Eletromagnetismo Lista de problemas IV – Magnetostática

Ministério da Educação
Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Centro de Ciências Exatas e da Tecnologia
Departamento de Física
Eletromagnetismo
Lista de problemas IV – Magnetostática
1. (5.1)1 Uma partícula de carga q entra em uma região de campo uniforme B, o qual aponta para
dentro da página. O campo deflete a partícula de uma distância d acima da trajetória original, como
mostrado na figura. Qual o sinal da carga da partícula? Em termos de a, d, B e q, obtenha o momentum
da partícula.
a
v
d
Região do campo
R: p  qB
( a2  d 2 )
2d
2. (5.2) Obtenha as equações de movimento e desenhe a trajetória de uma partícula que está em uma
região na qual temos um campo elétrico perpendicular ao campo magnético. Suponha que no instante
inicial a partícula esteja na origem com velocidade: i) v(0) = (E/B) ey; ii) v(0) = (E/2B) ey; iii) v(0) =
(E/B) (ey + ez).
Et
; z(t )  0
B
E
E
R: b ) y(t ) 
 2t  sin t  ; z(t ) 
1  cos t 
2B
2B
E
E
c ) y(t ) 
1  t  cos t  ; z(t )  sin t
B
B
a ) y(t ) 
3. (5.3) Em 1897 J. J. Thomson descobriu o elétron medindo a razão entre a carga e a massa dos então
chamados raios catódicos, os quais são, realmente, feixes de elétrons com carga q e massa m. Primeiro
ele fez com que o feixe atravessasse uma região na qual existiam campos E e B mutuamente
perpendiculares e perpendiculares ao feixe, ajustando o campo elétrico até que a deflexão na trajetória
do feixe fosse nula. Qual era a o módulo da velocidade das partículas, em termos de E e B? Depois,
desligou o campo elétrico e mediu o raio de curvatura, R, do feixe defletido pelo campo magnético
sozinho. Em termos de E, B e R qual é a razão entre a carga e a massa (q/m) das partículas?
R: a) v 
q
E
E
; b)  2
B
m B R
4. (5.4) Suponha que o campo magnético em uma dada região seja dado por: B = kz ex (k é uma
constante). Obtenha a força em um circuito quadrado de lado a, o qual está no plano yz, com centro na
origem. Considere que exista no circuito uma corrente no sentido contrário aos ponteiros do relógio,
quando olhamos o circuito na direção negativa do eixo x.
R: F  i k a 2 e z
1
O número entre parênteses se refere ao número correspondente no Griffths.
1
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5. (5.8) i) Obtenha o campo magnético no centro de um circuito quadrado, no qual existe uma corrente
estacionária I. Chame de R a distância perpendicular do centro ao lado. ii) Obtenha o campo magnético
no centro de um polígono de n lados, no qual existe uma corrente estacionária I. Novamente, chame de
R a distância perpendicular do centro a qualquer lado do polígono. iii) Verifique se as fórmulas obtidas
se reduzem ao campo no centro de uma espira circular, no limite n  .
R: a)B 
0 i 2
n i

; b )B  0 sin
R
2 R
n
6. (5.9) Obtenha o campo magnético no ponto P para cada uma das configurações abaixo (suponha
correntes estacionarias).
I
b
I
R
a
P
I
(a)
(b)
R: a)B 
0 i  1 1 
0 i 
2
   ; b )B 
1 
8 a b
4R 

7. (5.11) Obtenha o campo magnético em um ponto P no eixo de um pedaço de solenóide fixo, com
espiras helicoidais consistindo de n voltas por unidade de comprimento, enroladas em um tubo cilíndrico
de raio a, nas quais existe uma corrente I. Expresse sua resposta em termos dos ângulos 1 e 2.
Considere que as espiras sejam circulares. Qual seria o campo de um solenóide infinito?
Figura 1 – Problema 7.
R: B 
 0 ni
 cos 2  cos 1 
2
2
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8. (5.13) Uma corrente estacionária I flui ao longo de um fio cilíndrico de raio a. Obtenha o campo
magnético do lado de dentro e do lado de fora do fio se: i) A corrente está uniformemente distribuída
sobre o lado de fora do fio; ii) A corrente está distribuída de tal modo que a densidade de corrente J é
proporcional a s, a distância ao eixo do fio.
 0 ir 2
ra
0
3


R: a)B   0 i
b )B   2 a
 2 r r  a
 0 i
 2 r
ra
ra
9. (5.15) Dois solenóides concêntricos carregam correntes de mesma intensidade, porém de sentidos
contrários. O solenóide interno, de raio a, tem n1 voltas por unidade de comprimento e o solenóide
externo, de raio b, tem n2 voltas por unidade de comprimento. Obtenha o campo magnético B em cada
uma das três regiões: i) Dentro do solenóide interno; ii) Entre os dois solenóides; iii) Na região externa a
ambos.
R: a)B  0 i(n1  n2 ); b )B  0 in2
c )B  0
10. (5.16) Um capacitor de placas paralelas move-se com velocidade constante v. Considere que o
capacitor possui densidade superficial de carga uniforme  na lâmina superior e - na lâmina inferior.
i) Obtenha o campo magnético entre as lâminas do capacitor; ii) Obtenha o campo magnético acima e
abaixo do capacitor; iii) Obtenha a força magnética por unidade de área na lâmina superior. Iv) Qual
será a velocidade v necessária para que a força magnética seja compensada pela força elétrica?
i ) B  0 ve x
0 2 v 2
ez
2
1
iii ) v  c 
0 0
R: ii ) F 
11. (5.20) A Lei de Ampére é consistente com a regra geral de que o divergente de um rotacional é
sempre nulo? Mostre que a Lei de Ampére não pode ser válida, em geral, fora da magnetostática. Esse
“defeito” é comum em alguma outra das três equações de Maxwell?
Magnetostatica
0

a) .  B  

R:
-0 t fora da magnetostatica
b ).  E  0
3
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12. (5.21) Suponha que os monopólos magnéticos existissem. Como você deveria modificar as equações
de Maxwell e a lei de força para acomodar os monopólos? Se você pensa que existam muitas opções
plausíveis, liste-as e sugira como você poderia decidir experimentalmente qual delas é correta?

0
  E  0 Jm
.E 
.B  0
R:   B   0 J
m
 .Jm  0
t
v E 

F  q  E  v  B   qm  B  2 
c 

13. (5.22) Obtenha o
corrente I. [Coloque

I
A 0
dl ' .] Mostre
4 r
 I
B  0 (sin 2  sin 1 )
4s

1
potencial vetor magnético para um segmento de fio reto, no qual existe uma
o fio no eixo z de z1 até z2 e use a equação que define o potencial vetor:
que sua resposta é consistente com: o campo magnético de um fio longo dado por:
[veja a figura abaixo].
2
R:



2
2
0 i  z2  z2  
A
ln
4   z  z 2  2
 1
1

0 i 
z2
B

2
4  z  2
 2

I

1/2


1/2
1/2

e
 z


e


2
2 1/2 
z1  


z1

Pedaço de fio
14. (5.23) Qual densidade de corrente produziria um potencial A = k e (k é uma constante), em
coordenadas cilíndricas?
R: J 
k
e
 0 2
15. (5.38) Pode ter acontecido de você supor que, uma vez que correntes paralelas se atraem a corrente
dentro de um fio deveria contrair-se em um feixe fino e concentrado ao longo do eixo do fio. De fato, na
prática, a corrente distribui-se tipicamente de forma uniforme sobre todo o fio. Como você explicaria
isso? Se as cargas positivas de densidade + estão em repouso e as cargas negativas (cuja densidade é -)
movem-se a velocidade v (e a velocidade de nenhuma delas depende da distância ao eixo) mostre que: -

= + 2. Nessa expressão:   1   v c 

2 1/2
e c 2  1/  0 0 . Se o fio como um todo é neutro, onde está a
carga local que compensa essas densidades de carga? [Observe que para velocidades típicas as duas
densidades de carga são essencialmente não afetadas pela corrente, pois   1. Em plasmas, entretanto,
onde as cargas positivas são também livres para se movimentar, este efeito de pinch pode ser
significativo].
4