EXERCÍCIOS PROPOSTOS – MATRIZES, DETERMINANTES E

EXERCÍCIOS PROPOSTOS – MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS
1) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2 – j
− 2 se i > j

2 ) Determine a matriz B = (bij)3x3 tal que bij=  1 se i = j
 3 se i < j

3) Encontre a transposta da matriz A= (aij)3x2 tal que aij = j-2i
 i + j se i = j
4) Determine a matriz C= (cij)3x3 tal que: cij = 
− i − j se i ≠ j
5) Escreva a matriz A = (aij) nos seguintes casos:
A e uma matriz do tipo 3 x 4 com:
a)
aij = -1 para i = 2j
aij = a para i ≠ 2j
b)
A é uma matriz quadrada de 4a ordem com:
aij = 0 para i+j = 4
aij -1 para i+j ≠ 4
c)
A é uma matriz quadrada de 3a ordem com aij = 2i +3j – 1
1 −2
1 2 −3
e B= 3 0 determine A + 2Bt
6) Dadas as matrizes A =
4 5 0
4 −3
7) Determinar x e y sabendo que:
 x 2 − 1  9 − 1 
 x + y 2  4 x − y 
 0 x + 3y   0 8 
 = 

 = 
 c) 
 = 

a) 
b) 
2

 3 1   3 1 
 2 5   2 y + 1
 4 0   2x − y 0
 − 1 2 5
0 − 2 3


8) Considere as matrizes: A = 0 1 − 4 B = 1 4 − 5  , determine:




3 − 2 7 
 − 3 2 0 
a) At + Bt b) (A+B)t c) Compare os resultados a) e b)
 2x − 5 0 0 


9) Determine x e y sabendo que A é uma matriz identidade  0 1 0 
 0 y+x 1


1 3
 − 2 1
 − 1 − 2
 B = 
 e C= 
 encontre a matriz X tal que X + 2C = A +3B
10) Dadas as matrizes A= 
 0 2
 0 − 3
 −3 0 
11) Dadas as matrizes: A=
a) A . B
0
12) Se A = 
3
1
13) Se A= 
−1
1 4 0
1 −3 1
b) B . A
1 −1
e B= − 1 1 , calcule:
5 0
c) Compare os resultados a) e b) e justifique a resposta.
1
 − 1 1
 e B= 
 , verifique que (A .B)t = Bt . At
2
 0 1
1
, calcule A2 -2A +3I2
1
1 2 
1 0 
 1 − 1
 , B = 
 e C = 
 , teste as propriedades:
14) Dadas as matrizes: A= 
3 4
 2 3
 0 1
a) A . (B+C) = AB + AC
b) A.(B.C) = (A.B).C
3 0
 1


 − 5 8
 e da matriz B =  − 4 − 2 1 
15) Determine a inversa da matriz A = 
 2 − 3
 3 − 1 2


16) Resolva e classifique os sistemas:
 3x + 2 y + 3z = 0
 − 2 x + y − 3z = 0
 x + 2y − z = 1
3x − y = 5 − 2 z




a) 
x+ y+z = 1
b)  x − y − 5 z = 2
c) 2 x − 3 y + 4 z = 2 d)  2 x + 3 y − 4 z = 2
− 2 x − 3 y + 3 z = − 5
3x − 2 y − 2 z = − 3
 3x − y + 3 z = 3

y− z = x




3x − 4 y + kz = − 1

17) Determine o valor de k para que o sistema seja possível determinado  2 x − y − z = − 5
 x − 3y − z = − 6

 x + 2 y − mz = − 1

18) Determine os valores de m e k, de modo que seja possível e indeterminado o sistema:  3 x − y + z = 4
− 2 x + 4 y − 2 z = k

 px + y − z = 4

19) Qual o valor de p para que o sistema  x + py + z = 0
 x− y = 2

admita uma única solução.
x+ y−z = b

20) Determine os valores de a e b, de modo que o sistema seja impossível  x − y = 4
ax + y − z = 6

RESPOSTAS:
 1 3 3 
 2 − 3 − 4
a a a a






 2 1 0 
t  −1 − 3 − 5
 2) B=  − 2 1 3  3) A = 
 4) C=  − 3 4 − 5  5) a) A=  − 1 a a a 
1) A= 
11 10 9 
 0 −2 −4 
 − 2 − 2 1
 − 4 − 5 6
a a a a






 −1 −1 0 −1 


 4 7 10 


 3 8 5 
 −1 0 −1 −1 
 7) a) (x,y) = (3,2) ou (-3,-10) b) x=3 e y=1
b) A= 
c)
A=
6
9
12

 6) 

0 −1 −1 −1
0 5 − 6 





 8 11 14 
 − 1 − 1 − 1 − 1


−1 1 0
 − 3 10 
 − 3 3
t
t 
 11) A.B= 

c) (2,2) ou (14,-2) 8) A +B = 0 5 0  = (A+B)t 9) x=3 e y=-3 10) X= 


6 −7
9 − 4 


8 − 9 7 
 0 7 − 1


 0 − 3
1 0 
 13) 

B.A=  0 − 7 1 A.B ≠ B.A (produto de matrizes não é comutativo) 12) (A .B)t=Bt.At= 
 1 5 
 0 1
 5 20 0 


 6 7 
 5 1
3 8
− 3 − 6 3 
 /30
 b) A.(B.C)=(AB).C 
 15) A-1= 
 e B-1 = 
14) a) A.(B+C)=AB+BC= 
 11 2 − 1
14 13 
11 1
 2 5
 10

16) a) Possível determinado
b) Impossível
c) Possível indeterminado
18) m=3/5 e k= -6
19) p ≠ -1
20) a=1 e b ≠ 6
17) k ≠ -2
10
10 
d)Possível determinado