ficha 2

Análise Complexa e Equações Diferenciais
2 Semestre 2015/2016
o
¯
Cursos: MEBiol, MEAmbi, MEQ
Ficha de Problemas no 2
Séries numéricas, séries de potências
1. Determine, ou mostre que não existem, os limites das sucessões:
in
n + 2i
(b) lim
n→∞ n
n→∞ 7 + 3ni
2n2 + 3n
−6n + n2 +
i
(e) lim
n→∞
5n2
5n2
n
n→∞ n + i
(c) lim (1 + i)−n
(a) lim
(d) lim
n→∞
eni − e−ni
n→∞
n
(g) lim ein
(f) lim
n→∞
2. Considere a sucessão definida para cada n ∈ N por
n
eicos (25πn
zn =
+
2in + 1
n3
5 )log n2
Mostre que a sucessão é limitada e convergente. Calcule lim zn .
n→∞
3. Calcule a soma das seguintes séries.
a)
∞ n
X
i
n=3
2
4. Escreva uma expressão da forma
(a)
1
2z + 5
(e)
1
(z + 1)(z + 2)
(b)
z4
1
+1
(f)
b)
∞
X
(2 + i)
−n
c)
n=1
P∞
n=0 cn z
(c)
(z 2
n
∞
X
(3i)−5n+1
n=1
para as seguintes funções:
1 + iz
1 − iz
1
− 1)(z 2 − 9)
(d)
1
1 − z + z2
Em cada caso, indique o conjunto onde a expressão obtida é válida.
5. Escreva uma expressão para (i) (1 − z)−1 e (ii) 1/(z(z + 2)) como potências de (a) z + 1
e (b) z − i.
6. Determine o raio de convergência das seguintes séries de potências
(s)
∞
X
(−1)n z n
n3
n=1
(b)
∞
X
z
5n
∞
X
(c)
n=0
in n
e z
(d)
n=1
∞
X
zn
(in)n
n=2
(e)
∞
X
n!z n
n=0
7. Determine para quais valores de z, as seguintes séries convergem absolutamente
(a)
∞
X
(z + 1)n
2n
n=0
8. Se a série
∞
X
(b)
∞ X
z − 1 n
n=0
z+1
(c)
∞ X
1 n
1+
z
n=0
(d)
∞
X
1 n −n
(z +z )
n2
n=1
an z n tem raio de convergência R, determine os raios de convergência das
n=0
séries:
a)
∞
X
a5n z n
b)
n=0
∞
X
an z 2n+3
n=0
9. A função ζ de Riemann é definida pela fórmula:
∞
X
1
ζ(z) =
nz
n=1
Mostre que a série que define a função ζ é absolutamente convergente para Re z > 1.
2
Soluções
(b) − 3i
1. (a) 0
2. |zn | <
3. a)
4. (a)
1
;
2
1−2i
20
(c) 0
(d) 1
(e)
2+i
5
(b)
P∞
(f) 0
(g) Não existe
limn→∞ zn = − 2i
b) 1−i
c) 353ii−1
2
(−1)n 2n n
z
5n+1
P∞
n n
n=1 2i z
P∞
n=0
em |z| <
5
2
n 4n
em |z| < 1
n=0 (−1) z
√ n+1
√
P
∞ (1−i 3)
−(1+i 3)n+1
√i
n=0
2n+1
3
z n em |z| < 1
em |z| < 1 (d)
(c) 1 +
P
P∞ 1
1
1
n n
1
−
(e) ∞
1
−
(−1)
z
em
|z|
<
1
(f)
z 2n em |z| < 1
n+1
2n+2
n=0
n=0
2
8
3
√
P
P
(z−i)n
(z+1)n
(b) ∞
2
5. (i) (a) ∞
n=0 (1−i)n+1 válido em |z − i| <
n=0 2n+1 válido em |z + 1| < 2
P
(−1)n+1 −1
(z + 1)n válido em |z + 1| < 1
(ii) (a) ∞
n=0
2
P
1
1
−
(−1)n (z − i)n válido em |z − i| < 1
(b) 12 ∞
n=0 in+1
(2+i)n+1
6. (a) 1
(b) 1
7. (a) |z + 1| < 2
√
8. a) R5 b) R
(c) 1
(d) ∞
(b) Re z > 0
(e) 0
(c) Re z < − 21
3
(d) |z| = 1