Indução e Indutância

Aula-10
Indução e Indutância
Curso de Física Geral F-328
2o semestre, 2013
F328 – 2S20123
1
Indução
Aprendemos que:
Uma espira condutora percorrida por uma corrente i na
presença de um campo magnético sofre ação de um torque:
espira de corrente + campo magnético à torque
Será que...
Uma espira sem corrente ao girar no interior de uma região
onde há um campo magnético B, faz aparecer uma corrente
i na espira? Isto é:
torque + campo magnético à corrente?
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2
Experimentos de Faraday
As respostas a essas questões foram dadas por Faraday. Ele
observou que o movimento relativo de um conjunto de ímãs e
circuitos metálicos fechados fazia aparecer nestes últimos correntes
transientes.
Primeiro experimento:
Espira conectada a um galvanômetro –
não há bateria! Observa-se que:
1- se houver movimento relativo ímãespira, aparecerá uma corrente no
galvanômetro;
2- quanto mais rápido for o movimento
relativo, maior será a corrente na espira.
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corrente induzida
3
Experimentos de Faraday
Segundo experimento:
Figura ao lado: duas espiras condutoras próximas uma da outra,
mas sem se tocarem.
Fechando-se S (para ligar a corrente na
espira da direita) aparece um pico
momentâneo de corrente no galvanômetro G.
Abrindo-se S (para desligar a corrente),
aparece um pico momentâneo de corrente no
galvanômetro, no sentido oposto à da anterior.
Embora não haja movimento das espiras, temos uma corrente
induzida ou uma força eletromotriz induzida (fem).
Nesta experiência, uma fem é induzida na espira somente quando
o campo magnético que a atravessa estiver variando.
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4
A Lei de Faraday da Indução
Fluxo do campo magnético:

φB = ∫ B. nˆ dA
S
A unidade SI para fluxo é o
weber (Wb)
1weber = 1Wb = 1T.m2
A intensidade da fem induzida ε é igual à taxa de variação temporal
do fluxo do campo magnético :
dϕ B
ε=−
dt
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(Lei de Faraday)
O sinal negativo indica que a
fem deve se opor à variação
do fluxo que a produziu.
5
A Lei de de Lenz
O sentido da corrente induzida é tal que o campo que ela produz
se opõe à variação do fluxo magnético que a produziu.
Oposição ao movimento
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Oposição à variação do fluxo
6
Indução e gerador de corrente senoidal

Espira sendo rodada numa região de campo B
com velocidade angular ω constante.
Como φB = φB (t ) , aparece uma fem induzida na
espira. Temos:

φB = ∫ B.nˆ dA= ∫ B cos θ dA
S
S
φB = Babcos θ ; θ = θ 0 +ω t . Se θ 0 = 0 ⇒ θ = ω t
dφ
ε = − B = Babω sen (ω t )
dt
ε (t ) Babω
i (t ) =
=
sen (ω t )
R
R
∴ uma corrente que varia senoidalmente com t.
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7
Indução e transferência de energia

Espira sendo deslocada para direita com velocidade constante v .
Como o fluxo está diminuindo, aparece uma
fem e portanto uma corrente induzida na espira.
φB = BLx ⇒ ε = BLv ∴
ε BLv
i=
R
=
R
(sentido horário)
Forças sobre a espira:

 

Fapl (não mostrada ), F1 , F2 e F3

 
B 2 L2 v
v = constante
Fap + F1 = 0 ou Fap = F1 = iLB =
R
 
B 2 L2 v 2
Potência aplicada: Pap = Fap ⋅ v = Fap v =
R
Taxa de aparecimento de energia térmica na espira:
2
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2 2 2
BLv
B
L v (igual à potência aplicada)
⎛
⎞
P = Ri 2 = ⎜
R
=
⎟
R
R
⎝
⎠
8
Força de Lorentz e fem induzida
Barra
transversalmente numa região de
 metálica movendo-se

campo B com velocidade v constante.



 
FB = qv × B e FE = qE


 
F = qE + qv × B
No equilíbrio, a força elétrica é oposta à força magnética:

 
qE + qv × B = 0 ⇒ E = vB
Por outro lado, temos que:
 
ε = ∫ E ⋅dl = BLv
−
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+
9
Campos elétricos induzidos
Seja um anel de cobre de raio r numa região onde há um campo
magnético variável no tempo (com módulo crescendo à taxa dB/dt).
A variação temporal de B faz aparecer uma corrente no anel.
Portanto, aparece um campo elétrico induzido no anel.
Pode-se então dizer que: um campo
magnético variável com o tempo produz um
campo elétrico (Lei de Faraday reformulada).
∂B
⇒E
∂t
As linhas do campo elétrico induzido são
tangentes ao anel, formando um conjunto de
circunferências concêntricas.
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
E

E

E

E

B
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Campos elétricos induzidos
Trabalho sobre uma partícula com carga q0 , movendo-se ao
redor de uma circunferência de raio r:
 
 
(ou: ΔW = q0 E.2π r)
ΔW = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl
Mas, também:
ΔW = q0ε ( ε = fem induzida)
Então:
Ou:
 
ε = ∫ E ⋅ dl
 
dφB
∫ E.dl = − dt (Lei de Faraday)
Note que não se pode associar
 um
potencial elétrico ao campo elétrico E
induzido!
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Exemplo 2
Para a figura do slide anterior, adotar dB/dt = 0,13 T/s e R = 8,5 cm.
Determinar as expressões da intensidade do campo elétrico induzido para r < R e
r > R . Obtenha os valores numéricos para r = 5,2 cm e r = 12,5 cm .
a) r < R:
 
dφB
∫ E.dl = − dt
Para r =5,2 cm:
dB
r dB
E (2πr ) = (πr )
⇒E=
dt
2 dt
2
5,2 × 10 −2 m
E=
(0,13T / s ) = 3,4 mV / m
2
b) r > R:
  dφB
∫ E.dl = − dt
2
dB
R
dB
E (2πr ) = π R 2
⇒ E=
dt
2r dt
Para r =12,5 cm:
(8,5 × 10 −2 m ) 2
E=
(0,13T / s ) = 3,8mV / m
−2
2 × 12 ,5 × 10 m
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Gráfico de E(r)
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Freio Magnético
Um magneto em queda livre dentro de um tubo atinge uma velocidade
terminal devido ao campo induzido por uma corrente nas paredes do tubo.
Uma dada secção transversal do tubo pode
ser vista como uma pequena espira. Durante a
queda do magneto duas situações se apresentam:
a)
b)
a) magneto se aproxima da “espira”
b) magneto se afasta da “espira”
Em ambos os casos a Lei de Faraday e a
Lei de Lenz nos ensinam que aparecerá
uma força magnética induzida no
magneto apontando para cima.
Freio magnético
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Auto-indutância
Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por
uma corrente i que produz um fluxo magnético ϕB através de todas as espiras da
bobina. Se i = i(t), pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por:
d ( NφB )
εL =−
dt
( NφB = fluxo concatenado)
Na ausência de materiais magnéticos, NφB é proporcional à corrente:
NφB = Li ou: L =
Então:
NφB
i
d ( Li )
di
εL = −
= −L
dt
dt
(L: auto-indutância)
i crescendo
i decrescendo
(fem auto-induzida)
O sentido de ε L é dado pela lei de Lenz:
ela deve se opor à variação da corrente que a
originou (figura).
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Indutância de um solenoide
Solenoide longo de comprimento l e área A:
NφB = (nl )( BA)
Lembrando que neste caso B é dado por B=µ0in, da definição de
indutância tem-se:
NφB (nl )(µ0ni)( A)
=
= µ0n 2lA
i
i
(L só depende de fatores geométricos do dispositivo e do meio).
L=
L
= µ0n 2 A (Indutância por unidade de comprimento)
l
A unidade SI de indutância é o henry:
1henry =1 H =1T⋅m 2 /A = 1Wb / A
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Indutância de um toroide
Vimos que o campo magnético no interior de um toroide é:
B=
Nµ0 i
2π r
b

µ0 iNhdr
ˆ
φB = ∫ B.n dA= ∫ Bhdr = ∫
=
2π r
a
µ0 iNh ⎛ b ⎞
=
ln ⎜ ⎟
2π
⎝a⎠
Então:
NφB µ0 N 2 h ⎛ b ⎞
L=
=
ln ⎜ ⎟
i
2π
⎝a⎠
N espiras
r
Circuito RL
Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores.
Neles, as correntes e os potenciais variam com o tempo. Apesar das
fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do
tempo, a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do
tempo. Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de
máquinas e motores.
a) Fechando-se a chave S, no
instante t = 0, estabelece-se uma
i
corrente crescente no resistor .
εL
Circuito básico para analisar
correntes em um indutor.
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t = 0 ⇒ i (0) = 0 → t ≠ 0 ⇒ i (t )
Resolver (estudar) este circuito é
encontrar a expressão para a corrente
i(t) que satisfaça à equação:
di
ε − Ri − L = 0
dt
17
Circuito RL
A equação anterior fica:
a
di R
ε
+ i=
dt L
L
Resolvendo esta equação diferencial
para i(t), vamos ter:
b
ε L : voltagem no indutor
ε
i (t ) = (1− e − Rt / L ) ⇒ i (t ) = I (1− e −t /τ L ), onde
R
L
ε
( τ L : constante de tempo indutiva)
τL = e I =
R
R
(I : corrente máxima, assintótica)
Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante,
como se o indutor fosse um fio de ligação comum.
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Circuito RL
Voltagens no resistor e no indutor – figura abaixo
di
ε − RL t
VR = Ri e VL = L dt = L L e
VL = ε e − Rt / L
t = 0, VL = máximo → equivalente a um circuito aberto
t >>τ L , VL = 0 → equivalente a um curto−circuito
Interpretação de τ L:
L
Para t = τ L = :
R
ε
ε
−1
i=
(1 − e ) = 0,63
R −1
VL = ε e = 0,37ε
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R
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Circuito RL
b) Fechando-se a chave S2: neste caso, a
equação das quedas de potencial será:
di
Ri + L = 0
dt
i
A solução desta equação é:
i (t ) =
ε
R
e − Rt / L = I 0 e −t / τ L
Variações das voltagens com o tempo:
Ao lado, temos gráficos das tensões
Em VL, VR e VR+VL= ε para várias situações
a) e b).
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Energia armazenada no campo magnético
Do circuito abaixo tem-se:
di
di
2
ε = Ri + L
→ ε i = R i + Li
dt
dt
Os termos εi, Ri2 e Lidi/dt são, respectivamente, a potência
fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a taxa com
que a energia UB é armazenada no campo magnético do indutor, isto
é:
dU B
di
= Li → dU B = Lidi
dt
dt
a
UB
∫
0
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i
dU B = ∫ Lidi
0
1 2
U B = Li
2
b
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Densidade de energia do campo magnético
É a energia por unidade de volume armazenada em um ponto
qualquer do campo magnético. Consideremos o campo magnético de
um solenoide longo de comprimento l e seção transversal A,
transportando uma corrente i.
A densidade de energia será dada por:
U B 1 Li 2
uB =
=
Al 2 Al
1
Como L = µ0 n lA→ u B = µ0 n 2 i 2
2
2
Lembrando que B = µ0in resulta que:
B2
uB =
2 µ0
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(densidade de energia magnética)
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Exemplo 3
Cabo coaxial de raios a e b. Os cilindros interno e externo
transportam correntes iguais em sentidos opostos. Determine:
a) a energia magnética UB armazenada no campo entre os
cilindros ao longo de um comprimento l do cabo;
b) UB por unidade de comprimento, se a = 1,2 mm, b = 3,5 mm
e i = 2,7 A.
µ i
i
B= 0 ,a<r<b
2π r
Da lei de Ampère tem-se:
µ 0i
B
uB =
= 2 2
2µ 0 8π r
2
a)
2
i

B
B =0,r >b
µ0i 2 2π rldr
U B = ∫ dU B = ∫ u B dV = ∫
a
8π 2 r 2
b
µ 0i 2l b
UB =
ln
4π
a
U B µ 0 i 2 b (4π ×10 −7 H/m )( 2,7A) 2 3,5mm
b)
=
ln =
ln
l
4π
a
4π
1,2mm
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= 7,8 ×10 −7 J/m = 780nJ/m
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Indutância mútua
Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem
na bobina 2 e vice-versa.
Indução mútua L21 → M 21
M 21i1 = N 2φ 21
ou
N2
dφ 21
dt
M 21 =
= M 21
N 2φ 21
i1
di1
dt
A fem induzida na bobina 2: ε 2 = − M 21
A fem induzida na bobina 1: ε 1 = − M 12
di1
dt
di 2
dt
Pode-se provar que:
M12 = M 21 = M
A indução é de fato mútua
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ε1 = −M
ε 2 = −M
di 2
dt
di1
dt
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Exemplo 4
Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo
coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 .
a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ;
b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm?
a) φ 21 = B1 A2 → N 2φ 21 = N 2 B1 A2
B1 = N 1
µ0 i1
2R1
N 2φ 21 =
πµ 0 N 1 N 2 R2
2
i1
2 R1
Então:
M 21
N φ
= 2 21 = M
i1
M =
πµ 0 N 1 N 2 R 2
2
2R1
b)
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Indução e indutores - Geral
Para dois ou mais circuitos próximos, a variação das correntes em
cada um deles produz campos e fluxos magnéticos nos demais.
  
 
µ0in dln × (rm − rn )
B(rm ) =
  3
4π C | rm − rn |
n
∑
∫
n
O fluxo no circuito m será então:
  

 
µ0in dln × (rm − rn ) 
φB = B(rm ) ⋅ dAm =
  3 ⋅ dAm
4π C | rm − rn |
n
S
S
dφ
Segue então da lei de Faraday ε = − B que
dt
  
µ0 d ⎧⎪ ⎡
dln ×( rm −rn )  ⎤ ⎫⎪
ε m =−
⎨ ∫ ⎢∑in ∫   3 ⋅dAm ⎥ ⎬
4π dt ⎪ Sm ⎢⎣ n Cn |rm −rn |
⎥⎦ ⎪⎭
⎩
m
∫
m
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∫∑
m
∫
n
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Indutância - Geral
Para Sm e Cn independentes do tempo podemos escrever a fem
induzida na forma:
ε m = −∑ Lm,n
n
din
dt
onde a indutância Lm,n é escrita na forma:
Lm ,n
µ0
=
4π
∫∫
S m Cn
  
dln × (rm − rn ) 
  3 ⋅ dAm (*)
| rm − rn |
Na prática, os Lm,n são denominados de auto-indutância (L)
quando n= m e indutância mútua (M) para n≠m.
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Lista de exercícios do Capítulo 30
Os exercícios sobre Lei de Faraday estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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