Aula 08 – mtm B
MATRIZES
Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Definição
O produto da matriz A = (aij)mxn pela matriz B = (bij)mxn, tal que
cada elemento cij é igual aos produto linha i de A pela coluna j de
B.
A 3 x 7 .B 7 x 5 = C3 x 5
Nº de colunas de A, deve ser igual ao nº de linhas de B.
C, tem o mesmo nº de linhas de A, e o mesmo nº de
colunas de B.
A 3 x 3 .B 3 x 2 = C3 x 2
Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Exemplo 1: Calcule.
-1
0
3
2
3
1 .
-2
4
-7
1
=
-2
0 1
-1
0
3
Resolução:
a11 = - 1 . 3 + 2 . - 2 = - 3 - 4 = - 7
a12 = - 1 . 1 + 2 . 0 = - 1 + 0 = - 1
a21 = 0 . 3 + 1 . - 2 = 0 - 2 = - 2
a22 = 0 . 1 + 1 . 0 = 0 + 0 = 0
a31 = 3 . 3 + 4 . - 2 = 9 - 8 = 1
a32 = 3 . 1 + 4 . 0 = 3 + 0 = 3
Matrizes
Multiplicação de Matrizes
Exemplo 2: Considere as matrizes A 6 x 5 e B 5 x 4, onde, aij = i² - j e
bij = 3i - j. Sabendo que A . B = C, calcule c23.
Resolução:
c23 é o elemento dado pelo produto da segunda linha de A pela
terceira coluna de B.
Terceira coluna de B
Segunda linha de A
b13 b23 b33 b43 b53
a21 a22 a23 a24 a25
b13 = 3 . 1 - 3 = 0
a21 = 2² - 1 = 3
b23 = 3 . 2 - 3 = 3
a22 = 2² - 2 = 2
b33 = 3 . 3 - 3 = 6
a23 = 2² - 3 = 1
a24 = 2² - 4 = 0
b43 = 3 . 4 - 3 = 9
a25 = 2² - 5 = - 1
b53 = 3 . 5 - 3 = 12
C23 = 3 . 0 + 2 . 3 + 1 . 6 + 0 . 9 – 1 . 12 = 0 + 6 + 6 + 0 - 12 = 0
Matrizes
Multiplicação de Matrizes
2
Exemplo 3: Resolva a equação matricial
1
Resolução:
2x + 6y 8
x + 4y =
2
6 x 8
. = .
4 y 2
2x + 6y = 8
x + 4y = 2 . (- 2)
2x + 6(- 2) = 8
2x + 6y = 8
+
- 2x - 8y = - 4
____________
- 2y = 4
y=-2
2x = 20
x = 10
S = {(10, -2)}
Matrizes
Propriedades
Associativa
(A . B) . C = A . (B . C)
(A . B) . C ≠ A . (C . B)
Distributiva
A . (B + C) = A . B + A . C
A . (B + C) ≠ A . B + C . A
Matrizes
Propriedades
Potência
A2 = A . A
(A deve ser uma matriz quadrada)
A3 = A . A . A
A0 = I
Comutativa
A.B≠B.A
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( F )A.B=B.C⇒A=C
Contra-exemplo: se B for a matriz nula, A pode ser diferente de C.
Matrizes
Propriedades
Anulamento
Exemplo 1: Classifique como Verdadeiro ou Falso.
( F ) A . B = O ⇒ A = O ou B = O.
2
Contra-exemplo: A =
0
0
0
e B=
0
0
( F ) An = O ⇒ A = O.
0
Contra-exemplo: A =
0
( V ) A . O = O.
1
0
0
1
Matrizes
Propriedades
Elemento Neutro
A.I = A
Desigualdade de Produtos Notáveis
(A + B)² ≠ A² + 2 . A . B + B²
(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²
(A + B)² = (A + B) . (A + B) = A² + A . B + A . B + B²
Matrizes
Matriz Inversa
A . A-1 = I
A-1 =
A
A
Se A for singular ⇒ det A = 0 e por consequência A não
possui inversa.
A terá inversa ⇔ for regular (det A ≠ 0).
Matrizes
Matriz Inversa
-2 5
.
Exemplo 1: Encontre a matriz inversa de A =
-1 3
Resolução:
A . A-1 = I
-2 5 a b 1
.
=
-1 3 c d 0
- 2a + 5c - 2b + 5d 1
=
- 1a + 3c - 1b + 3d 0
- 2a + 5c = 1
- 1a + 3c = 0
0
1
0
1
- 2b + 5d = 0
- 1b + 3d = 1
Matrizes
Matriz Inversa
-2 5
.
Exemplo 1: Encontre a matriz inversa de A =
-1 3
Resolução:
- 2a + 5c = 1
- 1a + 3c = 0 . (-2)
+ - 2a + 5c = 1
2a - 6c = 0
__________
-c=1
c=-1
- 2a + 5(-1) = 1
- 2a = 6
a=-3
- 2b + 5d = 0
- 1b + 3d = 1. (-2)
+ - 2b + 5d = 0
2b - 6d = - 2
____________
-d=-2
d=2
- 2b + 5(2) = 0
- 2b = - 10
b=5
A
-1
A
-1
a
=
c
-3
=
-1
b
d
5
2
Matrizes
Matriz Inversa
-2 5
.
Exemplo 1: Encontre a matriz inversa de A =
-1 3
Resolução:
A-1 =
A
A
Det A = - 6 - ( - 5) = - 1
Primeira diagonal, troca de Posição.
Segunda diagonal, troca de Sinal.
-2
-1
3
-5-1 -3
-1
→
=
3 1 -1 -2 -1 -1
5
5
2
Matrizes
Matriz Inversa
2
Exemplo 2: Resolva a equação matricial
1
Resolução:
A.X=B
A-1 . A . X = A-1 . B
I
X = A-1 . B
6 x 8
. = .
4 y 2
A
2
A=
1
X
42
6
→ A -1 =
-1
4
2
2
X = A-1 . B =
-1
2
B
-6 2 2
=
2 -1
2 2
-3
1
-3 8 10
. =
1 2 -2
S = {(10, -2)}
Matrizes
Matriz Inversa
Matrizes Inversas Entre Si
Quando uma é a inversa da outra.
-2
Exemplo 1: -3
1
9
3
0
-3 1
-3 e 0
1 -1
-3
1
3
3
-6
1
7
Resolução:
Se uma é a inversa da outra, vale que A . A-1 = I
-2
-3
1
9
3
0
-3 1
-3 . 0
1 -1
-3
1
3
3
-6 1
1 = 0
0
7
0
1
0
0
0
1
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FIM
