Funções Matemáticas

Funções
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Introdução
Para começarmos, precisamos de algumas definições:
• Par ordenado: conjunto de dois números reais em que a ordem dos
elementos importa, ou seja, (1, 2) 6= (2, 1). Utilizaremos essa definição
para a representação de pontos no plano cartesiano, em que o primeiro
elemento representa o valor de x e o segundo representa o valor de y.
• Relação: Uma relação de A em B é o conjunto formado por todos os
pares (x,y), tais que x ∈ A e y ∈ B que assumem uma determinada
propriedade p(x,y).
Dessa forma, já temos conteúdo suficiente para definirmos o assunto principal:
Função é a relação f de A em B tal que ∀x ∈ A, ∃!y ∈ B tal que (x, y) ∈ f .
Geralmente representada por, no caso de funções de apenas uma variável, f(x)
= y, ou seja, aplicando determinada propriedade em x, o transformamos em
y.
Essa propriedade pode ser explícita ou implícita (ou equação funcional),
como motram os exemplos abaixo:
• f (x) = k
• f (x) = ax2 + bx + c
• f (a + b) = f (a) + f (b)
• f (ab) = f (a) + f (b)
Uma função geralmente é representada da seguinte forma:
f :A→B
onde A é chamado domínio (Df ) e B, contra-domínio (CDf ).
1
• Domínio: conjunto de valores em que a função pode ser aplicada.
• Contra-domínio: qualquer conjunto que contenha o conjunto imagem
(Imf ).
• Conjunto imagem: subconjunto do contra-domínio formado por todos
os valores que a função pode assumir quando aplicada a elementos do
domínio. Pode ser representado pelo seguinte conjunto, representado
pelo pontilhado na figura 1.
Imf = {y ∈ B|f (x) = y; ∀x ∈ A}
Figura 1: Exemplo de diagrama de funções
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Classificação de Funções
Sendo:
f : A → Bef (x) = y
• Injetora:
(injetora) ⇐⇒ (∀(x1 , x2 ) ∈ A2 |x1 6= x2 → f (x1 ) 6= f (x2 ))
• Sobrejetora:
(sobrejetora) ⇐⇒ (∀y ∈ B, ∃x ∈ A|f (x) = y)
2
• Bijetora: Injetora e Sobrejetora
(bijetora) ⇐⇒ (∀y ∈ B, ∃!x ∈ A|f (x) = y)
• Paridade:
1. Par: Gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
(par) ⇐⇒ (∀x ∈ A → (−x) ∈ A ∧ f (−x) = f (x))
2. ímpar: Gráfico da função é simétrico em relação à origem.
(ímpar) ⇐⇒ (∀x ∈ A → (−x) ∈ A ∧ f (−x) = −f (x))
Obs:
(a) (f é par e ímpar) ⇐⇒ (f (x) = 0, ∀x ∈ A)).
(b) Toda função pode ser escrita como a soma de uma função par
com uma ímpar.
• Periodicidade:
(periódica) ⇐⇒ (∃p 6= 0(real|)∀x ∈ A → (x+p) ∈ A∧f (x) = f (x+p))
– Preíodo principal: menor valor de P.
– f (x) = a + b.sen(cx + d) =⇒ P =
2π
|c|
2π
|c|
π
|c|
– f (x) = a + b.cos(cx + d) =⇒ P =
– f (x) = a + b.tg(cx + d) =⇒ P =
• Monotonicidade:
1. Estritamente crescente:
x1 > x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ), ∀(x1 , x2 ) ∈ A2 , x1 6= x2
2. Crescente:
x1 ≥ x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ), ∀(x1 , x2 ) ∈ A2 , x1 6= x2
3. Constante:
f (x1 ) = f (x2 ), ∀(x1 , x2 ) ∈ A2 , x1 6= x2
3
4. Decrescente:
x1 ≥ x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ), ∀(x1 , x2 ) ∈ A2 , x1 6= x2
5. Estritamente decrescente:
x1 > x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ), ∀(x1 , x2 ) ∈ A2 , x1 6= x2
Obs: No primeiro e no último itens as funções são injetoras.
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Composição de Funções
f :A→B
g:C→D
E = {∀x ∈ A|f (x) ∈ C}
Se E 6= ∅ =⇒ g ◦ f é a função composta de f com g.
No caso da figura 2, A = X, B = C = Y e D = Z:
Figura 2: Exemplo de diagrama de funções compostas
Obs:
1. f ◦ g(x) 6= g ◦ f (x).
2. h ◦ (g ◦ f )(x) = (h ◦ g) ◦ f (x).
3. Se f e g são injetoras, g ◦ f é injetora.
4. Se f e g são sobrejetoras, g ◦ f é sobrejetora.
5. Se g ◦ f ínjetora então f é injetora.
6. Se g ◦ f śobrejetora então g é sobrejetora.
4
4
Funções Inversas
Uma função f é inversível se sua relaçao inversa é função, ou seja, se, sendo
f (x) = y uma função, f −1 (y) = x também for.
Dessa definição, temos a seguinte propriedade:
f é inversível ⇐⇒ f é bijetora
Obs:
1. ∃f −1 =⇒ f −1 ◦ f (x) = x.
2. f e f −1 são simétricas em relação à reta y = x.
5
Gráfico de uma Função
O gráfico de uma função f : A → B é o seguinte conjunto de pontos (Figura
3):
G = {(x, f (x)), ∀x ∈ A}
Figura 3: Exemplo do gráfico da função f(x) = x
5
6
Principais Funções
Para essas funções, denotaremos:
• R como o conjunto dos números reais.
• Período como o "período principal".
• Domínio como o domínio máximo.
1. Função constante: f (x) = k
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf = {k}
• Paridade: Função par
• Período principal não definido
• Monotonicidade: Função Constante
• @f −1 (y)
• Gráfico: Figura 4
Figura 4: Gráfico da função constante f (x) = k
2. Função Afim: f (x) = ax + b
6
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf = R
(
ímpar
• Paridade:
nem ímpar, nem par
b=0
b 6= 0
• Sem período
(
Extritamente Crescente
• Monotonicidade:
Extritamente Decrescente
• f −1 (y) =
a>0
a<0
y−b
a
• Gráfico: Figura 5
Figura 5: Gráfico da função afim f (x) = ax + b
3. Função Quadrática: f (x) = ax2 + bx + c
• Domínio: Df = R
(
∆
− 4a
; +∞ if a > 0
• Imagem: Imf =
∆
−∞; − 4a
if a < 0
(
par
b=0
• Paridade:
nem ímpar, nem par
b 6= 0
• Sem período
• Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio.
• @f −1 (y) em todo o domínio.
• Gráfico (D = ∆): Figura 6
7
• Forma fatorada: f (x) = a(x − r1 )(x − r2 ), sendo r1 e r2 as raízes.
• Forma vértice: f (x) = a(x − xV )2 + yV , sendo (xV , yV ) o vértice.
4. Função Polinomial:
f : R → Rf (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an
• Domínio: Df = R
• Imagem:


R
Imf = [yV , +∞)


(−∞, yV ]
Sendo yV a ordenada
ímpar
a0 > 0
a0 < 0
do vértice extremo do gráfico da função.
• Paridade:
Figura 6: Gráfico da função quadrática f (x) = ax2 + bx + c
8

par e ímpar



ímpar

par



nem par, nem ímpar
ai = 0, ∀i = 0, 1, 2, . . . , n
n ímpar e ai = 0, ∀i = 1, 3, . . . , n
par e ai = 0, ∀i = 1, 3, . . . , n − 1
outros casos
• Sem período
• Monotonicidade:


a0 > 0, n ímpar e f (x) = a0 (x − r)n
Extritamente crescente
Extritamente decrescente
a0 < 0, n ímpar e f (x) = a0 (x − r)n


Sem classificação
outros casos
Sendo r a única raiz da função.
• Para os casos em que a função é extritamente crescente ou decrescente:
f
−1
(y) =
y
a0
n1
+r
• Gráfico: Muito genérico para ser desenhado, mas podemos descrevêlo:
– Cruza o eixo y em an .
– Cruza o eixo x em k pontos, que são as raízes reais, com k ≤ n.
– Os gráficos são retas somente nos casos de n = 0 e n = 1, já
estudados.
5. Função Recíproca: f (x) =
1
x
• Domínio: Df = R\{0}
• Imagem: Imf = R\{0}
• Paridade: ímpar
• Sem período
• Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio.
• f −1 (y) = y1 .
• Gráfico: Hipérbole Equilátera (figura 7
Obs: Através do gráfico dessa função, pode ser definida a função
logarítimica. Já que, como será visto mais adiante:
9
x
Z
1
1
dx = ln(x)
x
6. Função Modular:
f (x) =| x |
(
x
f (x) =
−x
ou
x≥0
x<0
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf = [0; +∞)
• Paridade: Par
• Sem período
• Monotonicidade: Sem classificação para todo o domínio.
• @f −1 (y) para todo o domínio.
• Gráfico: Figura 8
7. Função Exponencial: f (x) = ax , a > 0, a 6= 1
• Domínio: Df = R
• Imagem: Imf = [0; +∞)
• Paridade: Nem par, nem ímpar.
Figura 7: Gráfico da função recíproca f (x) =
10
1
x
• Sem período
• Monotonicidade:
(
Extritamente decrescente
Extritamente crescente
0<a<1
a>1
• f −1 (y) = loga y.
• Gráfico: Figura 9
• Essa é uma das mais importantes funções e, portanto, algumas
propriedades serão exploradas:
– x = 0 =⇒ f (x) = 1
– x = 1 =⇒ f (x) = a
– f (x).f (y) = f (x + y)
–
f (x)
f (y)
= f (x − y)
ou
– f (x)y = f (xy) ou
1
– f (x)
= f (−x) ou
ou
ou
ou
a0 = 1
a1 = a
ax .ay = ax+y
ax
=
ay
x y
ax−y
(a ) = axy
1
= a−x
ax
– ax .bx = (ab)x
– Essa função, com a = e (número de Euler), pode ser aproximada pela série de Taylor para a seguinte soma:
ex =
∞
X
xn
n=0
n!
Figura 8: Gráfico da função modular f (x) =| x |
11
– Uma importante equação, que relaciona a função exponencial
com a trigonometria é a fórmula de Euler, dada por:
eiθ = cos(θ) + i.sen(θ)
Com essa relação será possível a dedução das fórmulas de
sen(nθ) e cos(nθ), para qualquer valor de θ. Mas esse exercício fica a cargo do leitor na sessão de desafios da apostila de
trigonometria.
Dessa fórmula, tiramos uma expressão que relaciona 5 dos
mais importantes números da matemática, ao substituirmos
θ por π:
eiπ + 1 = 0
8. Função Logarítimica: f (x) = loga x, a > 0, a 6= 1
• Domínio: Df = R+ \{0}
• Imagem: Imf = R
Figura 9: Gráfico da função exponencial f (x) = ax
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• Paridade: Nem par, nem ímpar.
• Sem período
• Monotonicidade:
(
Extritamente decrescente
Extritamente crescente
0<a<1
a>1
• f −1 (y) = ay .
• Gráfico: Figura 10
Figura 10: Gráfico da função logarítimica f (x) = loga x
• Essa é uma das mais importantes funções e, portanto, algumas
propriedades serão exploradas:
– x = 1 =⇒ f (x) = 0
– f (x) + f (y) = f (xy)
– f xy = f (x) − f (y)
ou
ou
ou
loga 1 = 0
loga (xy) = loga (x) + loga (y)
loga xy = loga (x) − loga (y)
– f (xy ) = y.f (x) ou loga (xy ) = y.loga (x)
ax
– Mudança de base: logb x = log
loga b
9. Função seno: f (x) = sen(x)
• Domínio: Df = R (x em radianos)
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• Imagem: Imf = [−1; 1]
• Paridade: Função ímpar
• Período: P = 2π
• Monotonicidade: Sem classificação
• @f −1 (y) em todo o domínio, porém, para D = − π2 ; π2 , define-se
f −1 (y) = arcsen(y)
• Gráfico: Figura 11
Figura 11: Gráfico da função seno f (x) = sen(x)
• Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a
seguinte soma:
∞
X
(−1)n 2n+1
sen(x) =
x
(2n + 1)!
n=0
10. Função cosseno: f (x) = cos(x)
• Domínio: Df = R (x em radianos)
• Imagem: Imf = [−1; 1]
• Paridade: Função par
• Período: P = 2π
• Monotonicidade: Sem classificação
• @f −1 (y) em todo o domínio, porém, para D = [0; π], define-se
f −1 (y) = arccos(y)
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Figura 12: Gráfico da função cosseno f (x) = cos(x)
• Gráfico: Figura 12
• Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a
seguinte soma:
cos(x) =
∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
x2n
11. Função tangente: f (x) = tg(x)
• Domínio: Df = {x ∈ R | x 6=
π
2
+ Kπ, K ∈ Z} (x em radianos)
• Imagem: Imf = R
• Paridade: Função ímpar
• Período: P = π
• Monotonicidade: Sem classificação
• @f −1 (y) em todo o domínio, porém, para D = − π2 ; π2 , define-se
f −1 (y) = arctg(y)
• Gráfico: Figura 13
• Obs: A função pode ser aproximada pela série de Taylor para a
seguinte expressão:
sen(x)
tg(x) =
=
cos(x)
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P∞
n
(−1)
2n+1
n=0 (2n+1)! x
P∞ (−1)n 2n
n=0 (2n)! x
Referências
• http://pt.wikipedia.org/wiki/Funções
• Livro: Mtemática - Temas e Metas Volume 6 - Funções e Derivadas Antonio dos Santos Machado
• Livro de Matemática do Sistema de Ensino Poliedro
Figura 13: Gráfico da função tangente f (x) = tg(x)
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