O Significado do Sinal de Igualdade na Jornada pelos “Três

O Significado do Sinal de Igualdade na Jornada pelos “Três
Mundos da Matemática”
Josias Nogueira Badaró1
Rosana Nogueira de Lima2
Programa de Estudos Pós- Graduados em Educação Matemática
Universidade Bandeirante de São Paulo- UNIBAN
Considerações Preliminares
O projeto aqui apresentado é o início de uma pesquisa para a elaboração de uma
dissertação que visa obter o grau de mestre em Educação Matemática no Programa de Estudos
Pós-Graduados em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo –
UNIBAN.
Este trabalho ainda se encontra em fase inicial de elaboração e pretende pesquisar o
significado do sinal de igualdade na resolução de equações à luz do quadro teórico dos “Três
Mundos da Matemática”. Serão feitos um levantamento de pesquisas que estudaram o
significado que os alunos dão ao sinal de igualdade na resolução de equações, e uma pesquisa
com alunos do ensino médio, procurando identificar se esses e outros significados que forem
encontrados podem ser interpretados com os mesmos teores com o quadro teórico dos “Três
mundos da Matemática”.
Esta proposta deve ser vista como um subprojeto, dentro da linha de pesquisa “Ensino
e aprendizagem de Matemática e suas inovações”, fazendo parte do projeto “O conceito de
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Mestrando em Educação Matemática na Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, autor.
Professora Doutora do Programa de Estudos Pós – Graduados em Educação Matemática na Universidade Bandeirante de São Paulo –
UNIBAN, orientadora.
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equação: uma análise com os Três Mundos da Matemática”, que está sendo coordenado pela
Prof. Dra. Rosana Nogueira de Lima.
Introdução
Não é recente a preocupação com os resultados obtidos no ensino da Álgebra. Um
olhar para essas avaliações parece mostrar que os alunos utilizam apenas fórmulas
mecanizadas na solução dos problemas, pois não demonstram conhecer os conceitos
matemáticos necessários para resolvê-las. Como observa PASQUITA (2007) “o uso da
linguagem matemática mecanizada é uma questão que deve ser repensada, visto que as
propriedades, os procedimentos e as estruturas algébricas são estudados antes de os alunos
se terem apropriado do conceito transformando-se em dificuldade e até num obstáculo para a
aprendizagem” (apud Segelin, T., & Grando, N. (2006), p.156).
Desde as séries iniciais resolvemos, com freqüência, problemas usando equações e,
quando olhamos a maneira como os símbolos algébricos são tratados, verificamos que
interpretações incorretas sobre os significados desses símbolos têm contribuído de maneira
decisiva para o insucesso na solução dessas equações.
A resolução de equações é um assunto que permeia o ensino da matemática, desde o
ensino fundamental, até o ensino superior, mas, mesmo com todo esse tempo de estudo, as
dificuldades apresentadas pelos alunos na hora de resolvê-las são perceptíveis.
O ponto de partida dessa investigação, por enquanto, serão os trabalhos de USISKIN
(1995), que apresenta concepções para o ensino da Álgebra, de BOOTH (1984) que pesquisou
as dificuldades encontradas pelos alunos no estudo da Álgebra, e o de KIERAN (1981) que
apresentou alguns significados que os alunos apresentam quando se defrontam com o sinal de
igualdade, tal como tratar esse sinal apenas como um operador, que indica a necessidade de
colocar depois desse sinal o resultado da conta apresentada antes dele.
Também serão considerados outros trabalhos que forem sendo necessários ou
complementares na medida da evolução da pesquisa.
Justificativa
Por ser um quadro teórico novo e ainda em desenvolvimento, existem poucas pesquisas
realizadas com base nos “Três Mundos da Matemática”, apresentado em TALL (2004) e
LIMA (2007).
A minha pesquisa faz parte de um projeto maior que trabalha no desenvolvimento
dessa teoria, e a contribuição que espero trazer será através do estudo que buscará entender o
significado que os alunos têm do sinal da igualdade na resolução de equações a luz do quadro
teórico dos “Três Mundos da Matemática”.
Procedimentos Metodológicos
Inicialmente, será feito um levantamento junto a bancos de teses e dissertações,
procurando alcançar as pesquisas nacionais e internacionais que utilizaram o quadro teórico
dos “Três mundos da Matemática”.
Tal levantamento, além de consolidar a bibliografia existente, poderá colaborar com o
meu entendimento do próprio quadro teórico e de como os dados da minha pesquisa poderão
influenciá-lo.
Já foram realizadas pesquisas que apontaram vários significados para o sinal de
igualdade, como KIERAM (1981), e essas significações serão consideradas inicialmente na
pesquisa que será realizada.
Com base nos Três Mundos da Matemática e nas significações já conhecidas do sinal
de igualdade, serão elaborados um questionário e um roteiro de entrevistas.
Os questionários e entrevistas serão aplicados numa turma de alunos do 3º ano do
Ensino Médio, pois nesse final de ciclo, os alunos já foram apresentados a diversos tipos de
equações. Esse trabalho deverá contar com a colaboração do professor de Matemática da
própria turma e de pesquisadores auxiliares. Serão feitos registros fotográficos do trabalho e
sonoro das entrevistas.
A aplicação dos instrumentos de coleta de dados será precedida de uma dinâmica que
preparará os alunos para um trabalho em grupo, e, em seguida, como primeira atividade da
pesquisa, será elaborado um mapa conceitual, a partir da palavra “igualdade”.
No questionário, serão apresentadas questões utilizando-se o sinal de igualdade e será
solicitado que o aluno responda perguntas que procurarão obter qual foi o significado que o
aluno adotou em cada uma das situações.
De posse das respostas, alguns alunos serão entrevistados com a intenção de permitir
ao pesquisador entender como os alunos elaboraram as respostas do questionário.
Com esse material, esperamos encontrar o significado que esses alunos adotam para o
sinal de igualdade na resolução de equações algébricas, e classificar tais significados à luz do
quadro teórico dos “Três mundos da Matemática”.
Fundamentação Teórica – “Os três mundos da Matemática”
Visando explicar como ocorre o aprendizado de Matemática, o quadro teórico “Os Três
Mundos da Matemática” foi desenvolvido a partir de críticas às teorias de cogniçãocorporificada (Lakoff e Núñez, 2000) e de processo-objeto (Dubinski, 1991; Sfard, 1991; Gray
e Tall, 1994) afirmando que são necessárias categorias que englobem diferentes tipos de
pensamento matemático contrapondo as teorias anteriores que fazem uso de apenas uma
categoria.
O quadro teórico dos “Três Mundos da Matemática” considera pelo menos três
diferentes tipos de conceitos em Matemática, agrupados em três mundos:
MUNDO CONCEITUAL CORPORIFICADO
MUNDO PROCEITUAL SIMBÓLICO
MUNDO FORMAL AXIOMÁTICO
O mundo conceitual corporificado não trata apenas da manipulação física de objetos,
mas também de imagens de situações concretas, de situações mentais construídas pela
percepção e observações que efetuamos. Tais situações possibilitam perceber propriedades
matemáticas nesses objetos e agirmos sobre eles para entender o que significam (LIMA,
2007).
“Proceito” surge da aglutinação dos vocábulos “processo” e “conceito”. No segundo
mundo, o “proceitual-simbólico”, ampliam-se os significados dados no mundo corporificado
aos conceitos matemáticos, e, para que algo seja aceito como verdade, são necessários cálculos
e manipulação dos símbolos que habitam esse mundo. Os símbolos representam o significado
dado tanto aos conceitos pensáveis quanto às ações que são efetuadas (processos + conceitos3
= proceito). (LIMA, 2007).
Por sua vez, o mundo formal axiomático caracteriza-se pela utilização da linguagem
formal e das definições formais para os conceitos a partir dos quais são feitas deduções e
demonstrações. A presença desse mundo está ligada ao desenvolvimento cognitivo e nível de
escolaridade dos alunos.
O quadro abaixo apresenta como ocorre o crescimento cognitivo através dos “Três
Mundos da Matemática”:
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...chamamos de conceitos pensáveis, termo usado” ... para nos referirmos a algum fenômeno que foi nomeado de
forma que podemos falar e pensar sobre ele. (GRAY e TALL (2007), apud LIMA (2007)
Fonte: Tall (2007)
O quadro teórico dos “Três Mundos da Matemática” utiliza os conceitos de “Jáencontrados” e “A-encontrar” como parte da sua formulação.
As pessoas, ao longo da vida, vão construindo o seu conhecimento de forma individual.
Dessa forma o conceito de “Já-encontrado” (Met-before) é definido como toda e qualquer
experiência anterior a um certo aprendizado, considerada como construto mental, presente na
imagem de conceito do aluno, que possa interferir no aprendizado e o conceito de “Aencontrar” (Met-after) deve ser entendido como as experiências atuais de aprendizagem que
interfiram em aprendizado anterior, que podem não ser ainda parte da imagem de conceito do
aluno, mas podem tanto modificá-la quanto vir fazer parte dela. Nesse caso, acabam tornandose “já-encontrados”.
Referências Bibliográficas
BOOTH, L. R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD, A.F.; SHULTE.
A. P. (Orgs). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p. 26-36. Tradução: Hygino H.
Domingues.
DUBINSKY, E. Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. In: TALL, D. (Ed)
Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic, 1991. p. 95-123.
GRAY, E.; TALL, D. O. Duality, Ambiguity and Flexibility: A Proceptual View of Simple
Arithmetic, The Journal for Research in Mathematics Education, NCTM, v. 26, n. 2, p. 115–141,
1994.
KIERAN, C. Concepts associated with the equality symbol, Educational Studies in Mathematics,
Dordercht, v.12 p.317-326, 1981.
LAKOFF, G.; NUNEZ, R. Where Mathematics Comes From. New York: Basic Books, 2000.
LIMA, R. N. de. Equações Algébricas no Ensino Médio: uma Jornada por diferentes Mundos da
Matemática. 2007. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de
São Paulo, São Paulo, 2007.
TALL, D. O. Thinking through three worlds of mathematics. In: INTERNATIONAL CONFERENCE
FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 28., 2004, Bergen, Norway.
Proceedings… Bergen, 2004. v. 4, p. 281–288, 2004.
TALL, D. O. Embodiment, Symbolism and Formalism in Undergraduate Mathematics Education,
2007.
PASQUITA, I. M. P. Álgebra e o Pensamento Algébrico de Alunos do 8.º ano. 2007. Dissertação
(Mestrado em Educação) – Universidade de Lisboa, Lisboa – Portugal, 2007.
SFARD, A. On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as
different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics. The Netherlands: Kluwer
Academic Publishers, v. 22, p. 1–36, 1991.
USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD,
A.F.; SHULTE. A. P. (Orgs). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p. 9-22. Tradução: Hygino
H. Domingues.