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ELE401 – Circuitos Magnéticos
CAPÍTULO III – CIRCUITOS MAGNÉTICOS
3.1 INTRODUÇÃO
Os circuitos magnéticos utilizam materiais
ferromagnéticos no sentido de direcionar e elevar a
indução magnética (e conseqüentemente o fluxo
magnético). Isto é possível uma vez que os
materiais
ferromagnéticos
possuem
altas
permeabilidades.
de dispersão será bastante reduzido. Observar que
a alta permeabilidade oferece um caminho mais
adequado à “circulação” do fluxo magnético.
Portanto, quanto maior for a permeabilidade do
núcleo, menor será o efeito da dispersão de fluxo
magnético pelo ar.
A figura 3.1, a seguir, apresenta um exemplo típico
de circuito magnético. Nesta configuração, pode-se
notar o direcionamento do fluxo magnético
proporcionado pela forma do núcleo.
Figura 3.3 – Efeito da Dispersão em um Núcleo Magnético
Da figura 3.3 tem-se que:
t     d
Figura 3.1 – Núcleo Magnético
3.2 EFEITO DA DISPERSÃO
Os circuitos magnéticos também são sujeitos aos
efeitos da dispersão. Assim, considere inicialmente
a bobina ou solenóide da figura 3.2 a seguir.
N
 t = Fluxo magnético total produzido pela
corrente;
 = Fluxo magnético
núcleo;
que
“circula”
pelo
 d = Fluxo magnético de dispersão pelo ar.
Para materiais de alta permeabilidade tem-se que:
B
   d
i
dispersão
Onde:
3.3 EQUACIONAMENTO
a
b
dispersão
Figura 3.2 – Efeito da Dispersão em um Solenóide
Como pode ser observado, ocorre nas
extremidades da bobina uma determinada
dispersão do campo magnético através do ar
(pode-se ver, na figura, uma redução da densidade
de campo magnético “B”, nas extremidades). Este
fenômeno é conhecido como “efeito das
extremidades” ou “dispersão”.
Considere agora o circuito magnético apresentado
de forma esquemática à figura 3.3 a seguir.
Neste caso, o efeito da dispersão também ocorre
nas extremidades da bobina. Entretanto, devido à
alta permeabilidade proporcionada pelo material
ferromagnético que constitui o núcleo, este efeito
Determinação de “B” e “H”
3.3.1
Considere o circuito magnético da figura 3.4 a
seguir. Para a linha média do mesmo pose-se
escrever que:
B

A
Wb / m 
2
(3.1)
Onde:
B=
Densidade de campo magnético de cada
uma das pernas do núcleo magnético;
 = Fluxo magnético que “circula” através de
cada uma das pernas do núcleo
magnético;
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1
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A=
Área da seção reta transversal de cada
uma das pernas do núcleo magnético.
H l  N i
Define-se como força magnetomotriz,
produto “ H  l ” ou o produto “ N  i ”, então:
F  H  l  N  iAE 
o
(3.3)
Onde:
F=
Figura 3.4 – Circuito Magnético
A densidade de campo magnético “B” pode ser
expressa por:
B   0  1  xm   H
Força magnetomotriz (ou simplesmente
f.m.m.).
Esta definição é realizada como uma analogia
à força eletromotriz nos circuitos elétricos. Tal
correspondência será analisada no item
seguinte.
3.4 ANALOGIA ELETROMAGNÉTICA
Ou ainda,
3.4.1
B  H
Introdução
Seja o circuito elétrico da figura 3.6 a seguir.
Portanto, determinado o valor de “B” (conforme
expressão 3.1), e de posse da curva de
saturação do material, pode-se calcular o valor
da intensidade de campo magnético “H”
correspondente, para cada uma das pernas do
núcleo magnético.
Desta forma, considere a curva de saturação
apresentada à figura 3.5 a seguir.
Figura 3.6 – Circuito Elétrico
Para este circuito elétrico podem ser escritas
as seguintes equações:
e  Ri
Sendo:
R 
E ainda,
Figura 3.5 – Curva de Saturação do Material
Para cada valor de “B” haverá um valor de “H”
correspondente. Assim, pode-se escrever
também que:
H
3.3.2
B

AE / m
(3.2)
Definição de Força Magnetomotriz
Foi visto anteriormente que:
H  ni 
l
l

A A
N i
l
G  
A
l
Onde:
e
Força eletromotriz (f.e.m.)
R
Resistência elétrica total do circuito;
G
Condutância elétrica total do circuito;
i
Corrente elétrica que passa pelo circuito
elétrico;
l
Comprimento total do condutor;
Desta forma, pode-se escrever também que:
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A


Área da seção reta transversal do
condutor;
R
Resistência elétrica do material utilizado
como condutor;
Condutividade elétrica
utilizado como condutor.
do
material
Seja agora o circuito magnético apresentado à
figura 3.7:
 l
A
e

l
A
l
i
A
(3.5)
Comparando as equações (3.4) e (3.5), podese observar uma analogia entre os seguintes
termos:
R
l
1
e
 A A
A primeira relação corresponde à resistência
(R) do circuito elétrico. A segunda, portanto,
corresponderia a uma certa “resistência” do
circuito magnético. Através desta analogia,
define-se:
Figura 3.7 – Circuito Magnético
Re 
Na figura 3.7, tem-se que:
F
Força magnetomotriz (f.m.m.);
Onde:
N
Número de espiras da bobina;
Re
I
Corrente que circula na bobina;

Fluxo magnético que “circula” pelo
núcleo.
Observando as figuras 3.6 e 3.7, pode-se
concluir que: enquanto no circuito elétrico
circula uma corrente elétrica “i”, no circuito
magnético “circula” um fluxo magnético “  ”.
Por outro lado, no circuito elétrico existe uma
fonte de força eletromotriz “e” e no circuito
magnético existe uma fonte de força
magnetomotriz “F”. Portanto, pode-se fazer a
seguinte analogia entre os dois circuitos:


i

e
F
Para o circuito elétrico, pode-se escrever que:
F  H l 

l 

A 
Relutância magnética do núcleo ou do
circuito magnético.
Desta forma pode-se escrever que:
F  Re  
(3.7)
Onde (3.7) é uma equação análoga à lei de
Ohm no circuito elétrico.
Por outro lado, o inverso da relutância
magnética é definido como sendo a
permeância magnética (Pe), de forma análoga
a condutância (G) no circuito elétrico. Desta
forma, pode-se escrever que:
Pe 
3.4.2
Cálculo
1 A
H 

Re
l
da
Indutância
(3.8)
do
Circuito
Sabe-se que:
l
l
F

A
No circuito elétrico, pose-se escrever que:
e  Ri
(3.6)
Magnético
F  H l  N i
B
 
l
H 1
A
  N   L  i
Onde:
(3.4)

Fluxo enlaçado ou concatenado;
L
Indutância da bobina.
Portanto:
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L

i
N 
l

Mas como,
H l  N i  i 
H l
N
Figura 3.8 – Representação Esquemática de um Circuito
Elétrico
E ainda,
  B A
Seja agora um circuito magnético como aquele
apresentado à figura 3.9 a seguir.
Vem:
N  N  B  A
N2 B A
L

N 
i
H l
H l
Mas,
B  H
Assim,
L  N2 
A
Figura 3.9 – Circuito Magnético
l
Como,
Através da analogia com o circuito elétrico, o
circuito
magnético
anterior
pode
ser
representado por um circuito elétrico análogo,
conforme ilustra a figura 3.10 a seguir.
l
Re 
A
Tem-se que:
N2
L
 N 2  Pe H 
Re
3.4.3
(3.9)
Resumo da Analogia Eletromagnética
A seguir será apresentada uma tabela com o
resumo das principais analogias verificadas
entre os circuitos elétricos e magnéticos.
Circuito Elétrico
Circuito Magnético
i = Corrente Elétrica [A]
 = Fluxo Magnético [Wb]
e = Força Eletromotriz [V]
Fmm = Força Magnetomotriz [Ae]
R = Resistência Elétrica []
Re = Relutância Magnética [Ae/Wb]
G = Condutância [S]
Pe=Permeância [Wb/Ae]
 = Condutividade [A/Vm]
 = Permeabilidade [Wb/Am]
E=Ri (Lei de Ohm)
F=Ni=Re
 i = 0 (Lei de Kirchhoff)
R
l
  A
,
G
  A
l

Re 
l
  A
,
Figura 3.10 – Circuito Elétrico Análogo
A analogia é utilizada para melhorar a
compreensão e maior facilidade na solução
dos circuitos magnéticos.
3.4.5
Efeitos da Saturação
Seja a curva de saturação ou magnetização da
figura 3.11 a seguir.
=0
Pe 
  A
l
Tabela 3.1 – Resumo da Analogia Eletromagnética
3.4.4
Circuito Elétrico Análogo
Um circuito elétrico simples pode ser
representado de forma esquemático conforme
a figura 3.8 a seguir.
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Figura 3.11 – Circuito Elétrico Análogo
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Como pode ser observado na figura (3.11)
anterior, as permeabilidades dos pontos (1) e
(2) são diferentes.
Assim, sendo,
saturação afeta:
pode-se
concluir
que
b) Circuito
magnético
série
nãohomogêneo: quando pelo menos uma
das áreas das seções retas transversais
for diferente das demais. A figura 3.13 a
seguir ilustra esta condição.
a
a) A permeabilidade magnética do material
();
b) A permeância (Pe) ou a relutância (Re)
do circuito magnético;
c) A indutância (L) da bobina ou do circuito
elétrico.
Vale lembrar que:
Pe 
A
Re 
l
l
A
L
Figura 3.13 – Circuito Magnético Série Não Homogêneo
N2
Re
Da figura 3.13, tem-se que:
A1  A2  A3  A4
3.5 CIRCUITOS MAGNÉTICOS SÉRIE
Um circuito magnético série é aquele em que o
fluxo magnético é o mesmo em todas as suas
pernas.
Este tipo de circuito magnético pode ser
dividido em:
a) Circuito magnético série homogêneo:
quando as áreas das seções retas
transversais de todas as pernas do
núcleo forem iguais. A figura 3.12 a
seguir ilustra esta condição.
B1 

B2 
A1

A2
B3 

B4 
A3

A4
B1  B2  B3  B4
Para os circuitos magnéticos das figuras 3.12
e 3.13, pode ser desenvolvido o circuito
análogo equivalente apresentado à figura 3.14
a seguir:
Figura 3.14 – Circuito Elétrico Análogo
Figura 3.12 – Circuito Magnético Série Homogêneo
Da figura 3.14, tem-se que:

Chamando,
A1  A2  A3  A4  A
B1 

A1
B2 

A2

F  Re1  Re2  Re3  Re4  
Da figura 3.12, tem-se:
B3 

A3
B4 
ReTOTAL  Re1  Re2  Re3  Re4

A4
Vem,
B1  B2  B3  B4  B
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F  ReTOTAL  
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Portanto, pode-se desenvolver o circuito
elétrico análogo equivalente apresentado à
figura 3.15 a seguir.
Ou de uma forma mais geral:
n
F     ReTOTAL
(3.10)
k 1
Da equação 3.6, tem-se que:
 
l
H 1
A
Re 
Ou ainda,
Rek 
Figura 3.15 – Circuito Elétrico Análogo
Considere agora o circuito magnético da figura
3.16 a seguir.
lk
 k  Ak
Levando em 3.10, obtém-se:
n
F     
k 1
lk
 k  Ak
(3.11)
Mas,
B

A
Ou ainda,
Bk 
Figura 3.16 – Circuito Magnético Série

Ak
Em (3.11), vem:
n
F 
Onde:
l1  l 2  l3  l 4  l
k 1
Sendo “l” sendo a linha média do circuito.
Como,
Através da analogia eletromagnética pode-se
desenvolver o circuito elétrico análogo à figura
3.17 a seguir.
Ou ainda,
Bk
k
 lk
B  H
Hk 
Bk
k
Obtém-se finalmente que:
n
F   H k  lk
(3.12)
k 1
Ou seja,
F  H1  l1  H 2  l 2  H 3  l3  H 4  l 4  ....  N  i
Figura 3.17 – Circuito Elétrico Análogo
Ou ainda,
Conforme desenvolvimento anterior pode-se
escrever que:
F  F1  F2  F3  F4  ....  N  i
F  ReTOTAL  
As intensidades de campo magnético: H1, H2,
H3, H4,..., são determinadas através das
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curvas de magnetização dos materiais,
respectivamente para B1, B2, B3, B4,..
3.5.1
Tipos de Problemas
Existem basicamente dois tipos de problemas
de cálculo de circuitos magnéticos, a saber:
a) Determinar o valor da corrente “i”
injetada na bobina, necessária para
produzir
um
determinado
fluxo
magnético “” no núcleo;
b) Determinar o valor do fluxo magnético
“”, no núcleo, produzido por uma dada
corrente “i” na bobina.
Solução:
Cálculos Iniciais: O circuito magnético da
figura 3.18 pode ser dividido em 2 partes (de
seções iguais). Para estas partes podem ser
calculados os comprimentos das linhas médias
e as áreas das seções retas transversais do
núcleo, ou seja:
Parte 1
L1 = (05 + 30 + 04) x 02 + (05 + 22 + 05) = 110
[cm], L1 = 1,10 [m]
A1 = 10 x 8 = 80 [cm2], A1 = 0,0080 [m2]
Parte 2
O primeiro tipo de problema é de solução
muito simples (solução direta), já o segundo
tipo requer uma solução iterativa mais
trabalhosa.
L2 = 05 + 22 + 05 = 32 [cm], L2 = 0,32 [m]
A seguir serão apresentados exemplos
práticos dos dois tipos de problemas citados.
O circuito magnético da figura 3.18 pode ser
representado pelo circuito elétrico análogo da
figura 3.19 a seguir.
3.5.2
Exemplos
A2 = 08 x 08 = 64 [cm2], A2 = 0,0064 [m2]
Circuito Elétrico Análogo
Exemplo 1
Seja o circuito magnético serie nãohomogêneo apresentado à figura 3.18 a
seguir:
Figura 3.19 – Circuito Elétrico Análogo – Exemplo 1
Da figura 3.19 tem-se que:
F  Re1    Re2  
Ou ainda,
F  F1  F2
Figura 3.18 – Circuito Magnético – Exemplo 1
Vale lembrar que:
Sabendo que:
Espessura do Núcleo = 8 [cm], N = 300 espiras
(número total de espiras da bobina),  =
0,0064 [Wb] (fluxo magnético no núcleo)
F  H l
Portanto,
F1  H1  l1
F2  H 2  l 2
Determinar a força magnetomotriz “F” e a
corrente “i” injetada na bobina. As medidas na
figura 3.18 são dadas em centímetros.
Tabela de Valores
Considerar a curva 1 de magnetização, do
anexo 1.
Considerando os dados fornecidos e através
das expressões anteriormente apresentadas, é
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possível montar a tabela de valores (3.5) a
seguir.
Parte
[Wb]
A[m2]
B[T]
H [Ae/m]
L [m]
F [Ae]
1
0,0064
0,0080
0,8
620
1,10
682
2
0,0064
0,0064
1,0
900
0,32
288
Determinação de outros Valores
Da tabela podem ser extraídos diversos
valores como:
 As relutâncias das diversas partes do
núcleo magnético;
Tabela 3.2 – Tabela de Valores
 As permeâncias das diversas partes do
núcleo;
No desenvolvimento da tabela 3.2, considerouse que:
 A relutância equivalente do circuito
magnético;
a) No circuito magnético série, o fluxo
magnético é o mesmo em todas as
partes. Portanto:
 As
permeabilidades
magnéticas
absolutas e relativas das diversas
partes;
1    0,0064 Wb
b) As áreas das seções retas transversais
(A1 e A2) e os comprimentos das linhas
médias (l1 e l2) foram determinados no
item “cálculos iniciais”;
c) Os valores B1 e B2 são determinados
através da expressão:
B

A
d) Os valores H1 e H2 são obtidos através
da curva de saturação do material, para
B1 e B2 respectivamente.
Obs.: A curva de magnetização do material é
apresentada no anexo 1 (curva 1).
e) Os valores F1 e F2 são determinados
através da seguinte expressão:
F  H l
 O fluxo enlaçado com a bobina;
 A indutância (L) da bobina.
Fica como exercício para o
determinação destas grandezas.
F  F1  F2
Logo,
F  682  288  970 Ae
Como,
F  N i
Para o mesmo circuito magnético do exemplo
1 anterior, achar o valor do fluxo magnético
correspondente a uma corrente de 6,667 [A]
na bobina.
Solução:
Cálculos Iniciais
No exemplo 1, foram determinadas as áreas
das seções e os comprimentos das linhas
médias do núcleo. Foi desenvolvido também o
circuito elétrico análogo.
É sabido que:
F  N i
Como,
i = 6,667 [A] e N = 300 espiras
Vem,
F  300  6,667  2000 Ae
Circuito Elétrico Análogo
A figura 3.20 a seguir apresenta o circuito
elétrico análogo correspondente.
Vem,
i
a
Exemplo 2
Determinação da Corrente
A corrente “i” da bobina pode ser determinada
da seguinte forma:
leitor,
F 970

 3,233 A
N 300
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8
ELE401 – Circuitos Magnéticos
Parte
[Wb]
A[m2]
B[T]
H [Ae/m]
L [m]
F [Ae]
1
0,0089
0,0080
1,11
1136
1,10
1250
2
0,0089
0,0064
1,39
2300
0,32
736
Tabela 3.5 – Tabela de Valores
Figura 3.20 – Circuito Elétrico Análogo – Exemplo 2
Admitindo por hipótese que: F1=1000 [Ae], é
possível desenvolver a tabela de valores (3.3)
do item a seguir.
Tabela de Valores – 1ª iteração
Somando F1 e F2 obtém-se: F = 1986 [Ae].
Este valor está muito próximo do valor real de
2000 [Ae]. Portanto, pode-se dizer que o fluxo
magnético no núcleo vale 0,0089 [Wb].
Outros Valores Obtidos da Tabela
Da tabela 3.5 podem ser obtidas inúmeras
outras grandezas, conforme sugerido no
exemplo 1 anterior. Alguns destes possíveis
resultados são apresentados a seguir.
Parte
[Wb]
A[m2]
B[T]
H [Ae/m]
L [m]
F [Ae]
1
0,0080
0,0080
1,00
909
1,10
1000

0,0089 [Wb]
2
0,0080
0,0064
1,25
1600
0,32
512
Re1
140450 [H ]
Tabela 3.3 – Tabela de Valores
Re2
A força magnetomotriz total (F) é igual a soma
das parcelas F1 e F2, portanto;
F  F1  F2  1000  512  1512 [ Ae]
Este valor (1512 [Ae]) está abaixo do valor real
da força magnetomotriz total, ou seja, 2000
[Ae]. Desta forma, uma nova hipótese se faz
necessária.
Admitindo por hipótese que: F1 = 1400 [Ae],
pode-se desenvolver a tabela de valores (3.4)
a seguir.
-1
-1
ReT
223147 [H ]
L
0,4033 [H]
-1
82697 [H ]
Tabela 3.6 – Outros Valores Obtidos
O leitor deve comparar os resultados obtidos
nos dois exemplos dados e verificar os efeitos
causados pela não-linearidade do circuito
magnético.
3.6 CIRCUITOS MAGNÉTICOS PARALELOS
Em um circuito magnético paralelo, existem
“nós” de bifurcação para o fluxo magnético. A
figura 3.21 a seguir apresenta uma
configuração típica.
Tabela de Valores – 2ª iteração
Parte
[Wb]
A[m2]
B[T]
H [Ae/m]
L [m]
F [Ae]
1
0,0093
0,0080
1,16
1273
1,10
1400
2
0,0093
0,0064
1,45
3000
0,32
960
Tabela 3.4 – Tabela de Valores
A força magnetomotriz total (F) é igual a soma
das parcelas F1 e F2, portanto;
F  F1  F2  1400  960  2360 [ Ae]
Este valor (2360 [Ae]) está acima do valor real
da força magnetomotriz total, ou seja, 2000
[Ae]. Desta forma, uma nova hipótese se faz
necessária.
Figura 3.21 – Circuito Magnético Paralelo
Para este circuito magnético,
desenvolver o circuito elétrico
apresentado à figura 3.22.
pode-se
análogo
Admitindo agora F1 = 1250 [Ae], pode-se
desenvolver a tabela de valores (3.5) a seguir.
Tabela de Valores – 3ª iteração
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9
ELE401 – Circuitos Magnéticos
Figura 3.24 – Circuito Elétrico Análogo
Figura 3.22 – Circuito Elétrico Análogo
Da figura 3.24, pode-se escrever que:
Da figura 3.22, tem-se:
1   2  3
Tem-se também,
F  F1  F2  1  Re1   2   e2
F  F1  F3  1  Re1   3   e3
Portanto, podemos admitir que,
F2  F3
De onde retiramos:
H 2  l 2  H 3  l3
F  F1  F2  F2  F3
E portanto,
F1  F3
Exemplo 3
Determinar o valor da corrente “i” na bobina do
circuito magnético da figura 3.25, a seguir, tal
que 3= 0,005 [Wb].
Para o material ferromagnético do núcleo,
considere a curva 1 de magnetização,
apresentada no anexo 1.
Considere agora o núcleo magnético
apresentado à figura 3.23 a seguir.
Figura 3.25 – Circuito Magnético – Exemplo 3
Os dados referentes às dimensões do núcleo
podem ser obtidos da tabela 3.7 a seguir.
Figura 3.23 – Circuito Magnético Paralelo com Bobina
Central
Da figura anterior, tem-se que:
 2  1   3
Parte
A [m2]
L [m2]
1
0,0090
0,56
2
0,0032
0,26
3
0,0045
0,51
N = 300 espiras
Considerando a simetria do núcleo,
1   3 
Tabela 3.7 – Dados do Exemplo 3
2
2
Por analogia, pode-se desenvolver o circuito
elétrico análogo da figura 3.24 a seguir.
Solução:
Cálculos Iniciais
Os comprimentos das linhas médias, bem
como as áreas das seções retas transversais
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ELE401 – Circuitos Magnéticos
do núcleo magnético, estão relacionados à
tabela 3.7, dada anteriormente.
Circuito Elétrico Análogo
circuito magnético dado, bem como o valor da
indutância da bobina. As respectivas respostas
são apresentadas a seguir.
Para o circuito magnético dado, pode-se
desenvolver o circuito elétrico análogo
apresentado à figura 3.26 a seguir.
-1
-5
Re1
58404 [H ]
Pe1
1,7122x10 [H]
Re2
133182 [H ]
-1
Pe2
7,5080x10 [H]
Re3
117200 [H ]
-1
Pe3
8,5320x10 [H]
ReT
120744 [H ]
-1
PeT
8,2810x10 [H]
L
0,7454 [H]
-6
-6
-6
Tabela 3.9 – Dados finais do Exercício 3
3.7 GAPs E ENTREFERROS
A figura 3.27 a seguir apresenta um exemplo
típico de introdução de gap em um circuito
magnético.
Figura 3.26 – Circuito Elétrico Análogo
Da figura anterior, tem-se que:
1   2  3
F  F1  F2  F1  F3
F2  F3
F3  Re3   3
F2  Re2   2
F1  Re1  1
Figura 3.27 – Circuito Magnético Série com Gap
Tabela de Valores:
Considerando os dados da tabela 3.7, e
3  0.005Wb , pode-se desenvolver a tabela
de valores a seguir.
Parte
[Wb]
A[m2]
B[T]
H [Ae/m]
L [m]
F [Ae]
1
0,0094
0,0090
1,044
980
0,56
549
2
0,0044
0,0032
1,375
2254
0,26
586
3
0,0050
0,0045
1,111
1150
0,51
586
Tabela 3.8 – Tabela de Valores – Exemplo 3
Obs.:Na elaboração da tabela anterior,
considerou-se a curva 1 de magnetização
apresentada no anexo 1.
Da tabela 3.8, tem-se que:
F  F1  F2  549  586  1135 [ Ae]
Os gaps ou entreferros são muitas vezes
utilizados em circuitos magnéticos no sentido
de :
a) Possibilitar certa linearização da curva
de saturação;
b) Possibilitar acesso físico ao fluxo em um
núcleo magnético.
3.7.1
Espraiamento
A introdução de gaps em circuitos magnéticos,
como aquele apresentado à figura 3.27, causa
certa dispersão do fluxo magnético pelo ar, no
local onde este gap foi colocado. Este
fenômeno é chamado de “espraiamento” do
fluxo magnético e seu efeito pode ser
verificado através da figura 3.28 a seguir.
Como F  N  i
i
F 1135

 3.783[ A]
N
300
Cálculos Adicionais Propostos
Fica para o leitor, a título de exercício, calcular
os valores das relutâncias e permeâncias do
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
11
ELE401 – Circuitos Magnéticos
Pode-se concluir, portanto que: quanto maior
for o gap, maior será a relutância do núcleo
magnético e consequentemente maior será o
fluxo de dispersão pelo ar.
3.7.3
Cálculo da Relutância do Gap
Da equação 3.6, tem-se que:
Muitas vezes, o efeito do espraiamento é
considerado nos cálculos de circuitos
magnéticos através de um acréscimo da área
correspondente a seção reta transversal no
gap. Desta forma, se a área correspondente
ao material ferromagnético for “A”, considerase como área da seção reta transversal do gap
(Ag), a relação:
Ag  k  A
(3.13)
Onde:
k = Fator de acréscimo correspondente ao
espraiamento (p. ex.: k=1.05  elevação de 5% na
área).
É importante deixar claro que esta forma de
representação do espraiamento, nos cálculos,
constitui uma aproximação.
3.7.2
Para o gap, pode-se escrever que:
Re g 
lg
g  A g
Onde:
Reg = Relutância magnética do gap;
l g = Comprimento do gap;
 g = Permeabilidade magnética do gap;
Ag = Área da seção reta transversal do gap.
Como a permeabilidade magnética do ar (e,
portanto do gap) é praticamente igual à
permeabilidade magnética do vácuo, pode-se
escrever que:
Re g 
Efeito da Dispersão
A introdução de gaps ou entreferros provoca a
elevação da relutância total equivalente de um
núcleo magnético. Em outras palavras pode-se
dizer que: os gaps dificultam a “circulação” do
fluxo magnético. Desta forma, haverá uma
maior tendência de formação de fluxo de
dispersão no ar, nas extremidades da bobina
(cabeças de bobina), como pode ser
observado à figura 3.29 a seguir.
l
A
Re 
Figura 3.28 – Espraiamento do fluxo Magnético em um
Gap
lg
0  A g
(3.14)
Exemplo 4
Seja o circuito magnético da figura 3.30 a
seguir.
Figura 3.30 – Circuito Magnético do Exemplo 4
Figura 3.29 – Efeito da Dispersão em um Núcleo com Gap
Determinar o valor da corrente “i” na bobina do
circuito magnético, tal que = 0,0064 [Wb],
espessura do Núcleo = 8 [cm], N = 300 espiras
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
12
ELE401 – Circuitos Magnéticos
(número total de espiras da bobina), Gap=0,1
[cm].
Obs:
O circuito magnético da figura 3.30 pode ser
representado pelo circuito elétrico análogo da
figura 3.31 a seguir.
Considerar todas as medidas da figura 3.30
em [cm];
Utilizar a curva de saturação 1 do anexo 1;
Observar que a única diferença do circuito
magnético da figura 3.30, para o circuito
magnético do exemplo 1, é exatamente o gap
ou entreferro.
Figura 3.31 – Circuito Elétrico Análogo
Solução:
Cálculos Iniciais
Da figura 3.31, tem-se que:
O circuito magnético da figura 3.30 pode ser
dividido em 3 partes: duas para o material
ferromagnético e uma para o gap. Para estas
partes podem ser calculados os comprimentos
das linhas médias e as áreas das seções retas
transversais do núcleo, ou seja:
F  Re1    Re2    Re3  
Ou ainda,
F  F1  F2  F3
Vale lembrar também que;
F  H l
Parte 1 – Material Ferromagnético
l1 =
l1 =
A1 =
A1 =
(5 + 30 + 4) x 2 + (5 + 22 + 5) = 110 [cm]
Portanto,
1,10 [m]
F1  H1  l1
10 x 8 = 80 [cm2]
F2  H 2  l 2
0,0080 [m2]
F3  H 3  l3
Tabela 3.10 – Medidas da Parte 1 do Circuito Magnético da
Figura 3.30
Parte 2 – Material Ferromagnético
Tabela de Valores:
8 x 8 = 64 [cm2]
Considerando os dados fornecidos e
calculados, e através das expressões
anteriormente
apresentadas,
pode-se
desenvolver a tabela de valores a seguir.
0,0064 [m2]
Parte
[Wb]
A[m2]
B[T]
H [Ae/m]
L [m]
F [Ae]
Tabela 3.11 – Medidas da Parte 2 do Circuito Magnético da
Figura 3.30
1
0,0064
0,0080
0,8
620
1,10
682
2
0,0064
0,0064
1,0
900
0,32
288
Parte 3 – Entreferro
3
0,0064
0,0064
1,0
795775
0,001
796
l2 =
l2 =
A2 =
A2 =
l2 =
l2 =
A2 =
A2 =
(5 + 22 + 5) – 0,1 = 31,9 [cm]
0,319 [m]
Tabela 3.13 – Tabela de Valores – Exemplo 4
0,1 [cm]
0,001 [m]
2
8 x 8 = 64 [cm ]
No
desenvolvimento
considerou-se que:
0,0064 [m2]
Tabela 3.12 – Medidas da Parte 3 do Circuito Magnético da
Figura 3.30
Circuito Elétrico Análogo
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
da
tabela
3.13,
a) No circuito magnético serie, o fluxo
magnético é o mesmo em todas as
partes. Portanto:
1  2  3  0,0064 Wb
13
ELE401 – Circuitos Magnéticos
b) As áreas das seções retas transversais
(A1, A2, A3) e os comprimentos das
linhas médias (l1, l2, l3) foram
determinadas no item “cálculos iniciais”.
c) Os valores B1, B2 e B3 são
determinados através da expressão:
B

A
d) Os valores H1 e H2 são obtidos através
da curva de saturação do material, para
B1 e B2 respectivamente.
 O fluxo enlaçado com a bobina;
 A indutância (L) da bobina.
Fica como exercício para o
determinação destas grandezas.
H3  H g 
B3
0

1.0
4    10 7
f) Os valores F1, F2 e F3 são determinados
da seguinte forma:
F  H l
Determinação da Corrente
Para a determinação da corrente “i” na bobina,
deve-se considerar que:
F  F1  F2  F3  682  288  796  1766 [ Ae]
i
F 1766

 5,887 [ A]
N 300
a
Observações:
Considere a tabela 3.14 a seguir, onde é
realizada uma comparação dos valores obtidos
nos exemplos 1 e 4.
Variável
Exemplo 1
Exemplo 4
 [Wb]
0,0064
0,0064
i [A]
Obs.: Na elaboração da tabela anterior,
considerou-se a curva 1 de magnetização
apresentada no anexo 1.
e) A intensidade de campo magnético no
gap (H3) é determinada através da
seguinte expressão:
leitor,
3,233
5,887
ReT [H ]
151563
275938
L [H]
0,594
0,326
-1
Tabela 3.14 – Comparação dos Resultados com e sem Gap
Pode-se observar que a inserção do gap
elevou a relutância equivalente do circuito
magnético de 151563 [H-1] para 275938 [H-1].
Com este novo valor de relutância, para se
obter o mesmo fluxo magnético no núcleo, ou
seja, 0,0064 [Wb], portanto, foi necessária uma
elevação no valor da corrente de 3,233 [A]
para 5,887 [A].
Evidentemente que a qualidade magnética do
núcleo diminui com a inserção do gap, este
fato pode ser observado através da indutância
(L), que passou de 0,594 [H] para 0,326 [H].
3.8 CURVAS DE SATURAÇÃO
Considere a característica B = f(H) da figura
3.32 a seguir.
Determinação de outros Valores
Da tabela 3.13, podem ser extraídos outros
valores como:
 As relutâncias das diversas partes do
núcleo magnético;
 As permeâncias das diversas partes do
núcleo;
 A relutância equivalente do circuito
magnético;
 As
permeabilidades
magnéticas
absolutas e relativas das diversas
partes;
Figura 3.32 – Característica B = f (H)
Esta característica B = f (H) é na verdade uma
curva de saturação que determina a
propriedade do material ferromagnético em
termos de sua permeabilidade magnética (µ).
Pode ser chamada, portanto, de curva de
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
14
ELE401 – Circuitos Magnéticos
saturação ou curva de magnetização do
material ferromagnético.
Por outro lado, sabe-se que:
  B  A e H l  N i  F
Portanto, através de mudanças de escalas, a
característica da figura 3.32 pode ser alterada
para aquela desenvolvida à figura 3.33 a
seguir.
propriedade da bobina em termos de sua
indutância (L). Pode ser chamada, portanto, de
curva de saturação da bobina.
As três curvas anteriormente apresentadas (B
= f (H),   f F  ,   f i  ), podem ser
representadas em uma única característica,
considerando apenas as mudanças de escalas
das ordenadas e abscissas. Este fato pode ser
verificado à figura 3.35 a seguir.
Figura 3.33 – Característica  = f (F)
Esta nova característica   f F  é na
verdade uma curva de saturação que
determina a propriedade do núcleo magnético
em termos de sua permeância magnética (Pe)
ou relutância magnética (Re). Pode ser
chamada, portanto, de curva de saturação ou
curva de magnetização do núcleo magnético.
Figura 3.35 – Curva de Saturação
Na figura 3.35, tem-se que:
B = f(H)  Característica do material;
 = f(F)  Característica do núcleo magnético;
 = f(i)  Característica da bobina.
Sabe-se também que:
  N  e f  N  i
Portanto, através de novas mudanças de
escalas, as características das figuras 3.32 e
3.33 podem ser alteradas para aquela
desenvolvida à figura 3.34 a seguir.
Figura 3.34 – Característica  = f (i)
Esta característica   f i  é na realidade uma
curva de saturação que determina a
PEDRO PAULO DE CARVALHO MENDES / MAURICIO CAMPOS PASSARO
15
ELE401 – Circuitos Magnéticos
14) Os circuitos magnéticos devem ser tratados
como lineares ou não-lineares? Por quê?
3.9 PERGUNTAS PROPOSTAS
Responda as seguintes perguntas:
1) Por
que
são
utilizados
materiais
ferromagnéticos na confecção de circuitos
ou núcleos magnéticos?
2) O que é o efeito da dispersão? Quando ele
deve ser considerado?
3) O que é a força magnetomotriz? Faça uma
analogia com os circuitos elétricos.
4) O que são os circuitos elétricos análogos?
Onde são utilizados? Por quê?
15) Quais são as dificuldades encontradas nos
cálculos de circuitos não-lineares? Dê
exemplos.
16) O que são gaps ou entreferros em um
circuito magnético? Por que são utilizados?
17) Qual é o significado do espraiamento em
um gap? De que forma seu efeito é
considerado no cálculo de um núcleo
magnético?
5) Quais são os respectivos análogos elétricos
das seguintes grandezas magnéticas: , F,
Re, Pe, µ?
18) Qual é a relação entre a relutância de um
gap
e
a
relutância
do
material
ferromagnético que constitui um núcleo?
Explique.
6) O que é relutância de um circuito
magnético? Qual é a sua unidade?
19) Qual é o significado de cada uma das
seguintes relações:
7) O que é permeância de um circuito
magnético? Qual é a sua unidade?
8) Qual é a relação entre permeância e
indutância?
B = f(H)
 = f(F)
 = f(i)
Que grandezas representam?
20) Dê as unidades usuais das seguintes
grandezas:
9) Dada à área da seção reta transversal de
um núcleo magnético série e homogêneo, e
conhecido o fluxo magnético que atravessa
a mesma, como seriam determinadas: a
indução magnética no núcleo (B); a
intensidade de campo magnético “H”.
a) Indutância;
10) Quais são as unidades usuais de “B” e “H”.
e) f.e.m.
b) Permeabilidade magnética;
c) Condutância;
d) f.m.m.;
11) Quais são as características dos seguintes
circuitos magnéticos:
a)
Circuito magnético série uniforme;
b)
Circuito
magnético
uniforme;
c)
Circuito magnético paralelo uniforme;
d)
Circuito magnético
uniforme;
série
paralelo
não-
não-
12) Que tipo de cálculo de circuito magnético é
mais trabalhoso:
a)
Dado um fluxo magnético “”,
determinar a corrente necessária para
produzi-la;
b)
Dada uma corrente “i”, determinar o
fluxo magnético produzido pela
mesma? Por quê?
13) Faça um análogo magnético das leis de
Kirchhoff das tensões e correntes.
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16
ELE401 – Circuitos Magnéticos
3.10 EXECÍCIOS PROPOSTOS
Resolva os seguintes exercícios:
1)
Considere o seguinte circuito magnético:
Determinar o valor da corrente “i” que produz um
fluxo magnético de 0,001 [Wb] na perna direita do
núcleo. Considerar para o material ferromagnético
a curva de saturação anexa.
4)
Refazer o exercício anterior considerando o
circuito magnético sem o entreferro.
5)
Faça uma análise comparativa dos
resultados obtidos nos exercícios 03 e 04
anteriores.
6)
No circuito magnético a seguir, determinar a
indutância da bobina e o fluxo enlaçado
com a mesma.
Dados do Exercício:
Espessura do Núcleo = 10 [cm], N = 500 espiras
Medidas na figura em [cm]
Determinar:
a) O Valor da força magnetomotriz necessária
para produzir um fluxo de 0,006 [Wb];
b) O valor da corrente correspondente;
c) O valor da indutância “L” da bobina;
d) A permeância total do circuito magnético;
Dados do Exercício:
e) A permeabilidade magnética de cada parte
do circuito magnético.
i = 05 [A], N = 500 espiras, 1= 0,002 [Wb],
2=0,003 [Wb], L1 = 0,6 [m], L2 = 0,4 [m]
Obs.: Considerar a curva de saturação anexa.
2)
3)
No circuito magnético do exercício anterior,
determine o valor do fluxo magnético “”
produzido por uma força magnetomotriz de
3000 [Ae].
Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da
curva de saturação anexa.
7)
Considere o seguinte circuito magnético:
Considere o seguinte circuito magnético:
Dados do Exercício:
Dados do Exercício:
Espessura do Núcleo = 8 [cm], N = 1000 espiras,
Espraiamento no gap = 10%
Medidas na figura em [cm].
Espessura do Núcleo = 10 [cm], N = 1000 espiras,
=0,015 [Wb], l g1 =0,10 [cm] e l g 2 = 0,15 [cm],
dl=150 [cm] e de=180 [cm]
De posse dos dados acima, determinar:
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17
ELE401 – Circuitos Magnéticos
a) A força magnetomotriz necessária para
produzir o fluxo “”;
b) A corrente “i” da bobina;
c) A permeância total do circuito magnético;
d) A indutância da bobina.
Dados do Exercício:
Obs.: Considerar simetria dos gaps, espraiamento
de 5% nos gaps de comprimento l g 2 , para o
Espraiamento no Gap = 10%, N = 1000 espiras,
 gap = 12.0 x 10-7 [H/m], l g = 1 [mm], dl = 81,2 [cm]
material ferromagnético a curva de saturação
anexa.
e de = 103,8 [cm], Espiras justapostas
8)
Considere o seguinte circuito magnético:
Desprezando:
O fluxo de dispersão, o comprimento do arco
equivalente a linha media do gap.
De posse destes dados, determinar:
a) A corrente necessária para produzir um
fluxo de 0,0012 [Wb];
b) As relutâncias equivalentes, do ferro e do
gap;
c) A indutância da bobina.
Obs.: Considerar a curva de magnetização anexa.
10)
Considere o seguinte circuito magnético:
Dados do Exercício:
Espessura do Núcleo = 8 [cm], i = 6,2 [A], medidas
na figura em [cm]
Sabendo-se que 3  0,0056 Wb , determinar o
numero de espiras da bobina.
Obs.: O núcleo foi elaborado com o material da
curva de saturação anexa.
9)
Seja o seguinte circuito magnético toroidal,
com gap e “N” espiras uniformemente
distribuídas:
Dados do Exercício:
Espessura do Núcleo = 1 [pol], i=0,2 [A], N = 1000
espiras
Medidas na figura em [pol]
Determinar o fluxo e a indução magnética em cada
perna do circuito magnético. Desprezar os
espraiamentos dos entreferros e os campos de
dispersão. Supor que a permeabilidade relativa do
ferro é tão alta que a força-magnetomotriz do
enrolamento está totalmente aplicada nos
entreferros.
Obs.: Desenvolva
equivalente.
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um
circuito
magnético
18
ELE401 – Circuitos Magnéticos
11)
Refazer o exercício anterior, considerando
agora a seguinte curva de magnetização
para o material ferromagnético:
a) O circuito elétrico análogo;
b) A corrente na bobina para que se obtenha
um fluxo de 0,006 [Wb] no núcleo
magnético;
c) A indutância da bobina;
d) A relutância total do circuito magnético.
Obs.: Considerar simetria na perna do núcleo onde
está o gap;
Para o material ferromagnético, considerar a curva
de saturação (1) anexa;
3.11 BIBLIOGRAFIA
12)
Na curva de magnetização anexa (curva 1),
determinar o valor da permeabilidade
magnética relativa para:
a) B = 0.5 [Wb/m2];
c) H = 1400 [AE/m];
d) H = 3600 [AE/m].
Considere o circuito magnético da figura a
seguir, onde:

i
[2] Paul A. Tipler, “Física”, Volume 02a, Editora
Guanabara Dois S.A., Segunda Edição, 1986.
(Cap. 29 - págs. 803 a 819);
[3] David
Halliday
e
Robert
Resnick,
“Fundamentos de Física” , Parte 03 Eletromagnetismo, LTC - Livros Técnicos e
Científicos Editora Ltda, 1991. (Cap. 34 - págs.
241 a 257);
b) B = 1.5 [Wb/m2];
13)
[1] Milton Gussow, “Eletricidade Básica”, Coleção
Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda,
1985. (Cap. 9 - págs. 217 a 229);
10
[4] L.
Bessonov,
“Applied
Electricity
for
Engineers”, MIR Publishers - Moscow, 1973.
(Cap. 3 - págs. 89 a 95);
[5] Syed A. Nasar, “Máquinas Elétricas”, Coleção
Schaum, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda,
1984. (Cap. 1 - págs. 01 a 05);
[6] Encyclopedia Britannica, “Magnetism”.
N
F
2
20
10
18
26
6
Dados do Exercício:
Espessura do Núcleo = 10 [cm], espraiamento do
núcleo = 20%, N = 1390 espiras.
Medidas na figura em [cm]
Determinar:
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19
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