aproximadamente, 4,44%.
No experimento II, montou-se um circuito semelhante ao utilizado no primeiro experimento. A diferença entre eles é que, no segundo circuito, foram
utilizados dois capacitores de 470 μF associados em paralelo. Os procedimentos adotados foram os mesmos utilizados no primeiro experimento, conforme
se pode observar na Tabela 6.3. Em seguida, construiu-se um gráfico ln(tensão)
versus tempo (Figura 6.8) e, a partir dele, determinou-se o valor da constante
de tempo capacitiva do circuito. Conhecendo-se o valor da constante, foi possível determinar o valor da capacitância equivalente (Ceq) do circuito. Como
fator de comparação, os valores da constante de tempo capacitiva e da capacitância equivalente foram calculados novamente; no entanto, foram utilizados
os valores nominais dos capacitores e a Equação 6.3. Observando-se a Tabela 6.4, que contém os valores obtidos pelos dois métodos, é possível afirmar
que a diferença percentual média entre eles é de, aproximadamente, 5,74%.
O terceiro experimento difere do anterior pelo fato que os dois capacitores
utilizados foram de 1000 μF e que eles estavam associados em série. Desse
modo, os mesmos procedimentos adotados nos outros dois experimentos foram repetidos, obtendo-se, conseqüentemente, uma nova tabela (Tabela 6.5) e
um novo gráfico (Figura 6.11). Valendo-se da Figura 6.11, foi possível determinar o valor da constante de tempo capacitiva e, a partir da constante, calculou-se o valor da capacitância equivalente (Ceq) do circuito. Assim como nos
dois experimentos anteriores, calcularam-se novamente os valores da constante
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
de tempo e da capacitância equivalente, utilizando-se, no entanto, os valores
nominais dos capacitores e a Equação 6.2. Examinando a Tabela 6.6, que contém os valores da constante de tempo e da capacitância equivalente obtidos
pelos dois métodos, constata-se que a diferença percentual média entre os valores medidos experimentalmente e os valores calculados teoricamente, é de,
aproximadamente, 3,84%.
A leitura deste capítulo possibilita evidenciar o tratamento de circuitos RC
em todos os experimentos realizados. Neles, foram determinados a constante
de tempo capacitiva (τ) e o valor da capacitância utilizada no circuito. Outra
característica presente em todos os experimentos foi a ocorrência uma diferença percentual média entre os valores medidos experimentalmente e os valores calculados teoricamente. Essa diferença de aproximadamente 4,68%
pode ser atribuída não só à falta de acurácia dos aparelhos utilizados, mas
também a possíveis erros experimentais, como, por exemplo, a medida incorreta do tempo.
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7
MOMENTO DE DIPOLO E CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE
7.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática aqui relatada é a determinação, não só do
campo magnético terrestre (Bt) no local em que se realizou a experiência, mas
também do momento magnético de um imã (m). Visando tal objetivo, realizaram-se dois experimentos que, a seguir, serão apresentados.
7.2.
INTRODUÇÃO
Sabe-se que uma bússola orienta-se no campo magnético terrestre. Esta
orientação pode ser modificada se algum campo magnético externo adicional
for aplicado sobre ela. Nesse caso, a bússola ficará orientada no campo magnético resultante, que corresponde à soma vetorial desses dois campos. A componente horizontal do campo magnético da Terra pode ser medida, observando-se
a mudança na orientação de uma bússola quando, sobre ela, for aplicado um
campo magnético externo, perpendicular ao campo magnético terrestre. A Figura 7.1 ilustra o que foi dito.
Figura 7.1
Desenho esquemático de uma bússola funcionando como um magnetômetro. A bússola orienta-se na direção do campo magnético resultante. A expressão que relaciona o ângulo θ e os campos medidos é tg  B exp B t .
Para produzir esse campo magnético externo, pode-se utilizar uma bobina
circular, plana, contendo N espiras com correntes fluindo no mesmo sentido.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
O valor do módulo do campo magnético B ao longo do eixo de uma bobina é
dado pela Lei de Biot-Savart:
B( x ) 
0  N i  R2
2  (R 2  x 2 )
3
(7.1)
2
onde μ0 é uma constante denominada permeabilidade do espaço livre, cujo
valor é 4π  10-7 T  m/A; N é o número de espiras; i é o valor da corrente elétrica; R corresponde ao raio da espira; e x é a distância medida a partir do
centro da espira e ao longo do eixo.
Quando duas bobinas circulares idênticas de mesmo raio R e com o mesmo número de espiras estão alinhadas paralelamente uma a outra ao longo do
eixo, e afastadas entre si a uma distância igual ao seu raio, tem-se uma bobina
de Helmholtz. O módulo do campo magnético B no centro geométrico (i.e.,
x=R/2), ou seja, entre as duas espiras que compõe a bobina de Helmholtz, é
dado pela seguinte expressão:
B( x ) 
8  0  N i
5 5R
(7.2)
Pode-se demonstrar também que o campo magnético produzido por um
imã de momento magnético m em qualquer ponto do seu eixo é dado pela
expressão abaixo:
B
0  m
2  r 3
(7.3)
onde r representa a distância de um ponto sobre o eixo do imã, paralelo a m.
Outro método para se determinar experimentalmente m e B é por meio da
medida do período T de oscilação de um imã suspenso horizontalmente. O
período de oscilação de um imã é dado pela expressão:
T 2   
I
K  m B
(7.4)
onde I é o momento de inércia da barra; K, a constante de torção do fio de suspensão; m, o momento magnético do imã; e B, o campo magnético local. Para
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Momento de Dipolo e Campo Magnético Terrestre |
85
uma constante K pequena em relação ao produto entre m e B, a Equação 7.4
pode ser simplificada, resultando na seguinte expressão:
1
m B

2
T
4  2  I
(7.5)
A Equação 7.5 pode ser reescrita em função da corrente elétrica i, ou seja:
m  Bt
8  0  N  mi
1


2
2
T
4   I 4  2  I  5 5  R
(7.6)
onde i representa a corrente elétrica; I, o momento de inércia da barra; e R, o
raio das bobinas de Helmholtz.
O momento de inércia I de uma barra cilíndrica de raio R, comprimento L
e massa M é dado pela expressão abaixo.
 R 2 L2 
I
M 
 
 4 12 
7.3.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
7.4.
7.4.1.
(7.7)
MATERIAL UTILIZADO
Amperímetro;
Balança semi-analítica;
Bobina de Helmholtz;
Bússola;
Cronômetro;
Editor gráfico Origin;
Fonte de tensão contínua regulável;
Imã;
Papel milimetrado;
Paquímetro;
Régua.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
EXPERIMENTO I
Inicialmente, montou-se um circuito composto por uma fonte de tensão regulável, um resistor, um amperímetro e uma bobina de 10 espiras. O circuito foi
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
montado de modo que o eixo da bobina ficasse perpendicular ao campo magnético terrestre local. Para tanto, utilizou-se uma bússola disposta no centro geométrico da bobina. A Figura 7.2 ilustra o circuito montado neste experimento.
Figura 7.2
Desenho esquemático do circuito montado no experimento I.
Uma vez montado e posicionado o circuito, mediu-se, por meio de uma
régua, o raio R da bobina. O valor obtido foi de (7,35  10 2  0,05  10 2 ) m,
considerando-se a margem de erro igual à metade da menor divisão do instrumento utilizado.
Em seguida, ajustou-se a fonte de tensão até que a bússola fizesse um ângulo
de 45º em relação à sua posição inicial, anotando-se o valor da corrente elétrica
indicado pelo amperímetro nessa situação. A margem de erro do amperímetro
é de 2%, conforme especificado no manual do aparelho. Esse procedimento foi
repetido cinco vezes, calculando-se, para cada corrente medida, o valor do campo magnético terrestre (Bt) por meio da Equação 7.1, considerando-se x igual a
0. Os resultados obtidos encontram-se transcritos na tabela abaixo.
Tabela 7.1
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Valores da corrente elétrica e do campo magnético terrestre, referentes ao
campo magnético produzido por uma bobina de 10 espiras.
Corrente elétrica (A)
Campo magnético terrestre (T)
0,204±0,004
17,4  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,206±0,004
17,6  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,205±0,004
17,5  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,203±0,004
17,4  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,205±0,004
17,5  10 –6 ± 0,5  10 –6
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Momento de Dipolo e Campo Magnético Terrestre |
87
A partir dos valores contidos na Tabela 7.1, foi possível estimar o valor
médio para o campo magnético terrestre, ou seja:
B t médio 
10 6
  (17, 4  0,5)  (17,6  0,5)  (17,5  0,5) 
5 
 (17, 4  0,5)  (17,5  0,5)   (17,5  0,5) μT
(7.8)
Após determinar o valor médio do campo terrestre, o circuito utilizado foi
modificado, adicionando-se uma segunda bobina idêntica à primeira. Desse
modo, a fonte de campo magnético passou a ser uma bobina de Helmholtz.
Com o intuito de facilitar a visualização do circuito modificado, fotografou-se o conjunto de equipamentos utilizados nesta etapa do experimento.
Veja-se, na Figura 7.3, a fotografia do circuito montado.
Figura 7.3
Fotografia do circuito contendo uma bobina de Helmholtz.
Em seguida, ajustou-se a fonte de tensão até que a bússola fizesse um ângulo de 45º em relação à sua posição inicial, anotando-se, na Tabela 7.2, o
valor da corrente elétrica indicado pelo amperímetro nessa situação. A margem de erro do amperímetro é de 2%, conforme especificado no manual do
aparelho. Esse procedimento foi repetido cinco vezes, calculando-se, para
cada corrente medida, o valor do campo magnético terrestre (Bt) por meio da
Equação 7.2.
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88
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Tabela 7.2
Valores da corrente elétrica e do campo magnético terrestre, referentes ao
campo magnético produzido por uma bobina de Helmholtz.
Corrente elétrica (A)
Campo magnético terrestre (T)
0,145±0,003
17,7  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,144±0,003
17,6  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,145±0,003
17,7  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,142±0,003
17,4  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,143±0,003
17,5  10 –6 ± 0,5  10 –6
A partir dos valores contidos na Tabela 7.2, estimou-se o valor médio para
o campo magnético terrestre, como se pode observar abaixo.
B t médio 
10 6
 (17,7  0,5)  (17,6  0,5)  (17,7  0,5) 
5 
 (17, 4  0,5)  (17,5  0,5)   (17,6  0,5) μT
(7.9)
Como se pode observar, o campo magnético terrestre foi determinado por
dois métodos distintos. Desse modo, foi possível comparar os valores médios
obtidos e calcular a diferença percentual entre eles. A Tabela 7.3 apresenta um
resumo dessas informações.
Tabela 7.3
Comparação entre os valores médios obtidos para o campo magnético
terrestre, utilizando-se uma única bobina ou uma bobina de Helmholtz,
como fontes de campo magnético.
Calculado com uma
única bobina (T)
Calculado com uma
bobina de Helmholtz (T)
Diferença
Percentual (%)
17,5  10 –6 ± 0,5  10 –6
17,6  10 –6 ± 0,5  10 –6
0,57
7.4.2. Experimento II
Como etapa inicial, mediu-se, utilizando-se um paquímetro, o diâmetro e
o comprimento de um imã cilíndrico. Em seguida, o imã foi pesado em uma
balança semi-analítica e o seu peso foi anotado. Os valores obtidos estão
transcritos na Tabela 7.4, lembrando que a margem de erro do paquímetro é
de 0,03 mm (3×10–5 m).
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Momento de Dipolo e Campo Magnético Terrestre |
Tabela 7.4
89
Valores do diâmetro, do raio, do comprimento e da massa do imã cilíndrico
utilizado no experimento II.
Grandeza medida
Valor medido
Diâmetro (m)
6,35  10 –3 ± 0,03  10 –3
Raio (m)
3,18  10 –3 ± 0,03  10 –3
Comprimento (m)
2,47  10 –2 ± 0,03  10 –2
Massa (kg)
5,826  10 –3 ± 0,001  10 –3
Para determinar o momento magnético do imã, colocou-se uma bússola
sobre uma folha de papel milimetrado e, em seguida, aproximou-se o imã até
que a agulha da bússola formasse um ângulo de 45º em relação a sua orientação original. Quando a agulha atingiu os 45º, a distância entre o eixo da bússola e o eixo do imã foi medida com uma régua. A margem de erro considerada
para a régua é de 0,05 cm, o que corresponde à metade da menor divisão da
escala do instrumento. Este procedimento foi repetido cinco vezes, calculando-se, para cada distância medida, o valor do momento magnético do imã (m)
por meio da Equação 7.3, considerando-se o campo magnético terrestre igual
a (17,6×10–6±0,5×10–6) T.
Os resultados obtidos estão transcritos na Tabela 7.5.
Tabela 7.5
Valores da distância entre o eixo da bússola e o eixo do imã, com os respectivos momentos magnéticos.
Distância (m)
Momento magnético (A  m2)
13,53  10 –2 ± 0,05  10 2
0,218±0,009
13,63  10 –2 ± 0,05  10 2
0,223±0,009
13,83  10 –2 ± 0,05  10 2
0,233±0,009
13,63  10 –2 ± 0,05  10 2
0,223±0,009
13,73  10 –2 ± 0,05  10 2
0,228±0,009
A partir dos valores contidos na Tabela 7.5, estimou-se o valor médio para
o momento magnético do imã, como se pode observar a seguir.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
1
mmédio 
 (0,218  0,009)  (0,223  0,009)  (0,233  0,009) 
5 
 (0,223  0,009)  (0,228  0,009)  (0,225  0,009)A  m 2 (7.10)
Outra maneira de se determinar o momento magnético do imã é por meio
da medida de seu período de oscilação em um campo magnético. Para a realização de tal tarefa, montou-se o mesmo circuito utilizado no primeiro experimento. A diferença entre eles é que a bobina de Helmholtz foi orientada de tal
modo que o campo magnético gerado por ela ficasse paralelo ao campo magnético da Terra.
Uma vez montado o circuito, colocou-se o imã no centro da bobina de
Helmholtz, suspenso por um fio, cuja constante de torção K é desprezível. Em
seguida, mediu-se, por meio de um cronômetro, o tempo gasto para o imã
completar 10 oscilações para os valores da corrente elétrica especificados na
Tabela 7.6. A partir do tempo medido, foi possível determinar o valor do período de oscilação para cada valor de corrente.
Tabela 7.6
Valores da corrente elétrica e do período de oscilação, T, de um imã no
centro de uma bobina de Helmholtz.
Corrente
elétrica (A)
Tempo (s)
T (s)
T2 (s2)
1 / T2 (s-2)
0,00
17,7
1,77
3,13
0,32
0,05
20,4
2,04
4,16
0,24
0,10
25,0
2,50
6,25
0,16
0,15
35,4
3,54
12,50
0,08
A partir dos dados contidos na Tabela 7.6, foi possível construir um gráfico de 1/T2 (s-2) em função da corrente elétrica (A), como se pode observar na
Figura 7.4.
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Figura 7.4
91
Gráfico de 1/T2 (s-2) versus Corrente elétrica (A), onde A e B representam
o coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
Para se determinar o momento magnético do imã utilizado é necessário,
primeiramente, calcular o seu momento de inércia I, por meio da Equação 7.7
e dos dados contidos na Tabela 7.4. Veja-se, abaixo, o cálculo realizado.
I imã  (5,826  10 3  0,001  10 3 ) 
 (3,18  10 3  0,03  10 3 ) 2 (2, 47  10 2  0,03  10 2 ) 2 



4
12


 (3,11  10 7  0,08  10 7 )kg  m 2
(7.11)
Calculado o momento de inércia do imã, foi possível determinar também
o seu momento magnético (m). Para isso, utilizou-se a Equação 7.6, o coeficiente linear (A) do gráfico da Figura 7.4 e o campo magnético da bobina de
Helmholtz (Tabela 7.3).
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Observe-se, abaixo, o cálculo realizado.

A
m  Bt
(17,6  10 6  0,5  10 6 )  m
0,32


4  2  I
4   2  (3,11  10 7  0,08  10 7 )
m (0,22  0,01)A  m 2
(7.12)
Como se pode constatar, o momento magnético do imã foi determinado
por dois métodos distintos. Desse modo, foi possível comparar os valores obtidos e calcular a diferença percentual entre eles. A tabela abaixo apresenta um
resumo dessas informações.
Tabela 7.7
Comparação entre os valores obtidos para o momento magnético de um
imã cilíndrico, por dois métodos distintos – pelo deslocamento da agulha
de uma bússola e pelo período de oscilação.
Calculado pela Equação 7.3
(A  m2)
Calculado pelo período
de oscilação (A  m2)
Diferença
Percentual (%)
0,225±0,009
0,22±0,01
2,27
7.5.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Objetivando não só determinar o campo magnético terrestre, mas também
o momento magnético de um imã, realizaram-se dois experimentos. O primeiro deles tinha por propósito determinar o campo magnético terrestre (Bt) por
meio de dois métodos diferentes. Um dos métodos fundamentava-se em montar um circuito composto por uma fonte de tensão, um resistor, um amperímetro e uma bobina de 10 espiras. Uma vez montado o circuito, posicionou-se
uma bússola no centro da bobina e variou-se a tensão da fonte até que a agulha
da bússola fizesse um ângulo de 45º em relação à sua posição inicial. Esse procedimento foi repetido 5 vezes, sendo que o valor da corrente em cada ocasião
foi anotado, o que permitiu determinar, por meio da Equação 7.1, o campo
magnético terrestre. Os valores do campo magnético para cada valor da corrente elétrica estão transcritos na Tabela 7.1.
O segundo método utilizado é praticamente igual ao primeiro. A diferença
entre eles é que no segundo utilizou-se uma bobina de Helmholtz como fonte
de campo magnético. Os valores obtidos, por esse método, para o campo mag-
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Momento de Dipolo e Campo Magnético Terrestre |
93
nético terrestre estão transcritos na Tabela 7.2. Uma vez determinado o valor
do campo magnético por dois métodos distintos, foi possível compará-los,
como se pode observar na Tabela 7.3. Considerando-se as informações contidas nessa mesma tabela, verifica-se que a diferença percentual entre os dois
valores foi de apenas 0,57%.
No experimento II, determinou-se o valor do momento magnético (m) de
um imã cilíndrico também por dois métodos diferentes. O primeiro deles propunha colocar uma bússola sobre uma folha de papel milimetrado e medir,
com uma régua, a distância entre o eixo da bússola e o eixo do imã, quando a
agulha da bússola se deslocasse 45º em relação a sua posição original. Esse
procedimento foi repetido 5 vezes, calculando-se, para cada distância, o valor
do momento magnético do imã (Tabela 7.5).
Em contraposição ao método anterior, este segundo método baseava-se em
medir o período de oscilação do imã, suspenso por um fio no centro de uma
bobina de Helmholtz. Os valores da corrente elétrica e dos períodos estão transcritos na Tabela 7.6. A partir dos valores contidos nessa tabela, construiu-se um
gráfico 1/T2 (s2) versus Corrente elétrica (A). Utilizando-se a Equação 7.6, o
coeficiente linear (A) do gráfico da Figura 7.4 e o valor determinado no experimento I para o campo magnético produzido por uma bobina de Helmholtz,
foi possível calcular o momento magnético do imã, determinando, por dois
métodos diferentes, os seus valores. Foi possível, então, compará-los, como se
pode observar na Tabela 7.7. Considerando-se as informações contidas nessa
tabela, verifica-se que a diferença percentual entre os dois valores obtidos foi
de, aproximadamente, 2,27%.
Tratou-se neste capítulo, como foi exposto já no início deste texto, da determinação, não só do campo magnético terrestre (Bt) no local em que se realizou
a experiência, mas também do momento magnético de um imã (m). A realização destas práticas distintas só faz que jogar luz e evidenciar a teoria que subjaz
essas práticas.
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8
BALANÇA DE AMPÈRE
8.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática descrita aqui é determinar experimentalmente o valor da constante de permeabilidade magnética no vácuo (μ0), utilizando-se, para tal tarefa, a balança de Ampère. Visando tal objetivo, realizou-se o experimento que, a seguir, será apresentado.
8.2.
INTRODUÇÃO
A força magnética que uma carga móvel ou uma corrente elétrica exerce
sobre outra corrente ou carga é um exemplo de força de ação à distância, semelhante às forças gravitacionais e elétricas. Uma corrente elétrica provoca um

campo magnético B em suas vizinhanças, e é este campo que atua sobre outra
corrente a certa distância.
A força é uma grandeza vetorial, e o campo também o é. Desse modo,
quando um fio condutor está percorrido por uma corrente elétrica e num campo magnético, há uma força sobre o fio que é a soma vetorial das forças magnéticas sobre as partículas carregadas, cujo movimento responde pela corren
te. Assim, a força magnética Fm sobre o fio condutor é dada pela equação:
 

Fm  I   B  I Bsen
(8.1)

onde I é a corrente que percorre o fio;  é o vetor cujo módulo é o comprimen
to do fio; B é o campo magnético; e θ é o ângulo formado entre o fio e o campo
magnético.

O campo magnético B pode ser determinado por meio da lei de Ampère,
que é o equivalente da lei de Gauss para o magnetismo. A lei de Ampère relaciona o campo magnético ao longo de uma curva fechada com o fluxo de corrente englobado pela curva, ou seja:
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS


 I
 B  d  
0 c
(8.2)
C
onde C é qualquer curva fechada; μ0 é a constante de permeabilidade magnéti
ca no vácuo, cujo valor é 4π  10-7 T  m/A (ou 1,26  10-6 T  m/A); d  é um
vetor de comprimento infinitesimal; e Ic é a corrente total que penetra a região
delimitada pela curva C.
A lei de Ampère diz que o campo magnético produzido por um condutor
retilíneo em um ponto qualquer, a uma distância r do condutor, é dado pela
seguinte expressão:
B
0  I
2  r
(8.3)
Em qualquer ponto do espaço, o campo magnético de um condutor retilíneo, percorrido por uma corrente elétrica, é tangente a um círculo de centro
no condutor e raio r, onde r é a distância entre o condutor e o ponto onde é

calculado o campo. O sentido de B pode ser determinado pela regra da mão
direita, que consiste em segurar o condutor com a mão direita, de modo que o
dedo polegar fique alinhado com o mesmo sentido da corrente elétrica que
percorre o condutor. Desse modo, o polegar indica a direção da corrente elétrica no condutor e os dedos indicam o sentido das linhas de campo magnético. A figura a seguir ilustra a situação.
Figura 8.1
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Ilustração do campo magnético produzido por um condutor retilíneo.
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Balança de Ampère |
97
Sabendo-se que  e B são sempre perpendiculares, ou seja, o ângulo entre
eles é de 90º, e substituindo-se o valor de B obtido na Equação 8.3 na Equação 8.1, a equação da força magnética de um condutor retilíneo é dada por:
Fm 
0  I 2  
2  r
(8.4)
Para uma padronização mais precisa, utilizam-se bobinas em vez de fios
retilíneos, sendo a distância entre as bobinas de apenas alguns centímetros.
Este instrumento é denominado balança de corrente ou balança de Ampère. O
módulo do campo magnético gerado por uma balança de corrente composta
por duas bobinas fixas, de raio r, contendo n1 espiras, ambas conduzindo corrente elétrica no mesmo sentido e, por uma bobina móvel, suspensa entre as
duas bobinas fixas, de formato retangular, contendo n2 espiras, conduzindo
uma corrente I, é dado pela equação abaixo:
B 2  n1 
0  I
 n  I
 0 1
2  r
 r
(8.5)
A força e o torque magnético sobre a bobina móvel podem ser expressos,
respectivamente, pelas seguintes equações:
Fm  n 2  I   1  B
Tmag  2  F 

(8.6)
2
 n2  I   1  B   2
2
 0   1   2  n1  n 2  I 2
 r
(8.7)
onde ℓ1 e ℓ2 correspondem aos lados da balança de Ampère.
Para contrabalançar o torque magnético, deve-se adicionar um peso a uma
distância d do ponto de articulação, que irá produzir um torque mecânico,
dado pela expressão a seguir, onde m é a massa do peso e g é a aceleração da
gravidade (9,81 m/s2):
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Tmec  m  g  d
(8.8)
No equilíbrio, o torque mecânico (Tmec) iguala-se ao torque magnético
(Tmag), ou seja:
   1   2  n1  n 2  I 2
 r
m g d 0

d
8.3.
 0   1   2  n1  n 2 2
I
m g   r
(8.9)
MATERIAL UTILIZADO
• Amperímetro;
• Balança de Ampère;
• Balança semi-analítica;
• Bússola;
• Editor gráfico Origin;
• Fonte de tensão contínua regulável;
• Peso;
• Resistor.
8.4.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
Inicialmente, montou-se um circuito composto por uma fonte de tensão
contínua, um resistor, um amperímetro e uma balança de Ampère (ou balança
de corrente). O circuito foi montado de modo que o campo magnético gerado
pelas bobinas da balança de Ampère ficasse paralelo ao campo magnético terrestre local. Para tanto, utilizou-se uma bússola disposta ao lado da balança.
A Figura 8.2 contém um desenho esquemático da balança de Ampère e
uma fotografia dos equipamentos utilizados.
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Balança de Ampère |
Figura 8.2
99
Desenho esquemático de uma balança de Ampère (acima) e uma fotografia
do equipamento utilizado neste experimento (abaixo).
Depois de montado e posicionado o circuito, determinou-se a massa de
um pequeno peso por meio de uma balança semi-analítica. O valor obtido
para a massa do peso, assim como as características da balança de Ampère
(raio, número de espiras de cada bobina e comprimento dos lados), encontram-se transcritos na Tabela 8.1. A margem de erro considerada para as medidas de comprimento, assim como para o valor obtido para a massa do peso,
foi igual à metade da menor divisão dos instrumentos utilizados, ou seja, de
uma balança e de uma régua.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Tabela 8.1 Valores da massa e das características da balança de Ampère utilizada neste
experimento.
Grandeza
Valor
Massa (kg)
4,53  10 ± 0,01  10 –4
Raio r (m)
1,70  10 –2 ± 0,05  10 –2
Número de espiras (n1)
20
Número de espiras (n2)
50
Comprimento do lado  1 (m)
15,10  10 –2 ± 0,05  10 –2
Comprimento do lado  2 (m)
17,60  10 –2 ± 0,05  10 –2
–4
Em seguida, com a corrente elétrica desligada, equilibrou-se a balança com
o peso colocado no seu centro. Uma vez equilibrada a balança, o peso foi deslocado em 0,8 cm (0,008 m) da sua posição original. Logo após esse procedimento, ajustou-se a fonte de tensão, lenta e cuidadosamente, até que a balança
se equilibrasse novamente, anotando-se o valor da corrente elétrica indicado
pelo amperímetro nessa situação. A margem de erro considerada para o amperímetro é de 2%, conforme especificado no manual do aparelho.
Esse procedimento foi repetido para seis posições diferentes do peso, deslocando-o sempre em 0,008 m da sua posição anterior. Calculou-se também o
quadrado da corrente elétrica para medida tomada, como se pode observar na
tabela que se segue.
Tabela 8.2
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Valores da distância, da corrente elétrica e do quadrado da corrente elétrica obtidos neste experimento.
Distância d (m)
Corrente elétrica (A)
[Corrente elétrica]2 (A2)
0,008
0,274±0,005
0,075±0,003
0,016
0,377±0,008
0,142±0,006
0,024
0,451±0,009
0,203±0,008
0,032
0,51±0,01
0,26±0,01
0,040
0,57±0,01
0,33±0,01
0,048
0,61±0,01
0,37±0,01
0,056
0,66±0,01
0,44±0,01
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Balança de Ampère |
101
A partir dos dados contidos na Tabela 8.2, foi possível construir um gráfico da distância d (m) em função do quadrado da corrente elétrica (A2), como
se pode observar abaixo.
Figura 8.3
Gráfico da Distância versus [Corrente elétrica]2, onde A e B representam o
coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
Valendo-se do coeficiente angular (B) do gráfico ilustrado na Figura 8.3,
da Equação 8.9 e dos dados contidos na Tabela 8.1, foi possível determinar o
valor da constante de permeabilidade magnética no vácuo (μ0). Observe, abaixo, o cálculo realizado.
(0,133  0,003) 
 0  (15,10  10 2  0,05  10 2 )  (17,60  10 2  0,05  10 2 )  20  50
(4,53  10 4  0,01  10 4 )  9,81    (1,70  10 2  0,05  10 2 )
 0  (1,20  10 6  0,08  10 6 )T  m A
(8.10)
Para obter uma melhor precisão para o valor da constante de permeabilidade magnética, os procedimentos acima foram repetidos. A diferença entre
esta nova medida e a anterior é que o sentido da corrente foi invertido, gerando, nessa situação, uma força magnética de repulsão. Os dados obtidos nessa
nova medição estão transcritos na Tabela 8.3.
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102
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Tabela 8.3 Valores da distância, da corrente elétrica e do quadrado da corrente elétrica
obtidos nesta nova medição.
Distância d (m)
Corrente elétrica (A)
[Corrente elétrica]2 (A2)
0,008
0,268±0,005
0,072±0,003
0,016
0,378±0,008
0,143±0,006
0,024
0,446±0,009
0,199±0,008
0,032
0,51±0,01
0,26±0,01
0,040
0,57±0,01
0,32±0,01
0,048
0,61±0,01
0,37±0,01
0,056
0,65±0,01
0,42±0,01
A partir dos dados contidos na Tabela 8.3, foi possível construir o gráfico
da Distância d (m) versus o quadrado da corrente elétrica (A2), como se pode
observar a seguir.
Figura 8.4
Gráfico da Distância versus [Corrente elétrica]2, onde A e B representam o
coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente, do gráfico.
Valendo-se do coeficiente angular (B) do gráfico da Figura 8.4, da Equação 8.9 e dos dados contidos na Tabela 8.1, foi possível determinar o valor da
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Balança de Ampère |
103
constante de permeabilidade magnética no vácuo (μ0). Veja-se, abaixo, o cálculo realizado.
(0,138  0,003) 
 0  (15,10  10 2  0,05  10 2 )  (17,60  10 2  0,05  10 2 )  20  50
(4,53  10 4  0,01  10 4 )  9,81    (1,70  10 2  0,05  10 2 )
 0  (1,24  10 6  0,08  10 6 )T  m A
(8.11)
Na Tabela 8.4 estão transcritos não só os valores calculados para a constante de permeabilidade magnética (Equações 8.10 e 8.11), mas também o valor
médio estimado a partir das duas medições.
Tabela 8.4
Valores obtidos para a constante de permeabilidade magnética no vácuo
(μ0) nas duas medições realizadas e o seu valor médio estimado.
1ª Medição (μT  m/A)
2ª Medição (μT  m/A)
Valor médio (μT  m/A)
1,20±0,08
1,24±0,08
1,22±0,08
A partir do valor médio calculado para a constante de permeabilidade, foi
possível não só compará-lo com o valor teórico indicado na literatura, mas
também calcular a diferença percentual entre eles. A Tabela 8.5 apresenta um
resumo dessas informações.
Tabela 8.5
Comparação entre o valor médio calculado experimentalmente e o valor
teórico indicado na literatura para a constante de permeabilidade magnética no vácuo (μ0).
Valor médio calculado
(μT  m/A)
Valor teórico
(μT  m/A)
Diferença percentual
(%)
1,22±0,08
1,26±0,08
3,17
8.5.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Com o intuito de determinar experimentalmente o valor da constante de
permeabilidade magnética no vácuo (μ0), utilizando-se, para tal empreendimento, a balança de Ampère, realizou-se o experimento descrito neste capítulo.
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104
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Como ponto de partida, montou-se um circuito formado por uma fonte de
tensão regulável, um resistor, um amperímetro e uma balança de Ampère,
cujas características estão transcritas na Tabela 8.1. Em seguida, com a corrente desligada, equilibrou-se a balança com um peso depositado em seu centro.
Uma vez equilibrada a balança, deslocou-se o peso em 0,008 m da sua posição
inicial, variando-se também a corrente elétrica para que a balança voltasse a
ficar em equilíbrio. Esse procedimento foi repetido para seis diferentes posições do peso, sempre o deslocando em 0,008 m da sua posição anterior e anotando-se o valor da corrente elétrica indicada pelo amperímetro para cada
deslocamento (Tabela 8.2). A partir dos valores da Tabela 8.2, construiu-se um
gráfico do deslocamento em função do quadrado da corrente (Figura 8.3) e,
valendo-se do seu coeficiente angular, da Equação 8.9 e da Tabela 8.1, foi possível determinar o valor da constante de permeabilidade magnética no vácuo,
ou seja, (1,20  10 6  0,08  10 6 ) T  m/A.
Para um melhor controle estatístico, os procedimentos acima foram repetidos, sendo que a diferença entre eles foi que o sentido da corrente elétrica foi
invertido, gerando, agora, uma força magnética de repulsão. Baseados nos valores obtidos (Tabela 8.3), foi possível construir um novo gráfico do deslocamento
versus quadrado da corrente elétrica (Figura 8.4). Assim como no procedimento
anterior, determinou-se o valor da constante de permeabilidade magnética por
meio do coeficiente angular do gráfico da Figura 8.4, da Equação 8.9 e dos dados
da Tabela 8.1. O valor calculado foi igual a (1,24  10 6  0,08  10 6 ) T m/A.
De posse dos dois valores calculados, determinou-se o valor médio para a
constante μ0, como se pode observar na Tabela 8.4. Em seguida, esse valor médio foi comparado com o valor teórico indicado na literatura para essa constante, onde se verificou uma diferença percentual de 3,17% entre eles (Tabela 8.5).
Como se pode constatar com base na leitura deste capítulo, o valor determinado experimentalmente para a constante de permeabilidade magnética no
vácuo (μ0) diferiu em apenas 3,17% do valor teórico indicado pela literatura.
Essa diferença pode ser atribuída não só à falta de precisão dos instrumentos
utilizados, mas também a possíveis erros experimentais, tais como o alinhamento incorreto da balança com o campo magnético terrestre e a interpretação
errônea do ponto de equilíbrio da balança (falha humana). De qualquer forma,
como a diferença foi muito pequena, é possível afirmar que o valor determinado experimentalmente coincide com o valor teórico.
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9
INTRODUÇÃO AO USO DO OSCILOSCÓPIO
9.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática descrita neste capítulo é proporcionar a familiarização com o osciloscópio e seus controles, propiciando, desse modo, não
só a medição de tensões contínuas e alternadas e de freqüências, mas também a
verificação de formas de onda senoidal, triangular e quadrada. Para atingir tal
objetivo, realizaram-se três experimentos que, a seguir, serão apresentados.
9.2.
INTRODUÇÃO
Muitos instrumentos de medição utilizados na Física Experimental e na
Eletrônica, tais como o multímetro, podem ser classificados como medidores
quantitativos, já que, pela leitura na sua escala ou nos dígitos, fornecem um
valor correspondente à grandeza medida. O osciloscópio é um instrumento que
além de uma medida quantitativa, apresenta também uma medida qualitativa
da grandeza que está sendo analisada. Na maioria dos casos, o osciloscópio
apresenta a variação de uma tensão (ddp) em função do tempo.
Um osciloscópio, na realidade, nada mais é do que um tubo de raios catódicos
(TRC), acoplado a alguns circuitos. O TRC é uma válvula eletrônica, portanto,
um bulbo de vidro, dentro do qual existe vácuo relativo, e onde ficam dispostos
os seguintes componentes: um canhão eletrônico, quatro placas defletoras,
uma camada de material fosforescente e um ânodo coletor. A Figura 9.1 contém uma fotografia do osciloscópio utilizado nos experimentos aqui relatados.
Uma das aplicações do osciloscópio é efetuar a medição do valor da tensão
de um circuito. Existem dois tipos de tensão: tensão contínua (VDC) e tensão
alternada (VAC). A tensão contínua é aquela que não muda sua polaridade com
o tempo, sendo subdividida em tensão contínua constante, que mantém o seu
valor em função do tempo, e em tensão contínua variável, que varia seu valor
em função do tempo.
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106
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 9.1
Fotografia do osciloscópio utilizado nesta prática.
A tensão contínua variável pode ser repetitiva ou periódica, ou seja, repetir um ciclo de mesmas características a cada intervalo de tempo. Devido à
sua característica periódica, é possível definir um período (T), que representa
o tempo de duração de um ciclo completo, e uma freqüência (f), que corresponde ao número de ciclos em um intervalo de tempo igual a um segundo. As
unidades, no SI, para o período e para a freqüência, são o segundo (s) e o
Hertz (Hz), respectivamente. Uma relação importante entre o período e a freqüência é dada abaixo.
f 
1
1
ou T 
T
f
(9.1)
Para uma tensão contínua variável, ou seja, com características periódicas,
é necessário estabelecer um valor que indique o valor DC (VDC) da forma de
onda. Esse valor é dado pela razão entre a área resultante do gráfico da tensão
em função do tempo, em um intervalo igual a um período, e o próprio período. Em termos matemáticos, tem-se:
V DC 
Área
T
(9.2)
A tensão alternada (VAC) é aquela que muda de polaridade com o tempo. A
tensão fornecida por meio da rede elétrica é um exemplo de tensão alternada,
que obedece à seguinte função:
v(t ) V p  sen(  t   )
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(9.3)
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Introdução ao uso do Osciloscópio |
107
onde v(t) é o valor instantâneo da tensão; Vp ou Vmáx é o valor máximo que
a tensão pode atingir, também denominada de amplitude ou valor de pico;
ω é a velocidade angular, dada em radianos por segundo (  2    f ou
  2   T ); t é um instante qualquer, em segundos; e θ é o ângulo de fase
inicial, em radianos.
Além do valor de pico (Vp), têm-se o valor pico a pico (Vpp), correspondente à variação máxima entre o ciclo positivo e o ciclo negativo, e o valor eficaz
(Vef), equivalente a uma tensão contínua que aplicada a um elemento resistivo
dissipa a mesma potência que a tensão alternada em questão. As equações para
Vpp e Vef estão transcritas abaixo.
V pp  2  V p
Vef 
Vp
2
ou Vef 
(9.4)
V pp
2 2
(9.5)
Para se determinar os valores de VDC, de Vp e de Vpp, por meio do osciloscópio, deve-se multiplicar o número de divisões deslocadas na tela (div) pela
posição do atenuador (Volts/div). No caso do período T, deve-se multiplicar o
número de divisões deslocadas (div) pelo valor base de tempo ou posição de
varredura (Tempo/div). As expressões abaixo resumem, de modo geral, o que
foi dito.
V DC
 V
V
(Volts div )  n.ºde.divisões(div )
p
pp

T (Tempo div )  n.º.de.divisões(div )
(9.6)
(9.7)
9.3. MATERIAL UTILIZADO
• Fonte de tensão contínua regulável;
• Gerador de sinais;
• Osciloscópio;
• Voltímetro.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
9.4.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
Como etapa inicial, calibrou-se o osciloscópio conforme as especificações
apresentadas no manual do aparelho. Uma vez calibrado o osciloscópio, ele foi
utilizado em todos os experimentos que serão descritos.
9.4.1.
EXPERIMENTO I
Inicialmente, ajustou-se, utilizando-se um voltímetro, a fonte de tensão
para os valores especificados na tabela abaixo. Em seguida, determinou-se,
utilizando-se o osciloscópio e a Equação 9.6, o valor de cada tensão, anotando-se também a posição do atenuador vertical e o número de divisões do deslocamento. Os resultados obtidos encontram-se transcritos na Tabela 9.1.
Tabela 9.1
Valores de tensão medidos pelo osciloscópio, referente ao experimento I.
Tensão (V)
Posição do atenuador
(Volts/div) (V)
Número de
divisões (div)
Tensão medida pelo
osciloscópio (V)
2,0
1
2,1
2,1
5,0
2
2,6
5,2
8,0
5
1,6
8,0
10,0
5
2,0
10,0
15,0
5
3,1
15,5
Após medir os valores de tensão pelo osciloscópio, foi possível não só compará-los com os valores indicados pela fonte, mas também calcular a diferença
percentual entre eles. A Tabela 9.2 apresenta um resumo dessas informações.
Tabela 9.2
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Comparação entre os valores de tensão indicados pela fonte e medidos
pelo osciloscópio.
Tensão indicada
pela fonte (V)
Tensão medida pelo
osciloscópio (V)
Diferença
percentual (%)
2,0
2,1
5,00
5,0
5,2
4,00
8,0
8,0
0,00
10,0
10,0
0,00
15,0
15,5
3,33
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Introdução ao uso do Osciloscópio |
9.4.2.
109
Experimento II
Como ponto de partida, ajustou-se o gerador de sinais para as freqüências
especificadas nas Tabelas 9.3, 9.4 e 9.5 com amplitude máxima para as formas
de onda senoidal, quadrada e triangular. Em seguida, determinou-se, utilizando-se o osciloscópio e as Equações 9.1 e 9.7, o valor de cada período e freqüência, anotando-se também a posição da varredura e o número de divisões
ocupadas por um período. Os resultados obtidos encontram-se transcritos
nas Tabelas 9.3 a 9.5.
Tabela 9.3 Valores da freqüência (Hz) produzida pelo gerador de sinais e dos períodos (s)
e das freqüências (Hz) medidas pelo osciloscópio para onda senoidal.
Freqüência
do gerador
Tempo/div
div
Período medido
pelo osciloscópio
Freqüência medida
pelo osciloscópio
100
5  10 –3
2
1  10 –2
100
5000
0,2  10
1
2  10
5000
–3
–4
Tabela 9.4 Valores da freqüência (Hz) produzida pelo gerador de sinais e dos períodos (s)
e das freqüências (Hz) medidas pelo osciloscópio para onda quadrada.
Freqüência
do gerador
Tempo/div
div
Período medido
pelo osciloscópio
Freqüência medida
pelo osciloscópio
100
2  10 –3
5
1  10 –2
100
5000
50  10
4
2  10
5000
–6
–4
Tabela 9.5 Valores da freqüência (Hz) produzida pelo gerador de sinais e dos períodos (s)
e das freqüências (Hz) medidas pelo osciloscópio para onda triangular.
Freqüência
do gerador
Tempo/div
div
Período medido
pelo osciloscópio
Freqüência medida
pelo osciloscópio
100
2  10 –3
5
1  10 –2
100
5000
0,1  10
2
2  10
5000
9.4.3.
–3
–4
Experimento III
Inicialmente, ajustou-se o gerador de sinais para a freqüência de 60 Hz,
onda senoidal. Uma vez ajustado o gerador, ligou-se um voltímetro, na escala
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110
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
VAC, na saída do gerador, de forma a regular a tensão emitida para os valores
especificados na Tabela 9.6.
Em seguida, determinou-se, utilizando-se o osciloscópio e as Equações 9.4
a 9.6, o valor de pico (Vp), o valor pico a pico (Vpp) e o valor efetivo (Vef) para
cada tensão medida. Anotaram-se também a posição do atenuador vertical e o
número de divisões do deslocamento. Os resultados obtidos estão transcritos
na Tabela 9.6.
Tabela 9.6
Valores da tensão (V) medidos pelo voltímetro e valores de pico, Vp, (V),
valores pico a pico, Vpp, (V) e valores efetivos, Vef, (V), medidos pelo osciloscópio no experimento III.
Valor efetivo medido
pelo voltímetro
Volts/div
div
Vp
Vpp
Vef
1,007
1
3
1,5
3,0
1,06
3,004
5
1,7
4,25
8,5
3,01
5,009
5
2,9
7,25
14,5
5,13
Após determinar os valores de tensão pelo osciloscópio, foi possível não só
compará-los com os valores indicados pelo voltímetro, como também calcular
a diferença percentual entre eles. A tabela abaixo apresenta um resumo dessas
informações.
Tabela 9.7
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Comparação entre os valores efetivos (V) medidos pelo voltímetro e pelo
osciloscópio.
Valor efetivo medido
pelo voltímetro
Valor efetivo medido
pelo osciloscópio
Diferença
percentual (%)
1,007
1,06
5,00
3,004
3,01
0,20
5,009
5,13
2,36
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Introdução ao uso do Osciloscópio |
111
Questões
1. Por meio do gráfico da Figura 9.2, determine:
Figura 9.2
Gráfico referente à questão 1.
a) T e f
T  6,5  10 3  0,5  10 3  6,0  10 3 s
f
1
1

 166,7Hz
T 6,0  10 3
(9.8)
(9.9)
b) Vp, Vpp e Vef
V p  10V
(9.10)
V pp 2  V p 2  10 20V
(9.11)
V
ef
V p 10
  7,1V
2
2
(9.12)
c) A equação v(t)
  2    f  2    166,7  333, 4   rad s
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(9.13)
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112
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Utilizando-se t = 0 na Equação 9.3, tem-se:
5  10  sen(333, 4    0   )
1

sen     30º  rad
2
6
(9.14)
A equação v(t) é:


v(t )  10  sen  333, 4    t  
6

(9.15)
d) v(t) para t = 15 ms e t = 22 ms
Para t = 15 ms:


v(15  10 3 ) 
10  sen  333, 4    15  10 3   5V
6

(9.16)
Para t = 22 ms:


v(22  10 3 ) 
10  sen  333, 4    22  10 3   10V
6

(9.17)
e) VDC
V
V
DC
ef
V p 10
  7,1V
2
2
(9.18)
2. Calcule T, f e VDC para a tensão da Figura 9.3 abaixo:
Figura 9.3
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Gráfico referente à questão 2.
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Introdução ao uso do Osciloscópio |
T  3,0  10 3  0  3,0  10 3 s
(9.19)
1
1

 333,3Hz
T 3,0  10 3
(9.20)
f
113
Para calcular VDC, utiliza-se a Equação 9.2:

V DC
9.5.
Área 9  2,0  10 3

 6V
T
3,0  10 3
(9.21)
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Objetivando proporcionar a familiarização com o osciloscópio e seus controles, realizaram-se três experimentos. No primeiro deles, determinaram-se,
por meio do osciloscópio, os valores de tensão fornecidos por uma fonte (Tabela 9.1). Em seguida, os valores medidos pelo osciloscópio foram comparados com os valores fornecidos pela fonte, permitindo, dessa forma, calcular a
diferença percentual entre eles (Tabela 9.2).
No segundo experimento, utilizou-se um gerador de sinais para gerar freqüências de 100 Hz e 5 kHz, com amplitudes máximas e nas formas de onda
senoidal, quadrada e triangular. Em seguida, determinou-se, utilizando-se o
osciloscópio e as Equações 9.1 e 9.7, o valor do período e da freqüência para
cada uma das freqüências e formas de onda contidas nas Tabelas 9.3, 9.4 e 9.5.
Como se pode observar nessas tabelas, o valor medido pelo osciloscópio coincidiu com o valor fornecido pelo gerador de sinais para todas as freqüências e
formas de onda utilizadas.
No experimento III, ajustou-se o gerador de sinais para a freqüência de 60
Hz, onda senoidal. Uma vez ajustado o gerador, ligou-se um voltímetro, na
escala VAC, na saída do gerador, de forma a regular a tensão emitida para os
valores especificados na Tabela 9.6. Em seguida, determinou-se, utilizando-se
o osciloscópio e as Equações 9.4 a 9.6, o valor de pico (Vp), o valor pico a pico
(Vpp) e o valor efetivo (Vef) para cada tensão medida. Os resultados obtidos
estão transcritos na Tabela 9.6. Após determinar os valores de tensão pelo osciloscópio, foi possível não só compará-los com os valores indicados pelo voltímetro, como também calcular a diferença percentual entre eles. Os resulta-
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114
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
dos obtidos estão contidos na Tabela 9.7, na qual se verifica uma diferença
percentual média de, aproximadamente, 2,52%.
Tratou-se neste capítulo, como foi exposto já no início deste texto, da operação e correto manuseio de um osciloscópio. Em todos os experimentos realizados, utilizou-se esse aparelho para realizar diversas funções, como, por exemplo, a medição de tensões contínua e alternada, e a determinação do período e
da freqüência de uma tensão periódica. Desse modo, fica evidente a importância do correto manuseio desse instrumento para possibilitar a obtenção de resultados satisfatórios.
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10
ESTUDO DO CIRCUITO RC EM SÉRIE
10.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática descrita neste capítulo é verificar, experimentalmente, o comportamento de um capacitor em série com um resistor em
um regime AC. Para atingir tal objetivo, realizou-se o experimento que, a seguir, será apresentado.
10.2.
INTRODUÇÃO
Existem dois tipos de tensão: a tensão contínua (VDC) e a tensão alternada
(VAC). A tensão contínua é aquela que não muda sua polaridade nem o seu
valor com o tempo. Em contraposição, a tensão alternada tem o seu valor e sua
polaridade modificados ao longo do tempo, variando senoidalmente. A tensão
fornecida por meio da rede elétrica é um exemplo de tensão alternada, que
obedece à seguinte função:
v(t ) V p  sen(  t   )
(10.1)
onde v(t) é o valor instantâneo da tensão; Vp ou Vmáx é o valor máximo que
a tensão pode atingir, também denominada de amplitude ou valor de pico;
ω é a velocidade angular, dada em radianos por segundo (  2    f ou
  2   T ); t é um instante qualquer, em segundos; e θ é o ângulo de fase
inicial, em radianos.
Além do valor de pico (Vp), têm-se o valor pico a pico (Vpp), correspondente à variação máxima entre o ciclo positivo e o ciclo negativo, e o valor eficaz
(Vef), equivalente a uma tensão contínua que aplicada a um elemento resistivo
dissipa a mesma potência que a tensão alternada em questão. As equações para
Vpp e Vef estão transcritas a seguir.
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116
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
V pp  2  V p
Vef 
Vp
2
(10.2)
ou Vef 
V pp
(10.3)
2 2
Todo circuito alimentado por uma fonte de tensão alternada (em regime
AC) oferece uma oposição à passagem de corrente elétrica denominada impedância (Z), cuja unidade é o ohm (Ω). Quando no circuito houver elementos
reativos, a corrente estará defasada em relação à tensão, sendo necessária, para
estes casos, a construção de um diagrama vetorial ou fasorial das grandezas do
circuito, para sua completa análise.
Considerando-se um circuito composto por um capacitor associado em
série a um resistor, denominado circuito RC-Série, a corrente elétrica é a mesma em todos os componentes, sendo que, no resistor, a corrente e a tensão
estão em fase, e, no capacitor, a corrente está adiantada em  2 radianos. O
diagrama vetorial referente a este circuito pode ser visto na Figura 10.1.
Figura 10.1
Diagrama vetorial de um circuito RC-Série.
Ief
VRef
ref
VCef
Vef
Observando-se o diagrama acima, verifica-se que a soma vetorial das tensões do resistor (VRef) e do capacitor (VCef) é igual à tensão fornecida pela fonte.
Deste modo, é possível escrever a seguinte relação matemática:

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2
2
2
V

V Ref
 VCef

ef
(10.4)
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Estudo do Circuito RC em Série |
117
Dividindo-se todos os termos por I ef2 , se obtém a equação da impedância (Z) do circuito, ou seja:
2
 Vef 


 I ef 


 V Ref

 I ef

2
  VCef
 
  I ef
 
Z 2  R 2  X C2  Z 




2
R 2  X C2
(10.5)
Observando-se a expressão acima, o termo X C é denominado reatância capacitiva, que corresponde à medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem de corrente, tendo, portanto, como unidade, o ohm (Ω). Ela pode ser
determinada pela seguinte relação matemática:

XC
1
1

 C 2  f C
(10.6)
onde ω é a velocidade angular; C é a capacitância do capacitor; e f é a freqüência.
O ângulo θ é a defasagem entre a tensão e a corrente do circuito, e pode ser
determinado utilizando-se as relações trigonométricas do triângulo retângulo
formado pelo digrama vetorial:
sen
XC
X
  arcsen C
Z
Z
(10.7)
R
R
   arccos
Z
Z
(10.8)
XC
X
  arctg C
R
R
(10.9)
cos  
tg
Outro método para se obter o ângulo θ de defasagem é utilizando o osciloscópio. Para dois sinais quaisquer de mesma freqüência e defasados, tem-se
na tela do osciloscópio, em modo XY, uma elipse como figura de Lissajous.
Na Figura 10.2 a seguir, tem-se, como exemplo, a composição de dois sinais defasados e a elipse resultante.
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118
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 10.2
Elipse resultante da composição de dois sinais defasados.
Para determinar a defasagem por meio da elipse obtida, basta calcular os
valores de 2a e 2b, em que 2a representa a distância entre o ponto onde a elipse corta o eixo y positivo e o ponto onde ela corta o eixo y negativo, e 2b é a
distância entre a extremidade superior e inferior da elipse. Obtidos os valores
de 2a e 2b, o ângulo de defasagem é dado pela seguinte equação matemática:
sen 
2a
2a
   arcsen
2b
2b
(10.10)
Considerando-se a defasagem, podem-se escrever as equações da corrente
elétrica e da tensão para cada elemento do circuito, lembrando que a tensão no
capacitor está defasada em 90º em relação à tensão no resistor. Veja-se:
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V (t ) Vmáx  sen(  t )
(10.11)
I (t
) I máx  sen(  t   )
(10.12)
V R
(t ) V R máx  sen(  t   )
(10.13)


VC
(t ) VC máx  sen    t  
2

(10.14)
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Estudo do Circuito RC em Série |
10.3.
119
MATERIAL UTILIZADO
• Capacitor;
• Gerador de sinais;
• Ohmímetro;
• Osciloscópio;
• Resistor;
• Voltímetro.
10.4.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
Inicialmente, utilizando-se um ohmímetro determinou-se a resistência de
um resistor. O valor obtido foi de (33,11  10 3  0,05  10 3 ) , lembrando que a
margem de erro do ohmímetro é de 0,15%, conforme especificado no manual
do instrumento. Em seguida, ajustou-se, com o auxílio de um voltímetro, o
gerador de sinais para uma tensão eficaz de 4 V onda senoidal. Após ajustar o
gerador de sinais, montou-se um circuito formado pelo gerador, por um resistor, por um capacitor de capacitância igual a (10  10 9  1  10 9 ) F e por um
osciloscópio. A Figura 10.3 representa o citado circuito.
Figura 10.3
Desenho esquemático do circuito RC-Série utilizado.
Uma vez montado o circuito, variou-se a freqüência do gerador de sinais,
conforme especificado na tabela a seguir. Para cada valor de freqüência, me-
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120
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
diu-se, utilizando-se o osciloscópio, o valor da tensão pico a pico (Vpp) no resistor e no capacitor. Determinou-se também o valor eficaz das tensões (Vef)
no resistor e no capacitor, utilizando-se para tal tarefa a Equação 10.3. Os resultados obtidos encontram-se transcritos na 10.1.
Tabela 10.1
Valores da tensão pico a pico (Vpp) e da tensão eficaz (Vef) do resistor e do
capacitor em diferentes freqüências.
Resistor
Capacitor
Freqüência (Hz)
VRpp (V)
VRef (V)
VCpp (V)
VCef (V)
100
2,15
0,78
10,50
3,71
200
4,40
1,56
10,00
3,54
400
7,20
2,55
8,50
3,01
600
9,00
3,18
7,00
2,47
800
9,50
3,36
5,60
1,98
1000
10,00
3,54
4,80
1,70
Como fator de comparação, calculou-se novamente o valor da tensão eficaz no resistor e no capacitor para a freqüência de 400 Hz e tensão eficaz de 4
V. Para tal tarefa, utilizaram-se os valores nominais da resistência e da capacitância, a lei de Ohm e as Equações 10.5 e 10.6. Observe-se, abaixo, os cálculos
realizados.
Cálculo da reatância capacitiva:

XC
1
1

2    f  C 2    400  (10  10 9  1  10 9 )
 (40  10 3  4  10 3 )
(10.15)
Cálculo da impedância:
Z
R 2  X C2 
(33,11  10 3  0,05  10 3 ) 2  (40  10 3  4  10 3 ) 2
 (52  10 3  3  10 3 )
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(10.16)
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Estudo do Circuito RC em Série |
121
Cálculo da corrente eficaz:
I ef 
Vef
Z

4
 (77  10 6  4  10 6 )A
(52  10  3  10 3 )
(10.17)
3
Cálculo da tensão no resistor:
V R ef  R  I ef  (33,11  10 3  0,05  10 3 )  (77  10 6  4  10 6 )
 (2,5  0,1)V
(10.18)
Cálculo da tensão no capacitor:
VC ef  X C  I ef  (40  10 3  4  10 3 )  (77  10 6  4  10 6 )
 (3,1  0,5)V
(10.19)
Após calcular teoricamente os valores da tensão efetiva no resistor e no
capacitor para uma freqüência de 400 Hz, com tensão eficaz de 4 V, foi possível
compará-los com os valores obtidos experimentalmente. A tabela abaixo apresenta um resumo dessas informações.
Tabela 10.2
Comparação entre os valores obtidos experimentalmente e os calculados
teoricamente da tensão efetiva (V) no resistor e no capacitor do circuito
RC-Série utilizado.
Valor calculado
teoricamente
Valor determinado
experimentalmente
Diferença
percentual (%)
Resistor
2,5±0,1
2,55
1,96
Capacitor
3,1±0,5
3,01
2,99
Componente
Como etapa seguinte, alterou-se a ligação do osciloscópio ao circuito, conforme se pode observar na Figura 10.4 a seguir.
Uma vez modificado o circuito, mediu-se, por meio do osciloscópio, os
valores de 2a e 2b para as freqüências contidas na Tabela 10.3. Determinou-se
também a defasagem entre a tensão e a corrente elétrica no circuito, utilizando-se, para isso, a Equação 10.10.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 10.4
Desenho esquemático do circuito RC-Série utilizado com o osciloscópio
ligado somente no capacitor.
Tabela 10.3
Valores de 2a, de 2b e da defasagem entre a tensão e a corrente do circuito RC-Série utilizado.
Freqüência (Hz)
2a (divisões)
2b (divisões)
Δθ (º)
100
5,3
5,6
71,16
200
5,0
5,6
63,23
400
4,2
5,6
48,59
600
3,5
5,6
38,68
800
2,9
5,6
31,19
1000
2,4
5,6
25,38
A partir dos valores contidos na Tabela 10.3, foi possível construir um gráfico da defasagem (Δθ) em função da freqüência, como se pode observar na
Figura 10.5 a seguir.
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Estudo do Circuito RC em Série |
Figura 10.5
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Gráfico da Defasagem (º) em função da freqüência (Hz) do circuito RC-Série utilizado.
Como fator de comparação, calculou-se novamente o ângulo de defasagem
entre a tensão e a corrente no circuito para a freqüência de 400 Hz e tensão
eficaz de 4 V. Para tal tarefa, utilizaram-se os valores teóricos, calculados anteriormente, da impedância e da reatância capacitiva bem como a Equação 10.7.
Observe-se, abaixo, o cálculo realizado.
(40  10 3  4  10 3 )
X 
 arcsen  C

arcsen
 (50  7)º

(52  10 3  3  10 3 )
 Z 
(10.20)
Após calcular teoricamente o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente elétrica para uma freqüência de 400 Hz, com tensão eficaz de 4 V, foi
possível compará-lo com o valor obtido experimentalmente para a mesma freqüência e tensão eficaz. A Tabela 10.4 apresenta essas informações.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Tabela 10.4
Comparação entre o valor obtido experimentalmente e o calculado teoricamente do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente elétrica do
circuito RC-Série utilizado no experimento.
Valor calculado
teoricamente (º)
Valor determinado
experimentalmente (º)
Diferença
percentual (%)
50±7
48,59
2,90
A partir dos valores calculados teoricamente para a tensão eficaz no resistor e no capacitor, para a corrente eficaz no circuito e do ângulo de defasagem,
foi possível construir o diagrama vetorial do circuito estudado, como se pode
observar abaixo.
Figura 10.6
Diagrama vetorial do circuito RC-Série utilizado.
Ief = (77±4)μA
VRef = (2,5±0,1)V
θ=(50±7)º
VCef = (3,1±0,5)V
10.5.
V ef = (4,0±0,5)V
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Como apontado no início deste capítulo, o principal objetivo era verificar
experimentalmente o comportamento de um capacitor associado em série
com um resistor em um regime AC. Desse modo, realizou-se o experimento
aqui descrito.
Como ponto de partida, montou-se um circuito formado por um gerador
de sinais, um capacitor, um resistor e um osciloscópio. Em seguida, variou-se
a freqüência conforme descrito na Tabela 10.1, anotando-se, para cada freqüência, o valor da tensão pico a pico (Vpp) no resistor e no capacitor. Deter-
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Estudo do Circuito RC em Série |
125
minou-se também o valor eficaz das tensões (Vef) no resistor e no capacitor,
utilizando-se para tal tarefa a Equação 10.3.
Como fator de comparação, calculou-se novamente o valor da tensão eficaz
no resistor e no capacitor para a freqüência de 400 Hz e tensão eficaz de 4 V.
Para tal tarefa, utilizaram-se os valores nominais da resistência e da capacitância, a lei de Ohm e as Equações 10.5 e 10.6. Os resultados obtidos teoricamente
diferem em, aproximadamente, 2,48% dos valores medidos experimentalmente, como se pode observar na Tabela 10.2.
Em seguida, alterou-se a ligação do osciloscópio ao circuito, de forma a
medir a tensão apenas no capacitor. Uma vez modificado o circuito, mediu-se,
por meio do osciloscópio, os valores de 2a e 2b para as freqüências contidas na
Tabela 10.3. Determinou-se também o ângulo de defasagem entre a tensão e
a corrente elétrica no circuito, utilizando-se, para isso, a Equação 10.10. Os
resultados obtidos estão transcritos também na Tabela 10.3. A partir dos dados
contidos nessa tabela, construiu-se um gráfico da defasagem em função da
freqüência (Figura 10.5), indicando que a defasagem tende à zero para freqüências elevadas.
Assim como para tensão, calculou-se novamente o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente no circuito para a freqüência de 400 Hz e tensão eficaz
de 4 V. Para tal tarefa, utilizaram-se os valores teóricos, calculados anteriormente, da impedância e da reatância capacitiva e a Equação 10.7. Após calcular teoricamente o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente, foi possível compará-lo com o valor obtido experimentalmente para a mesma freqüência e
tensão eficaz (Tabela 10.4). A diferença percentual entre os valores obtidos experimentalmente e os calculados teoricamente diferiram em apenas 2,90%.
Tratou-se neste capítulo, como já exposto, do comportamento de um capacitor associado em série a um resistor em regime AC. Como a diferença percentual média entre os valores obtidos experimentalmente e os calculados teoricamente foi de apenas 2,69%, é possível afirmar que os valores experimentais
comprovam a teoria que serve de base a esse tipo de circuito.
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11
ESTUDO DO CIRCUITO RLC
11.1.
OBJETIVO
O objetivo principal da prática descrita neste capítulo é o estudo do comportamento de um circuito RLC-Série em função da freqüência da tensão alternada aplicada. Para atingir tal objetivo, realizou-se o experimento que, a
seguir, será apresentado.
11.2.
INTRODUÇÃO
Existem dois tipos de tensão: a tensão contínua (VDC) e a tensão alternada
(VAC). A tensão contínua é aquela que não muda sua polaridade nem o seu valor
com o tempo. Em contraposição, a tensão alternada tem o seu valor e sua polaridade modificados ao longo do tempo. A tensão fornecida por meio da rede
elétrica é um exemplo de tensão alternada, que obedece à seguinte função:
v(t ) V p  sen(  t   )
(11.1)
onde v(t) é o valor instantâneo da tensão; Vp ou Vmáx é o valor máximo que a
tensão pode atingir, também denominada de amplitude ou valor de pico;
ω é a velocidade angular, dada em radianos por segundo (  2    f ou
  2   T ); t é um instante qualquer, em segundos; e θ é o ângulo de fase
inicial, em radianos.
Além do valor de pico (Vp), têm-se o valor pico a pico (Vpp), correspondente à variação máxima entre o semiciclo positivo e o semiciclo negativo, e o
valor eficaz (Vef), equivalente a uma tensão contínua que aplicada a um elemento resistivo dissipa a mesma potência que a tensão alternada em questão.
As equações para Vpp e Vef estão transcritas abaixo.
V pp  2  V p
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(11.2)
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Vef 
Vp
2
ou Vef 
V pp
2 2
(11.3)
Todo circuito alimentado por uma fonte de tensão alternada (em regime
AC) oferece uma oposição à passagem de corrente elétrica denominada impedância (Z), cuja unidade é o ohm (Ω). Considerando-se um circuito formado
por um capacitor, um indutor e um resistor, ligados em série, denominado
circuito RLC-Série, a impedância total do circuito é dada pela seguinte equação
matemática:
Z
R 2  (X L  X C )2
(11.4)
Observando-se a expressão acima, os termos XL e XC correspondem às reatâncias indutiva e capacitiva, respectivamente. Elas podem ser determinadas
pelas seguintes relações matemáticas:
X L   L  2    f  L

XC
1

 C
1
2  f C
(11.5)
(11.6)
onde ω é a velocidade angular; L é a indutância do indutor; C é a capacitância
do capacitor; e f é a freqüência.
Observando-se as Equações 11.4, 11.5 e 11.6, pode-se notar que a impedância Z depende da freqüência da corrente alternada fornecida pela fonte.
Uma situação particular ocorre neste circuito quando a freqüência da tensão
alternada é tal que a reatância indutiva é igual à reatância capacitiva, ou seja:
 
L
f0 
1
1
 2    f 
L
 C
2  f C
1
2  L C
(11.7)
Para o valor de freqüência dada pela Equação 11.7, a reatância total do
circuito é zero e a impedância Z tem o menor valor possível, R. Nesse caso, a
corrente elétrica tem o maior valor possível e o ângulo de sua fase θ é zero, o
que significa que a corrente está em fase com a tensão aplicada. Quando essa
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Estudo do Circuito RLC |
129
situação é alcançada, o circuito está em ressonância e a freqüência f0 é dita freqüência de ressonância.
Outra característica importante dos circuitos RLC é que a corrente no circuito só tem valor significativo em regiões ao redor do pico de ressonância. A
largura deste costuma ser medida em pontos especiais f1 e f2, às vezes chamados de freqüências de corte, como se pode observar na Figura 11.1.
Figura 11.1
Gráfico da tensão no resistor em função da freqüência para um circuito
ressonante.
Vr = RI
Vmáx
V máx
2
F
F1
F2
As freqüências de corte f1 e f2 são arbitrariamente tomadas como pontos
tais que:
x( f 1 ) 
x( f 2 ) 
x1 x 2
f1 , f 2

R
(11.8)
I ress
(11.9)
A partir da Equação 11.8, tem-se:

I
V

Z
V

R2  R2
V

2 R2
2
Quanto mais estreita a largura da banda, diz-se que o circuito é mais seletivo. Isso significa que o circuito é capaz de distinguir com pequeno intervalo
de variação uma freqüência determinada.
O ângulo θ é a defasagem entre a tensão e a corrente do circuito, e pode ser
determinado utilizando-se a seguinte relação trigonométrica:
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130
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
tan 

X L  XC
X  XC

  arctan L
R
R
(11.10)
Outro método para se obter o ângulo θ de defasagem é utilizando o osciloscópio. Para dois sinais quaisquer de mesma freqüência e defasados, tem-se
na tela do osciloscópio, em modo XY, uma elipse como figura de Lissajous.
Para determinar a defasagem por meio da elipse obtida, basta calcular os
valores de 2a e 2b, em que 2a representa a distância entre o ponto onde a elipse corta o eixo y positivo e o ponto onde ela corta o eixo y negativo, e 2b é a
distância entre a extremidade superior e inferior da elipse. Obtidos os valores
de 2a e 2b, o ângulo de defasagem é dado pela seguinte equação matemática:
sen 
11.3.
2a
2a
   arcsen
2b
2b
(11.11)
MATERIAL UTILIZADO
• Amperímetro;
• Capacitor;
• Gerador de sinais;
• Indutor;
• Ohmímetro;
• Osciloscópio;
• Resistor;
• Voltímetro.
11.4.
PARTE EXPERIMENTAL E RESULTADOS
Inicialmente, utilizando-se um ohmímetro, determinou-se a resistência de
um resistor. O valor obtido foi de (993±1) Ω, lembrando que a margem de erro
do ohmímetro é de 0,15%, conforme especificado no manual do instrumento.
Em seguida, ajustou-se, com o auxílio de um voltímetro, o gerador de sinais
para uma tensão eficaz de 4 V onda senoidal. Após ajustar o gerador de sinais,
montou-se um circuito formado pelo gerador, por um amperímetro, um resistor, um capacitor de capacitância igual a (10  10 9  1  10 9 )F e por um indu-
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Estudo do Circuito RLC |
131
tor de indutância igual a (10  10 3  1  10 3 ) H. A figura abaixo 11.2 ilustra o
citado circuito.
Figura 11.2
Desenho esquemático do circuito RLC-Série montado.
Uma vez montado o circuito, variou-se a freqüência do gerador de sinais,
conforme especificado na Tabela 11.1. Para cada valor de freqüência, mediu-se
a corrente no circuito e a tensão eficaz no resistor, utilizando-se, para tal tarefa,
um amperímetro e um voltímetro, respectivamente. Determinou-se também o
valor eficaz da tensão pico a pico (VRpp) no resistor e a impedância total no
circuito, utilizando-se para tal tarefa as Equações 11.3 a 11.6. Os resultados
obtidos encontram-se transcritos na Tabela 11.1.
Tabela 11.1
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Valores da tensão pico a pico (VRpp) e da tensão eficaz (VRef) no resistor,
da corrente eficaz (Ief) do circuito e da impedância total (Z), em diferentes
freqüências.
Freqüência
(kHz)
VRpp (V)
VRef (V)
Ief (mA)
Z (Ω)
2
1,40±0,01
0,494±0,005
0,350±0,003
7900±800
4
2,86±0,03
1,01±0,01
0,670±0,005
3900±400
6
2,94±0,03
1,04±0,01
0,690±0,006
2500±300
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132
| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
continuação
Freqüência
(kHz)
VRpp (V)
VRef (V)
Ief (mA)
Z (Ω)
8
6,11±0,06
2,16±0,02
1,40±0,01
1800±200
10
7,74±0,08
2,74±0,03
1,75±0,01
1400±200
12
8,94±0,08
3,16±0,03
2,01±0,02
1100±100
14
9,36±0,08
3,31±0,03
2,09±0,02
1030±50
16
10,2±0,1
3,62±0,04
2,15±0,02
993±3
18
10,7±0,1
3,77±0,04
2,00±0,02
1020±50
20
10,5±0,1
3,71±0,04
1,62±0,01
1090±80
22
9,9±0,1
3,51±0,04
1,07±0,01
1200±100
24
9,19±0,08
3,25±0,03
0,540±0,004
1300±100
26
8,43±0,08
2,98±0,03
0,130±0,001
1400±200
28
7,67±0,08
2,71±0,03
0,060±0,001
1600±200
30
7,01±0,06
2,48±0,02
0,040±0,001
1800±200
40
6,39±0,06
2,26±0,02
0,020±0,001
2300±300
Como etapa seguinte, efetuou-se a ligação do osciloscópio ao circuito,
conforme se pode observar na Figura 11.3 abaixo.
Figura 11.3
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Desenho esquemático do circuito RLC-Série utilizado com o osciloscópio
ligado entre o capacitor e o indutor.
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Uma vez modificado o circuito, mediu-se, por meio do osciloscópio, os valores de 2a e 2b para as freqüências contidas na Tabela 11.2. Determinou-se também a defasagem entre a tensão e a corrente elétrica no circuito por dois métodos. O primeiro deles consistia em utilizar a Equação 11.10, ao passo que no
segundo utilizou-se a Equação 11.11. Valendo-se dos resultados obtidos pelos
dois métodos, foi possível compará-los e, conseqüentemente, calcular a diferença percentual entre eles. Os resultados obtidos estão transcritos na Tabela 11.2.
Tabela 11.2
Valores de 2a, de 2b e da defasagem entre a tensão e a corrente do circuito RLC-Série utilizado.
2a
2b
Δθ Método 1 (º)
Δθ Método 2 (º)
Diferença
Percentual (%)
2
5,3
5,4
82,77
78,96
4,83
4
5,2
5,4
75,08
74,36
0,97
6
5,0
5,4
66,42
67,81
2,05
8
4,5
5,4
56,26
56,44
0,32
10
3,8
5,4
44,13
44,72
1,32
12
2,7
5,4
29,96
30,00
0,13
14
1,5
5,4
14,52
16,13
9,98
16
0,1
5,4
0,61
1,06
42,45
18
1,2
5,4
13,96
12,84
8,72
20
2,1
5,4
24,89
22,89
8,74
22
2,8
5,4
33,56
31,23
7,46
24
3,3
5,4
40,39
37,67
7,22
26
3,7
5,4
45,81
43,25
5,92
28
4,1
5,4
50,18
49,40
1,58
30
4,4
5,4
53,75
54,57
1,50
40
5,0
5,5
64,85
65,38
0,82
Freqüência
(kHz)
Como próximo passo, determinou-se a freqüência de ressonância do circuito por duas operações distintas. A primeira delas consistia em variar a freqüência do gerador de sinais até se obter 2a igual a zero. A outra operação
baseava-se no uso da Equação 11.7 e dos valores nominais do capacitor e do
indutor. Uma vez calculada a freqüência de ressonância pelas duas operações,
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
foi possível compará-las e calcular a diferença percentual entre elas. Veja-se os
resultado obtidos na Tabela 11.3.
Tabela 11.3
Valores da freqüência de ressonância do circuito RLC-Série utilizado neste
experimento.
Método 1
(2a = 0) (Hz)
Método 2
(Equação 11.7) (Hz)
Diferença percentual (%)
16.350
15.915
2,73
A partir dos valores contidos nas Tabelas 11.1 e 11.2, foi possível construir
os gráficos da corrente elétrica efetiva (Ief) em função da freqüência, da defasagem (Δθ) versus a freqüência e da impedância (Z) também em função da freqüência. Os referidos gráficos são apresentados a seguir.
Figura 11.4
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Gráfico da Corrente elétrica (A) em função da Freqüência (Hz) referente
ao circuito RLC-Série.
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Estudo do Circuito RLC |
Figura 11.5
Gráfico da Defasagem (Δθ) em função da Freqüência (Hz) referente ao
circuito RLC-Série.
Figura 11.6
Gráfico da Impedância (Ω) em função da Freqüência (Hz) referente ao
circuito RLC-Série.
135
Utilizando-se o gráfico da Figura 11.4, a Tabela 11.1 e as Equações 11.8 e
11.9, foi possível determinar não só a freqüência de ressonância do circuito,
mas também as freqüências de corte inferior e superior e a largura de banda do
circuito. Observe-se, a seguir, os cálculos realizados e o novo gráfico gerado.
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| PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: COLETA E ANÁLISE DE DADOS EXPERIMENTAIS
Figura 11.7
Gráfico da freqüência de corte inferior e superior e da largura de banda
do circuito RLC-Série.

I
11.5.
I máx 0,00215

 0,0015A
2
2
(11.12)
f 0  16000Hz
(11.13)
f 1  9000Hz
(11.14)
f 2  20500Hz
(11.15)
f 1  f 2  9000  20500  11500Hz
(11.16)
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO
Verificou-se neste capítulo o comportamento de um circuito RLC-Série
em função da freqüência da tensão alternada aplicada a partir da realização de
um experimento.
Como ponto de partida, montou-se um circuito composto por um gerador
de sinais, um amperímetro, um capacitor, um resistor e um indutor. Em segui-
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137
da, variou-se a freqüência conforme descrito na Tabela 11.1, anotando-se, para
cada freqüência, o valor da tensão eficaz (VRef) do resistor e a corrente eficaz
(Ief) do circuito. Determinou-se também o valor da tensão pico a pico (VRpp) do
resistor e a impedância (Z) do circuito, utilizando-se para tal tarefa as Equações 11.3, 11.4, 11.5 e 11.6.
Em seguida, efetuou-se a ligação do osciloscópio ao circuito, conforme desenho esquematizado pela Figura 11.3. Uma vez modificado o circuito, mediu-se,
por meio do osciloscópio, os valores de 2a e 2b para as freqüências contidas na
Tabela 11.2. Determinou-se também a defasagem entre a tensão e a corrente
elétrica no circuito por dois métodos. O primeiro deles consistia em utilizar a
Equação 11.10, ao passo que no segundo utilizou-se a Equação 11.11. Valendo-se dos resultados obtidos pelos dois métodos, foi possível compará-los e,
conseqüentemente, calcular a diferença percentual entre eles para cada freqüência (Tabela 11.2).
Como próximo passo, determinou-se a freqüência de ressonância do circuito por duas operações distintas. A primeira delas consistia em variar a freqüência do gerador de sinais até obter 2a igual a zero. A outra operação se
baseava no uso da Equação 11.7 e dos valores nominais do capacitor e do indutor. Uma vez calculada a freqüência de ressonância pelas duas operações, foi
possível compará-las e calcular a diferença percentual entre elas (Tabela 11.3).
Baseando-se nos dados contidos nas Tabelas 11.1 e 11.2, construíram-se os
gráficos da corrente elétrica efetiva (Ief) em função da freqüência (Figura 4), da
defasagem (Δθ) versus a freqüência (Figura 5) e da impedância (Z) também em
função da freqüência (Figura 6). Determinaram-se também não só as freqüências de corte inferior e superior, assim como a largura de banda do circuito,
como se pode verificar na Figura 11.7.
Tratou-se neste capítulo, como já exposto, do comportamento de um circuito RLC-Série em função da freqüência da tensão aplicada. Como a diferença
percentual média entre os valores obtidos experimentalmente e os calculados
teoricamente foi de apenas 2,73%, é possível afirmar que os valores experimentais comprovam a teoria que serve de base a esse tipo de circuito.
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BIBLIOGRAFIA
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física: eletromagnetismo. 4a ed. 3 v. Tradução de Gabriel Armando Pelegatti Franco et al. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física básica: eletromagnetismo. 1a ed. 3 v. São
Paulo: Edgard Blücher, 2001.
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros: eletricidade e magnetismo, ótica.
4a ed. 2 v. Tradução de Horacio Macedo; Ronaldo de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: eletromagnetismo. 10a ed. Tradução de
Adir Moysés Luiz. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2004.
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apresentado ao leitor o manuseio de instrumentos de medidas elétricas, o procedimento
de montagem e a análise de circuitos elétricos (RC, RL e RLC), entre outros temas. Concomitantemente à descrição de cada experimento, há uma exposição da teoria envolvida
e uma breve discussão, em termos dos tópicos relacionados, dos resultados obtidos experimentalmente.
Em suma, esta obra pretende complementar os fundamentos usualmente transmitidos
em aulas teóricas das disciplinas básicas de Eletricidade e Magnetismo.
Carlos. Foi docente da Universidade de El Salvador até o ano de 1979 e atualmente é professor
assistente doutor da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Tem experiência
na área de Física da Matéria Condensada. Atua no estudo de variações conformacionais e
processos de enovelamento e aglomeração de proteínas e membranas em solução, fazendo uso
da teoria e da técnica de espalhamento de Raio-X a Baixo Ângulo (SAXS).
Antonio Bento de Oliveira Junior possui Bacharelado em Física Biológica pelo Instituto
de Biociências, Letras e Ciências Exatas – IBILCE, da Universidade Estadual Paulista Júlio de
Mesquita Filho. Por dois anos, atuou como monitor do laboratório de Física do Centro Integrado de Ciência e Cultura (CICC). Tem experiência na área de Biofísica Molecular Computacional, com ênfase no estudo do processo de enovelamento de proteínas.
Daniel Lucas Zago Caetano possui Bacharelado em Física Biológica pelo Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas – IBILCE, da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Atua na área de Biofísica Molecular Computacional, com ênfase no estudo da
interação entre polianfóteros fracos e macroíons cilíndricos opostamente carregados.
Guilherme Volpe Bossa possui Bacharelado em Física Biológica pelo Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas – IBILCE, da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita
Filho. Atua na área de Biofísica Molecular Teórica, desenvolvendo modelos aplicados à caracterização de propriedades físico-químicas e dielétricas de aminoácidos e oligopeptídeos.
José Ramon Beltran Abrego
Antônio Bento de Oliveira Junior
Daniel Lucas Zago Caetano
Guilherme Volpe Bossa
PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO:
Coleta e Análise de Dados Experimentais
PRÁTICAS DE ELETROMAGNETISMO: Coleta e Análise de Dados Experimentais
José Ramon Beltran Abrego possui doutorado em Física pelo Instituto de Física de São
Cultura
Acadêmica
netismo frequentemente abordados nos cursos de Física básica. Ao longo do texto, é
Abrego / Oliveira Junior / Caetano / Bossa
A presente obra expõe os experimentos referentes aos tópicos de eletricidade e mag-
ISBN 978-85-7983-248-2
9 788579 832482
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