Física 1 Mecânica Instituto de Física

Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Trabalho e Energia
Potenciais
10/09/2014
Effete
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(Trablho e Energia)
Física 1
10/09/2014
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Outline
1
Trabalho de uma Força Constante
2
Trabalho de uma Força Variável
3
Teorema do Trabalho-Energia
4
Energia Potencial
5
Conservação da Energia Mecânica
6
Forças Conservativas e Não Conservativas
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(Trablho e Energia)
Física 1
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Introdução
Estudamos a Mecânica Newtoniana utilizando o conceito de
Força ‹ aceleração ‹ velocidade ‹ posição , resolvendo um
grande número de situações.
Porém em situações que temos forças que variam com a
posição (molas, superfícies inclinadas não planas...), a
resolução através da aceleração pode se tornar mais
complexa. ‹ Podemos resolver com mais simplicidade
através do conceito Trabalho - Energia
Energia é um dos tópicos mais importantes em ciência pois é
uma grandeza que se conserva, pode ser convertida de uma
forma a outra, mas não criada nem destruída.
Aqui trataremos de Energia mecânica, cinética, potencial,
começando com a definição de Trabalho
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(Trablho e Energia)
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Trabalho de uma Força Constante
Vamos começar definindo o Trabalho (W ) de uma força
constante em movimento unidimensional.
O Trabalho realizado pela Força constante F
para deslocar o objeto de uma distância d é
W
F d cos
F d
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W
F d cos
F d
Se temos várias forças atuando sobre o corpo, consideramos o
trabalho de cada uma delas.
Note que W pode ser
0
0 ou
0
O Trabalho estará ligado à transferência de energia:
Se energia é ⇐€¥€£#E¥¥¥¥£¥€E¥¥€€£¥E€€£€€transferida para o corpo (cedida) ‹ W
0
¥¥¥¥¥¥
Se energia é transferida do corpo (gasta) ‹ W
0
Trabalho é uma quantidade escalar.
Sua unidade no SI é N.m ‹ Joule
±
(Trablho e Energia)
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Qual o trabalho realizado por cada força para deslocar o objeto
de 3m?
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Um objeto de massa 15kg
m é arrastado com velocidade constante
por uma distância L L5 7 m sobre uma rampa sem atrito até
atingir uma altura h h2 5 m acima do ponto de partida.
a) Qual a força que a pessoa deve exercer?
b) Qual o trabalho executado pela pessoa sobre o objeto para
executar este deslocamento?
c) A pessoa diz que se usasse uma rampa mais longa (outra
inclinação) para levantar até a mesma altura, ela realizaria menos
trabalho. V ou F?
e) Qual o trabalho realizado pela força Peso?
d) Qual o trabalho da pessoa para levantar verticalmente da
mesma altura h?
Bafta
sea
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h{ f
F
m
L
;
F
a)
b) We
e)
F
=
,
he
=
he
Lsu
=
o
sue
mg
L
.
F
=
F
=
new
g
in
[
=
Wp
mg
F
=
h
'
.
'd
m
of
±
hero
fh
-
=
-
mg
see
a
-
~
foe
'
=
te
o
reno
e)
'
o
e
memo
,
'
W
d)
W
O
I
=
-
mania
forge
e
a
took
e-
a
th
emntaao
mash
sue
.
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Trabalho de uma Força Variável
Se a força é constante : W
Fx x
Se a força varia com a posição:
W
F x
lim
W
x
W
0
xf
xi
F x
x
F x dx
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Trabalho Realizado por uma Mola
Qual o Trabalho realizado pela mola
para levar o bloco de xi até xf ?
F
W
W
kx
xf
xi
k
k x dx
xf2
2
xi2
2
1
k xf2 xi2
2
Em particular, se xi 0 ‹
W
W
(Trablho e Energia)
1
k x2
2
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Trabalho de uma Força Qualquer em 3 Dimensões
W
F dl
Fx dx
Fy dy
Fz dz
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Teorema do Trabalho-Energia
É uma consequência da Segunda Lei de Newton:
Se uma partícula se move ao longo de um eixo, sob a ação de
uma força resultante Fres nessa mesma direção:
Wres
xf
xi
F x dx
ma x dx
Wres
vf
vi
m
dv
dx
dt
ma x dx
mvdv
mvf2 mvi2
2
2
2 de Energia Cinética da partícula:
mvdv
Chamamos a quantidade mv 2
Wres Kf Ki
A variação da Energia cinética de uma partícula é igual ao
Trabalho da resultante das forças que atuam sobre essa
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partícula
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Wres
Note que se W
Kf
Ki
0 a velocidade do objeto aumentará
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(Trablho e Energia)
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Movimento de Queda Livre
Na descida: v aumenta ‹ K aumenta.
Peso no mesmo sentido do deslocamento ‹
Wres 0
Na subida: v diminui ‹ K diminui.
Peso no sentido contrário ao deslocamento ‹
Wres 0
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Movimento Circular Uniforme
Se v é constante ‹ K não varia.
K 0
Força resultante
Wres 0
ao deslocamento ‹
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(Trablho e Energia)
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Força de atrito Cinético
A força resultante é a força de atrito cinético, que é sempre
contrária ao deslocamento:
Wres
Wfc
fc d
fc d
O Trabalho da Força de atrito Cinético é sempre
cinética diminui.
E o Trabalho da Força de atrito Estático??
0, energia
Depende...
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(Trablho e Energia)
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Um bloco de 250g é deixado cair sobre uma mola vertical de
k 250N m. A compressão máxima da mola produzida pelo
bloco é de 12 cm.
a) Qual o trabalho executado pelo peso e pela força da mola
enquanto ela está sendo comprimida?
b) Qual era a velocidade do bloco no momento em que se chocou
com a mola?
c) Se a velocidade no momento do impacto dobrar, qual será a
compressão máxima da mola?
aoudad
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in
250
=
Wp
F
=
WEE
=
Dk
V
v
21
my
=
mg
=
=
.
se
=
-
250×153
250×0
{
12
=
se
-
'
ksi
=
'
=
I
w/
250
=
.
ii
=
9.8×0.12=0.2995
×
-
I.
OJ
Wvs
=
I
-
-
.
k
g
-
3.5
k:
mgn
Zgu
+
-
at
kin
nls
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(Trablho e Energia)
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Uma força resultante age sobre uma partícula de 3kg de tal
forma que sua posição em função do tempo é dada por
x t
3 t 4 t 2 t 3 (x em metros, t em segundos). Determine
o trabalho executado pela força entre t 0 e t 4s.
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Was
3£
a=
D=
v=
DK
=
4+2++3
-
2
3
=
-
8£
+
at
2
W
3
t=oj=
(
=
±
-
m
Is
(
v
gaz
-
3t
( t=4 )
9)
=
=
3
-
2+48=19
]
528J
.
20/ 57
(Trablho e Energia)
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Energia Potencial
Esses são exemplos em que temos um sistema de dois corpos
(elástico+pedra, Terra+pedra, carro+Terra) que interagem
através de uma força. O sistema se encontra em uma certa
configuração (de repouso) e que ao ser liberado, muda a
configuração e surge um estado de movimento.
Dizemos que no sistema com os dois corpos havia uma forma de
Energia armazenada ‹ Energia Potencial, que se transforma
em energia de movimento (Energia Cinética).
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(Trablho e Energia)
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A toda força podemos associar uma energia potencial?
Não! Apenas às forças Conservativas!!
Vamos examinar 3 exemplos: Força Elástica, Força Gravitacional,
Força de atrito Cinético
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Força Elástica
Um bloco com velocidade constante v se
aproxima de uma mola em sua posição
natural.
A mola é comprimida, a velocidade diminui
até chegar a zero.
O bloco retorna passando pelo ponto A com a
mesma velocidade (em módulo).
Se o corpo recupera toda a sua energia
cinética, podemos associar a esta força uma
energia potencial.
Toda mudança na energia cinética foi
acompanhada da mesma mudança (mas de
sinal oposto) na energia potencial
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(Trablho e Energia)
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Força Gravitacional
O módulo da Velocidade é recuperado, podemos associar uma
energia Potencial
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Conservação da Energia Mecânica
A relação “variação na energia cinética acompanhada de uma
variação oposta na energia potencial” pode ser escrita
matematicamente:
U
K
U
Uf
Ui
0
K
Kf
Ki
0
Lei da Conservação da Energia Mecânica
Ki
Ui
Kf
Uf
E
constante
onde E é chamada de Energia Mecânica do sistema
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Força de Atrito
Magaha
V
O módulo da Velocidade NÃO é recuperado, NÃO podemos
associar uma energia Potencial à força de atrito.
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(Trablho e Energia)
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Definição de Energia Potencial
Considerando o Teorema do Trabalho - Energia Cinética
Wres
K
e que uma variação na energia potencial corresponde a uma
variação de sinal contrário na Energia cinética:
K
U
U
Wres
temos que:
Para uma dimensão:
U
x
x0
F x dx
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x
U
x0
F x dx
Se a configuração de um sistema é alterada pela ação de uma
força, a mudança na energia potencial será o negativo do
trabalho realizado por essa força.
Note que só faz sentido calcular variação de energia potencial.
Devemos sempre escolher arbitrariamente um “zero” de energia
potencial:
U x
U x0
x
x0
F x dx
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Energia Potencial Elástica
F x
kx . Escolhemos U x0
relaxamento da mola)
0 onde x0
0 ( posição de
k xf2
k x 2 xf
Uel 0
k x dx
2 0
2
0
Substituindo na equação de conservação de energia mecânica:
xf
go
1
k x12
2
1
m v12
2
1
k x22
2
1
m v22
2
*
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Energia Potencial Gravitacional
F y
mg . Escolhemos U y0
baixo, eixo y orientado para cima)
Ug
0
yf
0 onde y0
m g dy
0
0 (ponto mais
m g yf
Substituindo na equação de conservação de energia mecânica:
m g y1
1
m v12
2
m g y2
1
m v22
2
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(Trablho e Energia)
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Um bloco de massa m 5 7kg desliza sem atrito num plano
horizontal com velocidade constante v 1 2m/s. Ele se choca
com uma mola, de constante elástica k 1500N.m,
1 e sua
velocidade se reduza a zero no momento em que o comprimento
da mola diminui de d em relação ao seu comprimento natural.
Qual o valor de d?
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÷
A
'
koi
=
=
V
no
{
⇐
'
=
7,4
-
32/ 57
(Trablho e Energia)
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Uma bungee jumper de m 61kg está em uma ponte 45m acima
de um rio. No estado relaxado a corda elástica tem comprimento
25m. Suponha que a corda obedeça à Lei de Hooke com
k 160N/m.
a) A que distância h0 os pés da moça estão da água no ponto
mais baixo da queda?
b) Qual a resultante das forças e a aceleração no ponto mais
baixo?
L
d
ios
.
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No
pronto
mg (
hot
lzkds
d
L
alto
:
baia
:
pontoon
NO
17.9
=
t
-
d
=
Rehltonte
T
to
k
"
my
mains
L
d)
+
mgd
17.9
e
kze
[
I
=
-
160
a
=
17.9
×
22¥
6
(Trablho e Energia)
H
-
(
)
Ltd
=
2
.
In
boiseo
=
I
do
carton
des
o
h=
's
iv
mg
-
<
42.9
forth
no
kd2
0
hahn
=
kdt
lz
+
)
Ltd
+
lz
+
=
run
25
+
lo
L
mg
-
ho
mgho
mg
=
(
m
mg (
Física 1
-
61
E38
×
9
.
•
=
2270N
m1s2
34/ 57
1
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Exemplo 7-6 Tipler
Um bloco de 2kg comprime de 20cm uma mola de k 500N/m
em uma superfície horizontal e lisa. O bloco é liberado,
deslizando sobre a superfície, subindo por uma rampa que faz 45
com a horizontal. Qual a distância que ele precorre na rampa até
parar?
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Eavuuti
.Ik
gen
.ie?sus=
I
.
2
-
±
-
Kito
tgksi
l=
=
Ikjdg
Kf
so
Udt=o
ugh
=
0.51W
h=
d
Inno
=
he
=
0.72in
sine
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Exemplo 7-5 Tipler
O pêndulo de comprimento L é solto do repouso quando faz um
ângulo 0 com a vertical.
Qual a velocidade e a Tensão na corda ao passar pelo ponto mais
baixo?
teepee
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Exemplo 7-5 Tipler
O pêndulo de comprimento L é solto do repouso quando faz um
ângulo 0 com a vertical.
Qual a velocidade e a Tensão na corda ao passar pelo ponto mais
baixo?
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(Trablho e Energia)
Física 1
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Um esquiador parte do repouso do topo de um semi-hemisfério
de raio R. Em que altura ele perde contato com a superfície?
-086hm
he
)
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cons
engine
.
R
mg
R
R
-
st
R
g
mg
+
=true
±
H
:
YI
=
I
R
v2
m
puts
anti
grew
m
g
nz
=
force
i
v2=
+
=
q
H
rg
soo
H
4
=
25
R
R
40/ 57
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Um bloco de massa m é liberado a partir do repouso de uma
altura h do alto de um plano inclinado de um ângulo sem
atrito. O bloco comprime uma mola de constante elástica k .
a) Qual a velocidade do bloco ao se chocar com a mola? b) Qual
a distância total percorrida pelo bloco até parar?
saaremaa
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(Trablho e Energia)
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€1
€
m
of
vi.
h
&
€
st
=
=
mg
ki
÷
we
±
l
d
=
soo
h
g
then
k
it
m
-
mi
÷
=
-
g
u
-
-
t
:
h
mg
+
m
2
'
used
=
gh
=
°
#ot÷
k
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(Trablho e Energia)
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Forças Conservativas e Não Conservativas
Se uma energia potencial puder ser associada à uma força,
dizemos que essa força é conservativa. Senão é dissipativa.
As forças conservativas têm duas propriedades importantes:
O Trabalho realizado pela força em um circuito fechado é
nulo
O Trabalho de uma força para levar um corpo de um ponto a
outro é independente do caminho
W12 A
W21 B
0
W12 A
W21 B
se for de 1 a 2 por B:
W12 B
W21 B
W12 A
W12 B
Se só atuam forças conservativas, a Energia mecânica se conserva
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(Trablho e Energia)
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Força Conservativa
Força elástica e gravitacional ‹ força conservativa
Jogar uma bola para cima por h: WP
mgh, ao descer:
WP
mgh
x
k x2
Ao alongar uma mola de x : Wel
kx
0
2
0
k x2
ao retornar: Wel
kx
x
2
Força não conservativa
Força de atrito ‹ força dissipativa
tanto na ida quanto na volta Wfc
fc d
Independência dos caminhos:
W
Wp
-
=
.
mgh
a
inTak⇐
no
.
=
-
mg
ret
d
!
.
-
44/ 57
(Trablho e Energia)
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Forças Dissipativas
.
Vamos considerar uma partícula sujeita a várias forças
conservativas e apenas uma dissipativa.
Wres
K
Vamos separar o Wres em Wcon Wfc
K
Cada força conservativa pode ser associada a uma energia
potencial:
Wcon
Wfc
U
K
U
E
Sempre que atuam forças dissipativas a Energia mecânica não se
conserva. Ela é transformada em Energia térmica ou Energia
interna do sistema.
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(Trablho e Energia)
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Um bloco de 2,5kg colide com uma mola horizontal cuja
constante k é 320 N/m. O bloco comprime a mola até que seu
comprimento diminua de 7,5 cm em relação ao comprimento
inicial. O coeficiente de atrito cinético vale 0,25.
a) Qual o trabalho realizado pela mola até parar?R: Wel
0 9J
b) Qual a Energia mecânica dissipada pela força de atrito
enquanto o bloco está sendo levado ao repouso pela mola?R:
Wf
0 46J
blow
c) Qual a velocidade dao mola
no momento da colisão? R:
v 1 04 m/s
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(Trablho e Energia)
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a
)
Wee
b)
Wf
e)
f
-
se
.
Duel
+
tzmi
v2=
izkrt
-
=
Dk
-
=
=
W+×I
kih
µ
-
mg
u
=o
25×2.5×9.8×0.075
.
=
-
o
.
=
46J
Wf
zksi
+
=
=
0.95
-
=
+
=
=
-
1.08
v=
1.04
mls
-
47/ 57
(Trablho e Energia)
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Dois blocos são ligados por uma corda e liberados a partir do
repouso. Mostre que a velocidade deles após percorrerem uma
distância L é
2 m2
m1 g L
v
m1 m2
onde é o coeficiente de atrito cinético. Despreze a massa e o
atrito da roldana.
48/ 57
(Trablho e Energia)
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DK
DK
(
tz
=
DO
Wf
DU
+
0
=
=
-
Ng
=
m
us
-
mm
,
g
-
+m<
Itnju
Us
-
mi
T
L
mug
gl (
2-
=
L
L
g
,
vt
)
mz
+
,
ms
=
-
them
Mm
,
.gl
)
MZ
49/ 57
(Trablho e Energia)
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Dois blocos são conectados por um fio que passa por uma
roldana. O bloco de massa m1 está sobre uma superfície
horizontal preso a uma mola de constante elástica k . O sistema é
liberado do repouso com a mola relaxada. Se o bloco m2 desce
uma distância h antes de parar, calcule o coeficiente de atrito
estático entre a superfície e m1 .
=uiti
'
co
/
50/ 57
(Trablho e Energia)
Física 1
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50 / 57
imio
No
:
ewbairco
÷
ms
kwh
iz
kL2
+
{
(
of
in
,
+
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tmz
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f
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a
-
µ
=L
mig
L
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Física 1
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O cabo de um elevador de 2 toneladas arrebenta e ele cai.
Quando sua velocidade é 4m/s ele atinge a mola amortecedora
que deve ser capaz de pará-lo após ser comprimida de uma
distância de 2m. Durante a compressão da mola, o freio de
segurança aplica uma força de atrito constante de 17000N. Qual
deve ser a constante elástica da mola para que essa situação
aconteça?
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Física 1
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DK
t
Ug
a
DUI
+
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-
£
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lzksi
k
k
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-
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se
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-
=
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.
oaxid
%
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(Trablho e Energia)
Física 1
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Uma pequena partícula escorrega por uma pista com
extremidades elevadas e uma parte plana central de comprimento
L. O atrito com as partes elevadas da pista é desprezível, mas na
parte plana c vale 0,2. A partícula começa a descer a partir do
repouso no ponto A, que se encontra a uma altura h L 2
acima da parte plana da pista. Determine a posição da partícula
quando ela atinge o repouso.
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Física 1
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Física 1
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Um objeto de massa m é amarrado num suporte no teto
usando-se uma corda fina e flexível de comprimento l. Ele é
deslocado até que a corda esteja esticada horizontalmente, como
mostra a figura, e depois é deixado livre.
a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela está
diretamente abaixo do ponto de suspensão, na base de sua
oscilação.
b) Ache a tensão na corda neste ponto, imediatamente antes da
corda tocar no pino.
c) A corda é interceptada por um pino, como mostra a figura.
Qual a distância b mínima para que a massa realize um giro
completo em torno do pino?
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