lista 5 - ICEB-UFOP

5a Lista de Exercı́cios de MTM 280 - Elementos de Cálculo - 2014/1 - turma 11
0. Reveja a teoria e os exercı́cios feitos em sala.
1. classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta
(
) 21,3 > 21,2
(
) log 12 3 < log 12 4;
(
) (0, 11)−3,4 < (0, 11)4,2
(
) log3 2 < 1;
2. Determine as soluções:
(a) 4x+1 − 9.2x + 2 = 0
(d) 2 log x = log(2x − 3) + log(x + 2)
(b) 22x+1 43x+1 = 8x+1
(e) log4 x + logx 4 = 2,
2
(c) (log3 x) − 2 log3 x = 3
(f) logx4 + log4x = 2,
Resp.:
(a) S = {−2, 1}
(d) S = {2}
(b) —-
(e) S = {4}
(c) S = {9, 1
3}
(f) S = {4}
3. Determine as soluções:
(a)
√
x3x−8 = 2x−5 ;
x+4
(f) (0, 1)3−4x < 0, 0001.
(b) 2x−1 + 2x + 2x+1 − 2x+2 + 2x+3 = 120.
x
−x
(c) 3x + 3−x = 2.
3 −3
(d) xx
2
−5x+6
x x+4
(e) (2 )
(g) 8 < 2x < 32.
1.
(h) (3x )2x−7 > 27
(i) 32x+2 − 3x+3 > 3x − 3.
= 1.
(j) 2x − 1 > 21−x
= 32.
Resp.:
(a) S = {6, −2}
(f) S = {x ∈ R : x < − 14 }
(b) S = {4}.
(d) S = {1, 2, 3}
(g) S = {x ∈ R : 3 < x < 5}
(h) S = {x ∈ R : x < 12 ou x > 3}
(i) S = {1/2}
(e) S = {−5, 1}
(j) —
(c) S = {1/2}
4. Encontre o conjunto solução do sistema
{
2x − 2y
x+y
= 24
= 8.
Resp.: {(5, 3)}, ou seja x = 5 e y = 3.
5. Determine o domı́nio das funções abaixo:
(a) log3 (x − 1); R.: {x ∈ R : x > 1}
(c) log5 (x2 − 4). R.: {x ∈ R : x < −2 ou x > 2}
+1
(b) log2 x
x − 1 . R.: {x ∈ R : x > 1}
(d) logx+1 (2x2 − 5x = 2). R.: {x ∈ R : −1 < x <
1
2 ou x > 2 e x ̸= 0}.
Resp.:
(a) {x ∈ R : x > 1}
(b) {x ∈ R : x > 1}
(c) {x ∈ R : x < −2 ou x > 2}
(d) {x ∈ R : −1 < x < 12 ou x > 2 e x ̸= 0}.
6. Aplique as propriedades de Logarı́tmo para desenvolver:
(
)
(a) log2 2ab
c
)
(
3 2
a
b
(b) log3
c4
(c) log3
√ a
√
3
b2 c
7. Suponha que log 9 = a e log 2 = b. Use as propriedades de logaritmo para determinar
(a) log 3
( )
(b) log 2
3
(c) log
√
3
54.
a−b
8. Sabendo-se que log30 3 = a e log30 5 = b, calcule log10 2. Resp.: 1 −
1−a .
√
3
a
9. Se logab a = 4, calcule logab √ .
b
10. Resolva as equações (aqui você precisará usar o log)
(c) 23x−2 = 32x+1 . R.: {log 98 12}
(a) 5x = 4
(b) 3x = 21 . R.: {log3 89 }
11. Encontre o conjunto solução
(a) log2 (3x + 1) = 4. R.: {5}
(b) log22 x − log2 x = 2. R. {4, 1/2}.
(c) xlogx (x+3) = 7. R.: {4}
(d) logx (2x + 3) = 2. R.: {3}
(e) log2x (5x − 6) − 3 logx (5x − 6) + 2 = 0. R.: {2, 3, 32 }
(f) ln(x2 + e) = 1. R.: {0}.
(g) ln(x2 − 5x) = ln6
12. Faça um esboço do gráfico, marcando onde tal gráfico intercepta o eixo x e/ou y
(a) f (x) = 2x−1 ;
(b) f (x) = ex ;
(c) f (x) = lnx
(d) f (x) = log 12 x
(e) f (x) = ln(x − 1)
−x
13. Definimos as funções seno-hiperbólico e cosseno-hiperbólico como sendo senh(x) = e −e
e cosh(x) =
2
ex +e−x
senhx
cosh
x
.. Também definimos tgh(x) =
e cotgh(x) =
e de maneira análoga as funções
2
cosh x
senhx
trigonométricas temos sechx e cschx.
x
(a) Classifique estas funções quanto a sua paridade;
(b) Mostre as identidades (observe a semelhança com as funções trigonométricas):
i. senh2 x − senh2 x = 1;
ii. senh(x+y) = senhx cosh y +senhy cosh x (e como consequência, temos senh(2x) = 2senhx cosh x)
iii. cosh(x + y) = cosh x cosh y + senhxsenhy (e como consequência, temos cosh(2x) = cosh2 x +
senh2 x)
iv. Obtenha uma relação para tgh(x + y).
14. Determine os limites a seguir:
(a) lim 3x
x→∞
(b)
(g)
lim ex
x→−∞
(c) lim (2x − 3x )
(h)
x→∞
(d) lim (2x − 2−x )
x→∞
(e)
lim (2x − 2−x )
(i)
x→−∞
(f) lim+
x→0
Resp.:
3x − 1
x2
(j)
5x − 52
lim
(k)
x→2 x − 2
1 − 2x
lim
x→+∞ 1 − 3x
(l)
(
)x+2
1
lim
1+
x→+∞
(m)
x
(
)x
1
lim
1+
(n)
x→+∞
2x
(
lim
x→+∞
(
lim
x→+∞
x+2
x+1
x+3
x−1
)x
(
)x
2
(o) lim
1+
x→+∞
x
)x+3
2
ex − 1
x→0
x
(p) lim
lim senhx
(q)
lim cosh x
(r) lim
x→+∞
x→+∞
lim tgh x
x→+∞
eax − 1
x→0 ebx − 1
√
(a) +∞
(d) +∞
(g) 25 ln 5]
(j)
(b) 0
(e) −∞
(h) 0
(k) e
(c) −∞
(f) +∞
(i) e
15. Determine os limites:
√
x+3−2
(a) lim
x→1
x2 − 1
sen2 x3
(b) lim
x→0 x2
(
)x
1
(c) lim
1−
x→+∞
x
x2 − 1
(d) lim
x→1 x − 1
e2x − 1
(e) lim
x→0
x
sen(5x)
(f) lim
x→0
x
sen(ax)
, b ̸= 0
(g) lim
x→0
bx
√
√
x+ 3x
(h) lim
x→+∞ x2 + 3
(l) e
√
(i)
lim
3
x→+∞
e
(m) ∞
(p) 0
(n) +∞
(q) 1
4
(r) a − b
2
(o) e
( )(
)
1
1
√
−1
(p) lim
n→0 n
n+1
x
x2 + 3
tg(3x)
x→0 sen(4x)
sen(x − α)
x2 − α 2
x
lim √
x→0+
1 − cos x
senx
lim
x→0+ x3 − x2
1 − cos x
lim
x→0
x2
x + cos x
lim
x→+∞
x+1
sen(x − π)
lim
x→π
x−π
x2
lim − 2
x→−1 x − 1
(q) lim
(j) lim
x→α
x2 + 3
x→2 x + 2
(
)x+7
1
(l) lim
1+
x→+∞
x
(
)x+1
2x + 3
(m) lim
x→+∞ 2x + 1
√
2x + 1 − 3
√
(n) lim √
x→4
x−2− 2
√
x−1
√
(o) lim √
x→1
2x + 3 − 5
(r)
(k) lim
(s)
(t)
(u)
(v)
(w)
Resp.:
(a)
(b)
(c)
1
8
1
9
1
e
(d) 2
(g)
a
b
(j)
(e) 2
(h) 0
(k)
(f) 5




16. Seja f (x) =



(i) 0
(m) e
(l) e
eax − ebx
sen(ax) − sen(bx)
se
L
se
contı́nua em x = 0. Resp.:1

x−1
3 4 −1



se
sen(5(x − 1)
17. Seja f (x) =



L se
3
4
6
5
(n)
x ̸= 0
√
2 2
3
(o)
(p)
(q)
√
5
2
− 12
1
2α
(r)
√
2
(s) −∞
(t)
1
2
(u) 1
(v) 1
(w) +∞
, a, b ̸= 0, a ̸= b. Determine L de forma que f seja
x = 0.
x ̸= 1
Determine L de forma que f seja contı́nua em x = 1. Resp.:
x = 1.
ln 3
20
18. Use um limite fundamental para obter f ′ (x) quando f (x) = ax . Use isto para provar que (ex )′ = ex .
19. * (Teorema da Função Inversa) Seja f : R → R é uma função inversı́vel e g a sua inversa. Suponha que
exista a derivada de f e que f ′ (x) ̸= 0 para todo x ∈ R. Então é possı́vel demonstrar que
g ′ (y) =
1
, em que y = f (x).
f (x)
′
1.
Use esse resultado e mostrar que a derivada de f (x) = lnx é x