Notas de Aula I

Anéis comutativos,
Euclideanos, fatoriais, principais e Noetherianos
Podemos dizer que em geral os anéis são partes de um corpo onde não temos divisão. A palavra
anel deve ter-se originado quando Galois estudou pela primeira vez corpos nitos. No estudo das
congruências módulo
n
o que fazemos é enrolar o conjunto dos inteiros num círculo. Enrolar em
círculo leva a anel. Enm, esse é o nome. Por exemplo:
Z
e
F [x]
são anéis com os quais estamos
convivendo. Mas podemos fabricar muitos outros. Para um conjunto ser anel deve ter uma unidade
multiplicativa, isto é, um
1.
0,
Deve ter um zero,
ter soma e produto de seus elementos. O produto
deve ser distributivo em relação a soma. Por exemplo:
propriedades, tem
1 que é a matriz identidade;
tem
Mn
o conjunto das matrizes
0 que é a matriz nula.
n por n tem essas
Somamos e multiplicamos
matrizes e a multiplicação é distributiva em relação a soma. Logo é um anel. A diferença entre esse
anel e os dois outros exemplos,
Z e F [x],
é que em
Mn
a multiplicação não é comutativa. Anéis onde
a multiplicação é comutativa são chamados de abelianos em homenagem a Abel. Outro exemplo de
anel não comutativo é o conjunto de todas as funções
produto usual de funções:
(f + g)(t) = f (t) + g(t)
e
F = {f : R → R | f
função
}
com a soma e o
(f g)(t) = f (t)g(t).
Observação. Todo corpo é também um anel e todo subcorpo é também um subanel.
Mas é claro
que não vale a recíproca.
F
Na verdade podemos dizer que um corpo
x
tem um inverso
x−1
em
F.
é um anel tal que para todo
A
x 6= 0,
então
um elemento que tem inverso é chamado de uma unidades.
Denição. Seja A um anel e A× = { u ∈ A |
A
se
Num anel devemos esperar que muitos elementos, embora não nulos,
não tenham inverso. Em um anel
elementos de
x ∈ F,
que tem inverso em
existe
v∈A
tal que
uv = 1 }.
Isto é
A×
são os
A.
Observação. Na verdade A× é um grupo em relação a multiplicação do anel.
Por exemplo, se
A
Z[i] = { a + bi | a, b ∈ Z}
(verique como exercício que
(mais tarde demonstraremos isso). Em
isso vale para todo anel
A × = A r { 0 }.
for um corpo, então
A: A[x]× = A× .
F [x],
onde
F
Z[i]
Para
Z
temos
é um anel) temos
é um corpo temos
Z× = {1, −1}.
Z[i]× = { 1, −1, i, −i }
F [x]×] = F × .
Na verdade
Um outro exemplo interessante é o seguinte: seja
Z(3) =
na
b
∈Q|3-b
1
o
.
Em
Verique como exercício que
Z(3)
é um anel (subanel de
Q).
Nesse anel
Z×
(3)
é muito grande. De
fato
Z×
(3) =
Questão 1.
unidades. Seja
na
b
∈Q|3-b
3-a
e
o
.
Mostre que o seguinte conjunto é um anel (subanel de
√
−1 + −3
ω=
2
e
C)
e encontre seu grupo de
Z[ω] = {a + bω | a, b ∈ Z}.
Neste curso praticamente só estudaremos anéis abelianos, ou comutativos. Nossos exemplos mais
conhecidos e interessantes são os anéis
Z
e
F [x],
onde
F
é um corpo. Vamos ver que esses dois anéis
tem muito em comum. Por exemplo, dados dois inteiros, ou dois polinômios, sempre podemos fazer
a divisão de um pelo outro e encontrar um quociente e um resto. Essa propriedade é chamada de
divisão euclidiana e temos toda uma família de anéis caracterizados pela divisão euclidiana.
Denição. Dizemos que um anel A é euclidiano se existir uma função
ϕ : A r {0} → N
tal que para todo par de elementos
a, b ∈ A, b 6= 0,
a = bq + r
com
existem
r = 0,
Isto é, podemos realizar uma divisão euclidiana em
ou
q, r ∈ A
tais que
ϕ(r) < ϕ(b).
A.
Anéis com a propriedade acima são chamados de Anéis Euclidianos. Temos os exemplos muito
conhecidos de
(grau de
com
f (x).
Z, onde ϕ(n) = |n|, é o valor absoluto de n.
Para o anel
F [x] temos ϕ(f (x)) = gr f (x)
Mas será que existem outros? Um exemplo trivial e sem graça é o caso de um corpo
ϕ(x) = 1, para todo x ∈ F × .
O interesse nos anéis euclidianos vem do fato de que muitas outras
propriedades fortes decorrem dela. Por exemplo sempre existe MDC de dois elementos
que um MDC pode ser escrito na forma
irredutíveis de
A.
a, b ∈ A
e
ua + vb com u, v ∈ A; todo elemento tem fatoração única em
Mas uma questão a ser considerada é se a família dos anéis Euclidianos é bastante
grande para justicar seu estudo.
Questão 2.
Verique que de fato
Z
com
ϕ(n) = |n|
euclidianos.
Vamos então ao novo exemplo.
2
e
F [x]
com
ϕ(f (x)) =
gr f (x)
são anéis
Exemplo:
Tomemos
Z[i] = { a + bi | a, b ∈ Z }.
Esse anel é conhecido como anel dos inteiros de
Gauss. Acho que foi Gauss que constatou suas excelentes propriedades aritméticas. Vamos denir
Q(i)1
em
uma conjugação pondo
a + bi = a − bi.
∀u, v ∈ Q(i)
vale
Essa conjugação tem boas propriedades:
u + v = u + v, uv = uv.
Com o auxílio da conjugação denimos uma norma:
N (u) = uu.
Isto é,
N (a + bi) = a2 + b2 .
Verica-se facilmente as seguintes propriedades:
Questão 3.
se e somente se
Quaisquer que sejam
u = 0.
u, v ∈ Q(i)
Finalmente, para
u ∈ Z[i]
temos
temos
a função norma torna-se fácil encontrar as unidades de
Vamos mostrar que essa função norma
N
N (uv) = N (u)N (v).
N (u) = 1
Mais ainda
se e somente se
N (u) = 0
u ∈ Z[i]×
(Usando
Z[i]).
tem a propriedade de uma função
ϕ
para tornar
Z[i]
um anel euclidiano.
u, v ∈ Z[i], v 6= 0,
Dados
ou
N (r) < N (v).
vamos mostrar que exitem
Digamos que
u = a + bi
z=
z 6∈ Z[i]
Em geral
e
v = c + di
q, r ∈ Z[i]
tais que
r=0
u
ac + bd ad − bc
= 2
+ 2
i ∈ Q[i].
v
c + d2
c + d2
distância entre dois inteiros é sempre
ad − bc
.
c2 + d2
onde
seja
pois tem parte real e parte imaginária não inteiras.
maior inteiro contido em
u = vq + r,
1.
Sejam então
m0
Sabemos contudo que a
o maior inteiro contido em
ac + bd
c2 + d2
e
n0
o
Isto é;
ad − bc
ac + bd
< m0 + 1, n0 ≤ 2
< n0 + 1.
m ≤ 2
2
2
c +d
c +d
0
Logo
ac + bd
0
< 1,
−
m
c2 + d2
e
ad − bc
0
< 1.
−
n
c2 + d2
Vamos agora fazer um ajuste: Se
ac + bd
1
0
c2 + d2 − m ≤ 2 ,
tomamos
m = m0 ,
Se
ac + bd
1
0
c2 + d2 − m > 2 ,
tomamos
m = m0 + 1,
do que vai resultar
1
ac + bd
c2 + d2 − m ≤ 2 .
1 Quando
em
Q(i)
ou
o conjunto é um anel usamos
√
3
[],
como em
Z[i]
Q( 2).
3
ou
F [x].
Quando o conjunto é um corpo usamos
(),
como
n0
Igualmente ajustamos o
para termos
ad − bc
1
≤ .
−
n
c2 + d2
2
Tomamos agora
N
u
v
q = m + ni ∈ Z[i]
−q =N
u
v
−q =
que será nosso candidato ao quociente euclidiano. De fato
ac + bd
−m
c2 + d2
2
+
ad − bc
−n
c2 + d2
2
2 2
1
1
1
+
) ≤ < 1.
≤
2
2
2
Tomamos a seguir
N (u − vq) = N (v)N
Denindo-se então
r = u − vq
temos que
r=0
ou
u
v
− q < N (v).
N (r) < N (v)
assim demonstrado que temos um algorítimo de Euclides em
Questão 4.
por
Faça a mesma coisa no anel
√
√
a + b −2 = a − b −2
√
Z[ −2].
e a norma dada por
e vale a igualdade
Fica
Z[i].
Agora a conjugação em
√
√
Q( −2)
será dada
N (a + b −2) = a2 + 2b2 .
Existem muitos outros exemplos onde a norma faz do anel de inteiros de
√
quadrado, um anel euclidiano.
u = vq + r.
Por exemplo também
√
Z[ 2], Z[ 3],
ou
√
Q( d), d ∈ Z
√
Z[ −7].
não
Isso pode levar
ao erro de supor que o anel sempre será euclidiano para a função norma, mas isso não é verdade.
Para
d ∈ Z
−1, −2, −3, −7, −11.
casos
e
d < 0
Para
d
o anel
√
Z[ d]
só é euclidiano para a função norma nos casos
d =
positivo somente temos a divisão euclidiana para a função norma nos
d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73.
Questão 5.
Utilizando a função norma de
√
N : Z[ d] → Z
estude
√
Z[ d]× .
Considere também
Z[ω] da Questão 1 e verique a com a ajuda da norma facilmente encontramos o grupo das unidades.
Depois de termos mais exemplos de Euclidianos vamos continuar seu estudo, mas antes de continuarmos vamos introduzir um novo conceito:
Denição. Seja A um anel e a, b ∈ A com b 6= 0.
tal que
a = bc.
Vamos denotar essa relação b divide
Observe que num anel Euclidiano se
b|a,
Dizemos que
a
por
então o resto
r
b divide a (em A) se existir c ∈ A
b|a.
da divisão Euclidiana de
a por b é r = 0.
Questão 6. Estude o que acontece em um anel euclidiano quando dividimos 1 por b 6= 0.
Questão 7. Verique que a relação acima tem as seguintes propriedades:
4
1. Se
b|a
e
a|d,
então
b|d
2. Se
b|a
e
b|d,
então
b|(a + d)
(é transitiva).
(um tipo de distributividade).
3. Usando a item anterior verique que se
b|(a + d)
e
b|a,
então
b|d.
Nas propriedades acima vimos que | é transitiva. Claro que é também reexiva pois
todo
b 6= 0.
b|b
para
Mas não é simétrica. Quando é simétrica temos uma situação especial.
Questão 8. Seja f (x) ∈ Q[x] um polinômio não constante e b ∈ C uma raiz de f (x).
a propriedade da divisão Euclidiana de
Q[x]
implica que
x−b
divide
Mostre que
f (x).
Denição. Dizemos que dois elementos não nulos a, b de um anel A são associados se a|b e b|a
(a divide
b
e
b
divide
a).
Claro que nesse caso, como
também
u ∈ A×
b|a.
Isso implica
(também
a|b,
b = bvu
temos
b = au,
com
que dividido por
b
u ∈ A,
e igualmente,
(por hipótese
a = bv ,
a, b 6= 0)
com
leva a
v∈A
1 = vu.
pois
Logo
v = u−1 ∈ A× ).
Questão 9. Reciprocamente, se u ∈ A× e a, b ∈ A são não nulos tais que a = ub, mostre que a|b
e
b|a,
isto é
a
e
b
são associados.
Podemos denotar essa relação assim
a∼b
⇔
a|b
e
b|a.
Questão 10. Mostre que para a, b ∈ A se tivermos a = b, então a ∼ b.
Questão 11.
equivalência de
Mostre que a relação
a∼b
é uma relação de equivalência e que
A×
é a classe de
1 (A× = {x ∈ A | x ∼ 1 }).
Denição. Dados dois elementos a, b ∈ A de um anel A chama-se máximo divisor comum, MDC,
deles a um
1.
d|a
e
d
que tem as seguintes propriedades:
a|b, d
divide os dois;
2. se algum outro elemento
e dividir os dois, então d divide e, em símbolos:
se
e|a e e|b, então d|e.
Estamos dizendo que o MDC é um divisor comum que contém todos os outros divisores comuns.
Observe que se
d
é um MDC de
a
e
b,
então
ud,
com
u ∈ A× ,
também é um MDC de
a
e
b.
Logo
não temos MDC único.
Questão 12.
Se
d
é um MDC de
a
e
b,
então
d0
Isto é os MDCs são equivalentes num certo sentido.
5
é outro MDC de
a
e
b
se e somente se
d ∼ d0 .
Questão 13. Dena mínimo múltiplo comum
de dois elementos
a, b
de um anel
A.
Vamos voltar novamente ao estudo dos anéis Euclidianos. Recordando,
Seja
A
um domínio euclidiano e seja
ϕ : A r {0} → N
tal que para todo par de elementos
(I)
a, b ∈ A, b 6= 0,
a = bq + r
com
existem
r = 0,
ou
q, r ∈ A
ϕ(r) < ϕ(b),
a função que permite fazer a divisão euclidiana de dois elementos de
Vamos assumir que
ϕ
tais que
A.
tem a seguinte propriedade adicional para facilitar as contas:
∀ a, b ∈ A r { 0 },
ϕ(ab) ≥ ϕ(a).
(II)
Essa condição não é na verdade necessária. Pode-se ver em Introdução a Álgebra e Aritmética, T.
o
M. Viswanathan, Monograas de Matemática, n 33, IMPA, 1979, nas páginas 252-255, proposições
2.3 e 2.4, que sempre que exite uma função
θ
ϕ estabelecendo uma divisão euclidiana, existe uma outra
que também estabelece uma divisão euclidiana e
θ
tem a propriedade adicional. Se existe uma
ϕ
que permite divisão euclidiana, existem outras que também permitirão e entre elas pode-se pegar
uma com a propriedade adicional.
Logo não faz mal nenhum usarmos essa propriedade.
Observe
também que em todos os exemplos que vimos a função da divisão euclidiana tinha essa propriedade.
Questão 14. Para uma ϕ que tem as duas propriedade (I) e (II) acima mostre que:
(a)
ϕ(1) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ A
(b) Para todo
(c) Para
(d) Se
u ∈ A× , ϕ(u) = ϕ(1).
a, b ∈ A,
a∈A
e
se
a ∼ b,
ϕ(a) = ϕ(1),
então
ϕ(a) = ϕ(b).
mostre que
a ∈ A×
Dica. Faça a divisão euclidiana de 1 por a.
(e) Sejam
a, b ∈ A.
Mostre que se
a ∼ b,
então
ϕ(a) = ϕ(b).
Dica. Calcular ϕ(ua) com u ∈ A× .
6
a, b ,
não nulos, tem MDC.
a, b ∈ A, a, b 6= 0.
Então existe o MDC
Veremos a seguir que em um anel Euclidiano todo par de elementos
Esse resultado as vezes é chamando de
Teorema de Bezout:
d∈A
de
a
e
b.
A
Seja
um anel Euclidiano e
Mais ainda, existem elementos
t, s ∈ A
tais que
d = ta + sb.
Podemos demonstrar esse fato de duas maneiras. Primeira demonstração:
Demonstração.
o conjunto de todas as combinações de
seguida tomemos o conjunto
I
a
e
b.
Como
a
e
b
d∈P
d∈D
tal que
existem
ϕ(d)
t, s ∈ A
que
a = dq + r
é o menor elemento de
d
I.
e
divide
a.
r=0
ou
y
N).
em
A.
D
é
Em
O conjunto
Vamos ver que
d
é
tais que
(†)
é um divisor comum. Pelo algorítimo de Euclides existem
e, muito importante,
para provarmos que
representação
d
x
(assumimos que zero está em
d = ta + sb.
Vejamos primeiro que
estamos dizendo que
que podemos fazer com coecientes
I = {ϕ(z) | z ∈ D} ⊂ N
tem um menor elemento. Seja
um MDC de
D = {xa + yb 6= 0 | x, y ∈ A };
Tomemos o conjunto
ϕ(r) < ϕ(d).
q, r ∈ A
r
Queremos então que o resto
Para provarmos isso, tomemos
r = a − qd
e trocamos
tais
seja zero
d
por sua
(†),
r = a − qd = a − q(ta + sb) = (1 − qt)a + (−qs)b.
r∈D
Concluímos então que
possível que
r ∈ D.
Finalmente, se
Portanto
e ∈ A
Mostramos assim que
e
se r 6= 0.
r=0
e
for tal que
Mas
d|a.
e|a
ϕ(d)
é o menor valor de
I
e
Mostra-se da mesma forma que
e
e|b,
como
d = ta + sb,
ϕ(r) < ϕ(d).
Logo não é
d|b.
por um exercício anterior,
tem as duas propriedades para ser o MDC de
a
e
e|d.
b.
q.e.d.
Demonstração.
(Segunda Forma) Vamos agora aplicar o método das divisões sucessivas. Essa
segunda demonstração tem a vantagem de ser construtiva; ela mostra como encontrar os elementos
t
e
Se
s.
Divide
r1 6= 0,
a
por
divide
b
b:
por
a = q1 b + r 1 ,
r1 = 0
ou
ϕ(r1 ) < ϕ(b).
b = q2 r 1 + r 2 ,
r2 = 0
ou
ϕ(r2 ) < ϕ(r1 ).
r1 :
7
Se
r2 6= 0,
divide
r1
por
r2 :
r 1 = q3 r2 + r 3 ,
Se
r3 6= 0,
divide
r2
por
r3 ,
r3 = 0
ou
ϕ(r3 ) < ϕ(r2 ).
e vamos fazendo isso sucessivamente
.
.
.
.
.
.
.
.
.
até encontrar um resto zero:
rn−2 = qn rn−1 + rn ,
rn (x) = 0
ou
ϕ(rn ) < ϕ(rn−1 ).
e
rn−1 = qn+1 rn + 0.
O MDC vai ser
rn .
Podemos ter certeza de que vai acontecer rn+1 = 0 porque temos
ϕ(b) > ϕ(r1 ) > ϕ(r2 ) > · · · ≥ 0.
Logo a sequência de divisões vai ter parar em algum ponto.
Para demonstrar que
rn
é um MDC vejamos primeiro que
rn
divide
a
e
b.
Vamos a vericação:
rn |rn−1 ,
pois
rn+1 = 0,
rn |rn
logo
rn |rn−2
e
rn |rn−1
vamos repetindo
Conclusão
rn
rn |r3
e
rn |r2
logo
rn |r1
rn |r2
e
rn |r1
logo
rn |b
rn |r1
e
rn |b
logo
rn |a
é um divisor comum. Vamos agora encontrar os elementos
t
e
s
para ter
Para isso vamos tirando os restos nas equações acima:
da primeira equação
r 1 = a − q1 b
troca na segunda
r2 = b − q2 r1 = (−q2 )a + (1 + q2 q1 )b
troca na terceira
r3 = r1 − q3 r2 = a − q1 b + q3 q2 a − q3 (1 + q2 q1 )b =
= (1 + q3 q2 )a + (−q1 − q3 − q3 g2 q1 )b
vai repetindo
.
.
.
até chegar a
rn = ta + sb
8
rn = ta + sb.
Para terminar usamos novamente o exercício anterior que nos garante que se um
e|b,
então
e|un ,
e
satiszer
e|a
e
terminando a demonstração.
q.e.d.
Vamos agora ver um exemplo em
e
g = x4 + 4x3 − 6x2 − 7x − 10.
−57x3 + 42x2 + 42x + 99,
A = Q[x] e ϕ = gr :
seja
f = x6 + x5 − 9x4 − 10x3 − x2 + 9x + 9
Na primeira divisão vamos obter
q1 = x2 − 3x + 9
e
r1 =
isto é:
x6 + x5 − 9x4 − 10x3 − x2 + 9x + 9 = (x2 − 3x + 9)(x4 + 4x3 − 6x2 − 7x − 10) + (−57x3 + 42x2 + 42x + 99)
Na segunda divisão, de
g = x4 + 4x3 − 6x2 − 7x − 10
−1
30
x−
57
361
por
r1 = −57x3 + 42x2 + 42x + 99,
vamos obter
−640 2
x +x+1 .
361
−640
Antes de fazermos a terceira divisão observemos que o termo
pode ser descartado. De fato
361
toda constante c 6= 0 pode ser descartada antes de dividir, pois se temos a(x) = b(x)q(x) + r(x), com
q2 =
r(x) = 0,
ou
r2 =
e
gr r(x) < gr b(x) e c 6= 0 é uma constante, c ∈ K , então a(x) = cb(x)(c−1 q(x)) + r(x)
e tudo vale da mesma forma. Vamos então fazer a terceira divisão com
que calculamos. Dividindo-se
MDC é
r2 = x2 + x + 1.
r1
por
x2 + x + 1
obtemos
u(x)
Vamos agora encontrar
e
x2 + x + 1
q3 = −57x + 99
v(x).
Temos
e
no lugar do
r3 = 0.
r 1 = f − q1 g
e
r2
Conclusão: o
r 2 = g − q2 r1 =
g − q2 (f − q1 g) = (−q2 )f + (1 + q2 q1 )g . Logo
−1
30
−1
30
u(x) = −q2 = −
x−
x−
x2 − 3x + 9 .
e v(x) = 1 + q2 q1 = 1 +
57
361
57
361
Questão 15. Calcule em Q[x] um MDC h(x) de f = x4 + x3 + 2x2 + x + 1 e g = x3 + 4x2 + 4x + 3
e encontre os polinômio
u(x), v(x) ∈ Q[x]
para os quais temos
h = uf + vg .
Denição. Dizemos que dois elementos a, b ∈ A são relativamente primos se um MDC deles for
uma unidade de
A,
Questão 16.
1
é um MDC de
isto é, existe um MDC,
d,
de
d,
de
a
Mostre que um MDC,
a
e
b
em
a
e
b
e
b,
com
d ∈ A× .
em um anel
A
satisfaz:
d ∈ A×
se e somente se
A.
Questão 17. Sejam a e b dois elementos de um anel euclidiano A, (a, b ∈ A) tais que um MDC
deles em
em
A
A
é
d.
Dado um outro elemento
se e somente se
k ∈ A,
mostre que a equação
aX + bY = k
tem solução
d|k .
Observamos no último exercício que é precisamos supor que
A
é Euclidiano para mostrar que a
equação tem solução. Na outra direção, que é trivial, a hipótese não é necessária.
9
Referências
[BE]
o
P. Brumatti e A. J. Engler, Inteiros Quadráticos e Grupos de Classe, 23 Colóquio Bras. de
Mat. IMPA, 2001.
[C]
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[GL]
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[H]
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons, 1975.
[R]
J. Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag, 1990.
10