Lista 04

Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista 04
1) Calcule a inversa das matrizes, utilizando operações elementares sobre linhas:
1 0 5 1 
 0 1 2
 2 1 3
 0 1 0 3





a) A  1 2 1
b) B  1 1 0
c) C  




0 0 1 0
 1 3 8 
7 5 0 


2 0 0 1
4 −1
d) 𝐷 = [3 −1
2 3
0 7
2
0
1
1
−2
0]
0
1
0 −𝑖 −2 𝑖
1]
e) 𝐸 = [1 −1 𝑖
0 −1 1 −𝑖
1 1 1 0
1
f) 𝐹 = [1
2
0
1
2
𝑥
𝑥 2]
𝑥2
2) Dada a matriz A (do exercício 1), resolva a equação A1  X  AT  A .
3) Calcule a inversa das matrizes:
−1 1
]
1 0
1 1 1
e) [0 1 1]
0 0 1
a) [
2
b) [
1
2
f) [0
1
2 6
3 0
5]
]
]
c) [
d) [
3
3 8
9 3
0 5
−1 −3 −3
1
]
[
]
[
g)
h)
2
6
1
−1
3 0
3
8
3
−1
0 3
5
4) Considere as matrizes 𝐴 = [
3
equações matriciais a seguir.
a) 𝐴𝑋 + 𝐵 = 𝐶
6
3],
𝐵=[
2
2
b) 𝑋𝐴 + 𝐵 = 𝐶
2 1
2 3
[
] e 𝐶 = [−1
5) Sendo 𝐴 = 3 0 ], 𝐵 = [
1 5
4
2 −1
a) 𝐴 + 𝐶 𝑡 = 𝑋𝐵
b) 𝑋 = 𝐶 𝑡 𝐴𝑡
0
1
−2
1
1]
−3
2
4 −2
], 𝐶 = [
]. Resolva cada uma das
4
−6 3
c) 𝐴𝑋 + 𝐵 = 𝑋
0
3
d) 𝑋𝐴 + 𝐶 = 𝑋
5],
determine, se existir, a matriz X a seguir:
1
c) 𝑋 = 𝐵 + 𝐶
6) Determine 𝑋 nas equações matriciais, eliminando todos os parênteses, se possível. (Obs.: todas
as matrizes são quadradas e inversíveis; 𝐼 é a matriz identidade).
a) 𝐸 + 𝑋 − 𝐴 + 𝐵 − 𝐷𝐶 = 0
b) 𝑋𝐵 − 𝐴𝐷 = 𝐶
c) 𝐵−1 𝑋𝐷 = 𝐼
d) (𝐴𝑋 + 𝐷)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐶
e) (𝑋 −1 𝐵)−1 𝐷 = 𝐼
f) 𝐷𝑡 𝑋 𝑡 𝐶 −1 = 𝐴 − 𝐵
g) (𝐷𝑡 𝑋 𝑡 )𝑡 − 𝐸 = 𝐹
h) 𝐶 −1 (𝑋 − 𝐴)𝑡 𝐵 − 𝐷 = 0
i) (𝐴−1 𝑋)𝑡 (2𝐵)−1 − 3𝐶 = 𝐼
UTFPR
Prof.: Ronilson
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista 04
RESPOSTAS:
13 2 3
1
1) a) A   9 2 2 


 5 1 1
−1
d) [−3
11
10
1
f) −1
[0
−1
−4
14
14
4
12
−43
−41
−2
1
𝑥
2−𝑥
𝑥
−1+𝑥
𝑥
2
𝑥
−1
𝑥2
𝑥2
−2
−6 ]
22
21
1 
5
1
 1 0
2 


1  c) C 1   6 1 30 3
7
2
2 
0 0
1
0



1
1 
 2 0 10 1
2
6
−1 − 𝑖 −1
−1 −1 − 𝑖
−1
−𝑖
𝑖
1−𝑖
−𝑖 ]
e) 2+𝑖 [
1 + 2𝑖 1 − 𝑖
𝑖
−1 + 𝑖
3 − 𝑖 −2 − 𝑖 3 − 𝑖 2 + 𝑖
0

1
b) B   0

1
 3
5
2
]
 80 59 30 
2) X   39 31 15 


 318 233 119 
0
3) a) [
1
3
f) [ 0
−1
1
]
1
3
b) [
−1
0 −5
1⁄
3 0]
0
2
20 −5]
4) a) [
−34 7
−5]
2
−4 3
c) [3⁄ −1]
2
2
−3
3
3
6
⁄5 −1]
g) [− ⁄5
− 2⁄5 − 1⁄5 0
8
−14
]
b) [
−13 19
0
1
12
3
5) a) [ ⁄7 − ⁄7]
5
−3
2 −3 −6
b) [ 3
0 −3]
11 15 9
1⁄
1 −1 0
0
]
d) [ 3
e) [0 1 −1]
−1 1⁄3
0 0
1
− 1⁄2 −1 − 1⁄2
h) [ −2
−1
−1 ]
3⁄
1
1
⁄2
2
0 −2
]
c) [
−2 2
2
d) [
−3
−4
]
6
c) não existe
6) a) 𝑋 = −𝐸 + 𝐴 − 𝐵 + 𝐷𝐶
b) 𝑋 = 𝐶𝐵−1 + 𝐴𝐷𝐵 −1
c) 𝑋 = 𝐵𝐷−1
d) 𝑋 = 𝐼 + 𝐴−1 𝐶 𝑡 − 𝐴−1 𝐷
e) 𝑋 = 𝐵𝐷−1
f) 𝑋 = 𝐶 𝑡 𝐴𝑡 𝐷 −1 − 𝐶 𝑡 𝐵𝑡 𝐷−1
g) 𝑋 = 𝐸𝐷−1 + 𝐹𝐷−1
h) 𝑋 = 𝐴 + (𝐵−1 )𝑡 𝐷𝑡 𝐶 𝑡
i) 𝑋 = 6𝐴𝐵𝑡 𝐶 𝑡 + 2𝐴𝐵𝑡
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Prof.: Ronilson