Equação de Movimento de Foguete

Equação de Movimento de
Foguete
Descrevemos o movimento de um foguete lançado verticalmente em termos dos seguintes
parâmetros:
- t = tempo de acionamento;
- y(t) = altitude do foguete no instante t;
- v(t) = (dy/dt)(t) = velocidade do foguete no instante t.
- M(t) = massa do foguete no instante t (incluindo a massa de combustível ainda armazenada);
- Mo = massa inicial do foguete (incluindo a massa total do combustível);
- mc = massa total de combustível (mc < Mo);
- g = g(y) = aceleração da gravidade na altitude y (acima do ponto de lançamento do foguete);
- go = aceleração da gravidade na superfície da Terra (ponto de lançamento do foguete);
- f = f(y,v) = força de resistência do ar (dependente da altitude e velocidade do foguete);
- A(t)= -(dM/dt)(t) = taxa de combustão (taxa com que a massa de combustível é transformada
em gases propelentes);
- u(t) = rapidez de exaustão dos gases propelentes (a velocidade de exaustão é - u);
A equação de movimento do foguete é dada por:
Modelo 1
Modelo que considera (i) a aceleração da gravidade constante, (ii) a taxa de combustão constante, (iii) a velocidade de exaustão constante, (iv) a força de resistência do ar desprezível.
Nesse caso, a equação de movimento do foguete se reduz a seguinte:
2
modelo-mecanica_equacao-foguete.nb
Modelo 1
Modelo 1
Modelo que considera (i) a aceleração da gravidade constante, (ii) a taxa de combustão constante,
(iii) a velocidade de exaustão constante, (iv) a força de resistência do ar desprezível. Nesse caso, a
equação de movimento do foguete se reduz a seguinte:
Parâmetros
Mo
mc
A
u
g
Equação de movimento (na velocidade)
Out[1]=
E1 = v '@tD Š u * A  HMo - A * tL - g
v¢ @tD Š - g +
Au
Mo - A t
Resolução com condição inicial
Out[3]=
In[5]:=
Out[5]=
DSolve@8E1, v@0D Š 0<, v@tD, 8t<D
88v@tD ® - g t + u Log@MoD - u Log@Mo - A tD<<
v1@t_D = 88v@tD ® - g t + u Log@MoD - u Log@Mo - A tD<<P1, 1, 2T
- g t + u Log@MoD - u Log@Mo - A tD
Altitude (posição, com condição inicial y1[0]=0)
In[6]:=
Out[6]=
y1@t_D = Integrate@v1@sD, 8s, 0, t<D
ConditionalExpressionB
g t2
-
Mo Log@MoD
+ t u Log@MoD - u
2
Mo
+
A
Ï Reals ÈÈ ReB
,
A
F < 0 &&
At
At
Mo
Mo
Ï Reals ÈÈ ReB
F ³ 1 ÈÈ ReB
F £ 0 &&
At
At
At
Im@MoD
Im@MoD ³ 0 ÈÈ
³ 1 ÈÈ Im@tD Re@AD + Im@AD Re@tD ³ 0 ÈÈ
Im@tD Re@AD + Im@AD Re@tD
Im@AD Im@MoD Im@tD + Im@tD Re@AD Re@MoD + Im@AD Re@MoD Re@tD £
Im@MoD
Im@MoD Re@AD Re@tD &&
³ 1 ÈÈ
Im@tD Re@AD + Im@AD Re@tD
Im@AD Im@MoD Im@tD + Im@tD Re@AD Re@MoD + Im@AD Re@MoD Re@tD ³
At
Mo
Mo
F > 1 ÈÈ ReB
- A t + H- Mo + A tL Log@Mo - A tD
Mo
Im@MoD Re@AD Re@tD ÈÈ Im@MoD £ 0 ÈÈ Im@tD Re@AD + Im@AD Re@tD £ 0 F
Exemplo numérico ilustrativo
modelo-mecanica_equacao-foguete.nb
Out[35]=
Mo = 10
mc = 5
A = 0.5
u = 500
g = 10
K = u * A  Mo - g
T = mc  A
yn1@t_D = Integrate@v1@sD, 8s, 0, t<D
10
Out[36]=
5
Out[37]=
0.5
Out[38]=
500
Out[39]=
10
Out[40]=
15.
Out[41]=
10.
Out[42]=
ConditionalExpressionB
In[43]:=
3
H1497.87 - 5. tL t - 500. H59.9146 - 1. t + H- 20. + tL Log@20. - 1. tDL,
1
1
Re@tD < 20. && Re@tD > 0 && ReB F > 0.05 ÈÈ Ï Reals ÈÈ
t
t
1
1
1
HRe@tD < 0 ÈÈ t Ï RealsL && ReB F ³ 0.05 ÈÈ ReB F £ 0 ÈÈ Ï Reals F
t
t
t
Plot@8v1@tD, yn1@tD<, 8t, 0, 10<, PlotStyle -> 8Red, Blue<,
PlotLegends ® 8"velocidade", "altitude"<,
Background ® [email protected], 0.92, 1.D, ImageSize ® LargeD
1000
800
600
velocidade
Out[43]=
altitude
400
200
2
4
6
8
10