Identidades Polinomiais Graduadas de Matrizes Triangulares

Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Identidades Polinomiais Graduadas de
Matrizes Triangulares
por
Alex Ramos Borges
†
sob orientação do
Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa
de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
†
Este trabalho contou com apoio nanceiro da CAPES e do CNPq
Identidades Polinomiais Graduadas de
Matrizes Triangulares
por
Alex Ramos Borges
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em
Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre
em Matemática.
Área de Concentração: Matemática
Aprovada por:
Prof. Dr. Viviane Ribeiro Tomaz da Silva (UFMG)
Prof. Dr. Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva (UFCG)
Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior (UFCG)
Orientador
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Dezembro/2012
ii
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a Deus, pois sem ele eu não teria chegado ao nal de
mais esta etapa de minha vida. Ele sempre esteve ao meu lado e me ajudou a atravesar
todas as diculdades normais de um mestrado, bem como problemas de saúde que sobre
mim recaíram. Muito obrigado Pai!
Em segundo lugar, agradeço a minha família, meu pai, José Geová Doarte Borges,
pelas ajudas quando precisei; a minhas irmãs, Vanessa Ramos Borges e Amanda Jessica
Ramos Borges, pelo apoio e companheirismo nos momentos bons e mais ainda nos ruins;
ao meu sobrinho José Adrian Victor Borges pela companhia agradável e pelas risadas;
mas sobre tudo quero agradecer a minha mãe, Silvânia Ramos de Lima, pois ela é
um anjo que Deus me deu o prazer de ter como mãe, ela sempre esteve ao meu lado,
sempre, nunca me abandonou, nunca virou as costas para mim, sempre batalhou para
fazer de mim um homem descente e para que eu tivesse as oportunidades que ela não
teve, Mãe eu te amo acima de tudo! É por sua causa e por você ter sacricado tudo
que sacricou que pude chegar aqui hoje é graças a você que sou um homem, não
perfeito, mas que sempre tentar ir pelos caminhos que te deixem orgulhosa. Este teu
lho mesmo errando continua em frente e vai chegar a lugares que você nunca imaginou
que um lho seu fosse chegar, por todas a difículdades que enfrentamos e continuamos
a enfrentar. Muito obrigado por tudo e desculpas pela minha ausênsia em momentos
que você precisou, mas espero que tenha valido a pena ver seu lho mestre.
Agora quero agradecer ao amor que Deus me mandou, quero agradecer a Silvania
Dias Ferreira, minha namorada e a responsável por eu ter conseguido começar e terminar meu mestrado. Não sei o que a vida nos reserva, só sei que independetemente de
qualquer coisa, serei muito grato por tudo que ela fez por mim, me apoando quando
precisei, tomando conta de mim, me dando uns puxões de orelha quando eu merecia
e mais ainda, suportanto toda esta minha ausência. Meu amor, quero que vc que ao
meu lado para sempre. Não sei o que Deus quer de mim, pois nós tivemos que superar
iii
iv
muita coisa, mas agradeço todo dia por ele ter te colocado em minha vida, pois, você
esteve ao meu lado nos momentos mais difíceis, muito obrigado por tudo, por tudo
mesmo. Saiba que você tem grande parte neste meu sucesso, pois, sem você eu não
conseguiria terminar esta etapa de minha vida. Por m quero te pedir desculpas por
todo o sofrimento que te provoquei neste período em que me dediquei ao mestrado. Não
soube conciliar você com o mestrado e errei muito, co triste só em pensar que te z
chorar, mas hoje tenho o título de mestre e o mais importante, tenho você. Obrigado
meu anjo!
Quero agradecer ao grande professor e amigo, Antônio Pereira Brandão Júnior,
por tudo. Falar de Brandão para mim é como falar de um ídolo, pois só vim fazer
mestrado em Campina Grande por causa deste professor. Estava tudo certo para que
eu fosse para o mestrado de outra universidade, mas depois de fazer a displina de
álgebra linear no verão de 2009 com ele, decidi que queria o mestrado nesta instituição
e decidi que queria que ele me orientasse. Nunca conheci ninguém que tivesse um
conhecimento em matemática tão vasto, ele tirou dúvidas minhas em várias áreas,
não só em Álgebra, mas também em Geometria e Análise. Professor muito obrigado
por tudo! Acima de tudo, obrigado pela paciência, pois se fosse outra pessoa já teria
desistido de mim, por tudo que tive que enfrentar neste mestrado, e você como pessoa,
como ser humano, entendeu e me apoiou nos momentos mais difíceis, nos momentos
em que mais precisei. Sou grato por você ter me orientado, muito obrigado!
Agradeço aos meus amigos que enfrentaram esta dura batalha do mestrado ao
meu lado, em especial quero agradecer a Israel, Ailton, Fabrício, Nancy, Brito, Arthur,
Itailma pelas discursões e aprendizados, aprendi muito com eles. Ademais, quero agradecer ao Kelmem, Denilson, Annaxsuel, Angeli, Luciano e ao Brito pela convivência e
as ajudas. Muito obrigado a todos, por tudo e desculpas aos que eu não sitei, porque
são muito os amigos, graças a Deus.
Muito obrigado ao professor Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva, por ter sido
meu professor no curso, mais ainda, por acreditar no meu potencial e ter a intenção
de me orientar no doutorado. Infezlimente a vida tem outros planos para mim e por
enquanto este sonho vai ter que car um pouco em segundo plano, mas mesmo assim
muito obrigado, que Deus lhe abençoi e ilumine suas lhas.
Obrigado ao meu tio e motivador disto tudo, o professor Geovane Doarte Borges,
v
pois sem ele nem teria feito graduação, quem dera mestrado. Obrigado por todo apoio
e ajuda que você me deu. Agradeço também ao professor Luiz Lima, pois ele foi o
primeiro a me apoiar na minha ideia de fazer mestrado. Além de agradecer aomeu
irmão Ícaro Artur Gomes Vajão por tudo.
Obrigado, professora Viviane Ribeiro Tomaz da Silva, por sair de sua cidade, Belo
Horizonte, para vir até aqui participar desta banca. Obrigado por suas observações,
sei que elas acrescentarão muito ao nosso trabalho.
Por m, agradeço a todos que de maneira direta ou indireta contribuiram para
que esta meu sonho se tornasse realidade.
Dedicatória
Aos meus pais e irmãs. Principalmente as duas Silvanias de minha
vida, a Sil e a Vânia.
vi
Resumo
Neste trabalho serão estudadas as graduações e identidades polinomiais graduadas
da álgebra U (K) das matrizes triangulares superiores n × n sobre um corpo K , o qual
será sempre innito. Primeiramente, será estudado o caso n = 2, para o qual será
mostrado que existe apenas uma graduação não trivial e serão descritos as identidades,
as codimensões e os cocaracteres graduados. Para o caso n qualquer, serão estudadas
as identidades e codimensões graduadas, considerando-se a Z -graduação natural de
U (K). Finalmente, será apresentada uma classicação das graduações de U (K) por
um grupo qualquer.
n
n
n
n
Palavras-chave:
dimensões, cocaracteres.
Matrizes triangulares, graduação, identidades graduadas, co-
Abstract
In this work we study the gradings and the graded polynomial identities of the
upper n × n triangular matrices algebra U (K) over a eld K , which is always innity.
The case n = 2 will be rstly studied, for which will be shown that there is only
one nontrivial grading and we shall describe the graded identities, codimensions and
cocharacters. For the general n case, we shall study graded identities and codimensions,
considering the natural Z -grading of U (K). Finally, we will present a classication
of the gradings of U (K) by any group.
Keywords: Triangular matrices, gradings, graded identities, codimensions, cocharacters.
n
n
n
n
Conteúdo
Introdução .
................................... 6
1 Conceitos Preliminares
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homomorsmos de álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Álgebras Graduadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Módulos sobre álgebras e representações de grupos . . . . . . . . . . .
Representações do Grupo Simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Álgebra associativa livre e identidades polinomiais . . . . . . . . . . . .
Polinômios multihomogêneos e polinômios multilineares . . . . . . . . .
Radical de Jacobson e semi-simplicidade . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 As Identidades Graduadas para a Álgebra U2 (K)
9
9
12
14
16
23
26
29
32
35
2.1 Graduações de U (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Cocaracteres e Codimensões graduados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Identidades graduadas de U (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2
2
3 Identidades Graduadas para a Álgebra Un (K)
46
3.1 As Identidades graduadas de U (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Matrizes genéricas e identidades graduadas . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
n
4 Graduações da Álgebra das Matrizes Triangulares Superiores
59
4.1 Graduações de U (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
n
Bibliograa
69
Introdução
Na álgebra moderna existe um ramo que estuda a estrutura algébrica chamada
de anel. Dentro deste estudo se destaca a teoria dos anéis não-comutativos, e como
uma vertente deste estudo temos a PI-teoria ou teoria das identidades polinomiais.
No início, as identidades polinomiais eram estudadas em relação a anéis, mas com
o aprofudamento da teoria, este estudo se estendeu a uma estrutura um pouco mais
sosticada, chamada de álgebra.
Um álgebra A é um espaço vetorial munido de um produto bilinear. Um polinômio
f (x , . . . , x ) é uma identidade para a álgebra A se este polinômio se anula em qualquer
substituição de suas variáveis por elementos de A, e uma álgebra que possui identidades
polinomiais não nulas é chamada de PI-álgebra. Por exemplo, toda álgebra comutativa
é uma PI-álgebra, assim como toda álgebra de dimensão nita.
O estudo de identidades polinomiais para álgebras ganhou força com o artigo
de Amitsur e Levitzki [2], publicado em 1950. Neste artigo foram utilizados métodos
combinatórios para provar que o polinômio standart de grau 2n é uma identidade para
a álgebra das matrizes de ordem n sobre um corpo K , M (K). Uma das questões
centrais no estudo das identidades polinômiais é a descrição de um conjunto gerador
para o T -ideal (ideal das identidades polinomiais) de uma álgebra, e com visão neste
estudo Specht, em 1950, conjecturou que toda álgebra associativa tem uma base nita
para o seu T -ideal. Porém a demonstração deste fato só foi realizada em 1987, por
Kemer ([17] e [18]), para um corpo de característica zero.
Uma álgebra A é dita graduada por um grupo G se A = L A , onde A é
um subespaço de A, para qualquer g ∈ G, e A A ⊆ A , para quaisquer g, h ∈ G.
Podemos ver a álgebra associativa livre unitária KhXi (álgebra dos polinômios em
1
n
n
g∈G
g
h
gh
g
g
7
variáveis associativas e não comutativas com coecientes em K ) como sendo uma álgebra G-graduada e seus polinômios f (x , . . . , x ) como sendo polinômios graduados. Denimos uma identidade para uma álgebra G-graduada A, como sendo um
polinômio G-graduado f (x , . . . , x ) tal que f (a , . . . , a ) = 0 para quaisquer
a
∈ A ,...,a
∈ A . O estudo das identidades graduadas foi motivado pela
sua importância na estrutura dos T -ideais (veja [18] e [19]) e ao longo das ultimas
décadas importantes resultados foram obtidos. Por exemplo, foi provado em [5] e em
[7] que sendo G um grupo nito e comutativo, então uma álgebra G-graduada A é uma
PI-álgebra se, e somente se, A é uma PI-álgebra, onde e é o elemento neutro de G.
Outra parte da PI-teoria que tem sido largamente estudada são os conceitos de
codimensão e cocaracter, que foram introduzidos por Regev [25]. Considerando P
como sendo o espaço vetorial dos polinômios multilineares em n variáveis, observamos que podemos considerá-lo como sendo um S -módulo de maneira natural e sendo
Id(A) o T -ideal das identidades de uma álgebra associativa A, denimos a n-ésima
codimensão desta álgebra como sendo a dimensão do S -módulo P (A) =
eo
n-ésimo cocaracter como sendo o caracter da representação correspondente. De forma
análoga, denimos as codimensões e os cocaracteres graduados, bastando para isto
considerar P , o espaço vetorial dos polinômios multilineares graduados. Utilizando
a teoria de Young das representações do produto simétrico, Regev e Latyshev ([25]
e [23], respectivemente) mostraram que a sequência de codimensões de uma álgebra
A é exponencialmente limitada. Disto Giambruno e Zaicev ([12] e [13]) deniram o
expoente de uma PI-álgebra, que é lim pc (A), e provaram que este expoente de fato
existe e é um inteiro não negativo. De modo análogo, temos o conceitos de expoente
graduado para uma álgebra graduada.
Este trabalho tem como objetivo apresentar um estudo baseado nos artigos [27],
[20] e [28], sobre graduações e identidades polinomiais, codimensões e cocaracteres
graduados da álgebra U (K), das matrizes triangulares sobre um corpo K . Ele está
dividido em 4 capítulos, sendo o primeiro voltado para os conceitos básicos que serão utilizados no seu desenvolvimento, como por exemplo, álgebras, homomorsmos,
álgebras graduadas, representações de grupos e o radical de Jacobson. Vale a pena
ressaltar que algumas das seções deste capítulo estão bem resumidas e focadas apenas
para o que iremos utilizar no decorrer do trabalho. Muitos conceitos deste capítulo são
(g1 )
1
(g1 )
1
(g1 )
1
(gn )
n
g1
(gn )
n
(gn )
n
(g1 )
1
(gn )
n
gn
e
n
n
n
gr
n
n
n→∞
n
n
n
Pn
Pn ∩Id(A)
8
utilizados de uma maneira implícita nos demais capítulos, tendo em vista que o leitor
deste trabalho já deve dominar boa parte deles, logo não tendo muitas diculdades
para observá-los.
No segundo capítulo, iremos trabalhar com as matrizes triangulares superiores
de ordem 2. Mais precisamente, iniciaremos mostrando que as únicas graduações para
esta álgebra, a menos de isomorsmo, são a trival e a canônica. Em seguida, iremos
encontrar uma base para o T -ideal das identidades graduadas Id (U (K)) de U (K).
Com isto, iremos calcular os cocaracteres graduados desta álgebra, e encerraremos este
capítulo calculando o expoente graduado.
No tercereiro capítulo, iremos generalizar parte do segundo, tendo em vista que
iremos encontrar uma base para o T -ideal das identidades graduadas Id (U (K)) da
álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem n. Além disto, iremos mostrar
que estes polinômios de fato formam uma base para este T -ideal através das matrizes genéricas. Por m, iremos aplicar os resultados deste capítulo para calcular as
codimensões graduadas de U (K).
No último capítulo, iremos descrever todas as G-graduação das matrizes triangulares superiores de ondem n, mostrando que todas elas são isomorfas as G-graduações
elementares.
Por m, espero que este trabalho agrade ao leitor e o ajude a compreender os
conceitos aqui trabalhados. Muito obrigado e boa leitura!
gr
2
2
gr
n
n
Capítulo 1
Conceitos Preliminares
Neste capítulo iremos tratar de conceitos básicos que serão utilizados no decorrer
deste trabalho. Alguns dos resultados aqui apresentados são casos especícos de casos
mais gerais. Entretanto, eles estarão focados em nosso trabalho e para a necessidades
posteriores do leitor, e iremos indicar a bibliograa que contém os casos mais gerais de
cada um deles. Por todo este capítulo, K indicará um corpo arbitrário e G um grupo.
1.1 Álgebras
Denição 1.1.1 Seja A um K -espaço vetorial. Diremos que o par (A, ?) é uma álgebra, onde ? é uma operação em A que iremos chamar de multiplicação ou produto, se
ele atende as seguintes propriedades:
(i) a ? (b + c) = a ? b + a ? c
(ii) (a + b) ? c = a ? c + b ? c
(iii) λ(a ? b) = (λa) ? b = a ? (λb)
para quaisquer a, b, c ∈ A e λ ∈ K .
Observação 1.1.2
(i) Iremos representar a álgebra (A, ?) simplesmente por A, -
cando subentendida a operação de multiplicação, a ? b será representada simplesmente por ab.
10
(ii) Sejam A uma K -álgebra e a, b ∈ A. Denimos o comutador de a com b, representado por [a, b], como sendo [a, b] = ab − ba.
(iii) Sejam V um K -espaço vetorial e S ⊂ V , então o subespaço de V gerado por S ,
será representado por spanS .
(iv) Neste trabalho iremos sempre considerar todas as álgebras sobre K e sendo sempre
associativas e com unidade. Uma álgebra será dita associativa se seu produto
for associativo, ou seja, (ab)c = a(bc), para quaisquer a, b, c ∈ A e unitária (ou
com unidade) se o seu produto tiver unidade, ou seja, se existir 1 ∈ A tal que
a1 = 1a = a, para todo a ∈ A.
Denição 1.1.3 Seja A uma álgebra. Então:
(i) Dizemos que um subespaço B de A é uma subágebra se B é fechado em relação
a multiplicação, ou seja, ab ∈ B para quaisquer a, b ∈ B .
(ii) Dizemos que um subespaço I de A é um ideal a esquerda (respectivamente, a
direita) se ele absorve produto pela esquerda (respectivamente, pela direita), ou
seja, se ax ∈ I para quaisquer a ∈ A e x ∈ I (respectivamente, xa ∈ I ). Quando
um subespaço é um ideal a esquerda e a direita simultaneamente, dizemos que ele
é um ideal bilateral, ou simplesmente, que é um ideal.
(iii) Dizemos que A é simples se {0} e A são seus únicos ideais bilaterais.
Denição 1.1.4 Sejam A uma álgebra e I um ideal de A, e considere o espaço vetorial
quociente
A
I
. Para cada a ∈ A, iremos denotar o elemento a + I de
por a. Neste espaço, podemos considerar o seguinte produto: · :
A
I
A
I
simplesmente
× AI −→
A
I
, denido
por a · b = ab Observe que este produto está bem denido e que ele atende as condições
impostas pela denição de álgebras. Portanto,
A
I
é uma álgebra, chamada de álgebra
quociente de A por I .
Proposição 1.1.5 Sejam A uma álgebra e I um ideal de A. Então:
(i) Se A é associativa, então
A
I
também é.
(ii) Se A é comutativa (ab = ba, para todos a, b ∈ A), então
A
I
também é.
11
(iii) Se A possui unidade 1, então 1 é a unidade de
Demonstração:
Exemplo 1.1.6
A
I
Fica como exercício ao leitor. (i) Todo corpo K ser visto com uma K -álgebra, munido da soma e
do produto que o denem como corpo. Particularmente os corpos R, Q, e C podem
ser vistos como álgebras sobre si mesma. Ademais, observe que estas álgebras são
associativas, comutativas e com unidade.
(ii) O K -espaço vetorial das matrizes de ordem n, Mn (K), munido de seu produto
usual é uma K -álgebra associativa e com unidade. A unidade de Mn (K) é a
matriz identidade, que denotaremos por Idn . Para 1 ≤ i, j ≤ n, considere a
matriz Eij como sendo a matriz que possue 1 na entrada da linha i e coluna j, e
zero nas demais entradas; daí note que

 E , se j = k
il
Eij Ekl =
 0, se
j=
6 k
Ademais, estas matrizes formam uma base para a K -álgebra Mn (K).
(iii) O K -espaço vetorial das matrizes triangulares superiores de ordem n, Un (K), é
uma subálgebra da álgebra Mn (K).
(iv) Seja V um K -espaço vetorial e considere o K -espaço vetorial de todos os operadores lineares de V , L(V ). Munido da composição de transformações, L(V ) é
uma K -álgebra.
(v) Considere o espaço dos polinômios na variável x, K[x]. Este espaço munido
do produto usual de polinômios é uma K -álgebra. De uma maneira geral, se
considerarmos X = {xi /i ∈ I} um conjunto de variáveis, então K[X], munido
de suas operações usuais, é uma K -álgebra.
Sendo A1 , A2 , . . . , An álgebras, dene-se o produto direto de A1 , A2 , . . . , An como sendo
A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an )/ai ∈ Ai }, com as operações de soma, produto
por escalar e multiplicação entrada a entrada. Observe que este produto direto é uma
álgebra.
Denição 1.1.7 Considere A uma álgebra associativa e seja a ∈ A. Então:
12
(i) a é nilpotente se existe n ∈ N tal que an = 0. O menor n que satisfaz esta
propriedade é chamado de índice de nilpotência de a.
(ii) A é nil se todo elemento de A é nilpotente.
(iii) A é nilpotente se existe n ∈ N, tal que, a1 a2 ...an+1 = 0, para quaisquer a1 , a2 , ...,
an+1 ∈ A. O menor n ∈ N que satisfaz esta condição é chamado de índice de
nilpotência de A.
Exemplo 1.1.8 Considere a K -álgebra das matrizes triangulares estritamente superiores de ordem n










A= 










0 a1,2 . . .
a1,n
.. . . . .
..
.
.
.
.
..
...
an−1,n
.
0 ...
...
0












 ; aij ∈ K










cuja multiplicação é o produto usual de matrizes. Esta álgebra é uma álgebra nilpotente.
Proposição 1.1.9 Sejam A um espaço vetorial e β um base de A. Então, dada uma
aplicação φ : β × β −→ A, existe uma única aplicação bilinear Φ : A × A −→ A
estendendo φ.
Demonstração:
Exercício para o leitor! 1.2 Homomorsmos de álgebras
Denição 1.2.1 Sejam A e B duas K -álgebras. Dizemos que uma transformação
linear φ : A −→ B é um homomorsmo de álgebras quando φ(ab) = φ(a)φ(b), para
quaisquer a, b ∈ A e φ(1A ) = 1B .
Diremos que um homomorsmo de álgebras φ : A −→ B é um isomorsmo se ele
for bijetivo. Chamaremos um homomorsmo φ : A −→ A de endomorsmo de A e se
este endomorsmo for bijetivo, então será chamado de automorsmo. Denotaremos
por End(A) e Aut(A) os conjuntos de todos os endomorsmos e automorsmos de A,
respectivamente.
Sendo φ : A −→ B um homomorsmo de K -álgebras, então o conjunto Kerφ =
{a ∈ A/φ(a) = 0} é chamado de núcleo de φ e o conjunto Imφ = {φ(a)/a ∈ A}
13
é chamdo de imagem de φ. Observe que Kerφ é um ideal de A e que Imφ é uma
subálgebra de B.
Exemplo 1.2.2
(i) Sejam A uma álgebra e I um ideal de A. Temos que a seguinte
aplicação φ : A −→ AI , denida por φ(a) = a, é um homomorsmo de álgebras,
chamado de projeção canônica.
(ii) Seja V um K -espaço vetorial de dimensão nita n. Sabemos que existe um isomorsmo entre o espaço dos operadores lineares L(V) e o espaço das matrizes de
ordem n, Mn (K). Obeserve que este isomorsmo preserva a multiplicação. Logo,
ele é um isomorsmo de álgebras.
(iii) Considere um homomorsmo φ : A −→ B , onde A e B são K -álgebras. Temos
que a seguinte aplicação é um isomorsmo:
φ:
A
−→ Imφ
Kerφ
a 7→ φ(a) = φ(a)
Proposição 1.2.3 Sejam A e B K -álgebras e S um subconjunto gerador de A (como
espaço vetorial) e φ : A −→ B uma transformação linear . Então φ é um homomorsmo de álgebras se, e somente se, φ(ab) = φ(a)φ(b) para quaisquer a, b ∈ S .
Demonstração:
a linearidade de φ. Basta observa que os produtos em A e B são bilineares e usar
Teorema 1.2.4 Se A é uma álgebra associativa e com unidade, então são equivalentes:
(i) A é isomorfa a um produto direto A1 × ... × Ak (k ≥ 2) de álgebras associativas
e com unidade.
(ii) Existem ideais I1 , ..., Ik de A (k ≥ 2) tais que A = I1 ⊕ ... ⊕ Ik .
(iii) Existem elementos u1 , . . . , uk ∈ Z(A) (k ≥ 2) tais que ui uj = 0, se i 6= j e
u1 + ... + uk = 1.
Demonstração:
Fica como exercício ao leitor. 14
1.3 Álgebras Graduadas
Denição 1.3.1 Sejam A uma álgebra e G um grupo arbitrário. Denimos uma Ggraduação em A, como sendo uma família de subespaços {Ag /g ∈ G} de A tais que
A=
M
Ag e Ag Ah ⊆ Agh , ∀g, h ∈ G
g∈G
Dizemos que uma álgebra é G-graduada, quando ela esta munida de uma G-graduação.
Dizemos que um elemento a ∈ A é homogêneo de grau g quando a ∈ A , para algum
g ∈ G; o subespaço A é chamado de componente homogênea de grau g da graduação
e um subespaço qualquer B de A é dito homogêneo quando B = L (A ∩ B).
g
g
g∈G
Exemplo 1.3.2
g
(i) Toda álgebra A possui uma G-graduação. Basta considerar
Ae = A e Ag = {e}, para todo g ∈ G − {0}, onde e é o elemento neutro de
G. Esta graduação é chamada de graduação trivial.
(ii) Considere a álgebra Mn (K) das matrizes de ordem n. Para cada λ ∈ Zn , considere o subespaço Mλ = span{Eij /j − i = λ}; e para cada µ ∈ Z, considere o
seguinte subespaço
Mµ =


0, se |µ| ≥ n
 span{E /j − i = µ}, se |µ| < n
ij
onde Eij são as matrizes elementares denidas no exemplo 1.1.6.
Como as matrizes Eij formam uma base de Mn (K), então
Mn (K) =
M
Mλ e Mn (K) =
M
λ∈Zn
Ademais, como
Mµ
µ∈Z

 E , se j = l
ik
Eij Elk =
 0, se j 6= k
teremos que estas decomposições denem uma Zn -graduação e uma Z-graduação,
respectivamente. Esta Zn -graduação é chamada de graduação canônica de Mn (K).
15
(iii) De modo análogo ao feito no exemplo anterior, também denimos uma Zn graduação e uma Z-graduação para a álgebra das matrizes triangulares superiores
Un (K) de ordem n, onde as respectivas componentes homogêneas são:


0, se |µ| ≥ n
Uλ = span{Eij /j − i = λ} e Uµ =
 span{E /j − i = µ}, se |µ| < n
ij
Esta Zn -gradução é chamada de graduação canônica para a álgebra das matrizes
triangulares superiores.
(iv) Considere B uma subálgebra homogênea de uma álgebra G-graduada A. Como
uma subálgebra é por si uma álgebra e como
B=
M
(B ∩ Ag ), e (B ∩ Ag )(B ∩ Ah ) ⊆ (B ∩ Agh ), ∀h, g ∈ G
g∈G
temos que B é uma álgebra G-graduada, com a graduação induzida pela Ggraduação de A.
(v) Considere uma álgebra G-graduada A e I um ideal de A. Observe que a álgebra
A
I
será G-graduada, quando I for um subespaço homogêneo.
Proposição 1.3.3 Seja A uma K -álgebra G-graduada. Se A possuir unidade, digamos
1A , então 1A ∈ Ae .
De fato, considere 1 = P a , onde a ∈ A e {g ∈ G/a
é nito. Logo, para um elemento homogêneo arbitrário b , teremos que,
Demonstração:
A
g
g
g
g
g
6= 0}
h
bh =
X
b h ag .
g∈G
Como b a ∈ A , b a ∈ A , então pela graduação teremos que b
b a = 0. Logo a = 1 e a = 0, ∀g ∈ G − e. Portanto 1 ∈ A . h e
h i
h
e
h g
hg
g
h
= b h ae
e
e
Denição 1.3.4 Sejam A e B duas álgebras G-graduada e φ : A −→ B um homomorsmo. Dizemos que φ é um homomorsmo graduado quando φ(Ag ) ⊆ Bg , para
todo g ∈ G. Diremos que φ é um isomorsmo graduado quando φ é um homomorsmo
graduado bijetivo.
Observação 1.3.5 Sejam A uma álgebra e (Ag )g∈G e (Ag 0)g∈G duas G-graduações em
A. Dizemos que estas G-graduações são isomorfes se existe um automorsmo φ de A
tal que φ(Ag ) = Ag 0 para todo g ∈ G.
16
1.4 Módulos sobre álgebras e representações de grupos
Denição 1.4.1 Seja A uma álgebra associativa e com unidade. Denimos um Amódulo como sendo um K -espaço vetorial M , munido de um produto A × M −→ M ,
denido por (a, v) −→ av , quel satisfaz as seguintes propriedades:
(i) (a1 + a2 )v = a1 v + a2 v
(ii) a(v1 + v2 ) = av1 + av2
(iii) (λa)v = a(λv) = λ(av)
(iv) a1 (a2 v) = (a1 a2 )v
(v) 1A v = v
para quaisquer a, a1 , a2 ∈ A, v, v1 , v2 ∈ M e λ ∈ K .
Exemplo 1.4.2
(i) Seja A uma álgebra. Então A é naturalmente um A-módulo
sobre si mesmo. O módulo A será denotado por A A
(ii) Considere V como sendo um espaço vetorial e L(V ) a álgebra dos operadores
lineares de V . Então V , munido do produto L(V ) × V −→ V , denido por
(T, v) 7→ T.v = T (v), é um L(V )-módulo.
Denição 1.4.3 Sejam A um álgebra e M um A-módulo. Denimos:
(i) Um submódulo N de M como sendo um subespaço vetorial de M tal que a.n ∈ N
para quaisquer a ∈ A e n ∈ N .
(ii) Um submódulo minimal N de M como sendo um submódulo não nulo tal que não
exista submódulo N1 de M com 0 6= N1 ( N .
(iii) Um submódulo maximal N de M , como sendo um submódulo próprio tal que não
exista submódulo N2 de M com N ( N2 ( M .
(iv) M como sendo um A-módulo irredutível (ou simples) se seus únicos submódulos
são {0} e M .
17
Exemplo 1.4.4
(i) Os submódulos do A-módulo A A são exatamente os ideais a
esquerda de A.
(ii) Sendo V um K -espaço vetorial, temos que V é irredutível como L(V )-módulo.
De fato, seja W um submódulo não-trivial de V tal que T (W ) ⊂ W , para todo
T ∈ L(V ). Considere 0 6= w ∈ W . Logo, para qualquer v ∈ V , existe T ∈ L(V ),
tal que v = T (w) = T.w ∈ W e assim W = V .
Denição 1.4.5 Sejam A um álgebra e M1 e M2 dois A-módulos. Dizemos que uma
transformação linear φ : M1 −→ M2 é um homomorsmo de A-módulos quando
φ(am) = aφ(m), para quaisquer a ∈ A e m ∈ M1 . Se φ for bijetiva, diremos que
este homomorsmo e um isomorsmo de A-módulos.
Denição 1.4.6 Sejam G um grupo e V um K -espaço vetorial. Denimos uma representação linear de G em V como um homomorsmo de grupos:
φ : G −→ GL(V )
g −→ φg
onde GL(V ) é o grupo dos operadores lineares de inversíveis de V . Deniremos o grau
da representação de φ como sendo a dimensão de V .
Observação 1.4.7 Quando a dimensão de V é nita, sabemos que existe um isomorsmo entre GL(V ) e GLn (K), onde GLn (V ) é o grupo da matrizes inversíveis de ordem
n sobre K . Logo, podemos ver a representação denida acima da seguinte maneira:
φ : G −→ GLn (K).
Exemplo 1.4.8
(i) Sejam G um grupo e V um espaço vetorial. A seguinte aplicação
é uma representação linear:
φ : G −→ GL(V )
g
7→
φg = IdV
Esta representação é chamada de representação trivial. Se dimensão de V for
nita, então teremos que uma representação trivial que pode ser vista da seguinte
18
forma:
φ : G −→ GLn (K)
g
7→
φg = Idn
onde dimV = n.
Denição 1.4.9 Sejam G um grupo, V um espaço vetorial e φ : G −→ GL(V )
uma representação linear. Dizemos que um subespaço W de V é φ-invariante quando
φg (W ) ⊆ W , para todo g ∈ G. Se existir algum subespaço W φ-invariante de V tal
que 0 6= W 6= V , então diremos que φ é uma representação redutível, caso contrário,
diremos que φ é uma representação irredutível.
a W:
Seja W um subespaço φ-invariante de V . Se g ∈ G, então podemos restringir φ
g
φg |W : W −→ W
w
7→
φg (w)
Como φ é bijetora, φ (W ) ⊆ W e φ (W ) = φ (W ) ⊆ W , teremos que φ (W ) = W
e portanto φ ∈ GL(W ). Logo, podemos denir uma sub-representação de φ, que é a
restrição de φ a W , dada por:
g
g
−1
g
g −1
g
g
φ|W : G −→ GL(V )
g
7→
φ(g) = φg |W
Denição 1.4.10 Sejam G um grupo, V um espaço vetorial e φ : G −→ GL(V ) uma
representação linear. Dizemos que φ é completamente redutível (ou semi-simples) se
existem W1 , ..., Wk subespaços de V φ-invariantes, tais que:
(i) V = W1 ⊕ ... ⊕ Wk ;
(ii) A restrição de φ a cada Wi é uma representação irredutível.
Teorema 1.4.11 (Maschke) Seja G um grupo nito cuja ordem não é divisível por
charK . Se φ : G −→ GL(V ) é uma representação linear de grau nito e W é um
subespaço φ-invariante de V , então existe W1 subespaço φ-invariante de V tal que
V =W
L
W1 . Logo φ é completamente redutível.
Demonstração:
19
Veja [21], capítulo 2, seção 6. Denição 1.4.12 Sejam G um grupo, V e W K -espaços vetoriais e φ e ψ representações lineares de G em V e W , respectivamente. Dizemos que φ e ψ são representações equivalentes se existe uma transformação linear bijetora T : V −→ W tal que
ψg T = T φg , para todo g ∈ G.
Considere G um grupo e o conjunto KG de todas as somas formais P α g,
onde α ∈ K e {g ∈ G/α 6= 0} é um conjunto nito. Sendo P α g, P β g ∈ KG,
dizemos que P α g = P β g sempre que α = β , para todo g ∈ G. Denamos
as seguintes operações em KG:
g∈G
g
g
g∈G
X
g
g
g∈G
αg g +
g∈G
X
g∈G
βg g =
g
g
g
g∈G
g
g
g
X
X
X
(αg + βg )g e λ
αg g =
(λαg )g
g∈G
g∈G
g∈G
para λ ∈ K . Munido destas destas operações KG é um K -espaço vetorial, chamado de
K -espaço vetorial com base G. Observe que G é de fato uma base para este K -espaço.
Se ∗ for a operação de G, então pela Proposição 1.1.9, ∗ estende-se a uma única
operação bilinear de KG. Munido desta operação, teremos que KG é uma álgebra
associativa e com unidade, chamada de álgebra de grupo. Ademais, observe que
KG será comutativa se, e somente se, G for abeliano.
Agora iremos descrever a relação entre os KG-módulos e as K -representações
lineares de G. Sejam G um grupo e V um K -espaço vetorial. Suponhamos que
φ : G −→ GL(V ) seja uma representação linear e consideremos o produto
KG × V −→ V
denido por (P λ g).v = P λ φ (v). Temos que este produto faz de V um
KG-módulo. Observe que sendo W um subespaço de V φ-invariante, teremos que W
será um KG-submódulo de V .
Por outro lado, seja V um KG-módulo e considere a aplicação: ψ : G −→ GL(V ),
denida por ψ(g) = ψ , onde ψ (v) = gv. Temos que ψ assim denida será uma
representação linear de G. Ademais, observe que se W é um submódulo de KG-módulo,
então W é um subespaço φ-invariante de V . Portanto, existe uma correpondência
biunívoca entre as estruturas de KG-módulo em V e as representações lineares de G
em V .
g∈G
g
g∈G
g
g
g g
20
Proposição 1.4.13 Sejam φ : G −→ GL(V ) e ψ : G −→ GL(W ) representações
lineares de G. Então valem
(i) φ e ψ são equivalentes se, e somente se, os respectivos KG-módulos V e W são
isomorfos.
(ii) φ é irredutível se, e somente se, o respectivo KG-módulo V é irredutível.
Demonstração:
Veja [26], Capítulo 8, seção 1. Considere a representação linear
φ : G −→ GL(KG)
onde φ
é denida por φ (x) = gx. Esta representação é chamada de
representação regular a esquerda de G. Observe que os subespaços φ-invariantes
de KG são exatamente os ideais a esquerda de KG. Já os ideais minimais a esquerda
de KG correspondem as φ-sub-representações irredutíveis de φ. Suponha G um grupo
nito e que a charK não divide a ordem de G. Então, pelo Teorema de Maschke,
teremos que KG é a soma direta de uma quantidade nita de ideais minimais a esquerda
e, a menos de equivalência, o número de K -representações irredutíveis de G é nito e
menor ou igual ao número de classe de conjugação de G (veja [16], seção 5.3).
Considere m como sendo o número de representações irredutíveis (a menos de
equivalencia) de G. Seja I , . . . , I ideais minimais à esquerda de KG dois a dois não
isomorfos como KG-módulo. Para cada j = 1, . . . , m, e considere os ideais bilaterais
J = I KG. Daí, nas condições do Teorema de Maschke, teremos o seguinte resultado
g
: KG −→ KG
g
1
j
m
j
Proposição 1.4.14 KG = J1 ⊕ · · · ⊕ Jm e m é menor ou igual ao número de classes
de conjugação de G.
Demonstração:
Veja [26], seção 8.1, Teorema 8.1.3. O próximo teorema irá mostrar que se o corpo K é algebricamente fechado, então
o número de K -representações do grupo G é igual ao número de classes de conjugação
de G.
21
Teorema 1.4.15 Se K é um corpo algebricamente fechado cuja característica não
divide a ordem de um grupo nito G, então:
(i) O número de K -representações lineares irredutíveis de G é nito e, a menos de
equivalência, é igual ao número de classes de conjugação de G.
(ii) Se d1 , d2 , ..., dm são os graus das K -representações irredutíveis (não equivalentes)
de G, então |G| = d21 + d22 + ... + d2m .
Demonstração:
Veja [26], pag. 224. Denição 1.4.16 Sejam V um espaço vetorial de dimensão nita e φ : G −→ GL(V )
uma repreentação linear. Então, denimos o caracter da representação φ, como sendo
a seguinte aplicação:
χφ : G −→ K
g
7→
χφ (g) = trφg
Diremos que o caracter χ é um caracter irredutível quando a representação φ for
irredutível. Observe que duas representações equivalentes têm o mesmo caracter e que,
sendo e o elemento neutro do grupo G, então, χ(e) = trId = dimV . Ademais, temos
que elementos conjugados de G têm a mesma imagem por um caracter e daí dizemos
que os caracteres são funções de classes de G em K .
Denimos o caracter de um KG-módulo como sendo o caracter da K -representação
de G denida por este KG-módulo.
φ
Exemplo 1.4.17
(i) Considere G um grupo e φ0 : G −→ GL(V ) uma representação
trivial de grau nito. Então χφ0 (g) = trIdV = dimV , para todo g ∈ G.
(ii) Considere uma representação linear, φ : G −→ K − 0. Então χφ (g) = φ(g), para
todo g ∈ G.
Teorema 1.4.18 Todo caracter de um grupo G é uma soma de caracteres irredutíveis.
Demonstração:
Veja [26], pag. 227. 22
Seja G um grupo nito e suponha que charK não divide a ordem de G. Sendo f
e h duas funções de G em K , denimos
hf, giG = |G|−1
X
f (g −1 )h(g).
g∈G
Diremos que K é um corpo de decomposição de G se todo caracter irredutível
de G sobre K for ainda irredutível quando visto como caracter de G sobre qualquer
extensão L de K .
Teorema 1.4.19 (Relações de Ortogonalidade) Sejam G um grupo nito e φ :
G −→ GL(V ) e ψ : G −→ GL(W ) representações irredutíveis de G, com os respectivos
caracteres χ1 e χ2 . Suponha que charK = 0. Então:
(i) Se φ e ψ são não equivalentes, então hχ1 , χ2 iG = 0.
(ii) Se K um corpo de decomposição de G, então hχ1 , χ1 iG = 1.
(iii) hχ1 , χ1 iG = q , para algum inteiro positivo q ∈ K .
Demonstrão:
Veja [26], pag. 229 e [16], pag. 273. Corolário 1.4.20 Sejam K um corpo de característica zero, G um grupo nito e χ
um K -caracter de G. Então:
(i) hχ, χiG é um inteiro positivo.
(ii) Se hχ, χiG = 1, então χ é um caracter irredutível.
Consequência imediata do resultado anterior, do Teorema 1.4.18
e da bilinearidade de h, i . Demonstração:
G
Teorema 1.4.21 Se K é um corpo de característica zero, então duas K -representações
lineares de um grupo G que têm o mesmo caracter são equivalentes.
Demonstração:
Veja [26], pag. 230. 23
1.5 Representações do Grupo Simétrico
Nesta seção iremos dar uma introdução a teoria de Young sobre as representações
do grupo simétrico. Para isto iremos supor que K seja um corpo de característica zero.
Esta teoria será muito utilizada no próximo capítulo. Iniciaremos com a seguinte
denição:
Denição 1.5.1 Seja n ∈ N. Denimos uma partição de n como sendo uma k-umpla
λ = (n1 , n2 , ..., nk ) de números naturais tais que n1 + n2 + ... + nk = n e n1 ≥ n2 ≥ ... ≥
nk . Denimos a altura de λ, denotada por h(λ) como sendo o número k . Usaremos a
notação (n1 , ..., nk ) ` n e p(n) denotará o número total de partições de n.
Denição 1.5.2 Sendo λ = (n1 , ..., nk ) ` n, denimos o diagrama de Young Dλ da
partição λ como sendo o conjunto Dλ = {(i, j) ∈ N × N/1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ ni }.
Usualmente, descrevemos um diagrama de de Young D por n quadrados, dispostos em k las horizontais, chamadas de linhas, onde a i-ésima linha tem n quadrados.
Cada la vertical será chamada de coluna. Por exemplo, considere n = 7 e a seguinte
partição de 7, λ = (3, 2, 2). Então, teremos o seguinte diagrama de Young:
λ
i
Dλ =
Denição 1.5.3 Sejam n ∈ N e λ = (n1 , ..., nk ) ` n. Denimos uma tabela de Young
do diagrama Dλ como sendo uma função bijetora T : Dλ −→ In = {1, 2, ..., n}. Dizemos que uma tabela de Young T é standard se satisfaz as seguintes condições:
(i) T (i, j) < T (i, j + 1), para 1 ≤ i ≤ r e 1 ≤ j < ni ;
(ii) T (i, j) < T (i + 1, j) para 1 ≤ j ≤ n1 e 1 ≤ i < cj , onde cj é o número de células
da j -ésima coluna.
Observação 1.5.4 Dizer que uma tabela de Young T é standard signica dizer que
as entradas nas linhas crescem da esquerda para a direita e nas colunas de cima para
baixo.
24
Sendo σ ∈ S , denimos σT como sendo a composição σ ◦ T : D −→ I , que será
também um tabela de Young do diagrama D . Ademais, sendo T e T duas tabelas
de Young de um mesmo diagrama, então existe σ ∈ S tal que σT = T .
n
λ
λ
1
n
n
2
1
2
Denição 1.5.5 Seja T uma tabela de Young. Então, denimos:
(i) O grupo das permutações das linha, que denotaremos por R(T ), como sendo:
R(T ) = {σ ∈ Sn /σ(L) = L para toda linha L de T}.
(ii) O grupo das permutações das colunas, que denotaremos por C(T ), como sendo
C(T ) = {σ ∈ Sn /σ(C) = C para todo coluna C de T}.
Considere uma tabela de Young T . Denimos os seguintes elementos da álgebra
de grupo KS :
n
X
PT =
σ, QT =
σ∈R(T )
X
(−1)µ µ e ET = PT QT =
X
(−1)µ σµ
σ∈R(T )
µ∈C(T )
µ∈C(T )
Lema 1.5.6 Sejam α ∈ Sn , λ um partição de n e T um tabela de Young do diagrama
Dλ , então existe a, tal que, ET αET = aET
Veja [16], capítulo 5, seção 4. Como consequência do Lema 1.5.6, teremos que E = aE , para algum a ∈ K .
Logo, sendo e = a E , teremos que e = a E = e . Este idempotente assim
denido, é chamado de idempotente minimal de T . Tomemos agora M = KS E =
{αE /α ∈ KS } = KS e , que é um ideal a esquerda de KS .
Demonstração:
2
T
T
−1
T
2
T
−2
2
T
T
T
T
T
n
n T
n
T
n
Teorema 1.5.7 Sejam n ∈ N, λ, λ1 , λ2 ` n e T, T1 , T2 tabelas de Young dos diagramas
D, Dλ1 , Dλ2 , respectivamente. Então:
(i) MT é um Sn -modulo irredutível.
(ii) MT1 e MT2 são Sn -módulos isomorfos se, e somente se, λ1 = λ2 .
Demonstração:
25
Veja [16], capítulo 5, seção 4. Seja n ∈ N. Então, pelo teorema acima, podemos concluir que o número de
KS -módulo irredutíveis é maior ou igual ao número de partições de n. Sabemos que o
número de classes de conjugação do grupo simétrico S é igual a p(n). Logo o número
de S -representações irredutíveis será menor ou igual a p(n). Daí e da Proposição
1.4.14, concluimos que o grupo KS possui, a menos de equivalência, exatamente p(n)
representações irredutíveis. Sabemos que existe uma correspondência biunívoca entre
as partições de n e os KS -módulos irredutíveis (veja [14], seção 10.4). Daí, podemos
representar um caracter irredutível χ de KS por χ , onde λ ` n. Logo, sendo χ um
caracter de KS , pelo teorema 1.4.18, teremos que
n
n
n
n
n
n
λ
n
χ=
X
mλ χλ
onde m ∈ Z e m ≥ 0.
Para terminarmos esta seção, iremos descrever a famosa fórmula do gancho, que
conta o número de tabelas standard. Inicialmente, seja D um tabela de Young e (i , j )
uma célula desta tabela, então denimos o gancho de (i , j ) como sendo o conjunto
λ`n
λ
λ
λ
0
0
0
0
{(i0 , j)/j0 ≤ j ≤ ni0 } ∪ {(i, j0 )/i0 ≤ i ≤ cj0 }
Obeserve que o gancho de (i , j ) do diagrama D é exatamente o conjunto das células
da linha i que estão a direita de (i , j ) e da coluna j que estão abaixo de (i , j ).
Considerando h como sendo o número de células, ou tamanho, do gancho (i , j ),
temos o seguinte teorema
0
0
0
λ
0
0
0
(i0 ,j0 )
0
0
0
0
Teorema 1.5.8 (Fómula do Gancho) Sendo n ∈ N, λ = (n1 , . . . , nr ) uma partição
de n e ST (λ) o número de tabelas standard do diagrama Dλ , então temos
ST (λ) = Q
Demonstração:
n!
(i,j)∈Dλ
h(i.j)
Veja [8], capítulo 4, seção 3.
Observação 1.5.9 A importância da fórmula do Gancho para a teoria de representações do Sn reside no fato de que ST (λ) coincide com o grau dλ da representações
irredutível de Sn associada a partição λ (veja [8], pag 121).
26
1.6 Álgebra associativa livre e identidades polinomiais
Nesta seção iremos denir a álgebra associativa unitária livre, que será representada por KhXi. Em seguida iremos denir as identidades polinômiais de uma álgebra
e o que vem a ser uma PI-álgebra.
Inicialmente, seja A uma álgebra associativa unitária e S ⊂ A. Dizemos que S
gera A como álgebra quando A = span{1 , s . . . s /k ∈ N, s ∈ S}.
A
1
k
i
Denição 1.6.1 Seja A uma álgebra associativa. Dizemos que ela é livre se existe um
conjunto S ⊂ A tal que S gera A e para toda álgebra associativa B e toda aplicação
f : S −→ B existe um único homomorsmo de álgebras φ : A −→ B que estende esta
aplicação. Neste caso diremos que S é um conjunto gerador livre de A, ou que A é
gerada livremente por S .
Considere um conjunto de variáveis X = {x , x , . . .}. Uma palavra em X é
uma sequência x x . . . x de variáveis, onde k ∈ N − {0} e x ∈ X (no caso em
que k = 0, denimos com sendo a palavra vazia e representamos por 1). Considere
S(X) como sendo o conjunto de todas as palavras em X . Dizemos que duas palavras
x . . . x e x . . . x são iguais quando k = k e i = j , . . . , i = j . Considere
o conjunto KhXi que é formado por elementos formais do tipo P
α m, onde
α ∈ K . Observe que este conjunto, munido das seguintes operações,
1
i 1 i2
i1
ik1
j1
2
ik
ij
jk2
1
2
1
1
k1
k2
m
m∈S(X)
m
X
e
X
αm m +
βm m =
λ
X
m∈S(X)
αm m =
(αm + βm )m
m∈X
m∈S(X)
m∈S(X)
X
X
(λαm )m
m∈S(X)
para qualquer λ ∈ K , é um K -espaço vetorial, com base S(X). Os termos α m são
chamados de monômios e as somas formais de monômios são chamadas de polinômios.
Denimos como sendo o grau do monômio x x . . . x o número natural k e observe
que o grau da palavra vazia 1 será 0. O grau de um polinômio f ∈ KhXi − {0},
que será representado por ∂f , é denido como sendo o máximo dentre os graus dos
monômios de f .
m
i1 i2
ik 1
1
27
Considere agora em S(X) a operação de concatenação:
(xi1 . . . xik1 )(xj1 . . . xjk2 ) = xi1 . . . xik1 xj1 . . . xjk2
Observe que esta operação é associativa e que tem elemento neutro (a palavra vazia 1).
Daí, KhXi munido da operação bilinear induzida por esta operação de concatenação
(Proposição 1.1.9), é uma álgebra associativa e com unidade.
Agora considere uma aplicação g : X −→ A, dada por g(x ) = a , onde A é
uma álgebra associativa e com unidade. Então, denamos a seguinte aplicação linear
φ : KhXi −→ A, que satisfaz φ(1) = 1 e φ(x . . . x ) = a . . . a . Temos então
que φ é o único homomorsmo de álgebras tal que φ(x ) = g(x ). Portanto, KhXi
é uma álgebra associativa unitária livre, livremente gerada por X . Representaremos
f (a , . . . , a ) como sendo a imagem de f (a , . . . , a ) pelo homomorsmo φ. Observe
que f (a , . . . , a ) é o elemento de A obtido substituindo-se x por a no polinômio
f.
i
A
i1
ik
i1
i
i1
i1
ik
i1
i
ik
i
ik
ik 1
ij
ij
Denição 1.6.2 Sejam A uma álgebra associativa e unitária e f (x1 , . . . xn ) ∈ KhXi
um polinômio. Diremos que f (x1 , . . . xn ) é um identidade polinomial para a álgebra A
quando f (a1 , . . . an ) = 0, para quaisquer a1 , . . . , an ∈ A. Se A possui alguma identidade
polinômial não nula diremos que A é uma PI- álgebra.
Observação 1.6.3 Considere o conjunto Φ de todos os homomorsmo φ : KhXi −→
A. Então teremos que f ∈ KhXi é um identidade para para a álgebra A se, e somente
se, f ∈∩φ∈Φ kerφ.
Exemplo 1.6.4
(i) Qualquer álgebra comutativa A é uma PI-álgebra, pois temos
que [x1 , x2 ] é uma identidade para A.
(ii) Toda álgebra nilpotente é uma PI-álgebra. De fato, supondo que n seja o índice de
nilpotência de A, então teremos que o monômio x1 x2 . . . xn xn+1 é uma identidade
polinomial para A.
(iii) Considere a álgebra das matrizes de ordem n sobre K , Mn (K) e o polinômio
conhecido como o polinômio de standard, sn =
P
σ∈Sn (−1)
σ
xσ(1) . . . xσ(n) . O teo-
rema de Amitsur-Levitzki arma que o polinômio s2n (x1 , . . . , x2n ) é um identidade
para a álgebra Mn (K).
28
(iv) Considere a álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem n, Un (K).
Então o polinômio [x1 , x2 ] . . . [x2n−1 , x2n ] é uma identidade para esta álgebra.
Seja A uma álgebra e considere Id(A) o subconjunto de KhXi de todas as identidades de A. Observe que Id(A) será um ideal de KhXi.
Proposição 1.6.5 Seja A uma álgebra associativa qualquer. Então, o ideal Id(A) é
invariante por todos os endomorsmos de KhXi.
Demonstração:
Veja [14], pag. 3. Denição 1.6.6 Um ideal I de KhXi é um T -ideal quando φ(I) ⊆ I , para todo endomorsmo φ de KhXi.
Observação 1.6.7
(i) Pelo argumentado na Proposição 1.6.5 teremos que Id(A) é
um T -ideal de KhXi, para qualquer álgebra A. Logo, toda álgebra determina um
T -ideal.
(ii) A soma e a interseção de uma família arbitrária de T -ideais é ainda um T -ideal.
(iii) Se f (x1 , . . . , xn ) ∈ I , onde I é um T -ideal de KhXi e g1 , . . . , gn ∈ KhXi, então
temos que f (g1 , . . . , gn ) ∈ I .
Denição 1.6.8 Considere S ⊆ KhXi. A classe de todas as álgebras A tais que,
para qualquer f ∈ S , f é um identidade para A, é chamada de variedade determinada
por S , que será denotada por V = V(S). Sendo S = {fi (x1 , ..., xni ) ∈ KhXi/i ∈ I}
e D a variedade determinada por S , consideremos o T -ideal T (D) da variedades D
que é a interseção de todos os T -ideais das identidades das álgebras de D. Diremos
que este T -ideal é gerado por S = {fi ∈ KhXi/i ∈ I} e iremos representar por
T (D) = hSiT = hfi ∈ KhXi/i ∈ IiT . Observe que hSiT é o menor T -ideal de KhXi
que contém S .
Observação 1.6.9 De modo análogo ao feito na denição anterior, podemos denir
a variedade determinada por um único polinômio f , como sendo a classe de todas as
álgebras que têm f como uma identidade polinomial
29
Denição 1.6.10 Dois conjuntos de polinômios de KhXi são ditos equivalentes se eles
geram o mesmo T -ideal. Um polinômio g é consequência de um conjunto de polinômios
{fi /i ∈ I} se g ∈ hfi /i ∈ IiT .
Agora iremos denir a álgebra livre G-graduada, onde G é um grupo nito arbitrário. Seja KhXi a álgebra livre, livremente gerada pelo conjunto X = S X ,
onde X = {x , x , . . . } e X ∩ X 6= ∅ para g 6= g . As variáveis de X são ditas
variáveis de grau g. Denimos o G-grau de um monômio x x . . . x ∈ KhXi
como sendo g g . . . g ∈ G, e denotamos por KhXi o subespaço de KhXi gerado por
todos os monômios de G-grau g. Observe que
g
g∈G
(g)
1
g
(g)
2
g1
g2
1
2
g
(gt )
it
(g1 ) (g2 )
i2
i1
1 2
(g)
t
KhXi(g) KhXi(h) ⊆ KhXi(gh) e que KhXi =
M
KhXi(g)
g∈G
Portanto, KhXi é uma álgebra G-graduada, que será denotada por KhXi .
Para a álgebra KhXi também teremos a propriedade das álgebras livremente
geradas, ou seja, para toda álgebra G-graduada A⊕ A e toda aplicação f : X −→ A
tal que f (x ) ∈ A , existe um único homomorsmo G-graduado φ : KhXi −→ A
que estende esta aplicação. Considerando um polinômio graduado f (x , . . . , x ) ∈
KhXi , dizemos que f (x , . . . , x ) é uma identidade G-graduada para a álgebra
G-graduada A, se f (a , . . . , a ) = 0, para quaisquer a
∈ A ,...,a
∈A .
Observe que o conjunto Id = {f ∈ KhXi /f é uma identidade G-graduada de A} é
um T -ideal graduado de KhXi , ou seja, um ideal de KhXi invariante por todos os
endomorsmos G-graduados de KhXi .
gr
gr
g∈G
(g)
i
g
gr
g
(gk )
k
(g1 )
1
(g1 )
1
gr
(g1 )
1
(gk )
k
(gk )
k
(g1 )
1
gr
(g1 )
(gk )
k
(gk )
gr
gr
gr
gr
1.7 Polinômios multihomogêneos e polinômios multilineares
Nesta seção iremos denir os polinômios multihomogêneos e multilineares, além
de apresentarmos um teorema, que dependendo da característica do corpo, irá mostrar
que qualquer T -ideal é gerado por polinômios de um destes tipos.
Denição 1.7.1 Seja m(x1 , ..., xk ) ∈ KhXi um monômio em KhXi. Denimos o
grau do monômio m(x1 , ..., xk ) na variável xi como sendo o número de vezes em que xi
30
aparece em m(x1 , ..., xk ). Denimos o grau total de m(x1 , ..., xk ) como sendo a soma
dos graus de todas as variáveis deste monômio.
Denição 1.7.2 Diremos que um polinômio p(x1 , ..., xk ) ∈ KhXi é homogêneo de
grau ni na variável xi , para i ∈ {1, ..., k}, se cada monômio de p(x1 , ..., xk ) tiver o
grau ni na variável xi . Um polinômio p(x1 , ..., xk ) é dito multihomogêneo de multigrau
(n1 , ..., nk ) se p(x1 , ..., xk ) é homogêneo em todas as suas variáveis com grau ni em
xi , para todo i ∈ {1, ..., k}. Quando um polinômio for multihomogêneo de multigrau
(1, ..., 1), diremos que ele é um polinômio multilinear.
Em um polinômio f (x , . . . , x ), denimos a componente multihomogêneas de
multigrau (n , . . . , n ) como sendo a soma do todos os monômios em f que têm o
multigrau (n , . . . , n ).
Iremos denotar por P o espaço vetorial de todos os polinômios em KhXi que
são multilineares na variáveis {x , . . . , x }. Observe que a dimensão de P é n! e que
P tem como base o seguinte conjunto de monômios: {x
. . . x /σ ∈ S }.
1
1
k
1
k
k
n
1
n
n
n
σ(1)
n
σ(n)
Teorema 1.7.3 Seja I um T -ideal de KhXi e suponha que K seja um corpo innito.
Se f (x1 , . . . , xk ) ∈ I , então todas as componentes multihomogêneas de f pertencem a
I . Daí, concluimos que I é gerado por seus polinômios multihomogêneos.
Demonstração:
Veja [14], teorema 1.3.2 Teorema 1.7.4 Toda P I -álgebra A satisfaz uma identidade multilinear.
Demonstração:
Veja [14], teorema 1.3.7. Teorema 1.7.5 Seja K é um corpo de característica zero. Se I é um T -ideal de KhXi,
então I é gerado por seus polinômios multilineares.
Demonstração:
Veja [14], corolário 1.3.9. Considere o espaço vetorial P = span{x , . . . , x (n)/σ ∈ S } dos polinômios
multilineares nas variáveis x , . . . , x na álgebra associativa livre KhXi. Considere
a aplicação, φ : KS −→ P , denida por φ P α σ = P α x . . . x .
n
1
n
n
σ(1)
σ
n
n
σ∈Sn
σ
σ∈Sn
σ σ(1)
σ(n)
31
Observe que esta aplicação é um isomorsmo entre K -espaços vetoriais. Além disto
podemos denir uma ação do grupo S no espaço vetorial P da seguinte maneira:
n
n
σf (x1 , . . . , xn ) = f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ).
Através disto, podemos denir o S -módulo P de maneira natural, considerando o
produto bilinear : KS × P −→ P tal que σ.f (x , . . . x ) = f (x , . . . , x ) e
observar que P ∩ Id(A) é invariante por esta ação, uma vez que se f ∈ P ∩ T (A) e
σ ∈ S , então σf ∈ P ∩ T (A). Temos então que P ∩ T (A) é um KS -submódulo de
P . Daí, podemos considerar
n
.
n
n
n
n
1
n
σ(1)
n
σ(n)
n
n
n
n
n
n
Pn (A) =
Pn
Pn ∩ Id(A)
e de uma maneira natural (σ.f = σf , para σ ∈ S e f ∈ P ) este quociente tem uma
estrutura de KS -módulo. Daí, daremos a seguinte denição:
n
n
n
Denição 1.7.6 Seja A uma PI-álgebra.
(i) O número inteiro não negativo
cn (A) = dim
Pn
Pn ∩ Id(A)
é chamado de n-ésima codimensão da álgebra A, para cada n ∈ N.
(ii) Para n ∈ N, o Sn -caracter de Pn (A) =
Pn
Pn ∩Id(A)
é chamado de n-ésimo cocaracter
de A, denotado por χn (A)
Se decompusermos o n-ésimo cocaracter em soma de caracteres irredutíveis, teremos que χ (A) = P m χ , ondeχ é o caracter irredutível de S associado a
partição λ ` n e m é a multipicidade correspondente.
n
λ`n
λ λ
λ
n
λ
Seja G um grupo nito e considere o espaço dos polinômios multilineares Ggraduados
(g )
(g )
n
1
Pngr = span{xσ(1)
. . . xσ(n)
/σ ∈ Sn ; g1 , . . . gn ∈ G}.
Temos que P ∩Id (A) é o conjunto de todas as identidades G-graduadas multilineares
para a álgebra G-graduada A, nas variáveis com índices de 1 a n.
gr
n
gr
32
Observação 1.7.7 Observe que a G-graduação não interefere no fato de um polinômio
ser multilinear. Logo, teremos que o teorema 1.7.5 também será válido para o caso Ggraduado.
Denição 1.7.8 Denimos a n-ésima codimensão G-graduada cgr
n (A) de A da seguinte
maneira:
cgr
n (A)
Pngr
= dim gr
.
Pn ∩ Idgr (A)
1.8 Radical de Jacobson e semi-simplicidade
Denição 1.8.1 Denimos o radical de Jacobson de uma álgebra A como sendo a
interseção de todos os ideais maximais a esquerda de A, que iremos denotar por J(A).
Observe que o radical de Jacobson J(A) é um ideal à esquerda de A. Ademais,
iremos mostrar que este é um ideal bilateral de A.
Lema 1.8.2 Sejam A uma álgebra e a ∈ A. Então as seguintes armações são equivalentes:
(i) a ∈ J(A);
(ii) 1 − xa é inversível à esquerda para todo x ∈ A;
(iii) a ∈ AnnA M = {x ∈ A/xm = 0,
m ∈ M } para todo A-módulo irredutível de
M.
Suponha que a ∈ J(A) e x ∈ A. Então, xa ∈ M ,
onde M é um ideal maximal à esquerda abitrário. Daí, 1 − xa ∈/ M , donde concluímos
que 1 − xa é inversível à esquerda.
ii) =⇒ iii) Suponhamos que (ii) seja válido e suponhamos, por contradição, que
exista um A-módulo irredutível M tal que aM 6= 0. Considere então um elemento m
de M tal que am 6= 0. Logo A(am) = M e daí existe x ∈ A tal que x(am) = m e então
(1 − xa)m = 0. Como 1 − xa é inversível à esquerda, teremos que m = 0, o que é uma
contradição.
iii) =⇒ i) Seja M um ideal maximal a esqueda de A e considere o A-módulo ,
cujo produto é denido por aa = ax. Note que é um A-módulo irredutível, e assim
a ∈ Ann ( ), donde a = a1 = 0. Daí, a ∈ M , e portanto a ∈ J(A).
Demonstração: i) =⇒ ii)
A
M
A
M
A
A M
33
Corolário 1.8.3 J(A) é um ideal bilateral de A.
Temos que J(A) é um ideal á esquerda e assim temos que
provar que ele é também um ideal à direita. Suponha que x ∈ A e a ∈ J(A). Daí,
considere um A-módulo irredutível M qualquer. Então, neste A-módulo teremos que
(ax)y = a(xy) = 0, uma vez que ax ∈ Ann M , e do Lema 1.8.2 teremos que ax ∈ J(A).
Portanto, J(A) é um ideal bilateral.
Demonstração:
A
Exemplo 1.8.4 Sendo Un (K) a álgebra das matrizes triangulares superiores de ordem
n sobre um corpo K , então
J(Un (K)) = {A ∈ Un (K)/A tem a diagonal nula}
De fato, considere N = {A ∈ Un (K)/A tem a diagonal nula} e Y ∈ N . Observe
que Y X tem a diagonal nula e daí det(Id − XY ) = 1, ou seja, Id − XY é inversível
para qualquer X ∈ Un (K), e pelo Lema 1.8.2 teremos que Y ∈ J(Un (K)). Por outro
lado, suponha que J(Un (K)) 6⊆ N e considere Z ∈ J(Un (K)) tal que Z ∈
/ N . Sendo
z
 11
 ..
Z =  .

0
Y ∈ Un (K)
. . . z1,n
...
.. 
. , onde zii 6= 0 para algum i ∈ {1, . . . , n}, considere a matriz
. . . znn


denida como sendo a matriz diagonal tal que as entradas não nulas serão
os elementos zii−1 , sempre que zii 6= 0. Daí, observe que Id − Y Z não será inversível
à esquerda, o que é um absurdo, já que contraria o Lema 1.8.2. Portanto teremos que
J(Un (K)) ⊆ N , e daí J(Un (K)) = N .
Temos então que J(Un (K)) = {X ∈ Un (K)/X é nilpotente}.
Proposição 1.8.5 Se I é um ideal (unilateral ou bilateral) nil de uma K -álgebra A,
então I ⊆ J(A).
Demonstração:
Veja [21], pag. 53. Agora iremos falar um pouco da teoria de álgebras semi-simples, porém de uma
maneira bem sucinta, apenas descrevendo o que iremos precisar. Porém, se o leitor
quiser ou precisar se aprofundar nesta teoria consulte [21], capítulo 1, seções 2 e 3. Lá
está a teoria para aneis, mas como estamos tratando de álgebras associativas e com
unidade, teremos que o mesmo ocorre para estas álgebras.
34
Denição 1.8.6 Considere A uma álgebra e M um A-módulo. Então dizemos que
M é semi-simples (ou completamente redutível) se M pode ser escrito como soma de
submódulos minimais.
Dizemos que uma álgebra A é semi-simples se todos os seus A-módulos são semisimples. Segue que se A é semi-simples, então o A-módulo A é semi-simples e assim
A é a soma dos seus ideais minimais a esquerda.
Supondo agora A de dimensão nita, sabe-se que se A é semi-simples, então
A = I ⊕ · · · ⊕ I , onde cada I é um ideal bilateral minimal, chamado de somando
simples de A. Cada um deles é simples como álgebra, donde A é isomorfa a um produto
direto nito de álgebras simples (veja 1.2.4). É também um fato conhecido que A é
semi-simples se, e somente se, J(A) = {0}.
A
1
n
j
Capítulo 2
As Identidades Graduadas para a
Álgebra U2(K)
Neste capítulo iremos descrever, a menos de isomorsmos, todas as graduações
da álgebra U (K) das matrizes triangulares superiores de ordem 2, sobre um corpo
qualquer K . Depois, sob a hipótese de K ser um corpo de caracterítica zero, encontraremos uma base para o ideal das identidades Z graduadas Id (U (K)), e através
disto calcularemos suas codimensões e seus cocaracteres graduados.
2
gr
2
2
2.1 Graduações de U2(K)
Nesta seção iremos descrever todas as possíveis graduações de U (K) onde K é
um corpo arbitrário. Seja G um grupo arbitrário e considere (A ) uma G-graduação
para U (K). Dizemos que esta graduação é trivial quando A = U (K) e A = {0},
para todo g ∈ G − {e}, e dizemos que esta graduação é canônica quando
2
g g∈G
2
e
2
g






 a 0

 0 c

 /a, b ∈ K , Ag = 
 /c ∈ K
Ae = 
 0 b

 0 0

para algum g ∈ G − {e} e A
resultado.
h
= {0}
, para todo h ∈ G − {e, g}. Temos o seguinte
36
Teorema 2.1.1 Uma G-graduação de U2 (K) é, a menos de isomorsmo, trivial ou
canônica.
Se a dimA = 3, então A = U (K) e a graduação é trivial.
Daí, assumiremos que dimA ≤ 2.
Suponha inicialmente que dimA = 2. Note que v = Id = E + E e v =
aE + bE formam uma 
base paraA sobre K, para adequados a, b ∈ K . Basta
observar que sendo v =  λ λ  ∈ A tal que {Id , v } é LI, então λ 6= λ
Demonstração:
e
e
2
e
e
11
1
12
11
22
2
e
1
2
0
λ3
e
3
2

ou λ
2
3
1
3

e assim v = v − λ v =  λ − λ λ  ∈ A e {v , v } é LI. Como
0
0
dimU (K) = 3, então existe g ∈ G−{e} tal que dimA = 1, e considere A = KB, B =
(α E + α E + α E ). Suponhamos a = 0. Como A A ⊆ A e A A ⊆ A , então
bα E A = (bE )α ∈ A e bα E ∈ A , e daí λ α E = 0, o que nos dá α = 0.
Por outro lado, temos que α bE = B(bE ) ∈ A e α bE ∈ A . Logo α bE = 0
e daí α = 0, ou seja, A = KE ⊂ A , o que é uma contradição, pela denição de
graduação. Portanto a 6= 0. Com isto, note que os elementos E + λE e E − λE
formam uma base de A , para λ = a b, pois E + λE e E − λE são L.I. e
pertencem a A , pois, como a 6= 0 e aE + bE ∈ A , então E + λE ∈ A e
E − λE = E + E − (E + λE ). Suponha λ 6= 0. Então, pela denição de
graduação, teremos que B(E + λE ) = α (E + λE ) ∈ A T A , donde α = 0.
Analogamente, multiplicando-se α E + α E à esquerda por E − λE , obtemos
α = 0. Daí, A = KE , A = K(E + E ) + K(E + λE ) e a G-graduação em
questão isomorfa à G-graduação canônica de U (K), pois a aplicação φ : U (K) −→
U (K), denida por
2
1
6= 0
2
3
3
2
3 1
e
2
1
11
3
12
1
2
g
2
12
3
g
12
22
g
3
g
3
1
1
g
12
e
12
g
2 3
12
12
g
e
g
e
1
3
12
e
1
−1
1
e
22
11
12
12
12
2
g
12
12
22
e
22
12
12
11
12
e
12
11
3
11
11
11
12
e
e
12
g
12
11
22
g
e
12
11
1
3
11
12
g
22
e
22
22
11
1
12
12
2
2
2
φ(xE11 + yE12 + zE22 ) = xE11 + (λx − λz + y)E12 + zE22 )
é um isomorsmo G-graduado que leva a G-graduação canônica de U (K) na Ggraduação em questão. Supondo λ = 0, temos A = KE + KE , e fazendo um
processo análogo ao anterior, obtemos que A = KE . Logo a graduação referida
seria canônica. Portanto, se dimA = 2, teremos uma graduação canônica, a menos de
isomorsmo.
2
e
g
e
11
12
22
37
Suponhamos agora que dimA = 1. Logo, teremos que A = K(E + E ).
Por isto, teremos duas possibilidades para a graduação: ou U (K) = A L A L A ,
onde dimA = dimA = 1 ou U (K) = A L A , onde dimA = 2. Seja U (K) =
L L
A
A
A e suponha inicialmente que gh 6= e. Então, A A = 0, pois, caso
contrário, A 6= {0}, com gh 6= g, gh 6= h e gh 6= e, ou seja, teríamos uma nova
componente homogênea não nula, o que seria um absurdo, já que dimU (K) = 3. Logo
A A = 0, e analogamente A A = 0. No caso em que g 6= e e h 6= e, teremos que
L
A
A é um ideal nilpotente de dimensão dois de U (K), pois se x ∈ U (K), então
existem a ∈ A , b ∈ A e c ∈ A tais que x = a + b + c. Logo, x(A L A ) ⊆ A L A ,
e analogamente teremos que (A L A )x ⊆ A L A . Daí, A L A é de fato um
ideal de U (K). Ademais, ele é um ideal nilpotente, o que contradiz o fato de que
a dimensão do radical de Jacobson J de U (K) é igual a 1 (veja o Exemplo 1.8.4),
pois todo ideal nilpotente está contido no radical de Jacobson (pelo Teorema 1.8.5).
Portanto, ou g 6= e e h = e ou h = g = e. No primeiro caso temos que A = 0
e assim A é um subespaço nilpotente de dimensão igual a 1, donde A = J . Seja
A = K(aE + bE + cE ). De A A = A A = {0}, temos que a = c = 0, ou seja,
A = A , uma contradição. No caso g = h = e temos A = Ku e A = Kv , com
u = αId e v = βId, com α, β ∈ K , pois (A ) , (A ) ⊆ A . Se α = 0, então A = J
e daí temos uma contradição. Analogamente, se β 6= 0 e então u(uv)v = αβId 6= 0 e
assim 0 6= uv ∈ A A = {0}, o que é uma contradição.
Suponha agora que gh = e, ou seja, g = h Se g 6= e, então h 6= e. Temos
então g 6= h, g 6= e (pois g 6= h = g ) e g 6= g. Logo, (A ) ⊆ A = {0} e daí
A ⊆ J . Analogamente, (A ) ⊆ A = {0}. Daí A ⊕ A ⊆
 J , umabsurdo. No caso
de g = e, teremos que g = h e h = g. Daí considere a =  α β  ∈ U (K) tal que
0 θ
Ka = A . Logo, Ka = A . Note que A 6= J , pois se A = J nos daria que A ⊆ J
e daí A ⊆ J , um absurdo. Assim a tem ao menos uma entrada não nula na diagonal
principal. Supondo agora que α = θ, teriamos que a também teria os elementos da
diagonal principal iguais, o que seria um absurdo, já que span{Id, a, a } = U (K), pela
graduação. Logo, α 6= θ. Daí a é diagonalizável e, a menos de automorsmo, podemos
supor que A = Ka, onde a é diagonal. Então obteríamos que dim(Ka+Ka +KId) =
2, o que é uma contradição.
e
e
11
n
g
e
h
g
2
e
g
e
g
g
h
22
h
n
g
h
gh
n
g
h
g
h
2
g
h
2
2
e
g
2
h
g
g
h
g
h
h
g
g
h
h
2
2
2
2
2
2
3
g
g
h
g
11
h
12
22
g
h
h
2
g
2
2
2
g
g
g
g
2
h
2
−1
2
g
h
3
2
2
g
e
g
h
−1
2
h
2
h2
3
2
3
g
g
2
g2
h
2
h
2
g
2
h
g
h
2
2
g
2
2
38
Ficamos com U (K) = A L A , onde dimA = 2. Se g 6= e, segue que A seria
um subespaço nilpotente. Logo, pelo Exemplo 1.8.5, teríamos que A ⊆ J , o que seria
um absurdo. Sendo g = e, temos A A ⊆ A . Se a = 0 para todo a ∈ A , então
A ⊆ J , um absurdo. Então existe a ∈ A tal que a ∈ A −{0} e assim a = λId para
algum λ ∈ K − {0}. Logo a é inversível, donde dim(aA ) = 2, o que é um absurdo,
pois aA ⊆ A . Portanto, temos o armado. 2
e
g
2
g
g
g
2
g
g
g
2
e
2
g
g
2
e
2
g
g
e
2.2 Cocaracteres e Codimensões graduados
Nesta seção iremos apresentar alguns conceitos que envolvem álgebras Z -graduadas.
Alguns deles já foram descritos, em seu caso geral, no primeiro capítulo
Seja KhXi a álgebra associativa livre, livremente gerada pelo conjunto X = Y ∪Z ,
onde Y = {y , y , ...}, Z = {z , z , ...} e Y ∩ Z = ∅. Assumindo que Y e Z são os
conjuntos de variáveis de grau zero e um, respectivamente, teremos que KhXi tem uma
estrutura natural de superálgebra (ou álgebra Z -graduada). Mais precisamente, se
KhXi é o subespaço de KhXi gerado por todos os monômios que têm um número par
de variáveis de grau um e KhXi é o subespaço de KhXi gerado por todos os monômios
que têm um número impar de variáveis de grau um, então KhXi = KhXi L KhXi
uma Z -graduação. Para qualquer superálgebra A = A L A e qualquer aplicação
h : Y ∪Z −→ A que preserva Z -graduação (h(y ) ∈ A e h(z ) ∈ A ), podemos estender
esta aplicação a um único homomorsmo de superálgebras φ : KhXi −→ A. Nesta
seção, iremos considerar Id (A) como sendo o ideal das identidades Z -graduadas
de A, que sabemos ser um ideal T -ideal ou ideal Z -graduado de KhXi, ou seja,
é invariante por todos os endomorsmos Z -graduados de KhXi. Iremos supor que
charK = 0, donde pelo Teorema 1.7.5, temos que Id (A) é gerado por seus polinômios
multilineares.
Denimos uma identidade Z -graduada para a superálgebra A = A ⊕ A como
sendo um polinômio f (y , ..., y , z , ..., z ) ∈ KhXi = KhY ∪ Zi tal que
2
1
2
1
2
2
0
1
0
2
0
2
i
0
1
1
i
1
h
gr
2
2
2
2
gr
2
1
n
1
0
1
n
f (a1 , ..., an , b1 , ..., bn ) = 0
para quaisquer a , ..., a ∈ A e b , ..., b ∈ A .
Agora iremos denir as codimensões Z -graduadas e cocaracteres Z -graduados.
1
n
0
1
n
1
2
2
39
Iniciaremos denindo o espaço dos polinômios multilineares Z -graduados de grau n,
como sendo
P = span {x , ..., x /σ ∈ S , x = y ou x = z , i = 1, ..., n}.
Agora, como feito na Denição 1.7.8, iremos denir as codimensões Z -graduadas. A
n-ésima codimensão Z -graduada de uma superálgebra A, que será representada por
c (A), é denida como sendo
2
gr
n
K
σ(1)
n
σ(n)
i
i
i
i
2
2
gr
n
cgr
n (A) =
Pngr
.
Pngr ∩ Idgr (A)
Antes de denirmos os cocaracteres Z -graduados, falaremos sobre as representações lineares do produto direto. Sejam G e G grupos nitos, G = G × G e K
um corpo. Sendo φ : G −→ GL(V ) e ψ : G −→ GL(V ) K -representações lineares,
denamos, para a ∈ G e b ∈ G
2
1
1
1
2
1
2
2
2
φa ⊗ φb : V1 ⊗ V2 −→ V1 ⊗ V2
como sendo o operador linear que satisfaz (φ ⊗ ψ )(v ⊗ v ) = φ (v ) ⊗ ψ (v ), para
v ∈ V v ∈ V . Claramente, φ ⊗ ψ ∈ GL(V ⊗ V ), e φ#ψ : G −→ GL(V ⊗ V ),
denida por (φ#ψ)(a, b) = φ ⊗ ψ é uma K -representação linear de G. Sendo χ ,
χ e χ
os caracteres de φ, ψ e φ#ψ, respectivemente, teremos que χ (a, b) =
χ (a)χ (b) para (a, b) ∈ G.
Fixado r ∈ {0, 1, .., n}, sejam x = y , . . . , x = y , x = z , . . . , x = z
a
1
1
2
2
a
a
φ
φ#ψ
φ
φ
b
b
1
1
2
a
1
b
2
2
1
2
b
φ
φ#ψ
1
1
r
r
r+1
r+1
n
n
gr
Pr,n−r
= spanK {xσ(1) . . . xσ(n) /σ ∈ Sn }
o espaço dos polinômios multilineares nas variáveis y , ..., y , z , ..., z .
Considere o grupo S × S , onde S é o grupo permutacional sobre o conjunto
{1, . . . , r} e S
é o grupo permutacional sobre o conjunto {r + 1, . . . , n}. Considere
também a ação h de S × S sobre P , denida de maneira natural, onde S age
nas variáveis y , ..., y e S age nas variáveis z , ..., z , ou seja,
1
r
n−r
r
r+1
n
r
n−r
r
1
r
n−r
n−r
gr
r,n−r
r
r+1
n
h : (Sr × Sn−r ) × Pr,n−r −→ Pr,n−r
(η, γ).f (y1 , . . . , yr , zr+1 , . . . , zn )) = f (yη(1) , . . . , yη(r) , zγ(r+1) , . . . , zγ(n) ).
Esta ação faz de P um (S × S )-módulo. Note que P
por esta ação, e assim teremos que
gr
r,n−r
r
n−r
gr
r,n−r
∩ Idgr
n
40
(A) é invariante
gr
Pr,n−r
Pr,n−r (A) = gr
Pr,n−r ∩ Idgr (A)
é um (S × S )-módulo, sendo o seu caracter representado por χ (A). Dizemos
que χ (A) é um cocaracter Z -graduado (parcial) de A.
Considere λ ` r e µ ` (n − r), T e T tabelas de Young destas partições. Temos
que M = KS e e M = KS e são módulo irredutíveis sobre KS e KS ,
respectivamente. Considerando agora o (S × S )-módulo W = M ⊗ M , cujo
produto é dado por (σ, η)(v ⊗v ) = σv ⊗ηv , temos que W é um (S ×S )-módulo
irredutível e W ≡ K(S × S )(e e ).
r
n−r
r,n−r
r,n−r
2
λ
λ
r Tλ
µ
µ
n−r Tµ
r
r
1
λ,µ
r
2
1
n−r
Tλ Tµ
n−r
λ,µ
2
λ,µ
n−r
λ
r
µ
n−r
Teorema 2.2.1 Sejam charK = 0, λ ` r e µ ` (n−r). Considere χλ como sendo o Sr caracter irredutível associado a λ, χµ como sendo o Sn−r -caracter irredutível associado
a µ e φλ e ψµ as respectivas representações irredutíveis. Então
{φλ #ψµ /λ ` r e µ ` (n − r)}
é um conjunto completo de representações irredutíveis não equivalentes, de Sr × Sn−r e
{χλ ⊗ χµ /λ ` r, µ ` (n − r)}
é o conjunto dos caracteres irredutíveis de Sr × Sn−r .
Sendo m , m e m os números de classes de cconjugação de
, temos que m = m m . Sendo λ , λ ` r e µ , µ ` n − r, temos
Demonstração:
Sr , Sn−r
que
eS
r
× Sn−r
1
2
1
2
1
2
1
2
hχλ1 ⊗ χµ1 , χλ2 ⊗ χµ2 iSr ×Sn−r = hχλ1 , χλ2 iSr .hχµ1 , χµ2 iSn−r
(veja a denição de h, i na página 22).
É um fato conhecido que todo corpo de caractarística 0 é um corpo de decomposição dos grupos simétricos. Logo pelo Teorema 1.4.19 temos que
G
hχλ1 ⊗ χµ1 , χλ1 ⊗ χµ1 iSr ×Sn−r = 1
e assim pelo Corolário 1.4.20 φ #ψ é uma representação irredutível de S
λ
µ
r
× Sn−r
.
Supondo agora λ
0 (por 1.4.19), donde
1
6= λ2
ou µ
1
6= µ2
, temos que hχ
λ1 , χλ2 iSr
=0
ou hχ
41
µ1 , χµ2 iSn−r
=
hχλ1 ⊗ χµ1 , χλ2 ⊗ χµ2 iSr ×Sn−r = 0.
Segue que φ
conjunto
eφ
λ1 #ψµ1
λ2 #ψµ2
são não equivalentes pelo Corolário 1.4.20. Como o
{φλ #ψµ /λ ` r e µ ` (n − r)}
possui m = m m elementos e, a menos de equivalência, o número de K -representações
irredutíveis de S × S é menor ou igual a m (Proposição 1.4.14), temos o resultado.
1
2
r
n−r
Daí teremos que
X
χr,n−r (A) =
m(λ,µ) (χλ ⊗ χµ )
λ`r
µ`n−r
onde m
(λ,µ)
≥0
é a multiplicidade de cada caracter irredutível. Denimos
gr
cgr
r,n−r (A) = dimPr,n−r (A)
Como o grau do caracter χ ⊗ χ é igual a d d (lembrando que d e d são os
graus de χ e χ , respectivamente), temos que
λ
λ
µ
λ µ
λ
µ
µ
cgr
r,n−r (A) =
X
mλµ dλ dµ .
λ`r
µ`n−r
É um fato conhecido que
cgr
n (A) =
n
X


r=0
n
r

gr
 dimK Pr,n−r
(A) =
n
X


r=0

n
X

r
mλ,µ dλ dµ .
λ`r
µ`n−r
Veja, [14], pag. 273.
2.3 Identidades graduadas de U2(K)
Nesta seção iremos encontrar uma base para Id (U (K)), o ideal das indentidades Z -graduadas de U (K), e depois iremos calcular os seus cocaracteres graduados.
gr
2
2
2
42
Para tal, considere U (K) munida da mZ -graduação canônica e K um corpo de característica zero.
Os polinômios Z -graduados z z e [y , y ] são identidades graduadas de U (K).
De fato, sendo




2
2
2
1 2
A=
e
a11
0
0
a22

C=
teremos
[A, B] = AB − BA = 
e

CD = 
,B = 

,D = 
0

2

0 c12
0
1
0
0
a22 b22
0 c12
0
0

b11
0
0
b22
0 d12
0
0

a11 b11

2
0

 ∈ A1 ,

−
0 d12
0
 ∈ A0
b11 a11
0
0
b22 a22

=0

 = 0.
Iremos agora mostrar que estes polinômios geram Id
Primeiramente temos o seguinte lema:
gr
, como um T -ideal.
(U2 (K))
2
Lema 2.3.1 Se m ∈ KhXi é um monômio contendo pelo menos duas variáveis de
grau 1, então m ∈ I = hz1 z2 , [y1 , y2 ]iT2 .
Seja m = m z m z m , onde m e m são monômios em variáveis de grau 0 e m é um monômio em KhXi. Observe que m podem ser vazio, para
i = 0, 1, 2. Como m z , m z ∈ KhXi , temos que m z m z é consequência de z z e
daí m z m z ∈ I . Como I é ideal, temos que m ∈ I . Demonstração:
0 1
1 2
2
0
1
2
i
0 1
0 1
1 2
1
0 1
1 2
1 2
1 2
O próximo teorema exibirá um conjunto gerador de Id
gr
.
(Un (K))
Teorema 2.3.2 : Os polinômios z1 z2 e [y1 , y2 ] geram Idgr (Un (K)) como T2 -ideal.
Considere I = hz z , [y , y ]i e seja f um polinômio multilinear de Id (U (K)). No início desta seção, mostramos que os dois polinômios z z e
[y , y ] são identidades Z -graduadas para U (K) e então temos que I ⊆ Id (U (K)).
Logo, resta-nos mostrar que Id (U (K)) ⊆ I . Como o corpo K é de característica
Demonstração:
gr
1
2
1 2
1
2
T2
2
1 2
2
2
gr
2
gr
2
43
0, então, pelo Teroema 1.7.5, temos que o T -ideal Id (U (K)) é gerado pelos seus
polinômios multilineares. Logo, para que I = Id (U (K)), temos que mostrar que
f ∈ I , ou seja, temos que mostrar que f é um polinômio congruente a zero módulo I .
Observe que
gr
2
gr
n
n
f = f1 (y1 , . . . , ys ) + f2 (z, y1 , . . . , ys−1 ) + f3
onde f contém todos os monômios de f com pelo menos duas variáveis de grau 1 (se
existirem). Por 2.3.1, temos que f ∈ I . Logo f (y , . . . , y ) + f (z, y , . . . , y ) ∈
Id (U (K)). Substituindo z por zero, concluímos que f , e consequentemente f
é uma identidade Z -graduada para U (K). Agora, como [y , y ] ∈ I , temos que
f (y , . . . , y ) ≡ αy . . . y (modI).
Fixados u = {i , . . . , i } e v = {j , . . . , j }, com i < · · · < i , j < · · · < j
e {i , . . . , i , j , . . . , j } = {1, . . . , s − 1}, dena m = y . . . y zy . . . y . Agora,
como [y , y ] ∈ I , temos f ≡ P α m (modI) com α ∈ K . Fixando novamente
u , v tais que u ∩ v = ∅ e u ∪ v = {1, . . . , s − 1}, e substituindo z por E , as
variáveis y , com j ∈ u por E e as variáveis y , com j ∈ v , por E , concluímos que
α
= 0. Daí, f ∈ I
Portanto, f ∈ I e podemos concluir que Id (A) = hz z , [y , y ]i 3
3
gr
1
1
s−1
s
1
t
1
1
1
1
t
1
s−1−t
s−t
j
1
u,v
2
0
2
s
2
0
2
2
1
u0 ,v0
2
1
1
0
s
2
2
1
1
0
0
u,v
u,v
0
0
u,v
t
i1
it
j1
1
s−1−t
js−t
u,v
12
11
j
0
22
2
gr
1 2
1
2
O próximo resultado traz a descrição dos cocaracteres Z -graduados de U (K).
2
2
Teorema 2.3.3 Considere U2 (K) munida da Z2 -graduação canônica. Sejam n ∈ N,
r ∈ {0, 1, . . . , n} e χgr
r,n−r (U2 (K)) =
X
mλ,µ (χλ ⊗ χµ ). Então:
λ`r
µ`n−r
(i) Se r ≤ n − 2, então mλ,µ = 0
(ii) Se r = n, então m(n),∅ = 1 e mλ,∅ = 0 se λ 6= (n)
(iii) Se r = n − 1 e λ = (p + q, p)eµ = 1, então mλ,µ = q + 1.
(iv) Se r = n − 1 e h(λ) > 2, então mλ,µ = 0
Demonstração: (i) Supondo que r ≤ n − 2, então teremos que n − r ≥ 2.
os monômios em P
teremos que
Logo
terão mais que uma variável de grau um e daí pelo Lema 2.3.1
terá apenas o elemento nulo e portanto temos o armado.
gr
r,n−r
gr
Pr,n−r
gr
Pr,n−r ∩Idgr (U2 (K))
(ii)
Considere r = n. Observe que S
n
44
e
× Sn−r = Sn
gr
Pn,0
= span{yσ(1) . . . yσ(n) /σ ∈ Sn }.
Como
em
P (U (K)) para todo σ ∈ S , e daí dimP (U (K)) = 1. Assim P (U (K)) é
um S -módulo irredutível. Por outro lado σ.y . . . y = y . . . y = y . . . y e assim a S -representação correspondente ao S -módulo P (U (K)) é a trivial, a qual
corresponde à partição (n) de n. Assim, m = 1 e m = 0, se λ 6= (n).
(iii) e (iv) Veja [27]. gr
n,0
, teremos que
[y1 , y2 ] ≡ 0 (modIdgr (U2 (K))
2
gr
n,0
n
n
gr
n,0
2
1
n
yσ(1) . . . yσ(n) = y1 . . . yn
n
σ(1)
gr
n,0
n
(n),∅
σ(n)
1
2
n
2
λ,∅
Considere A um superálgebra satisfazendo uma identidade polinomial não-trivial.
Sabemos que c (A) ≤ c (A) ≤ 2 c (A) (veja [14], pag. 304). Observandop o crescimento exponencial das codimensões graduadas, denimos exp (A) = lim c (A).
No próximo resultado calcularemos exp (U (K)) no caso em que U (K) é considerado com a Z -graduação canônica.
n
gr
n
n
n
gr
n→∞
gr
2
gr
n
2
2
Proposição 2.3.4 expgr (U2 (K)) = 2
Demosntração: É um fato conhecido
[14], pag. 88). Para todo n ∈ N, temos
n
X
X
cgr
n (U2 (K)) =
λ,µ

cgr
n (U2 (K)) =
Como m
λ,µ

λ`n−1
µ`1
=0
n−1
λ,µ

n
r
≤n
, e assim
X
λ`n−1
h(λ)≤2
n−1
2
(n − 2) + 2

 mλ,µ dλ dµ .
se r ≤ n − 2. Logo,


 mλ,µ dλ dµ +
para h(λ) > 2 (pelo teorema 2.3.3),
cgr
n (U2 (K)) =
Por 2.3.3, m
λ`r
µ`n−r
=0
n
X
n

r=0
Pelo Teorema 2.3.3, temos que m
que c (U (K)) = 2
nmλ,(1) dλ +
X

λ`n
µ`0
X
λ`n
h(λ)≤2)
n
n

 mλ,∅ dλ dµ .
mλ,∅ dλ .
(veja
45


X
X
X

2
cgr
(U
(K))
≤
n
nd
+
d
≤
(n
+
n)
dλ ≤ 2n (n2 + n).


2
λ
λ
n
λ`n−1
h(λ)≤2
λ`n
h(λ)≤2)
λ`n
h(λ)≤2)
A penúltima desigualdade vem do seguinte fato: se λ ` (n − 1), onde λ = (p, q) e
λ0(p + 1, q) ` n, então temos que d ≤ d e daí,
X
λ
λ0
dλ ≤
X
λ`n−1
h(λ)≤2
X
dλ 0 ≤
λ0 `n
h(λ0 )≤2
dλ .
λ`n
h(λ)≤2
Já a última desigualdade sai do Teorema do gancho (Seção 1.5), mais precisamente da
seginte maneira: sendo λ(p + q, p) ` n,
n! = dλ (p!q!(p + q + 1)(p + q)(p + q − 1) . . . (q + 2))
≥ dλ ((p!q!)(p + q)(p + q − 1) . . . (q + 1)) = dλ (p!(p + q)!),
donde

dλ ≤
Observe ainda que
X
Logo, 2
2 n2

n!
=  .
p!(p + q)!
p
dλ ≤
n
X


p=0
n
p

 = 2n .
, e daí p2 (n − 2) + 2 ≤ pc
+ n. Fazendo agora n tender ao innito, temos o resultado. n−1
√
n
λ`n
h(λ)≤2
n
n
2
(n−2)+2 ≤ cgr
n (U2 (K)) ≤ 2 (n +n)
n
n−1
n
gr
n (U2 (K))
≤
Capítulo 3
Identidades Graduadas para a Álgebra
Un(K)
Neste capítulo iremos encontrar uma base para o ideal das identidades Z -graduadas
da álgebra U (K). Com isto, poderemos calcular as codimensões graduadas desta álgebra. Para tanto iremos ultilizar para U (K) sua Z -graduação canônica denida na
Seção 1.3, do primeiro capítulo.
Inicialmente iremos usar um abuso de notação e denotar o grupo Z como sendo
Z = {0, 1, . . . , n − 1} ⊂ Z, e para diferenciarmos as operações de soma de cada um
destes conjuntos, iremos utilizar + para denotar a soma em Z (soma módulo n) e +
para a soma em Z (soma usual).
Em todo capítulo, K será um corpo innito e KhXi denotará a álgebra associativa
livre Z -graduada (ou simplismente n-graduada).
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3.1 As Identidades graduadas de Un(K)
Nesta seção iremos considerar a álgebra U (K) com sua Z -graduação canônica,
denida no primeiro capítulo. Iniciaremos com o seguinte lema
n
n
Lema 3.1.1 A álgebra Un (K) satisfaz as seguintes identidades Zn -graduadas:
(0) (0)
(0) (0)
x 1 x2 − x2 x1 ≡ 0
47
x(i1 1 ) x(i2 2 ) ≡ 0
onde i1 , i2 ∈ Zn e i1 + i2 ≥ 0.
Demonstração:
Sejam as seguintes matrizes do grau 0,

a
0 ... 0
 11

 0 a22 . . . 0
A=



0 0 . . . 0 ann
..
.. . . . ..


b
0 ···

 11



 0 b22 · · ·
 e B=






0
0 ···
0



0 




bnn
.. .. . . . ..
Então, como os elementos do corpo são comutativos, teremos que

a
0 ···
 11

 0 a22 · · ·
AB = 



0
0 ···

b
0 ···
  11

0   0 b22 · · ·




ann
0
0 ···
0
.. .. . . . ..

0


 
 
0  
=
 
 
 
bnn
.. .. . . . ..
b11 a11



=



0
···
0
0
···
0
a22 b22 · · ·
..
0
0
..
...
0
..
0
···
ann bnn

0
b22 a22 · · ·
..
0
a11 b11
..
...
0
..
0
···
bnn ann



 = BA



Logo, o primeiro polinômio descrito acima é uma identidade para U (K). Resta-nos
provar que o segundo polinômio também será identidade.
Sendo X uma matriz de grau i e Y uma matriz de grau i , então
n
1
2
X = a1,1+i1 E1,1+i1 + a2,2+i1 E2,2+i1 + · · · + an−i1 ,n En−i1 ,n e
Y = b1,1+i2 E1,1+i2 + b2,2+i2 E2,2+i2 + · · · + bn−i2 ,n En−i2 ,n
onde os a 0s e os b 0s são elementos do corpo K e i + i ≥ n. Sabemos que a única
possibilidade para que AB 6= 0 é que exista k, onde 1 ≤ k ≤ n − i , tal que i + k = l,
com 1 ≤ l ≤ n − i . Logo, 1 ≤ i + k ≤ n − i e então 1 ≤ i + i + k ≤ n, o que é
uma absurdo, já que i + i ≥ n e k ≥ 1. Daí, AB tem que ser a matriz nula, como
queríamos provar. Portanto os polinômios dados acimas são identidades Z -graduadas
para a álgebra U (K). ij
kl
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
n
n




=



48
Denotaremos por I o T -ideal n-graduado de KhXi gerado pelos polinômios
do Lema 3.1.1, e por Id (U (K)) o ideal das identidades n-graduadas de U (K).
Observa-se, pelo Lema anterior, que I ⊆ Id (U (K)). Nosso intuito é mostrar que
I = Id (U (K)). Antes de mostrarmos este fato, iremos enunciar e provar uma proposição que nos ajudará na sua demonstração.
gr
n
n
gr
gr
n
n
Proposição 3.1.2 Sejam i1 , i2 , ..., ik ∈ Zn tais que i1 + i2 + ... + ik ≥ n. Então o
monômio x(i1 1 ) x(i2 2 ) ...x(ik k ) é uma identidade n-graduada para Un (K).
Demonstraremos por indução. Para k = 2, já foi demonstrado
no Lema 3.1.1. Agora, suponhamos que a proposição seja válida para k e provaremos
que ela será válida para k + 1. De fato, considere o monômio x x ...x x
e sejam p(x , x , ..., x ) = x x ...x e i = i + i + ... + i . Se i ≥ n,
temos, por hipótese de indução, que p(x , x , ..., x ) é identidade n-graduada para
U (K), e daí o polinômio x x ...x x
= p(x , x , ..., x )x
também
será identidade n-graduada para U (K). Agora suponhamos que i < n. Neste caso,
temos que i + · · · + i = i + · · · + i é o Z -grau de p(x , x , ..., x ). Como
x x ...x x
= p(x , x , ..., x )x
e i+i ≥ n, pelo Lema 3.1.1 temos
que x x ...x x é de fato uma identidade n-graduada para U (K). Portanto,
x x ...x é uma identidade n-graduada para U (K), sempre que i + i + ... + i ≥
n.
Demonstração:
(ik ) (ik+1 )
k+1
k
(i1 ) (i2 )
1
2
(i1 )
1
(i2 )
2
(ik )
k
(i1 ) (i2 )
1
2
(i1 )
1
1
(i2 )
2
2
k
(ik )
k
(ik ) (ik+1 )
k
k+1
(i1 ) (i2 )
1
2
n
(ik )
k
(i1 )
1
(i2 )
2
(ik+1 )
k+1
(ik )
k
n
1
(i1 ) (i2 )
1
2
k
(ik ) (ik+1 )
k
k+1
(i1 )
1
n
n k
(i2 )
2
(ik )
k
(i1 )
1
n
(ik+1 )
k+1
(ik )
k
(i2 )
2
k+1
(ik ) (ik+1 )
k
k+1
(i1 ) (i2 )
1
2
(i1 ) (i2 )
1
2
1
n
(ik )
k
n
1
2
k
Considere o conjunto dos monômios de KhXi da forma
(3.1)
onde i + ... + i < n e w , w , ..., w são monômios (possivelmente vazios) nas variáveis
homogêneas x de Z -grau zero, e em cada w estas variáveis estão escritas em ordem
crescente de índices, da esquerda para a direita. O próximo teorema nos dará uma
e como consequência mostraremos que I = Id (U (K)). Porém,
base para
antes iremos provar os seguintes lemas:
(i )
(i )
u = w0 xk11 w2 ...wt−1 xktt wt
1
t
(0)
i
K(X)
Idgr (Un (K))
0
n
1
t
i
gr
n
Lema 3.1.3 Os monômios (3.1) geram KhXi módulo I e consequentemente módulo
Idgr (Un (K)).
49
Seja f ∈ KhXi um poilinômio tal que f 6= I . Como [x , x ] ∈
I , teremos que as variáveis de Z -grau 0 comutam módulo I , e como x x ∈ I , com
i + i ≥ n, então teremos que f tem o Z -grau total menor que n. Perceba então que
f é congurente módulo I a um dos monômios do tipo (3.1). Ademais, sabemos que
I ⊆ Id (U (K)), donde segue a ultima armação. Demonstração:
(0)
1
(i1 ) (i2 )
1
2
n
1
(0)
2
2
n
gr
n
Lema 3.1.4 Sejam V um K -espaço vetorial, I e J dois subespaços de V tais que
I ⊆ J , e β = {vj /vj ∈ Λ} um subconjunto de V tal que β = {vj + I/j ∈ Λ} gera
β = {vj + J/j ∈ Λ} é L.I. em
V
J
V
I
e
. Então I = J .
Seja w ∈ J . Então existem λ , . . . , λ ∈ K tais que w + I =
(λ v + · · · + λ v ) + I , donde w = (λ v + · · · + λ v ) + v , onde v ∈ I . Daí, como
I ⊆ J e consequentemente v + J = 0 + J , temos que
Demonstração:
1 1
1
n n
1 1
n
n n
0 = w + J = λ1 (v1 + J) + · · · + λn (vn + J)
e como β é L.I. módulo J , teremos que λ
1
. Portanto w ∈ I e I = J . = · · · = λn = 0
Teorema 3.1.5 Se K é um corpo innito, então os monômios em (3.1) formam uma
base de KhXi módulo Idgr (Un (K)). Ademais,
(0)
(i) (j)
(0)
Idgr (Un (K)) = I = h[x1 , x2 ], x0 x1 /i + j ≥ niTn .
Observe que I ⊆ Id (U (K)) pelo Lema 3.1.1 e que os monômios em (3.1) são linearmente independentes módulo Id (U (K)). De fato, suponha
que f = P α u ∈ Id (U (K)), onde α ∈ K e os monômios u são do tipo (3.1).
Como K é um corpo innito, então os T -ideais n-graduados são gerados pelos polinômios multihomogêneos. Daí, assumiremos que f é multihomogêneo, isto é, as mesmas
variáveis aparecem o mesmo número de vezes em cada monômio u . Fixando-se um
monômio com coeciente não nulo, digamos u e seja u = w x w ...w x w .
Iremos agora fazer as seguintes substituições em f : cada variável que aparece em w ,
por E ; a variável x , por E ; cada variável que aparece em w , por E
;
a variável x por E
;...; a variável x , por E
e cada
variável w por E , onde j = k + ... + k + 1. Logo temos que 0 = α E , o que é um
absurdo.
Demonstração:
gr
n
gr
gr
i i
n
i
n
i
i
1
1
(k1 )
0 i1
2
(kt )
t−1 it
t
0
(k1 )
i1
11
(k2 )
i2
t
1,k1 +1
1
(kt )
it
k1 +1,k1 +k2 +1
jj
1
m
k1 +1,k1 +1
k1 +...+kt−1 +1,k1 +...+kt +1
1
1j
50
Agora, observe que todo elemento de KhXi, é escrito, módulo I , como combinação linear dos monômios do tipo (3.1), pelo Lema 3.1.3. Levando em conta o que
acabamos de fazer, temos a priemira armção.
Pelo Lema 3.1.4, temos que I = Id (U (K)), ou seja,
gr
(0)
n
(0)
(i) (j)
Idgr (Un (K)) = h[x1 , x2 ], x1 x2 /i + j ≥ niTn .
3.2 Matrizes genéricas e identidades graduadas
Nesta seção tralharemos para dar uma outra demonstração do Teorema 3.1.5.
Para isto, iremos trabalhar com matrizes genéricas.
Considere as seguintes variáveis comutativas, y , onde 1 ≤ i ≤ j ≥ n e k =
1, 2, . . . , . Considere também a álgebra polinomial K[y ]. Então, teremos a seguinte
proposição.
(k)
ij
(k)
ij
Proposição 3.2.1 As álgebras Un (K)⊗K K[yij(k) ] e Un (K[yij(k) ]) são isomorfas.
Demonstração:
Considere a seguinte aplicação linear
(k)
(k)
φ : Un (K)⊗K K[yij ] −→ Un (K[yij ])
denida por φ(E ⊗ f ) = E (f ), onde E (f ) é a matriz que tem f ∈ K[y ] (f é um
monômio) na entrada da linha i e coluna j, além de zero nas demais entradas. Observe
que φ está bem denida pela propriedade universal do produto tensorial, e da maneira
como foi denida, como uma correspodência biunívoca entre duas bases, temos que
φ é um isomorsmo de espaços vetorias. Ademais, é um homomorsmo de álgebras.
Portanto, temos o armado. ij
K
ij
(k)
ij
ij
Seja
(i)
(k)
(k)
(k)
(k)
Yk = y1,i+1 E1,i+1 + y2,i+2 E2,i+2 + ... + yn−i,n En−i,n ∈ Un (K[yij ])
com 0 ≤ i ≤ n − 1 e k ∈ N. Seja G a subálgebra de U (K[y
matrizes, para cada i ∈ Z. Considere o subespaço
n
n
(k)
ij ])
gerada por estas
(k)
Un (K[y (k)ij ])i = {f1 E1,1+i + f2 E2,2+i + · · · + fn−i En−i,n /f1 , f2 , . . . , fn−1 ∈ K[yij ]}
eB
i
= Gn ∩ U (K[y (k)ij ])i
. Daí, teremos que G
n
= B0 ⊕ B1 ⊕ · · · ⊕ Bn−1
51
eB
i1 Bi2
⊆
, para i , i ∈ Z .
De modo análogo ao que foi feito na demonstração do Lema 3.1.1, mostra-se que
G satisfaz as identidades n-graduadas [x , x ] e x x , com i + i ≥ n. Logo
I ⊆ Id (G ).
Bi1 +n i2
1
2
n
(0)
1
n
gr
(0)
2
(i1 ) (i2 )
1
2
1
2
n
Lema 3.2.2 Seja f (x(i1 1 ) , . . . , x(in n ) ) ∈ KhXi. Então f (Y1(i1 ) , . . . , Yn(in ) ) = 0 se, e somente se, f ∈ Idgr (Un (K)).
De fato, f (Y , . . . , Y ) ∈ U (K[y ]) e f é identidade ngraduada de U (K) se, e somente se, todas as entradas de f (Y , . . . , Y ) se anula
para quaisquer substistuições das variáveis y por elementos de K . Como K é innito,
isto acontece se, e somente se, todas as entradas de f (Y , . . . , Y ) são polinômios
identicamente nulo. Demonstração:
(i1 )
1
(in )
n
(k)
ij
n
(i1 )
1
n
(in )
n
(k)
ij
(in )
n
(i1 )
1
Lema 3.2.3 A álgebra Gn é isomorfa, como uma álgebra n-graduada, à álgebra
KhXi
Idgr (Un (K))
.
Considere a aplicação denida por x −→ Y . Daí, como
KhXi é gerado livremente por X = {x /k ∈ N, 0 ≤ i ≤ n − 1}, teremos que existe
um homomorsmo φ : KhXi −→ G tal que φ(x ) = Y . Ademais, teremos que
φ é um epimorsmo, uma vez que todas as matrizes Y
estão na imagem de φ e
G é gerada (como álgebra) por elas. Ademais, pelo teorema anterior, teremos que
kerφ = Id (U (K)). Daí, existe um isomorsmo Φ :
−→ G , denido por
Φ(x ) = φ(x ) = Y . Ademais, da meneira como φ foi denida ela leva variáveis
n-graduadas em matrizes com o mesmo n-grau. Logo Φ preserva graduação. Demonstração:
(i)
k
(i)
k
(i)
k
(i)
k
n
(i)
k
(i)
k
n
gr
(k)
i
KhXi
Idgr (Un (K))
n
(k)
i
n
(i)
k
(k)
Lema 3.2.4Sejam A1 e A2 dois elementos de
U (K[yij ]), tais que A1 ∈ Bi e A2 ∈ Bj .
 n


0 . . . 0 f1






Sendo A1 = 






0
...
0
0 ... 0
0
f2 . . .
..
.
...
0 ... 0
0
0
. . . fn−i
...
..
.
0 ... 0
0
0
...
0
.. . . ..
. .
.
.. . . ..
. .
.
..
.
..
.
..
.
0
..
.
0 ...





 0 ...



 .. . .
.

 .
 e A2 = 



 0 ...



 .. . .
.

 .


0 ...
0 g1
0
...
0
0
0
g2 . . .
..
.
...
0
0
0
. . . gn−j
...
..
.
0
0
0
...
0
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
0
..
.






,






52
onde f1 , ..., fn−i , g1 , ..., gn−j ∈ K[yij(k) ] e 0 ≤ i, j ≤ n − 1, se i + j ≥ n, então A1 A2 = 0,
se i + j < n, então







A1 A2 = 






0 . . . 0 f1 gi+1
0 ... 0
0
0 ... 0
0 ... 0
.. . . ..
. .
.
0
..
.
.. . . ..
. .
.
...
0
f2 gi+2 . . .
0

..
.
...
0
0
. . . fn−i−j gn−j
...
..
.
0
0
...
0
..
.
..
.
..
.













Inicialmente, se i + j ≥ n, então i + 1 ≥ n − j. Como A =
fE
+f E
+ ... + f E
e A = g E + g E + ... + g E , então,
concluimos que A.B = X X f g E E = 0.
Suponha agora que i + j < n. Logo teremos que i + 1 ≤ n − j e daí A .A =
Demonstração:
1
1,i+1
2
2,i+2
1
n−i n−i,n
n−i n−j
l q
2
1
l,i+l
q,j+q
1,j+1
2
2,j+2
n−j
n−j,n
l=1 q=1
1
2
(f1 E1,i+1 + f2 E2,i+2 + ... + fn−i En−i,n )(g1 E1,j+1 + g2 E2,j+2 + ... + gn−j En−j,n ) =
f1 gi+1 E1,j+i+1 + f2 gi+2 E2,i+j+2 + ... + fn−i−j gn−j En−j En−i−j,n
, como armado. Proposição 3.2.5 Seja 0 6= m(x(i1 1 ) , ..., x(il l ) ) ∈ KhXi um monômio tal que seu grau
total seja q e m ∈
/ Id(Un (K)). Então existem k1 , ..., kq ∈ N e j1 , ..., jq ∈ {i1 , . . . , il } tais
que







(i1 )
(il )
m(Y1 , ..., Yl ) = 






0 . . . 0 w1
0 ... 0
0
0 ... 0
0 ... 0
.. . . ..
. .
.
.. . . ..
. .
.
..
.
0
...
w2 . . .
0
0
..
.
...
0
0
. . . wt
...
..
.
0
0
...
0
..
.
..
.
..
.














(kq )
(k1)
(k )
onde t = n − (i1 + · · · + jq ) e wk = yk,j
y 2
...yj1 +...+j
são
q−1 +k,j1 +...+jq +k
1 +k j1 +k,j1 +j2 +k
monômios em K[yij(k) ].
Provaremos por indução sobre q. Para q = 1 nada a se demonstrar, pois m(Y ) = Y . Agora, suponha q > 1. Então existe um monômio
0 6= n(x , ..., x ) tal que m(x , ..., x ) = n(x , ..., x )x , onde o grau total de
n(x , ..., x ) é q − 1. Logo, por hipétese de indução, temos que existem k , ..., k ∈ N e
Demonstração:
(i1 )
1
(i1 )
1
1
l
(il )
l
(i1 )
1
(i1 )
1
(il )
l
(i1 )
1
il
l
(jq )
q
1
l
j1 , ..., jq−1 ∈ {i1 , ..., il }
53
tais que

0 ...


 0 ...



(i1 )
(il )
n(Y1 , ..., Yl ) = 

 0 ...




0 ...
0 w1 0
0
...

0






,

. . . w0t 




... 0
w2 0 . . .
.. . . . .. .. .. . . . ..
0
0
0
.. . . . .. .. .. . . . ..
0
0
0
0
0
0
onde t0 = n − (j + · · · + j ) e w 0 = y y
Como m ∈/ Id (U (K)), temos que j + · · · + j
1
gr
q−1
n
k
(kq )
(k1 )
(k2 )
1,j1 +k j1 +k,j1 +j2 +k ...yj1 +...+jq−1 +k,j1 +...+jq−1 +k
1
q−1

(i1 )
m(Y1
, ..., Yl
(il )
(i1 )
) = n(Y1
, ..., Yl
(il )
)Yq(jq )
. Daí, pelo Lema 3.2.4
.
+ jq < n
0 . . . 0 w1


 0 ... 0



= 

 0 ... 0




0 ... 0
0
...
0



... 0 





. . . wt 




... 0
.. . . . .. .. .. . . . ..
0
w2
.. . . . .. .. .. . . . ..
0
0
0
0
onde t e os w 0s são como no enunciado. i
Lema 3.2.6 Sejam m(x(i1 1 ) , ..., xn(in ) ) e n(x(i1 1 ) , ..., x(in n ) ) dois monômios de KhXi. Se as
(k )
(k )
(k )
1)
matrizes m(Yi(k
, ..., Yin n ) e n(Yi1 1 , ..., Yin n ) têm na primeira linha a mesma entrada
1
(k )
(k )
(k )
1)
não nula, então m(Yi(k
, ..., Yin n ) = n(Yi1 1 , ..., Yin n ).
1
Este lema sai como consequência da Proposição 3.2.5, pois
perceba que a entrada não nula na primeira linha da matriz m(Y , ..., Y ) determina
as outras, assim como a primeira entrada não nula na primeira linha de n(Y , ..., Y )
determina as demais. Demonstração:
k1
i1
kn
in
(i1 )
k1
(in )
kn
Corolário 3.2.7 Sejam ms = ms (x(ik11 ) , ..., x(iknn ) ), para s ∈ {1, 2}, dois monômios de
KhXi. Suponha que as matrizes m1 (Yk1 1 , ..., Yknn ) e m2 (Yk1 1 , ..., Yknn ) tenham na
(i )
(i )
(i )
(i )
primeira linha a mesma entrada não nula, para quaisquer k1 , . . . , kn ∈ N. Então,
teremos que m1 − m2 ∈ Idgr (Un (K)).
Pelo Lema 3.2.6 teremos que m −m = 0 na álgebra G e como,
, teremos que m − m ∈ Id (U (K)). pelo Lema 3.2.3, G é isomorfa a
Demonstração:
n
1
KhXi
Idgr (Un (K))
2
n
1
2
gr
n
n
54
Daremos uma prova alternativa do Teorema 3.1.5.
Demonstração: Considere I como sendo o T -ideal gerado pelos polinômios
{[x , x ], x x /i + j ≥ n}. Já sabemos que I ⊆ Id (U (K)). Logo, só necessitamos
provar que Id (U (K)) ⊆ I . Suponhamos por contradição, que existe pelo menos
um polinômio multihomogêneo f ∈ Id (U (K)) tal que f ∈/ I . Iremos trabalhar na
álgebra . Considere f ∈
de menor grau possível expresso na forma
f = α m + α m + ... + α m , onde os m 0s são monômios distintos do tipo (3.1),
α ∈ K − {0} e s é o mínimo possível.
Supondo m = m (x , ..., x ), então, como f ∈ Id (U (K)), teremos que
n
(0)
1
i j
1 2
0
1
gr
gr
n
gr
1
n
Idgr (Un (K))
I
KhXi
I
1
n
2
2
s
s
t
t
t
t
(i1 )
k1
(il )
kl
m1 (Yki11 , ..., Ykinn ) =
gr
r
X
n
βz mz (Yki11 , ..., Ykinn )
z=2
onde β = , que é diferente de zero, pela minimalidade de s, para todo z = 2, 3, ..., s.
Como m (Y , . . . , Y ) 6= 0, na primeira linha dessa matriz haverá uma entrada não
nula que deverá aparecer na primeira linha da matriz P β m (Y , ..., Y ). Logo,
teremos a igualdade entre um monômio (entrada do primeiro membro) e um polinômio
(entrada do segundo membro) da álgebra K[y ]. A matriz m (Y , . . . , Y ) terá
o elemento não nulo na primeira linha igual ao elemento não nulo da primeira linha de
uma das outras matrizes, digamos da matriz m (Y , . . . , Y ). Logo, m − m ∈
Id (U (K)), de acordo com o Corolário 3.2.7. Mas, então m = m , pois os monômios
em (3.1) são LI módulo Id (U (K)) e nós reduzimos f a s − 1 monômios, o que
contradiz a escolha do s. Portanto, I = Id (U (K)).
Agora iremos provar que os monômios (3.1) são linearmente independentes módulo Id (U (K)). Supondo o polinômio P α m ∈ Id (U (K)), onde os m 0s são
monômios distintos do tipo (3.1), com 0 6= α ∈ K , como K é innito, podemos assumir
que os monômios m 0s são todos multihomogêneos e todos com o mesmo multigrau.
Pode-se expressar m da seguinte maneira: m = P β m módulo Id (U (K)), onde
β =
. Agora, substituindo as variáveis pelas respectivas matrizes genéricas graduadas, a primeira linha de m conterá alguma entrada não nula, pois, caso contrário, m
pertenceria a Id (U (K)). A mesma entrada não-trivial deve aparecer em algum dos
monômios da soma, suponhamos que seja em m . Daí, m − m ∈ Id (U (K)) e nós
reduzimos nossa combinação para t − 1 termos. Finalmente, repetindo-se este processo
nos outros monômios obtemos um monômio que será uma identidade para U (K), o
−αz
α1
z
1
(il )
kl
(i1 )k1
r
z=2
z
(k)
ij
gr
1
1
2
2
n
gr
gr
(il )
kl
(il )
kl
(i1 )k1
n
gr
kn
jn
(i1 )k1
1
2
k1
j1
z
n
t
i=1
n
i
gr
i
n
i
i
i
1
i
t
i=2
1
i
gr
i
n
−αi
α1
1
gr
1
n
2
1
2
gr
n
n
55
que é um absurdo, pois nenhum monômio do tipo (3.1) é identidade n-graduada de
U (K). n
3.3 Aplicações
Iremos agora aplicar os resultados das seções anteriores para calcularmos as codimensões n-graduadas de U (K).
Considere
(3.2)
g x g x ...g x g
monômio multilinear não nulo de grau total m em
, onde cada g é formado
por variáveis de n-grau zero x e j , j , . . . , j , z , z , . . . , z estão xos, onde 1 ≤ z ≤
n − 1, para todo i ∈ {1, 2, . . . , r}. Suponha que este monômio tenha s variáveis de
n-grau zero. Então, r = m − s. Observe que se permutarmos as r variáveis de n-graus
diferentes de zero, obtemos r! = (m − s)! monômios do tipo (3.2), xados os g 0s.
Como [x , x ] ∈ Id (U (K)), temos que as variáveis de n-grau zero são comutativas
em cada g . Logo, podemos supor que em cada g as variáveis de n-grau 0 aparecem
em ordem crescente de índices. Observe que cada variável de n-grau 0 tem r + 1 =
m − s − 1 possibilidades de localizaçõa. Logo, pelo princípio fundamental da contagem,
teremos um total de monômios do tipo (3.2) igual a (m − s)!(m − s + 1) , xadas as r
variáveis de n-graus diferentes de zero. Observe que impomos uma condições que não
foi mencionada: z +z +· · ·+z < n (lembre que o monômio é não nulo em
).
Como consequência do que acabamos de fazer, teremos a seguinte proposição:
n
(zr )
r jr
r+1
(z2 )
(z1 )
2 j2
1 j1
KhXi
Idgr (Un (K))
(0)
j
1
2
r
1
2
i
r
i
i
(0)
1
(0)
2
gr
n
i
i
s
1
2
KhXi
Idgr (Un (K))
r
(0)
(0)
Proposição 3.3.1 Sejam m um inteiro positivo xado e x(0)
j1 , xj2 , ..., xjs xadas. Su(z2 )
(zr )
1)
ponha que x(z
j1 , xj2 , ..., xjr , r = m − s, e 1 ≤ zi ≤ n − 1sejam xadas, com
z1 + z2 + ... + zr ≤ n − 1. Então, o espaço gerado por todos os monômios multili-
neares nestas variáveis em
KhXi
Idgr (Un (K))
tem dimensão (m − s)!(m − s + 1)s .
Agora, iremos calcular a codimensão c
m
.
= cgr
m (Un (K))
Teorema 3.3.2 A codimensão cm será
cm =
M
X


q=0
m
q


n−1
q

 q!(q + 1)m−q
56
onde M = min{m, n − 1}.
Basta contar quantos monômios de tipo (3.1) existem de tamanho m (veja o Teorema 3.1.5). Seja f = g y g y ...g y g ∈ P (U (K)) =
um monômio multilinear não nulo nas variáveis x , onde 0 ≤ k ≤ n − 1
e 1 ≤ i ≤ m. Para todo l = 1, ..., q + 1, os g 0s são monômios, possivelmente vazios,
somente nas variáveis x , e para r = 1, ..., j, tem-se y = x , onde 1 ≤ a ≤ n − 1
e 1 ≤ b ≤ m. Como f ∈ P (U (K)) não é trivial, então pelo provado no Teorema
3.1.5, teremos que ter a + a + ... + a ≤ n − 1. Observe então que q ≤ min{m, n − 1}.
Denote por A (q) o número de q-uplas de inteiros positivos a , ..., a tais que
a + ... + a ≤ n − 1, e por B (q) o número de q -uplas tais que a + ... + a = n − 1.
Então, obviamente

temos que A (q) = B (q) + B (q) + ... + B (q). Sabemos que
r−1
 é o número de partições de r em q partes não nulas (veja [3], pag.
B (q) = 
q−1
54). Daí, usando as propriedades dos números binomiais, temos que
Demonstração:
1 1 2 2
gr
m
q q q+1
gr
Pm
gr
Pm
∩Idgr (Un (K))
n
(k)
i
l
(0)
i
gr
m
r
1
(ar )
br
r
r
n
2
q
n−1
1
1
q
n−1
q
1
n−1
n−1
n−2
q
q
r
An−1 (q) =
n−1
X
Br (q) =
n−1
X

r−1


=
q−1

 


 

q−1
q
n−2
n−1
(n − 1)!

+
 + ... + 
=
=
q!(n − 1 − q)!
q−1
q−1
q−1
q


m
m!

= q! 
(m−q)!
q
r=q
r=q
Escolhido os graus, observe que temos
possíveis escolhas para
os índices b da variáveis y = x , onde a ∈ {1, . . . , n − 1}. Assim, o número de
possibilidades para as variáveis y , . . . , y no monômio f acima é exatamente
r
(ar )
br
r
r
1
q

q! 
m
q


n−1
q


Fixados agora q ∈ {0, . . . , M } e uma escolha das variáveis y , . . . , y temos que
existem (q + 1) possibilidades de posicionamento das variáveis de grau 0, pois cada
uma das m − q variáveis de grau 0 pode entrar em qualquer um dos g0 s (observe a
demonstração da proposição anterior).
Temos então



1
q
m−q
i
q! 
n−1
m
q

q
 (q + 1)m−q
57
possibilidades para o monômio f , xado q ∈ {0, . . . , M }.


Neste cálculo convencionamos que o coeciente binomial  n − 1  é igual a
q
zero sempre que q > n − 1. Finalmente temos que
cm =
M
X


q=0
m
q


n−1
q

 q!(q + 1)m−q
onde M = min{m, n − 1} Como consequência do Teorema 3.3.2 podemos avaliar assintoticamente a sequência das condimensões graduadas c (U (K)).
gr
m
n
Denição 3.3.3 Sejam f (x) e g(x) são duas funções reais, onde x é uma variável
natural, ou seja, o domínio é o conjunto dos naturais. Então diremos que f (x) e g(x)
(x)
são assintoticamente iguais, que será representado por f (x) ' g(x), se limx→∞ fg(x)
= 1.
Corolário 3.3.4 Para qualquer n ∈ N teremos
cgr
m (Un (K)) '
Sendo M
Demonstração:
M =n−1
e assim
cgr
m (Un (K)) =
1
nn−1
mn−1 nm .
= min{m, n − 1}
n−1
X

m

q=0


q
n−1
q
, para m ≥ n − 1, temos que

 q!(q + 1)m−q
Mostremos que

cm (Un (K)) ' 

q=n-1, temos





m
q




n−1
 (n − 1)!nm−n+1 Def ato, para

n−1





m

q


q!(q+1)m−q


m
n−1


(n−1)!nm−m+1

0
, tere-
= nm−q nm−n+1 = 1.P ara ≤ q ≤ n − 2
58
mos que


lim
m→∞
m
q


pois,


m
q




m
n−1
n−1
q


n−1

q

m
n−1

 q!(q + 1)m−q
=0
 (n − 1)!nm−n+1


 q!(q + 1)m−q

=
(n−1)!
(q + 1)m−q
(n−1−q)!
nm−n+1
 (n − 1)!nm−n+1
m
q


m!
(m−n+1)
e ambos os termos do segundo membro acima tendem a zero, quando m tende para o
innito. Assim

lim 
m→∞

m
cgr
m (Un (K))

n−1
 (n − 1)!nm−n+1
=
n−1
X
q=0

lim
m→∞
m
q


Como m(m − 1) . . . (m − n + 2) = m
m de grau n − 2, temos que
n−1


m
n−1
n−1
q


 q!(q + 1)m−q
 (n − 1)!nm−n+1
, onde f (m) é um polinômio em
+ f (m)
m(m − 1) . . . (m − n + 2)
=1
m→∞
mn−1
lim
e assim
m(m − 1) . . . (m − n + 2)
1
(n − 1)!nm−n+1 ' mn−1 nm−n+1 = n−1 mn−1 nm .
(n − 1)!
n
Portanto, temos o armado no teorema. =1
Capítulo 4
Graduações da Álgebra das Matrizes
Triangulares Superiores
Neste capítulo iremos descrever todas as G-graduações da álgebra das matrizes
triangulares superiores de ordem n, U (K), para um grupo qualquer G. Consideraremos K como sendo um corpo qualquer por todo este capítulo. Como de costume, Id
indicará a matriz identidade de ordem n.
Seja G = G × · · · × G. Fixando-se uma n-upla (g , . . . , g ) ∈ G , considere
L
A = span{E /g g = g}, para cada g ∈ G. Então teremos que A =
A é uma
G-graduação de U (K), chamada de G-graduação elementar denida pela n-upla
(g , . . . , g ).
Provaremos que toda G-graduação de U (K) é, a menos de isomorsmo, uma
graduação elementar.
n
n
n
g
ij
1
−1
j
j
n
n
g∈G
g
n
1
n
n
4.1 Graduações de Un(K)
Lema 4.1.1 Seja V um K-espaço vetorial n-dimensional e considere V1 , ..., Vn como
sendo n-subespaços de V tais que V1 ⊂ V2 ⊂ ... ⊂ Vn e dimVk = k , para k = 1, ..., n.
Então temos que Un (K) é a álgebra de todos os operadores lineares de V que preservam
V1 ⊂ V2 ⊂ ... ⊂ Vn .
60
Demonstração: Suponhamos que A seja a álgebra de todos os operadores lineares de V que preservam V ⊂ V ⊂ ... ⊂ V e que β = {v , v , ..., v } seja uma
base de V tal que V = span{v , v , ..., v }, para todo k ∈ {1, 2, ..., n}. Então temos que mostrar que U (K) = A. Observe que estamos identicando cada operador
T : V −→ V de A pela sua respectiva matriz [T ] . De fato, sendo X ∈ A, então
X(V ) ⊆ V , X(V ) ⊆ V , ..., X(V ) ⊆ V e daí
1
2
k
1
n
2
1
2
n
k
n
β
1
1
2
2
n
n
X(v1 ) = λ11 v1 , X(v2 ) = λ12 v1 + λ22 , . . . , X(vn ) = λ1n v1 + λ2n v2 + ... + λnn vn .
Logo,
..

λ
λ
λ1n
 11 12

 0 λ22 . . . λ2n
X=



0
0 . . . λnn
.. .. . . . ..








Com isto temos que X ∈ U (K), ou seja, A ⊆ U (K).
Suponha agora que T ∈ U (K). Sendo

.. a 
a
a


n
n
n
11
12
1n
.. .. . . . ..

 0
T =



0

a22 . . . a2n 




0 . . . ann
teremos que T (v ) = a v , T (v ) = a v + a v , ..., T (v ) = a v + a v + ... + a v .
Daí, T (V ) ⊂ V , ..., T (V ) ⊂ V , ou seja, T ∈ A
Portanto, U (K) é a álgebra das transformações linerares que preservam
V ⊂ V ⊂ ... ⊂ V . 1
1
11 1
2
n
n
1
12 1
22 2
n
1n 1
2n 2
nn n
n
1
2
n
Já é um fato conhecido que qualquer matriz idempotente de M (K) é conjugada
a uma matriz diagonal. O próximo lema irá mostrar que isto também ocorre para as
idempotentes em U (K).
n
n
Lema 4.1.2 Qualquer matriz idempotente em Un (K) é conjugada a uma matriz diagonal do tipo Ei1 i1 + ... + Eik ik , para alguns 1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n.
Considere um K -espaço vetorial n-dimensional V . Sabemos
que existem subespaços V , . . . , V , tais que V ⊂ V ⊂ ... ⊂ V = V , onde dimV =
Demonstração:
1
n
1
2
n
k
61
k , para k = 1, ..., n. Pelo Lema 4.1.1 sabemos que U (K) é a álgebra de todos os
operadores lineares de V que preservam V , . . . , V , tais que V ⊂ V ⊂ ... ⊂ V = V .
Seja e ∈ U (K) um idempotente. Para provarmos este lema, precisamos mostrar
que existe uma base de V , digamos β = {v , ..., v }, tal que, V = span{v , ..., v } e
e(v ) = v , para todo i ∈ {1, ..., n}, onde = 0 ou = 1, pois a matriz deste operador
seria igual a E + ... + E , ou seja, na forma pedida.
Provaremos a existência desta base por indução. Para n = 1, é trivial, pois
V = K e U (K) ' K . Perceba que a restrição de e a V
será uma matriz triangular
superior de ordem n − 1, e daí assumiremos que e(v ) = v , para i = 1, ..., n − 1. Se
e(v ) ∈
/ V , então, e(e(v )) = e (v ) = e(v ), e assim teremos que {v , ..., v , e(v )}
é a base procurada. Porém, se e(v ) ∈ V , então considere v 0 = e(v ) − v . Note
que v 0 ∈ V − V , pois v ∈ V , e que e(v 0) = e(e(v ) − v ) = e (v ) − e(v ) = 0.
Daí, {v , ..., v , v 0} é a base procurada de V . n
1
n
1
2
n
n
1
i
i i
n
i
11 1
k
nn n
n−1
i
n−1
n
2
n
n
1
k
i
1
n
1
n−1
n−1
n
n
n
n
n−1
n−1
i i
1
n
n
n
n
n−1
n
2
n
n
n
n
n
Como corolário do Lema 4.1.2 obtemos o seguinte lema.
Lema 4.1.3 Seja e um elemento idempotente de A = Un (K). Então a subálgebra eAe
é isomorfa a Uk (K), onde k = tr(e)
Demonstração:
Sejam eae, ebe ∈ eAe, onde a, b ∈ A e λ ∈ K . Então teremos
eae + ebe = e(a + b)e ∈ eAe
λeae = e(λa)e ∈ eAe
eaeebe = eaebe ∈ eAe.
Observe que a igualdade na primeira equação ocorre ao colocarmos os elemento idempotentes em evidência e a igualdade de terceira equação ocorre pelo fato de e ser um
elemento idempotente. Logo, eAe é uma subálgebra de A.
Como e é um elemento idempotente de U (K), pelo Lema 4.1.2, temos que existem
uma matriz inversível X ∈ U (K) e E , ..., E ∈ U (K) tais que
n
n
i1 i1
ik i k
n
e = X −1 (Ei1 i1 + ... + Eik ik )X.
Daí, teremos que
eAe = X −1 (Ei1 i1 + ... + Eik ik )XAX −1 (Ei1 i1 + ... + Eik ik )X =
62
X −1 (Ei1 i1 + ... + Eik ik )A(Ei1 i1 + ... + Eik ik )X.
Observe que (E + ... + E )E (E + ... + E ) = E , sempre que i ∈ {i , ..., i } e
j ∈ {i , ..., i }, e zero nos demais casos, ou seja, (E +...+E )E (E +...+E ) =
E
se i = i e j = i , para alguns l, h ∈ {1, ..., k}. Denamos então o seguinte
isomorsmo de álgebras
i1 i1
1
ik ik
ij
i1 i1
i k ik
k
ij
1
i1 i1
il jh
l
ik ik
ij
k
i1 i 1
ik ik
h
Φ : (Ei1 i1 + ... + Eik ik )A(Ei1 i1 + ... + Eik ik ) −→ Uk (K)
7→
Eil ih
Elh
Como e é conjugado de E +...+E , temos que tr(e) = tr(E
k , e como a aplicação por conjugação
i1 i1
i1 i1 +...+Eik ik )
ik ik
=
Ψ : X −1 (Ei1 i1 + ... + Eik ik )A(Ei1 i1 + ... + Eik ik )X −→ Uk (K),
denida por Ψ(X
−1
, também é um isomorsmo, temos o desejado. Y X) = Φ(Y )
Sendo A uma lgebra, dizemos que {x , . . . , x } ⊂ A um conjunto de idempotentes
ortogonais se cada x idempotente e x x = 0 para i 6= j .
1
i
n
i j
Lema 4.1.4 Qualquer conjunto {a1 , ..., an } de n idempotentes ortogonais de Un (K) é
conjugado a {E11 , ..., Enn }, ou seja, existe X ∈ Un (K) invertível tal que X −1 ai X = Eii ,
para 1 ≤ i ≤ n.
Pelo Lema 4.1.1, podemos considerar U (K) como sendo a álgebra dos operadores lineares de um K -espaço vetorial n-dimensional V que preservam
V ⊂ V ⊂ ... ⊂ V . Observe que para demonstrarmos este teorema só precisamos
encontrar uma base de V , {v , ..., v }, tal que V = span {v , ..., v } e a (v ) = δ v
(onde δ é o delta de Kroneker) para todos i, j ∈ {1, ..., n}, pois teramos que a matriz
da transformação a nesta base seria a matriz E .
Considere uma base arbitrária {u , ..., u } de V , onde V = span{u , ..., u } para
todo k = 1, ..., n. Então, para cada operador linear a , . . . , a de V , determinado por
cada a , ..., a , existe uma matriz triangular superior associada, que é a matriz desta
transformação na base {u , ..., u }, e seja (a ) a (ij)-entrada da matriz associada a
Demonstração:
1
2
n
n
1
n
k
K
1
k
i
j
ij j
ij
i
ii
1
n
k
1
1
n
1
n
k ij
n
1
k
63
, para k = 1, .., n. Como a é idempotente, observe que a matriz associada a a
também será idempotente. Logo teremos que (a ) = 0 ou (a ) = 1, para todo
k = 1, .., n. Ademais, estas matrizes associadas também serão ortogonais entre si. Pela
ortogonalidade do conjunto {a , ..., a } teremos que cada [a ] terá um único elemento
não nulo em sua diagonal e, como são idempotentes, este elemento ser 1. Reordenando
se necessário, podemos assumir que (a ) = ... = (a ) = 1 e (a ) = 0, sempre que
i 6= j . Considerando e = a +...+a , temos que e = a +...+a
= a +...+a
= e,
ou seja, temos que e é idempotente e tr(e) = tr(a ) + ... + tr(a ) = 1 + ... + 1 = n − 1.
Daí, pelo Lema 4.1.3, teremos que a subálgebra eU (K)e de L(V ) é isomorfa a
U (K). Agora, aplicando indução sobre n, tomemos uma base {v , ..., v } de V
tal que a (v ) = δ v , para todos i, j = 1, ..., n − 1. Agora considere v = a (u ).
Observe que v ∈/ V , a (v ) = a (u ) = a (u ) = v e a (v ) = a (a (u )) = 0,
para k = 1, . . . n − 1. Logo, o conjunto {v , ..., v } é a base procurada. ak
k
k
k ii
1
n
k
1 11
1
k ii
n nn
2
n−1
i jj
2
1
2
n−1
1
1
n−1
n
n
n−1
n−1
1
i
j
n−1
ij j
n
n−1
n
n−1
n
2
n
n
n
n
1
n
n
k
n
k
n
n
n
k
n
Lema 4.1.5 Seja Un = Un (K) = ⊕g∈G Ag a álgebra das matrizes triangulares superiores sobre um corpo arbitrário K e graduada por um grupo G, com elemento neutro
1 ∈ G. Então, A1 contém n idempotentes ortogonais.
Na Seção 1.3 mostramos que Id ∈ A , e então, como a subálgebra gerada por Id é isomorfa ao corpo K e como qualquer corpo é semi-simples, teremos
que esta subálgebra também será semi-simples. Portanto A contém uma subálgebra
semi-simples não trival. Daí, considere B como sendo uma subálgebra não-trivial semisimples maximal de A , C como sendo um de seus somandos simples e e como sendo a
unidade de C . Pelo Lema 4.1.2, e é conjugada a uma matriz diagonal. Logo, teremos
dois casos: ou e e Id − e são dois idempotentes ortogonais não nulos ou e = Id e
C = B = span{Id}.
No primeiro caso, provaremos com indução sobre n. Observe que para n = 1
teremos que o lema é válido. Logo, suponha n > 1. Para este caso, pelo Lema
4.1.3, P = eU e ' U e Q = (Id − e)U (Id − e) ' U , onde k 6= 0, n. Como
Id − e, e ∈ A , é fácil notar que P e Q são homogêneas na G-graduação. De fato,
temos que L (P ∩ A ) ⊆ P . Considerando agora p ∈ P , existem a ∈ A , a ∈
A , . . . , a ∈ A tais que p = a + a + · · · + a , e como e ∈ A , teremos que
Demonstração:
1
1
1
n
k
n
n−k
1
g∈G
g1
gk
gk
g
1
1
g1
gk
1
e
g1
64
e e daí, pela graduação, teremos que a = ea e ∈ P
para todo j ∈ {1, g , . . . , g }. Assim p ∈ L (P ∩ A ) e da P = L (P ∩ A ). De
modo análogo prova-se que Q = L (Q ∩ A ) e portanto P e Q são G-graduadas.
Logo, por hipótese de indução teremos que existem n idempotentes ortogonais em A ,
a saber, a , ..., a ∈ P e a , ..., a ∈ Q, que prova o lema para o primeiro caso.
No segundo caso, observe que dimB = 1. Iremos mostrar que esta possibilidade
gera sempre uma contradição. Para tal utilizaremos indução sobre a ordem de G. Se
|G| = 1, então A = U e existe uma subálgebra maximal semi-simples com dimensão
n > 1, sendo esta a subálgebra gerada pelo conjunto {E , ..., E }. Temos então uma
contradição.
Suponha agora que para qualquer grupo nito H tal que |H| < |G|, já tenha sido
provado que a igualdade dimB = 1 é impossível.
Provaremos inicialmente que qualquer elemento homogêneo de U é nilpotente
ou inversível. De fato, suponha que a ∈ A não seja nilpotente. Para m sucientemente grande (basta considerar m > dimU ), temos que a, a , ..., a são linearmente
dependentes, e observe que estes elementos são homogenêos. Como a, a , ..., a são LD,
existe l ∈ {1, ..., m} tal que a = α a+...+α a +α a +...+α a , com α ∈ K ,
e como todos são componentes homegêneas, então existe j ∈ {1, .., l − 1, l + 1, ..., m}
tal que a ∈ A ∩ A , donde g = g , ou seja, g = 1. Daí, concluímos que g
tem ordem nita, digamos k, e que a ∈ A . Como provado na Seção 1.8, temos que
J(U ) é formado por todos os seus elementos nilpotentes e como a não é nilpotente,
então a também não pode ser nilpotente. Logo, a ∈/ J(U ) e daí a ∈/ J(A ), pois
J(A ) ⊂ J(U ). Como dim
= 1 e a ∈ A −J(A ), temos que existe λ ∈ K tal que
a = λId, donde a − λId = 0, ou seja, a − λId ∈ J(A ) e daí a − λId é nilpotente.
Isto signica que a é inversível, e assim provamos o armado.
Agora iremos provar que o radical de Jacobson J(U ) não contém elementos
homogêneos não nulos. De fato, suponha por contradição que 0 6= a ∈ A seja
nilpotente, ou seja, suponha que a ∈ J(U ). Considere L = {x ∈ U /xa
= 0} e
X
observe que este é um subespaço homogêneo de U . De fato, sendo x = x ∈ L,
temos 0 = xa = X x a e pela graduação teremos que x ∈ L, para todo h ∈ G,
ou seja, L = ⊕ (L ∩ A ). Provamos acima que todos os elementos homogêneos são
p = epe = ea1 e + eag1 e + · · · + eagk
1
j
k
g
g∈G
j
g
g∈G
g
g∈G
1
1
k
k+1
1
n
n
11
nn
n
g
2
n
m
2
l
l
l−1
l
gj
gl
1
l−1
l+1
j
l+1
m
m
m
i
l−j
k
1
n
k
1
k
A1
J(A1 )
n
k
k
1
1
1
k
k
k
n
k
1
k
n
g
g
n
n
g
g
n
h
h∈G
g
h g
h∈G
h∈G
g
h
65
inversíveis ou nilpotentes, e como elementos inversíveis não são divisores de zero, então
os elementos homogêneos de L são todos nilpotentes. Portanto toda matriz de L será a
soma de matrizes nilpotentes, e com isto toda matriz de L terá a diagonal nula. Como a
é nilpotente, então ela tem a diagonal nula, donde E a = 0, ou seja, E ∈ L, o que,
por nossa argumentação, é uma contradição. Logo, provamos que J(U ) não contém
elementos homogêneos não nulos. Mas, como J(A ) ⊆ J(U ), então teremos que J(A )
também não contém elementos homogêneos não nulos, e como J(A ) ⊂ A , teremos
que J(A ) = {0}. Logo, A é semi-simples e portanto A = B = {λId/λ ∈ K}. Como
dimU é nita, então o suporte de U , suppU = {g ∈ G/A 6= G}, é um subconjunto
nito de G. Ademais, se g, h ∈ supp(U ), x ∈ A − {0} e y ∈ A − {0}, ento x e
y devem ser inversveis e da gh ∈ supp(U ). Segue ento que supp(U ) um subgrupo
nito de G. Logo, podemos supor que suppU = G, pois, caso contrário, aplicaríamos
a hipótese de indução.
Vejamos agora que dimA = 1, para qualquer g ∈ G. De fato, suponha que
x, y ∈ A sejam linearmente independentes. Como A ∩ J(U ) = {0} e x, y ∈ A − {0},
temos que x e y são inversíveis. Logo, x ∈ A e yx ∈ A , ou seja, existe λ ∈ K
tal que yx = λId. Daí, teremos (x − λ y)x = xx − λ yx = Id − λ λ = 0,
o que nos diz que x é um divisor de zero, um absurdo.
para g, h ∈ g, teriamos que [A , A ] ⊆ A + A A e segue-se que a subálgebra
comutador [U , U ] é um ideal graduado não-trivial nilpotente de U (K) (de fato,
é conhecido que [U , U ] é um ideal não trivial nilpotente de U (K), logo, restanos
mostrar que é graduado, note que [U , U ] ⊂ J(U ), uma vez que o comutador de
duas matrizes triangulares superiores
será umaX
matriz com a diagonal nula, ou seja,
X
X
nilpotente; temos que [a, b] = [ a , a ] = [a , a ] e como cada [a , a ] ∈ A ,
teremos que [a, b] é a soma de componentes homogêneas em [U , U ] e daí [U , U ] é
homogêneo), o que não pode ocorrer já que [U , U ] ⊂ J(U ).
Note que G não pode ser abeliano. De fato, pois sendo G abeliano, tomemos
x ∈ A e y ∈ A elementos homogêneos arbitrários. Temos que [x, y] ∈ J(U ), pois
tem a diagonal nula, e [x, y] = xy − yx ∈ A + A ⊆ A . Logo, [x, y] ∈ J(U ) ∩ A
e asssim [x, y] = 0. Segue então que xy = yx e daí concluímos que U é comutativa,
um absurdo.
g
nn g
nn
n
1
n
1
1
1
1
1
1
n
n
n
g
n
g
h
n
n
n
g
g
g
−1
−1
n
−1
g −1
−1
−1
g
1
−1
−1
−1
−1
−1
g
n
h
gh
hg
gh
n
n
n
n
n
n
g
g∈G
n
n
h
g
h∈G
h
g
n
n
g
h
gh
g,h∈G
n
n
n
n
n
h
n
gh
hg
gh
n
n
gh
66
Como G não é abeliano, considere o subgrupo comutador não-trivial G0 e a graduação pelo quociente , dada por U = ⊕ C , onde C = ⊕ A . Como tem
ordem menor que a ordem de G, então, por hipótese de indução, dimB 6= 1. Logo,
para esta graduação, só pode ocorrer o primeiro caso estudado nesta demonstração, e
daí existem n idempotentes ortogonais e , ..., e em D = C = L A .
Por outro lado, sabemos que G0 é gerado por todos os comutadores a b ab, com
a, b ∈ G. Se h = a b ab, 0 6= x ∈ A e 0 6= y ∈ A , então, como todos os elementos
homogêneos não nulos são inversíveis, z = x y xy é um elemento não nulo de A .
Como dimA = 1, obtemos que A = span{z}. Particularmente, D como álgebra é
gerada por todos os elementos x y xy, onde x e y são homogêneos. Observe que
G
G0
G
t∈ G0
n
1
t
t
n
h∈t
1
h∈G0
G
G0
h
h
−1 −1
−1 −1
a
b
−1 −1
h
h
h
−1 −1

1
?
... ?






0 1 ... ? 
−1 −1

 = Id + a,
x y xy = 





0 0... 0 1
.. .. . . . ..
onde a ∈ J(U ). Ademais, qualquer elemento de D é da forma λId + a, com a ∈ J(U )
e λ ∈ K . Particularmente para os idempotentes e , ..., e ∈ D existem elementos
não nulos λ , ..., λ ∈ K tais que e = λ Id + a (observe que λ deve ser mesmo no
nulo, pois e ∈/ J(U ), j que e no pode ser nilpotente). Mas, para i 6= j, teremos
que e e = λ λ Id + b 6= 0, com b ∈ J(U ) o que contraria a ortogonalidade dos e 0s.
Portanto, dimB 6= 1. Logo, só pode ocorrer o primeiro caso. n
n
1
1
n
i
i j
i
n
i
n
i
i
i
i j
n
i
Em [29] foi provado que que uma G-graduação em M (K) é elementar, se e
somente se, todas as matrizes unitárias E são homogêneas. Povaremos agora que isto
também é válida para U (K).
Sendo A = ⊕ A uma lgbera G-graduada e x ∈ A , denoteremos o G-grau de
x por degx, ou seja, degx = g .
n
ij
n
g∈G
g
g
Lema 4.1.6 Seja Un (K) = ⊕g∈G Ag G-graduada. Então esta graduação é elementar
se, e somente se, todas as matrizes unitárias Eij , 1 ≤ i ≤ j ≤ n, são homogêneos.
Se a G-graduação é elementar, então, por denição, as matrizes
são homogêneas.
Demonstração:
elementares E
ij
67
Suponha agora que toda matriz elementar seja homogênea. Inicialmente, provaremos que existem g , ..., g ∈ G tais que
degE
=g g
(4.0)
para todo i = 1, ..., n − 1. Para tal, utilizaremos indução sobre i. Tomemos g = 1 e
g = degE . Então degE = g g = g , ou seja, teremos (4.1) para i = 1. Agora,
supondo que j se tenha denido g , ..., g e que (4.1) seja válida para i = 1, ..., k−1, 4.1,
provaremos que ela é válida para i = k. Se h = degE , então denimos g = g h
e assim teremos que degE = g g . Logo, (4.1) é válida para i = k. Finalmente,
o G-grau de E , para quaisquer 1 ≤ i < j ≤ n, será
1
n
−1
i+1
i
i,i+1
1
2
12
−1
2
1
12
2
1
k
k,k+1
k+1
k
−1
k+1
k
k,k+1
ij
degEij = deg(Ei,i+1 ...Ej−1,j ) = (degEi,i+1 )(degEi+1,i+2 )...(degEj−1,j ) =
−1
−1
gi−1 gi+1 gi+1
gi+2 ...gj−1
gj = gi−1 gj ,
e a prova do lema est completa. Lema 4.1.7 Seja Un = Un (K) = ⊕g∈G Ag , graduação por um grupo G, com elemento
neutro 1 ∈ G. Então esta graduação é elementar se, e somente se, todas as matrizes
unitárias Eii pertencem a A1 .
Se a G-graduação é elementar, então E ∈ A , para todo
1 ≤ i ≤ n, pela denição de graduação elementar. Por outro lado, suponha que todas
as E pertençam a A . Então, note que A = E U E é um subespaço homogneo,
para todo 1 ≤ i < j ≤ n. De fato, sendo E aE , E bE ∈ A e λ ∈ K , então
E aE + E bE = E (a + b)E ∈ E U E e λE aE = E λaE ∈ A , donde A
é um subespaço. Ademais, para qualquer a ∈ A, teremos que a = X a , com a ∈ A .
Logo, E aE = E (X a )E = X E a E , e como E a E ∈ A ∩ A , teremos
que A é de fato homogneo. Observe que E ∈ A e que dimA = 1, pois se X ∈ U ,
então E XE = E ( X λ E )E = λ E . Logo A = spanE e daí, como A
é homogneo, teremos que E um elemento homogêneo e, pelo Lema 4.1.6, teremos o
armado. Demonstração:
ii
ii
1
ij
ii
ii
ii
jj
ii
jj
ii
jj
ii
n
n
jj
jj
ii
1
jj
ii
jj
jj
ij
ii
jj
ij
ij
g
g
g
g∈G
ii
jj
ii
g
jj
g∈G
ii g
jj
ii g
jj
g
ij
g∈G
ij
ij
ij
ij
n
n
ii
jj
ii
lk
lk
jj
ij
ij
ij
ij
ij
1≤l≤k≤n
ij
Teorema 4.1.8 Sejam G um grupo arbitrário e K um corpo. Suponha que a lgebra
Un (K) = ⊕g∈G Ag das matrizes triangulares superiores de ordem n × n sobre o corpo K
68
é G-graduada. Então Un (K), como álgebra G-graduada, é isomorfa a Un (K) com uma
G-graduação elementar.
Pelo Lema 4.1.5, U (K) contém n idempotentes ortogonais
em A . Então, pelo Lema 4.1.4 estes idempotentes são conjugadas a E , ..., E .
Daí, pelo isomorsmo denido pela conjugação, U (K), como álgebra G-graduada, é
isomorfa a U (K), com uma G-graduação onde E , ..., E são elementos homogêneos
pertencentes a A . Daí, pelo Lema 4.1.7, a graduação de U (K) é isomorfa a uma
G-graduação elementar. Demonstração:
n
1
11
n
n
11
1
nn
n
nn
Bibliograa
[1] Amitsur, S. A., Identities and Linear Dependence, Israel J. Math., 22, 127-137
(1975).
[2] Amitsur, S. A. e Levitzki, J., Minimal Identities for Algebras, Proc. Amer. Math.
Soc., 1, 449-463 (1950).
[3] Andrews, G., The Theory of Partitions, Encyclopedia of Mathematics and its
Applications 2, Addison-Wesley (1976).
[4] Azevedo, S. S., Graded Identities for the Matrix Algebra of Order n Over an
Innite Field, Comminications in Algebra, Vol 30, 12, 5849-5860 (2002).
[5] Bahturin, A.; Giambruno, A. e Riley, D. Group Graded Algebra Satisfying a Polynomial Identity, Israel J. Math, 125-155 (1998).
[6] Berele, A., Magnun PI, Israel J. Math, 1-2 e 13-19 (1985).
[7] Bergen, J. e Cohen, M., Actions of Commutive Hopf Algebras, London Math. Soc.,
159-164 (1986).
[8] Boerner, H., Representations of Groups, ed. 2, North-Holland, Amsterdan. (1970).
[9] Di Vincenzo, O. M., Cocharacters of G-Graded Algebra, Communications in Algebra, 3293-3310 (1996).
[10] Drensky, V. S., Free Algebra and PI-Algebra: Graduate Course in Algebra, Bulgarian Academy of Sciences, Soa, Bulgaria, (1999).
70
[11] Giambruno, A.; Mishchenko, S. e Zaicev, M. V. Group Actions and Asymptotic
Behavior of Graded Polynomial Identities, J. London Math. Soc., Vol 66, 295312, (2002).
[12] Giambruno, A. e Zaicev, M. V., On Codimension Growth of Finitely Geenerated
Associative Algebras, Adv. Math., 140, 145-155 (1998).
[13] Giambruno, A. e Zaicev, M. V., Exponential Codimension Growth of P.I. Algebras:
an Exact Estimate, Adv. Math., 142, 221-243 (1999).
[14] Giambruno, A. e Zaicev, M. V., Polynomial Identities and Asymptotic Methods,
Mathematical Surveys and Monographs,Vol 122, American Mathematical Society, Providence, USA, (2005).
[15] Herstein, I. N., Noncommuutative Rings,Vol 15, The Mathematical Association of
America, USA, (1968).
[16] Jacobson, N., Basic Algebra II, Segunda Edição, Dover, San Francisco, USA,
(2009).
[17] Kemer, A., Varieties and Z -Graded Algebra, Math. USSR, Vol 25, 359-374 (1985).
[18] Kemer, A., Finite Basis Property of Identities of Associative Algebra, Algebra and
Logic , Vol 26, 362-397 (1987).
[19] Kemer, A., Ideals of Identities of Associative Algebra, Translations Math. Monographs, 87, AMS, (1991).
[20] Koshlukov, P. e Valenti, A., Graded Identities for the Algebra of n × n Upper
Triangular Matrices Over an Innite eld, J. Pure App. Algebra, Singapore,
Vol 13, n. 5, 517-526 (2003).
[21] Lam, T. Y., A First Course in Noncommutative Ring, Vol 131, Segunda edição,
Springer, New York, USA, (2001).
[22] Lambek, J., Lectures on Rings and Modules, Library of Congress, USA, (1966).
[23] Latyshev, V. N., On Regev's Theorem on Identities in Tensor Product of PIAlgebra, Ups.Mat. Nauk, 213-214 (1973).
[24] Lima, E. L., Curso de Análise, vol. 1, ed. 12, IMPA, Rio de Janeiro, Brasil. (2008).
[25] Regev, A., Existence of Identities in A ⊗ B,Israel J. Math., 131-152 (1999).
2
71
[26] Robinson, D. J. S., A Course in the Theory of Groups, Vol 80, segunda Edição,
Springer, New Youk, USA, (1996).
[27] Valenti, A., On Graded Identities of Upper Triangular Matrices of Size Two, J.
Pure App. Algebra, too apper, (2002).
[28] Valenti, A. e Zaicev, M.V., Group Grading on Upper Triangular Matrices, Arch.
Math., 82, 33-40 (2007) .
[29] Zaicev, M. V., Sehgal, M. V. Finite Grading on Simples Artinian Ring, Vestnik
Mosk, Univ. Ser. I Mat. Metkh. 3, 21-24. (2001).