Cap. 17

ELETROMAGNETISMO II
17
153
EQUAÇÕES DE MAXWELL, POTENCIAL
MAGNÉTICO E EQUAÇÕES DE CAMPO
A formulação completa das equações de Maxwell só será possível quando estudarmos os campos
eletromagnéticos variáveis no tempo. Por enquanto, vamos fazer uma abordagem inicial destas
equações, apenas para campos invariantes no tempo. Este capítulo tem por objetivo resgatar os
conceitos apresentados até o momento e formulá-los de uma forma mais concisa, de modo que
permita uma melhor compreensão dos fenômenos já estudados. Em seguida formularemos as
equações de Poisson e de Laplace, deduzidas a partir das equações de Maxwell.
17.1 – AS QUATRO EQUAÇÕES DE MAXWELL PARA CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS
ESTACIONÁRIOS
Como pudemos observar em todo o desenvolvimento deste curso, as leis básicas do eletromagnetismo
foram formuladas por cientistas do século XIX, a partir da observação de fenômenos elétricos e
magnéticos, complementadas por pesquisas experimentais. Com o auxílio das técnicas empregadas em
cálculo diferencial e integral, essas equações receberam uma apresentação formal, mais elegante e
sofisticada. Esse trabalho é devido a James Clerk Maxwell, cientista inglês que deu origem a um famoso
grupo de equações conhecido por Equações de Maxwell.
As equações de Maxwell podem ser escritas tanto na forma integral, como na forma diferencial. Na
verdade, o grupo de equações de Maxwell, na sua forma integral, nada mais é do que a expressão de
leis e conceitos já conhecidos e estudados de campos elétricos e magnéticos.
Na forma integral, para campos invariantes no tempo, já vimos que:


 .D  dS   ρ dv (C)
s
v

 
E  dL  0
L



S

(17.2)

 H  dL   J  dS ( A )
L
(17.1)
(17.3)

 B  dS  0
S
(17.4)
A equação (17.1) é a justificativa matemática para a lei de Gauss, mostrando que o fluxo total que
atravessa uma superfície fechada corresponde à carga elétrica líquida por ela envolvida. Em seguida, a
equação (17.2) mostra que a integral de linha do campo elétrico estático sobre um caminho fechado é
nula, numa clara expressão da lei de Kirchhoff para as malhas em circuitos elétricos em corrente
contínua. Em seqüência a equação (17.3) expressa a lei circuital de Ampère onde a integral de linha do
campo magnético estático sobre um caminho fechado corresponde à corrente elétrica enlaçada por este
percurso. Finalmente, a equação (17.4) mostra que o fluxo total do campo magnético sobre uma
superfície fechada é nulo e demonstra, em um paralelo com a lei de Gauss na equação (17.1), a
inexistência de cargas magnéticas.
A pura aplicação dos teoremas de Stokes e da Divergência permite que as equações de Maxwell sejam
expressas na sua forma diferencial ou pontual. Assim, pela ordem:

 D  
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(17.5)
ELETROMAGNETISMO II
154

  E 0
(17.6)
 
  H J ( A / m2 )
(17.7)

  B0
(17.8)
Utilizando as identidades e relações vetoriais já vistas (gradiente, divergente, rotacional, teorema da
divergência, teorema de Stokes), qualquer dos conjuntos de equações pode ser obtido, a partir do outro.
A interpretação física dada para as equações (17.1) e (17.5) é a de que podem existir cargas elétricas
isoladas e que o fluxo elétrico total que atravessa uma superfície fechada é igual à carga total (líquida)
por ela envolvida.
A segunda dupla, ou seja, as equações (17.2) e (17.6), nos dizem que o campo elétrico estacionário é
de natureza conservativa.
As equações (17.3) e (17.7) da terceira dupla informam que a corrente total que atravessa uma
superfície aberta é igual à integração do vetor intensidade de campo magnético ao longo do contorno
(caminho fechado) que envolve essa superfície. Passando ao limite, quando essa superfície aberta
tende a zero, a circulação do vetor intensidade de campo magnético nos fornece a densidade e a
direção da corrente elétrica naquele ponto.
Por fim, a quarta dupla, formada pelas equações (17.4) e (17.8), de uma forma elegante mostra que não
é possível a existência de pólos magnéticos isolados; eles sempre ocorrem aos pares.




A estas equações adicionamos as expressões relacionando D com E e B com H (chamadas de
relações constitutivas) presentes em qualquer meio onde:


D   E (C / m2 )
(17.9)


B   H ( Wb / m 2 )
(17.10)
O conjunto formado pelas equações de Maxwell, mais essas duas últimas relações, constituem o cerne
da teoria eletromagnética.
Deve-se salientar que as equações aqui apresentadas referem-se a campos eletrostáticos e
magnetostáticos (não variantes com o tempo). Veremos mais tarde as equações de Maxwell também
formuladas matematicamente para englobar campos elétricos e magnéticos variantes no tempo.
17.2 – POTENCIAL ESCALAR MAGNÉTICO E VETOR POTENCIAL MAGNÉTICO
Uma das maneiras encontradas para resolver problemas de campo eletrostático é pela utilização do
potencial escalar eletrostático V. Dada uma configuração de cargas, a intensidade de campo elétrico
pode ser obtida pelo gradiente dos potenciais eletrostáticos em uma dada região. Devido à grande
semelhança nas formulações da eletrostática, somos levados a perguntar se esta forma de solução não
pode ser utilizada na magnetostática, ou seja, definir uma função potencial escalar magnético, a partir
de uma distribuição de correntes, e a partir dela determinar a intensidade de campo magnético. Esta
questão pode ter uma resposta afirmativa, sob certas circunstancias.
Vamos então designar uma função potencial escalar magnético Vm, numa analogia com a eletrostática e
definir que:

H    Vm ( A / m)
(17.11)
O sinal negativo para o lado direito da equação 17.11 deve-se estritamente à analogia com a
eletrostática.
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ELETROMAGNETISMO II
155
Escrevendo a Lei de Ampère na forma pontual e substituindo o vetor intensidade de campo magnético
pelo gradiente negativo da função escalar potencial magnético teremos;


  H      Vm   J
(17.12)
As identidades vetoriais mostram que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é
identicamente nulo. Portanto, a função potencial escalar magnético só pode ser definida quando a

densidade de corrente no ponto em que H está sendo calculado for igual a zero. Ou seja:

  H 0
(17.13)
Como muitos problemas magnéticos envolvem geometrias em que os condutores ocupam uma fração
muito pequena do domínio, o potencial escalar magnético pode ser útil. O potencial escalar magnético
também é aplicável a problemas envolvendo ímãs permanentes.
Uma diferença fundamental entre a função potencial escalar eletrostático e a função potencial escalar
magnético é que a primeira é um campo conservativo, ao passo que a segunda não o é. O potencial
elétrico V é uma função unívoca, ou seja, uma vez que a referência zero seja fixada, existe um, e
somente um valor de V associado a cada ponto do espaço. Este não é o caso do potencial escalar
magnético Vm. Para que Vm seja uma função unívoca, é necessário que não somente a densidade de
corrente seja nula no ponto considerado, mas também que a corrente envolvida pela circuitação do
vetor intensidade de campo magnético na região de interesse também seja nula.
Por exemplo, um condutor conduzindo uma corrente elétrica apresenta uma densidade de corrente
somente no seu interior, o que implica na inexistência de linhas de corrente fora dele. No entanto, fora
do condutor, qualquer circuitação do campo magnético enlaça toda a corrente existente no condutor
mostrando, neste caso, que o potencial escalar magnético não pode ser determinado de forma única.
Frente às limitações da função potencial escalar magnético, no eletromagnetismo moderno, onde a
determinação de campos eletromagnéticos é feita por recursos numéricos associados a métodos
computacionais, outra função, esta denominada vetor potencial magnético, é mais utilizada, podendo
ser estendida a regiões com densidades de corrente diferentes de zero, e campos magnéticos variáveis
no tempo.
Sabemos que as linhas de força do campo magnético são fechadas, numa clara mostra da inexistência
de cargas magnéticas. Desta forma, o fluxo magnético total que atravessa uma superfície fechada
resulta sempre nulo, ou seja, o numero de linhas de campo que entram na superfície é igual ao numero
de linhas que dela saem, justificada pela pura e simples aplicação do teorema da divergência na forma
pontual. Daí:

  B0
(17.14)
O vetor potencial magnético (bem como a função potencial escalar magnético) não possui nenhum
significado físico (pois, ao contrário da eletrostática, não existem cargas magnéticas isoladas). A sua
definição provém do cálculo vetorial, que afirma que o divergente do rotacional de qualquer função
vetorial é nulo.

Desta forma, deve existir uma função A tal que sua circuitação produza a densidade de fluxo magnético

B . Assim,


B  A
(17.15)

  (  A )  0
(17.16)
Fica assegurado então que:
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156
ELETROMAGNETISMO II

A função A é conhecida como o vetor potencial magnético e sua dimensão é Wb/m no Sistema
Internacional de Unidades.
Embora seja possível encontrar expressões matemáticas para o vetor potencial magnético, análogas
àquelas para o potencial eletrostático, em termos de uma integral envolvendo corrente (ou densidade de
corrente), elementos diferenciais de comprimento (ou de superfície, ou de volume) e as distâncias

dessas distribuições a pontos onde se deseja calcular o valor de A , não o faremos aqui. Essas
expressões são de uso bastante limitado em casos voltados à prática, com soluções analíticas bastante
complexas e até mesmo impossíveis. Ao invés disso, partindo da definição do vetor potencial magnético
e das leis já conhecidas do eletromagnetismo, vamos formular as equações de campo que servem
como ponto de partida para o cálculo de campos elétricos e magnéticos por métodos numéricocomputacionais.
17.3 – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE
17.3.1 – Para a Magnetostática
A lei de Ampère para campos eletromagnéticos estáticos na sua forma pontual informa que:
 
H  J
(17.17)
ou ainda pela relação constitutiva da equação (17.10):

B 
   J

 
(17.18)
A definição do vetor potencial magnético em (17.15) faz com que a expressão acima fique:


1
  (   A)  J

(17.19)
Consideremos que o nosso problema tenha um comportamento bidimensional, ou seja, o potencial
magnético só possui a componente na direção z e só varia nas direções x e y, ou seja, A x = Ay = 0 e
A z z  0 . Isso pode ser ilustrado pela figura 17.1.
y
B
By
Az
Bx
x
Figura 17.1 Campo magnético com comportamento bidimensional.

Consideremos ainda que o vetor densidade de corrente J , neste caso, só possui a componente em
relação ao eixo z deste sistema cartesiano de coordenadas.
Desenvolvendo os rotacionais da equação (17.19) com essas simplificações em mente chegaremos à
expressão:
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ELETROMAGNETISMO II
157
  A    A 

J


x  x  y  y 
(17.20)
em que é a relutividade, ou seja, o inverso da permeabilidade magnética do meio. Se o meio não for
linear,  terá dependência sobre a indução magnética B e vice-versa. A equação (17.20) é uma equação
diferencial não linear, mais conhecida como função Quase-Poisson (ou equação de Poisson não
linear). Se a relação entre B e H for linear,  pode ser isolado na equação (17.20), recaindo na equação
de Poisson, dada abaixo.
  A    A 
J

     J


x  x  y  y 

(17.21)
Se o meio for desprovido de correntes, a equação (17.21) se reduzirá à equação de Laplace onde:
 2A  2A

0
x2 y2
(17.22)
A solução da equação (17.20), que naturalmente engloba as equações (17.21) e (17.22), permite o
conhecimento do campo magnético em qualquer ponto de um circuito magnético. Entretanto esta
equação não possui uma solução analítica conhecida. Por essa razão, a única maneira de determinar o
campo magnético é por recursos através de métodos numéricos.
17.3.2 – Para a Eletrostática
A obtenção da Equação de Poisson para a eletrostática é extremamente simples. A partir da forma
pontual da lei de Gauss:

  D 
(17.23)
 
D  E
(17.24
Sabendo que

e sabendo também que o campo elétrico E é determinado pelo gradiente negativo dos potenciais
elétricos, tem-se que:

E  V
(17.25
   ( V )  
(17.26)
Substituindo (17.25) e (17.24) em (17.23) vem:
Ou ainda, considerando a isotropia do meio ( constante):
2 V  


(17.27)
Essa é a equação de Poisson para a eletrostática, válida para uma região onde a permissividade
elétrica  do meio é constante. Expandindo-a em coordenadas cartesianas temos:
2 V 
2V
x
2

 2V
y
2

2V
z 2



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(17.28)
ELETROMAGNETISMO II
158
Se o meio não possuir cargas livres, ou seja, se  for igual a zero, a equação (17.28) recairá na
equação de Laplace abaixo:
2 V 
2V
x 2

 2V
y 2

2V
z 2
0
(17.29)
Note que a operação  2 V é chamada de Laplaciano de V, traduzindo o divergente do gradiente da
função potencial escalar V. Em coordenadas cilíndricas a expressão para a equação de Laplace é:
2 V 
1   V  1  2 V  2 V

0
r

r r  r  r 2  2
z 2
(17.30)
Em coordenadas esféricas o laplaciano de V fica:
2 V 
1   2 V 
1
 
V 
1
 2V
r

sen


 0




  r 2 sen 2   2
r 2 r  r  r 2sen   
(17.31)
Tendo em vista que a equação de Poisson considera as características condutivas e dielétricas do
meio, a equação de Laplace é um caso particular para um meio desprovido de cargas elétricas livres.
17.4 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
As equações de campo obtidas na seção anterior são equações diferenciais onde as soluções
analíticas só são possíveis para problemas particulares, muito simples. Os meios devem ser
homogêneos e lineares, bem como a geometria de tratamento bastante simples.
Nesta seção apresentaremos uma maneira para se obter a solução analítica da equação de Laplace
em duas dimensões. Em coordenadas retangulares, teremos para o caso bidimensional:
2V
x
2

2V
y 2
(17.32)
0
Esta é uma equação diferencial a derivadas parciais de segunda ordem (possui derivadas de
segunda ordem) e primeiro grau (não possui potências além da primeira). A equação (17.27) é a
maneira mais geral de se expressar a variação do potencial eletrostático V em relação à posição
(x,y,z), não sendo específica a nenhum problema em particular. Em outras palavras, para se resolver
um problema em eletrostática utilizando esta equação de um modo particular para cada caso, devese conhecer as condições de contorno do problema.
Vamos resolver a equação (17.32), caso particular da equação (17.27), utilizando o método da
separação de variáveis, onde assumimos que V pode ser expresso como o produto de duas funções
F e G tal que:
V( x, y )  F ( x ) G ( y )
(17.33)
onde F é função apenas de x e G é função apenas de y.
Tomando esta expressão do potencial e aplicando-a na equação (17.32), temos:
Gy 
d2Fx 
dx
2
 Fx 
d2Gy 
dy 2
0
Dividindo esta equação por F(x) G(y),
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(17.34)
ELETROMAGNETISMO II
1 d2Fx 
1 d 2Gy 

0
Fx  dx 2
Gy  dy 2
159
(17.35)
Tendo em vista que a soma destes dois termos resulta numa constante e que o primeiro termo é
independente de y e o segundo de x, cada qual será uma constante. Então, podemos escrever:
1 d2Fx 
 a2
Fx  dx 2
(17.36)
ou:
d2Fx 
dx 2
 a 2 Fx 
(17.37)
  a 2 Gy 
(17.38)
e, similarmente:
d2Gy 
dy 2
O problema agora consiste em achar a solução para cada variável separadamente (daí o nome
“separação de variáveis”).
A expressão dada em (17.37) mostra uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem e homogênea
cuja solução geral é obtida pelas raízes do correspondente polinômio característico. Desta forma, a
solução geral para a equação (17.37) é:
Fx   A 1 e ax  A 2 e ax
(17.39)
Fx   C1 coshax   C 2 senhax 
(17.40)
ou, de maneira equivalente:
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, obtidas a partir das condições de contorno do problema
específico.
De maneira semelhante, a solução geral apresentada para a equação (17.38) é:
Gy   A 3 e jay  A 4 e  jay
(17.41)
Gy   C3 cos ay   C 4 sen ay 
(17.42)
ou ainda,
Qualquer termo em (17.39) é uma solução e a soma deles também é uma solução. Para verificar
isso, basta substituir o valor de F da equação (17.40) na equação (17.37).
Desta forma, a solução geral da equação (17.32) fica:
V x, y   ( A 1 eax  A 2 e ax ) ( A 3 e jay  A 4 e  jay )
(17.43)
ou
V x, y   C1 cosh ax   C 2senh ax  C3 cos ay   C 4 sen ay 
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(17.44)
160
ELETROMAGNETISMO II
As constantes A1, A2, A3 e A4, ou C1, C2, C3 e C4 serão determinadas em função das condições de
contorno do problema específico em estudo.
Exemplo 17.1
2
Considere um capacitor de placas paralelas, de área 100 cm e distância entre as placas 0.01 m.
Sabe-se que a placa inferior está no potencial zero e a placa superior no potencial 100 V. Utilizando a
equação de Laplace, determine a distribuição de potencial entre as placas, desprezando o
espraiamento das linhas de força do campo elétrico estabelecido.
Solução:
O problema pede na verdade o campo elétrico estabelecido entre as placas. Neste caso, podemos
desconsiderar o efeito das bordas ou o espraiamento das linhas de campo visto que a distância entre
as placas planas é muito menor do que a área delas. Assim o nosso problema recai no clássico
capacitor de placas planas paralelas e infinitas, representado pela figura 17.2 a seguir.
z
V = 100 V
z1
V=0
y
Figura 17.2 - Capacitor de placas paralelas.
Não há variação do potencial nas direções y e x, mas apenas na direção z. Portanto a equação
(17.29) de Laplace se reduz a:
d2 V
dz 2
0
Pelo fato da segunda derivada de V em relação a z ser zero, a primeira derivada deve ser igual a uma
constante. Desta forma:
dV
C1
dz
ou:
dV C1dz
Integrando pela forma indefinida:
 dV   C dz
1
Daí:
V C1z  C 2
As constantes C1 e C2 são determinadas em função das condições de contorno impostas para o
problema. No caso temos
z 0 V 0
0  0  C2  C2 0
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ELETROMAGNETISMO II
161
z  0,01m  V  100 volts
100  0,01 C1  C1  10000
Tendo os valores de C1 e C2 na equação da solução temos para a função potencial:
V  10 4 z ( V )
O campo elétrico entre as placas será então determinado pelo gradiente dos potenciais onde

E  V . Assim,

E   10 4 â z
Sendo, portanto, constante de módulo igual a V/d, como era de se esperar.
Exemplo 17.2
Calcule a distribuição da função potencial eletrostático na região interna entre dois planos radiais,
isolados por um gap infinitesimal, conforme ilustrado na figura 17.3.
Figura 17.3 – Dois planos radiais infinitos com ângulo α interior
Solução:
Para essa configuração, as superfícies equipotenciais são planos radiais ( V  r  V  z  0 ), com
intersecção eletricamente isolada no eixo z. A equação de Laplace em coordenadas cilíndricas se
reduz a:
2 V 
1   V  1  2 V  2 V
1  2V
2
 r
  2


0


V

0
r  r   r  r  2  z2
r 2 2
Excluindo r = 0, teremos:
 2V
2
0
O que dá como solução
V  A  B
As condições de contorno permitem obter as constantes A e B:
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162
ELETROMAGNETISMO II
Para  = 0, V = 0 → B = 0.
Para  = α, V = V0 → V0 = A  → A = V0/α.
Portanto:
V  V0

(volts)

Exemplo 17.3
Calcule a distribuição da função potencial eletrostático na região interna da calha retangular,
conforme mostrada na figura 17.4.
Solução:
z
V =V0
d
V=0
V=0
V=0
x
c
Figura 17.4 Calha retangular (topo isolado).
Este problema recai no caso onde os potenciais são como um produto de funções independentes
onde V = F(z) G(x), cuja solução geral já foi por nós discutida anteriormente. Podemos então dizer
que o potencial é uma função de x e de z sob a forma:
V  C1 coshaz   C2 senhaz  C3 cosax   C 4senax 
As condições de contorno para este problema específico implicam em:
V = 0 em x = 0, V = 0 em x = c, V = 0 em z = 0, V = V0 em z = d,
As condições V = 0 em x = 0 e em z = 0 anulam os termos com C2 e C4, sendo requerido então que
as constantes C1 e C3 sejam nulas para que V seja igual a zero.
Por outro lado, a condição V = 0 em x = c, leva-nos a concluir que a = n/c, onde n é um número
inteiro.
Tendo C1 e C3 nulos a expressão geral contém apenas o produto C2C4 que substituído por C faz com
que a expressão para o potencial torne-se:
 n 
 n 
V  C senh 
z  sen 
x
c


 c 
Como n pode ser qualquer número inteiro, a expressão para V deve ser escrita na forma de uma
série infinita em que:

V
C
n 1
n
 n 
 n 
senh 
z  sen 
x
 c 
 c 
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163
ELETROMAGNETISMO II
Para a condição V = V0 em z = d, teremos então:

V0 
C
n
n 1
 n 
 n 
senh 
d  sen 
x
 c 
 c 
O produto formado pelos dois primeiros termos resulta numa constante e a expressão acima pode ser
assim escrita:

V0 
b
n
n 1
 n 
sen 
x
 c 
Cada constante bn pode ser determinada como um coeficiente de uma série de Fourier em seno
(função ímpar) para f(x) = V0 constante com 0 < x < c. Desta forma,
bn 
2
c

c
0
2 V0
 n 
f ( x ) sen 
x  dx 
c
c


 0

bn   V0
4 n
c
 n 
x  dx

 sen  c
0
n par
n ímpar
Daí :
Cn  4
V0
n
1
 n 
senh  d 
 c 
p / n impar
A função potencial será então:
V
V 
4 0
n
n impar

 n 
senh 
z
 c  sen  n x 


 n 
 c 
senh 
d
 c 
17.5 – SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE POR ITERAÇÕES NUMÉRICAS
Na seção anterior apresentamos uma solução exata para a equação de Laplace em um problema
extremamente simples, para efeitos práticos. Apesar da simplicidade da configuração analisada, a
solução analítica já se mostrou bastante complexa. Configurações mais complexas tornam a solução
analítica extremamente difícil, e, na maioria dos casos, impossível. É por essa razão que a solução
de problemas envolvendo as equações de Poisson e Laplace, na maioria dos casos práticos, só é
possível com o uso de métodos numéricos. Métodos numéricos permitem uma solução aproximada
para o problema, de acordo com uma tolerância pré-estabelecida. Para ilustrar a utilização dos
métodos numéricos, nesta seção vamos apresentar um método bastante primitivo para a solução
numérica da equação de Laplace. Este método serviu como ponto de partida para a formulação do
método das diferenças finitas, que em sua formulação no domínio do tempo, FDTD (Finite Difference
Time Domain), é largamente utilizado na solução de problemas envolvendo campos eletromagnéticos
variáveis no tempo.
Para simplificar, a variação na direção z não existe e isso reduz o nosso problema a um domínio de
campo bidimensional onde:
2V  2V

0
x 2 y 2
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(17.45)
ELETROMAGNETISMO II
164
O primeiro termo na equação 17.45 é a derivada parcial segunda de V em relação a x, isto é, a taxa
de variação em relação a x da taxa de variação de V em relação a x. Idem para o 2º termo, em
relação a y. Vamos reescrever a equação 17.45 da seguinte maneira:
   V 
   V 
 x
 y

 
x
y
(17.46)
Considere agora uma distribuição bidimensional de potenciais em torno de um ponto P, como é
mostrado na figura 17.5. Seja o potencial no ponto P igual a V0, e os potenciais nos quatro pontos em
torno dele iguais a V1, V2 V3 e V4, conforme é mostrado. Vamos agora substituir as derivadas na
equação 17.46 por diferenças do tipo (VP - V1)/x (neste caso específico, esta é a inclinação da curva
de V entre os pontos P e 1). A diferença das inclinações, dividida pela distância incremental x é
2
2
aproximadamente igual a  V/x . A equação de Laplace pode agora ser reescrita como:
V3  VP VP V4
V2 VP VP V1


y
x
x   y
x
y
V3
(17.47)
3
y
V1
1
x
VP
x
P
V2
2
y
V4 4
figura 17.5 - Construção para encontrar o potencial em P.
Considerando x = y, teremos a seguinte simplificação geométrica:
V1  V2  V3  V4  4VP 0
(17.48)
1
VP  ( V1  V2  V3  V4 )
4
(17.49)
ou:
Se conhecermos o potencial nos pontos 1, 2, 3 e 4, podemos calcular o potencial no ponto P de
acordo com a equação 17.49. Em outras palavras, o significado físico da equação de Laplace é que o
potencial em um ponto é simplesmente a média dos potenciais dos quatro pontos que o circundam, a
uma mesma distância.
Exemplo 17.4
Pela configuração mostrada na figura 17.6, a placa superior está a um potencial de 40 V e isolada. O
perfil em forma de U está no potencial zero. Calcular a distribuição de potenciais para esta
configuração, utilizando o método de solução repetitiva da equação de Laplace.
Solução:
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165
ELETROMAGNETISMO II
Gap
Fig 17.6 - Configuração do
exemplo 17.4
Gap
40 V
0
0
0
No centro do quadrado o valor de V será
40 0 0  0
10 ( V )
4
O potencial no gap será a média aritmética entre o potencial na placa superior e o potencial nulo:
40 0
20 V
2
20 V
0
40 V
20 V
10 V
0
0
Fig 17.7 - 1º cálculo do potencial
O valor do potencial no centro dos novos quadrados será:
40  2010 0
17,5 ( V )
4
0  010 0
 2,5 ( V )
4
Refinando e calculando novamente, os potenciais nos quadrados internos teremos:
10 17,5  2,5 0
 7,5 V
4
,
40 17,517,5 10
 21,25 V
4
,
2.5 2,5  0 10
 3,75 V
4
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166
ELETROMAGNETISMO II
20 V
40 V
20 V
20
40
40
40
20
0
17.5
17.5
10 V
0
0
2.5
2.5
0
17.5
21.3
0
7.5
10 V
7.5
0
2.5
3.8
2.5
0
0
0
0
0
0
0
0
Fig. 17.8 - 2º cálculo do potencial
17.5
0
0
Fig. 17.9 - 3º cálculo do potencial
Os cálculos de potenciais podem prosseguir indefinidamente. quanto maior for o número de
potenciais calculados por esse processo, maior será a precisão. Finalmente, a figura 17.10 apresenta
um gráfico com o mapeamento dos potenciais eletrostáticos. Cada linha representa um valor de
potencial (30, 20, 15, 10, 5 e 2,5 V)
0
0
20
40
17.5
40
21.3
40
20
0
17.5
0
0
7.5
10 V
7.5
0
0
2.5
3.8
2.5
0
0
0
0
0
0
Fig. 17.10 - Mapeamento dos potenciais eletrostáticos
Neste capítulo apresentamos exemplos com problemas resolvidos tanto pela solução analítica da
equação de Laplace como também pela solução numérica. A solução analítica das equações de
Laplace e de Poisson se restringe a casos onde a geometria é bastante simples e por isso ela não é
muito utilizada. A solução numérica dessas equações é bastante comum e métodos bastante
avançados já foram desenvolvidos. Apesar de termos realizados exemplos de eletrostática, o mesmo
procedimento é realizado no caso de campos magnéticos, onde as complexidades de geometria e as
não linearidades em meios magnéticos impõem algumas dificuldades adicionais.
A resolução geral das equações de Poisson ou de Laplace implica num conjunto de equações onde
cada problema tem definida a sua solução particular em função das condições de contorno impostas
para cada caso. Chamamos também a atenção para a existência de valores intermediários onde os
potenciais determinados estarão entre os valores máximo e mínimo impostos pelas condições de
fronteira ou de contorno.
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167
ELETROMAGNETISMO II
Literatura Adicional Sobre o Assunto:
Eletromagnetismo, J. A. Edminister, capítulo 8. (Disponível na Biblioteca).
Eletromagnetismo, J. D. Krauss, Capítulo 7. (Disponível na Biblioteca).
Eletromagnetismo, W. H. Hayt Jr, Capítulo 7. (Disponível na Biblioteca).
EXERCÍCIOS
1) - Quatro placas de 20 cm de largura formam um quadrado, conforme indicado na figura 3. se as
placas são isoladas entre si, e estão submetidas aos potenciais indicados, encontre o valor do
potencial nos pontos a e b, indicados na figura.
30 V
gap = 1 mm
a
5 cm
20 V
40 V
15 cm
10 cm
b
5 cm
10 V
figura 1 - figura do problema 1
2) - Encontre o valor do potencial V nos pontos P1 e P2 da configuração abaixo.
3 cm
V=0
V = 100
9 cm
P1
P2
3 cm
9 cm
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ELETROMAGNETISMO II
168
3) – Encontre uma expressão para V0 na figura abaixo, em função de V1, V2, V3 e V4, sabendo que
h1, h2, h3 e h4 são diferentes entre si.
V3
3
h3
V1
V0
h1
1
P
h2
V2
2
h4
V4
4
r
cos  , mostre que este satisfaz a equação de Laplace se a
d
região for dada em coordenadas cilíndricas. Por outro lado, mostre também que a mesma função
potencial não se aplica se a região for expressa em coordenadas esféricas e desprovida de cargas
livres.
4) Dado o campo potencial V (r, )  V0
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