Cap. 2 - DECOM

EA-513 – Circuitos Elétricos I
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Capítulo 2
Circuitos Resistivos
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2.1 Lei de Ohm
Resistor:
•
qualquer dispositivo que exibe somente uma resistência.
•
a resistência está associada ao número de colisões dos elétrons
com os átomos do condutor, quando uma corrente flui por este
dispositivo.
Símbolo:
i
+
v
R
−
Unidade da resistência R: ohm [Ω] = volt/ampère
R≥0
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Lei de Ohm:
A tensão sobre um resistor é diretamente proporcional à corrente que o
atravessa.
v = Ri
Se R é constante, a equação acima é uma linha reta:
v
tanθ = R
θ
i
Portanto, R é chamado de resistor linear.
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A corrente entra no resistor pelo terminal com potencial mais elevado e sai pelo
terminal de potencial mais baixo.
i
+
v
R
−
Como as cargas são transportadas pelo resistor do potencial mais alto para o
mais baixo, a perda de energia por carga q (energia = qv) é dissipada pelo
resistor na forma de calor.
Potência instantânea = velocidade que a energia é dissipada:
v 2 (t )
p(t ) = v(t )i (t ) = Ri (t ) =
R
2
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Gráfico da potência instantânea:
p(t)
v 2 (t )
p(t ) = Ri t ) =
R
2(
i(t)
ou v(t)
Condição de passividade:
w(t ) = ∫
t
p (t )dt ≥ 0
−∞
p(t) ≥ 0 ⇒ R é um elemento passivo!
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Observação:
i
v
R
+
Lei de Ohm: v = −Ri
Potência nominal (wattagem nominal) de um resistor:
• máxima potência que o resistor pode dissipar sem se danificar por
excesso de calor.
Condutância G:
G=
1
R
Unidade: siemens (S) = ampère/volt = mho
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Lei de Ohm: i = Gv
Potência instantânea:
i 2 (t )
p(t ) = v(t )i(t ) =
= Gv 2 (t )
G
Termos:
• Curto circuito: R = 0 [ohm]
• Circuito aberto: R = ∞ [ohm]
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2.2 Leis de Kirchhoff
Circuito de parâmetros concentrados:
• elementos conectados por condutores ideais (resistência nula),
• energia inerente ou concentrada inteiramente dentro de cada elemento
do circuito.
Nó 1
Nó 2
+
-
Nó 4
Nó 3
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Lei de Kirchhoff das correntes:
a) A soma algébrica das correntes que chegam em um nó é igual a zero.
b) A soma algébrica das correntes que saem de um nó é igual a zero.
c) A soma das correntes que chegam em um nó é igual à soma das
correntes que saem deste nó.
a) i1 + (-i2) + (-i3) + i4 = 0
i2
i1
b) (-i1) + i2 + i3 + (-i4) = 0
- +
c) i1 + i4 = i2 + i3
i3
i4
N
∑ in = 0
n =1
N = nº de correntes no nó.
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Lei de Kirchhoff das tensões:
•
A soma algébrica das tensões ao longo de um percurso fechado de
um circuito é zero.
v2
-
+
v1 + v2 − v3 − v4 = 0
+
+
-
v1
v3
ou
− v1 − v2 + v3 + v4 = 0
-
+
v4
N
∑ vn = 0
n =1
N = nº de tensões no percurso fechado.
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Exemplo:
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4A
2A
1A
a
b
+
i2
i1
5Ω
vx
+
-
10 V
i3
-
Nó a:
d
c
ix
2A
i2 − 4 − 1 = 0 ⇒ i2 = 5 [A ] ⇒ vx = −5 ⋅ 5 = −25 [V ]
Nó b: i1 − 2 −1 = 0 ⇒ i1 = 3 [A]
Nó c:
i3 + 3 − 2 = 0 ⇒i3 = −1 [A]
Nó d:
ix − i2 − i3 = 0 ⇒ ix = 5 + (− 1) = 4 [A ]
Lei de Ohm
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Lei de Kirchhoff das correntes generalizada:
•
A soma algébrica das correntes que entram em uma superfície
fechada é igual zero.
i2
i1
a
b
+
+
-
d
c
i3
i4
i1 + i2 + i3 + i4 = 0
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2.3 Resistência em Série e Divisão de Tensão
is = i
i
+
-
+
v1
-
R1
+
-
v
+
v2
-
v
Rs
R2
v = v1 + v2 = R1i + R2i = ( R1 + R2 )i
i=
v
R1 + R2
is =
v
Rs
Rs = R1 + R2
v1 = R1i =
R1
v
R1 + R2
v2 = R2i =
R2
v
R1 + R2
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Exemplo:
i
+
-
i=
v
12
=
= 1 [A ]
R1 + R2 8 + 4
v1 =
8
⋅ 12 = 8 [V ]
8+ 4
v2 =
4
⋅ 12 = 4 [V ]
8+ 4
+
v1 R1 = 8 Ω
v = 12 V
+
v2
-
R2 = 4 Ω
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Potências instantâneas absorvidas por R1 e R2:
i
+
-
+
v1
-
R1
+
v2
-
R2
v12
R1
p1 =
=
v2
R1 (R1 + R2 )2
v1 = R1i =
v22
R2
p2 =
=
v2
R2 ( R1 + R2 )2
v2 = R2i =
R1
v
R1 + R2
v
R2
v
R1 + R2
Potência total absorvida:
 v 
v2
 = v ⋅ i
p = p1 + p2 =
= v
R1 + R2
 R1 + R2 
Note que a potência entregue pela fonte de tensão é igual a potência dissipada
pelos resistores ⇒ princípio da conservação de potência (teorema de Tellegen).
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Generalização para N resistores em série:
i
v1
+
-
v
v2
vN
v = v1 + v2 + L + vN = R1 i + R2 i + L + RN i
+
-
R1
+
-
R2
+
-
i=
RN
v
R1 + R2 + L + RN
Rs = R1 + R2 + L + RN =
R
vn = Rn i = n v
Rs
N
∑ Rn
n =1
n = 1, 2, L, N
Potência instantânea sobre Rn:
vn2 Rn 2
pn =
=
v
2
Rn Rs
Potência total dissipada:
2
N v2
N R
2 v
n
n
p= ∑
= ∑
v =
= vi
2
Rs
n =1 Rn n =1 Rs
n = 1, 2, L, N
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2.4 Resistências em Paralelo e Divisão de Corrente
i
i
+
+
v
i1
G1
i2
G2
vp
-
-
i = i1 + i2 = G1v + G2v = (G1 + G2 ) v
v=
i
G1 + G2
vp =
i
Gp
G p = G1 + G2
i1 = G1 v =
G1
i
G1 + G2
i2 = G2 v =
G2
i
G1 + G2
Gp
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Em termos de resistências:
i
i
+
v
+
i1
R1
i2
R2
vp
-
G p = G1 + G2
-
⇒
Gp =
1
1
1
=
+
R p R1 R2
Rp =
i1 =
Rp
G1
R2
i=
i
G1 + G2
R1 + R2
R1 ⋅ R2
R1 + R2
i2 =
G2
R1
i=
i
G1 + G2
R1 + R2
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Potências instantâneas absorvidas por R1 e R2:
i
+
v
p1 = R1 i12 = R1
i1
R1
i2
R2
-
p2 = R2 i22 = R2
R22 i 2
i1 =
R2
i
R1 + R2
R12 i 2
i2 =
R1
i
R1 + R2
(R1 + R2 )2
(R1 + R2 )2
Potência total absorvida:
p = p1 + p2 = R1
R22 i 2
(R1 + R2 )2
+ R2
R12 i 2
(R1 + R2 )2
=
R1R2 2
i = v ⋅i
R1 + R2
Note que a potência entregue pela fonte de corrente é igual a potência dissipada
pelos resistores ⇒ princípio da conservação de potência (teorema de Tellegen).
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Generalização para N resistores em paralelo baseada nas condutâncias:
i
+
v
i1
G1
i2
G2
iN
GN
-
i = i1 + i2 + L + iN = G1 v + G2 v + L + GN v
v=
i
i
=
G1 + G2 + L + GN G p
Potência instantânea sobre Gn:
Potência total dissipada:
G p = G1 + G2 + L + GN =
in = Gn v =
in2 Gn 2
pn =
=
i
Gn G 2p
Gn
i
Gp
∑ Gn
n =1
n = 1, 2, L, N
n = 1, 2, L, N
N i2
N G
i2
2
n
n
p= ∑
= ∑
i =
= vi
2
Gp
n =1 Gn n =1 G p
N
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Generalização para N resistores em paralelo baseada nas resistências:
i
+
v
i1
R1
-
Gp =
N
∑ Gn
⇒
n =1
Rp
Gn
in =
i=
i
Gp
Rn
N 1
1
= ∑
R p n =1 Rn
n = 1, 2, L, N
i2
R2
iN
RN
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Exemplo: Calcule a resistência equivalente vista pela fonte e a corrente i.
if
1Ω
4Ω
i
20 V
+
-
22 Ω
90 Ω
8Ω
4Ω
R1 =
4⋅4
=2Ω
4+4
R4 = 4 + 6 = 10 Ω
Corrente i:
if =
v 20
=
=2 A
R6 10
R2 = 2 + 22 = 24 Ω
R5 =
90 ⋅ 10
=9Ω
90 + 10
4Ω
R3 =
24 ⋅ 8
=6Ω
24 + 8
R6 = 1 + 9 = 10 Ω
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Corrente i:
if
1Ω
4Ω
+ v1 20 V
+
-
22 Ω
i
90 Ω
8Ω
4Ω
Corrente que sai da fonte:
if =
v 20
=
=2 A
R6 10
Queda de tensão sobre resistor de 1 Ω:
Queda de tensão sobre resistor de 90 Ω:
Corrente i:
4Ω
v
18
i = 90 =
= 0,2 A
90 90
v1 = Ri f = 1 ⋅ 2 = 2 V
20 = v90 + v1 ⇒ v90 = 20 − 2 = 18 V
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2.5 Exemplos de Análise
2.5.1 Encontrar i, v1 e vab.
20 Ω
i
a
30 Ω
i
+ v1 +
-
30 V
20 V
+
-
50 Ω
b
≡
20 Ω
a
30 Ω
i
+ v1 -
+
-
30 V
+
20 V
≡
+
10 V
-
100 Ω
50 Ω
b
Aplicando lei de Kirchhoff para tensão e lei de Ohm:
− 30 + 20i + 30i + 20 + 50i = 0
i=
10
= 0,1 [A ]
100
v1 = 30i = 30 ⋅ 0,1 = 3 [V ]
vab = 30i + 20 + 50i = 30 ⋅ 0,1 + 20 + 50 ⋅ 0,1 = 28 [V ]
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2.5.2 Princípio da conservação de potência
i
20 Ω
a
30 Ω
+ v1 +
-
30 V
20 V
absorve potência
+
-
50 Ω
b
p20Ω = 20 ⋅ 0,12 = 0,2 [W ]
potência absorvida:
p20V = 20 ⋅ 0,1 = 2 [W ]
p30Ω = 30 ⋅ 0,12 = 0,3 [W ]
potência fornecida:
p30V = 30 ⋅ 0,1 = 3 [W ]
p50Ω = 50 ⋅ 0,12 = 0,5 [W ]
3 = 2 + 0,2 + 0,3 + 0,5
Portanto, a potência entregue ao circuito é igual a potência absorvida.
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2.5.3 Calcular i e v e verificar o princípio da conservação de potência
+
v
10 sen(πt) [A]
0,01 S
i
0,02 S
5 [A]
-
Lei de Kirchhoff no nó superior:
10 sen (πt ) − 0,01v − 0,02v − 5 − 0,07v = 0
v=
10 sen (πt ) − 5
= 100 sen (πt ) − 50 [V ]
0,1
i = 0,02v = 0,02[100 sen (πt ) − 50] = 2 sen(πt ) − 1 [A ]
0,07 S
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Conservação de potência:
+
10 sen(πt) [A]
v
0,01 S
i
0,02 S
5 [A]
0,07 S
-
+
i1 = 10 sen(πt) [A]
v
0,1 S
i2 = 5 [A]
-
Potência absorvida pelos resistores:
pabsorvida = G p v 2 = 0,1 ⋅ [100 sen (πt ) + 50]2 = 1000 sen 2 (πt ) − 1000 sen (πt ) + 250 [W ]
Potência das fontes:
p1 = vi1 = [100 sen (πt ) − 50] ⋅ 10 sen (πt )
p2 = vi2 = [100 sen (πt ) − 50] ⋅ −5
[W ]
[W ]
p fontes = p1 + p2 = 1000 sen 2 (πt ) − 1000 sen (πt ) + 250 [W ]
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2.5.4 Calcular i e v e potência entregue pela fonte.
i1
2Ω
a i 12 Ω
i2
+
-
+
v1
16 Ω
30 V
+
v2
6Ω
b
R1 = 4 + 8 = 12 [Ω]
4Ω
c
-
+
8Ω
v
-
d
corrente i1:
6 ⋅ 12
= 4 [Ω]
6 + 12
R3 = 4 + 12 = 16 [Ω]
R4 =
16 ⋅ 16
= 8 [Ω]
16 + 16
Req = 8 + 2 = 10 [Ω]
i1
+
-
R2 =
a
30 V
Req = 10 Ω
30 = 10 ⋅ i1 ⇒ i1 = 3 [A ]
b
potência entregue pela fonte:
p = 30 ⋅ i1 = 30 ⋅ 3 = 90 [W ]
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Cálculo de v e i:
2Ω
i1
a i 12 Ω
i2
+
-
30 V
+
i1
+
v1
16 Ω
4Ω
c
v2
6Ω
-
+
8Ω
-
b
2Ω
v
+
-
30 V
16 Ω
12 Ω
-
+
v1
v2
b
4
⋅ 24 = 6 [V ]
4 + 12
R4 = 8 Ω
b
R3 = 4 Ω
v=
-
v1
-
c
+
-
v2 =
30 V
d
a
a
+
+
-
v1 =
i1
2Ω
8
⋅ 30 = 24 [V ]
8+ 2
8
8
⋅ v2 = ⋅ 6 = 4 [V ]
8+4
12
d
i = i1 − i2 = 3 −
24
= 1,5 [A ]
16
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I1
2.5.5 Calcular i.
6Ω
3Ω
6Ω
12 [A]
3Ω
4Ω
6Ω
Req1 = 3 [Ω]
Req 2 = 2 [Ω]
Divisão de corrente:
i
I1
3Ω
2Ω
12 [A]
i=
3Ω
4
1
3
⋅ i1 = ⋅ 3 =
4+6+6
4
4
i1 =
[A]
2
⋅ 12 = 3 [A ]
2+6
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2.6 Amperímetros, Voltímetros e Ohmímetros
São exemplos de aplicações de divisores de tensão e de corrente.
Mundo ideal:
• amperímetro ideal mede a corrente que flui por seus terminais e
apresenta tensão nula sobre os mesmos.
• voltímetro ideal mede a tensão entre seus terminais e apresenta
corrente nula pelos mesmos.
• ohmímetro ideal mede a resistência conectada entre seus terminais e
entrega potência nula ao resistor.
Mundo real:
• tensão, corrente e potência não nulas.
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Amperímetro popular:
• dispositivo mecânico, medidor de D’Arsonval.
• constituído de 1 bobina elétrica suspensa entre os pólos de um imã
permanente.
• 1 corrente contínua provoca a rotação proporcional da bobina.
• bobina ligada a um ponteiro e uma escala.
• corrente de fim de escala IFS: 10 µA a 10 mA.
Dispositivo equivalente do Medidor de D’Arsonval:
RM
M
medidor ideal
valor baixo
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Circuito para medir a corrente acima de IFS:
iFS
RM
M
ip
IFS
Rp
Rp = usado para reduzir a corrente que flui pelo medidor.
I FS =
Rp
i
R p + RM FS
Rp =
RM I FS
iFS − I FS
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Voltímetro:
i
RS
+
M
v
RM
-
A tensão de fim de escala vFS ocorre quando a corrente do medidor é IFS.
− vFS + Rs I FS + RM I FS = 0
v
Rs = FS − RM
I FS
R + RM
R
Sensibilidade de corrente: Ω V nominal = s
≈ s
vFS
vFS
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Ohmímetro:
i
E
RS
M
Rx
RM
− E + Rxi + Rsi + RM i = 0
⇒
Rx =
E
− Rs − RM
i
Selecionamos E e Rs tal que, se Rx = 0 então i = IFS, logo temos:
I FS =
Assim,
E
Rs + RM
I

Rx =  FS − 1(Rs + RM )
 i

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2.7 Resistores Reais
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