Apostila 06 - oficina da pesquisa

OFICINA DA PESQUISA
DISCIPLINA: LÓGICA MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL
APOSTILA 6 – TEORIA DOS CONJUNTOS
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Prof. Msc. Carlos José Giudice dos Santos
[email protected]
www.oficinadapesquisa.com.br
TEORIA DE CONJUNTOS [1]
A ideia básica de conjunto é tão ou mais antiga que a
noção de número. Ainda hoje existem algumas tribos não
contaminadas pela civilização em que essa noção que
confunde conjunto com a noção de número é clara.
A matemática desses povos é extremamente simples. Por
exemplo, a noção de quantidade se resume a apenas três
ordens de grandeza: um, dois e muitos.
O conceito de conjunto e o de elemento de um conjunto
são considerados conceitos primitivos, ou seja, não são
definidos. Apesar disso, os matemáticos aceitam o fato de
que um conjunto fica categorizado a partir do momento
em que conhecemos seus elementos.
TEORIA DE CONJUNTOS [2]
Partindo do pressuposto que podemos afirmar que um
dado objeto ou ser faz ou não parte de um determinado
conjunto, temos assim um conjunto formalmente
caracterizado.
Assim, só podemos trabalhar com conjuntos a partir do
momento em que seus elementos também possuem
características que nos permita reconhece-los.
Um conjunto pode ser determinado de duas maneiras:
1. Pela designação de seus elementos;
2. Pela propriedade de seus elementos.
TEORIA DE CONJUNTOS [3]
Por exemplo, um conjunto determinado pela designação
de seus elementos é aquele em que indicamos os
elementos do conjunto, escrevendo eles entre chaves.
Assim, o conjunto das vogais de nosso alfabeto pode ser
designado pelo conjunto A = {a, e, i, o, u}
Já um conjunto designado pela propriedade de seus
elementos pressupõe a existência de uma propriedade que
todos os elementos do conjunto, e somente eles, possuem.
Assim, o conjunto {6, 7, 8, 9, 10,...} pode ser designado
como um conjunto B = {x| x é natural e x > 10}.
TEORIA DE CONJUNTOS [4]
CONJUNTOS NUMÉRICOS
A utilização de conjuntos numéricos surgiu da
necessidade de representar quantidades. Ao longo da
história, surgiram necessidades como a de ordenar ou
contar um certo número de objetos em diversas
culturas (babilônica, romana, chinesa e indo-arábica).
O sistema de numeração utilizado por nós hoje é
derivado do sistema indo-arábico, que embora tenha
sido inventado há cerca de 5 mil anos, só foi
formalmente introduzido na Europa no século XIII.
O primeiro conjunto numérico derivado dessa
representação é o conjunto dos números naturais.
Conjunto dos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela
letra N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
É um conjunto infinito e ordenado, ou seja, dados dois
números naturais quaisquer, é sempre possível dizer
se são iguais ou se um deles é maior ou menor que o
outro.
A partir do conjunto N, podemos definir o conjunto
N*, como o conjunto dos números naturais não nulos.
Assim: N* = {1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos Números Inteiros Relativos [1]
A primeira vez que se pediu para que alguém desse o
resultado da operação 1 – 2, não foi possível
encontrar uma resposta. A solução desse problema
ficou sem resposta por um bom tempo porque a
subtração de dois números naturais (a-b) só era
admitida quando a ≥ b.
Para resolver situações desse tipo foi criado o
conjunto dos números inteiros relativos, em que
qualquer número negativo é menor que zero ou
qualquer outro número positivo. Esse é o conjunto
conhecido como Z = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos Números Inteiros Relativos [2]
Conjunto dos Números Racionais
Conjunto dos Números Irracionais
Conjunto dos Números Reais
Quando falamos em números reais, estamos falando
em todos os números vistos até aqui, ou seja , o
conjunto, o conjunto R dos números reais abrange o
conjunto Q dos números racionais e o conjunto Irac
dos números irracionais. R = Q + Irac ou R = Q U Irac.
Além do conjunto dos números reais, existe ainda o
conjunto dos números complexos (Conjunto C), em que
R é um subconjunto de C. Todo número complexo é
formado por uma par ordenado (a, b), que equivale ao
valor a + b.i, em que a ߳ R e b ߳ R. No segundo termo, i
é a unidade imaginária, que equivale a −1.
Relação entre conjuntos e seus elementos
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles
possuem os mesmos elementos.
Assim, os conjuntos A e B são iguais, ou A = B, se, e
somente se, ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B)
Exemplos:
• Seja A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3} A = B
• Seja C = {a, b, c, d, e} e D = {a, b, c} A ≠ B
Conjunto Universo
O conjunto universo U é o conjunto com todos os
elementos que precisamos para trabalhar.
Exemplos:
• Podemos definir o conjunto dos animais de um
zoológico como o nosso conjunto U (Universo). Nesse
caso, as espécies de aves desse zoológico seria um
subconjunto de U.
• Podemos definir o conjunto de todos os alunos dessa
faculdade como o nosso conjunto U. Nesse caso, os
alunos de cada sala de aula seriam os subconjuntos
de U.
Diagramas de Venn
Seja U o conjunto de todas as letras do alfabeto. Nesse
caso, as vogais seriam um subconjunto de U. Podemos
usar a representação gráfica (Diagrama de Venn) para
ilustrar essa situação.
Exemplos [1]
A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆ B, se, e
somente se, ∀x(x ∈ A → x ∈ B). Por exemplo:
• {1, 2} é um subconjunto de {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} é um subconjunto de {1, 2, 3, 4}.
Exemplos [2]
Se A ⊆ B e A ≠ B, então podemos dizer que A é um subconjunto
próprio de B, denotado por A ⊂ B. Formalmente: ∀x(x ∈ A → x
∈ B) ∧ ∃x(x ∈ B ∧ x ∈/ A). Por exemplo:
• {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} não é um subconjunto próprio de {1, 2, 3, 4}.
União de Conjuntos
A união de 2 conjuntos A e B é o conjunto que contém
elementos que pertençam à A ou B (ou ambos).
• A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Exemplo 1: {1, 2, 3} ∪ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
• Exemplo 2: {1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}
Interseção de Conjuntos
A interseção de 2 conjuntos A e B é o conjunto que
contém elementos que pertençam tanto à A quanto à B.
• A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
• Exemplo 1: {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4, 5} = {2, 3}
• Exemplo 2: {1, 2, 3} ∩ {1, 4, 5, 6} = {1}
Conjuntos Disjuntos
Dois conjuntos A e B são disjuntos se a interseção
entre eles é vazia.
• Exemplo: {1, 2, 3, 4} e {5, 6, 7, 8, 9, 10} são disjuntos.
Diferença de Conjuntos
A diferença de A e B (ou o complemento de A em
relação à B) é o conjunto que contém elementos de A
que não estão em B.
Formalmente: A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∈/ B}
• Exemplo: {1, 2, 3, 4} − {2, 3} = {1, 4}
Identidades de Conjuntos [1]
Identidades de Conjuntos [2]
Exercício de Fixação [1]
Dado um grupo de N alunos que estão estudando para
fazer um concurso, sabe-se que:
• 20 alunos fazem um curso preparatório
• 35 alunos assistem vídeo-aulas no Youtube
• 10 alunos fazem curso preparatório e assistem vídeoaulas no Youtube.
• 5 alunos estudam sozinhos
Qual é o número de alunos desse grupo?
Resolução do Exercício de Fixação [1]
Seja A o conjunto de alunos que fazem o curso
preparatório, e B o conjunto de alunos que fazem vídeoaulas no Youtube. Usando o diagrama de Venn, temos:
Exercício de Fixação [2]
Uma pesquisa de mercado com 200 clientes que fizeram
degustação e compraram três tipos de queijos raros (A, B e C)
revelou as seguintes informações:
•
10 clientes compraram apenas o queijo A;
•
20 clientes compraram apenas o queijo C;
•
90 clientes compraram o queijo A;
•
20 clientes compraram o queijo A e B;
•
25 clientes compraram o queijo B e C;
•
15 compraram os queijos A, B e C
Quantas unidades de cada tipo de queijo foram compradas
pelos clientes?
Resolução do Exercício de Fixação [2]
Usando o diagrama de Venn, temos:
Exercício Proposto [1]
Exercício Proposto [2]
Exercício Proposto [3]
José Carlos e Marlene são os pais de Valéria. A família quer
viajar nas férias de julho. José Carlos conseguiu tirar suas
férias na fábrica do dia 2 ao dia 28. Marlene obteve licença no
escritório de 5 a 30. As férias de Valéria na escola vão de 1 a
25. Durante quantos dias a família poderá viajar sem faltar as
suas obrigações?
a) 19
b) 20
c) 21
d) 22
e) 23
Exercício Proposto [4]
(UNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática
e 20 gostam de História. O número de alunos desta classe que
gostam de Matemática e História é:
a) exatamente 16
b) exatamente 10
c) no máximo 6
d) no mínimo 6
e) exatamente 18
Exercício Proposto [5]
(PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas
utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10
destas pessoas não usam o produto B e que 2 destas pessoas
não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam
os produtos A e B?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 8
Exercício Proposto [6]
(Concurso Bombeiros MG 2008) Considere que temos
o conjunto A = {x Є U | x satisfaz p}. Sobre A
podemos afirmar:
a) Se x Є U então x Є A
b) Se x ∉ A então x ∉ U
c) Se x não satisfaz p então x ∉ A
d) U ⊂ A
e) Todas as afirmativas anteriores são falsas
Exercício Proposto [7]
(Concurso PM Acre 2012) Sejam os conjuntos A = {1,
2, 3} e B = {2, 3, 5}, determine o conjunto A – B.
A) { }
B) {1, 5}
C) {5}
D) {1}
E) {2, 3}
Exercício Proposto [8]
(Concurso PM Acre 2012) Considere o conjunto A = {1,
2, {3}} e assinale a alternativa que contém um
subconjunto de A.
A) {3}
B) {1, 3}
C) {2, 3}
D) {4, {3}}
E) {{3}}
Exercício Proposto [9]
Ao final de um dia, foram feitas 100 denúncias de crimes contra os
direitos humanos no site da Polícia Federal. Os crimes que podem ser
denunciados são: [1] Tráfico de pessoas; [2] Exploração sexual; [3]
Pornografia infantil. Após a análise de informações, constatou-se
que: (A) 5 denúncias não correspondem a nenhum dos três crimes;
(B) 5 denúncias correspondem aos três crimes juntos; (C) 30
denúncias correspondem apenas aos crimes [1] e [3] juntos, e 5
denúncias, aos crimes [2] e [3] juntos; (D) O número de denúncias
exclusivas do crime [1] foi de 5, e de denúncias exclusivas do crime
[2] foi de 20, e apenas desses dois crimes [1] e [2] juntos foi de 5;
(E) O total de denúncias mais alto foi do crime [3], totalizando 65
denúncias, mas que podem estar associadas com ou outros dois tipos
de crimes. Quantas foram as denúncias exclusivas do crime [3]
(Pornografia infantil)?
Exercício Proposto [10]
(Concurso PMSC 2011) Leia as afirmações a seguir:
I.
Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero.
II. Os números
periódicas.
Irracionais
são
aqueles
que
representam
dízimas
III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os
Irracionais.
Assinale a única alternativa correta:
a) Somente a assertiva II está correta.
b) Somente a assertiva III está correta.
c) Somente a assertiva I está correta.
d) Somente as assertivas II e III estão corretas.
e) Todas as assertivas são incorretas
Exercício Proposto [11]
(Concurso PM Piauí 2009) Considerando o conjunto
universo U = {2, 4, 6, 8, 10} e os conjuntos não-vazios A e
B, subconjuntos de U, tais que B ⊂A, A U B = {6, 8, 10} e A
∩ B = {8}, pode-se afirmar, CORRETAMENTE, que A é:
a) {6,8,10}
b) {4,6}
c) {4,6,8}
d) {2,6,10}
e) {6,8}
Exercício Proposto [12]
(Concurso PM Piauí 2009) Dados os conjuntos:
A = {x ∈ R / 1 ≤ x < 10}
B = {x ∈ R / (x+1)(x-6) < 0}
C = {z ∈ R / z² = 6z}
O conjunto A ∩ (C ∪ B) é:
a) (-1, 7)
b) {3} ∪ (5, 7)
c) {0, 3}
d) (5, 7)
e) [1, 6]