Questões vestibular

Matemática - Ano 2001 — UFBA
LISTA DE EXERCÍCIOS – Questões de Vestibulares
UFBA 92
1 2
 3 − 1




Considere as matrizes A =  1 1  e B =  2 0 
2 1
3 1 




Sabendo-se que X é uma matriz simétrica e que AX = B, determine 12Y11- 4Y12, sendo
Y = (Yij) = X-1
UFBA 95
a b 
2 - 1
- 2 3
Dadas as matrizes A = 
B=
C=



c d 
1 3 
 4 1
Pode-se afirmar:
(01) se A-1 = b, então b+c = 0
(02) C t + B.C
(04) A matriz B é uma matriz simétrica
(08)o produto da matriz A por sua transposta só é possível porque b é uma matriz
quadrada
− 3
(16) a soma dos termos da matriz X, tal que BX =   é igual a zero
2
UFBA 90
2 3  x  1
Sendo 
 .   =   , determine X – 5Y
5 7   y  3
UFBA 94
1 2
Considere as matrizes A = ( aij) 2x3 = 1 0 B = (bij) 2x3, sendo bij =
0 1 
1 1 
C= 
 uma matriz simétrica
 x 0
Indique as afirmativas verdadeiras:
I - a soma dos elementos da diagonal principal de C –1 tem módulo 1
II – Existe a matriz S = Bt . At + C
2 4
t
III- A + B = 2 0 e BA é uma matriz quadrada
0 2
IV- det AB = 0
1 1 0
V- B = 
 e x = -1
2 0 1 
a ij se i = j

a ji se i ≠ j
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UFBA
3 x + 55 = 1

O sistema 2 x + z = 3
5 x + py − z = 0

É impossível para um nº real p. Determine m = 3p
UFBA
2 0 
 3 − 1
 , considere a matriz X tal que X = A t.
 e B = 
Dadas as matrizes A = 
0
−
2
4
2




B- 6B –1. Sabendo que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua
diagonal principal, determine o traço da matriz X
UFBA 88
 2 3
 − 1 0
Dadas as matrizes A = (aij) 2x2 e B = (bij) 2x2 , sendo A = 
eB= 

 , pose − 1 4
 2 1
se afirmar:
 4 − 3
(01)o produto da matriz M = [2 ; -1] pela matriz A é a matriz 

 − 2 − 4
 1 5
(02) a soma da matriz A com a matriz transposta de B é a matriz 

 − 1 5
2 0 
(04) a matriz C = (cij) 2x2 onde cij = aij se i =j e cij = bij se i ≠ j é 

2 4
 a − 3
(08) a matriz M = 
 é simétrica da matriz A se a = -2 e b = 4
1 − b 
(16) a soma dos termos da matriz A = (aij) 2x2 e (bij) 2x2 tais que i < j é 5
(32) o determinante da matriz B é igual a 2
 − 1 0
(64) a matriz inversa da matriz B é 

 2 1
UFBA
Seja a matriz A = ( a rs) 3x4 onde a rs = ( r+ s)2, calcule a soma dos elementos que
satisfazem a condição r > s
UFBA 97
 x + 2 y + az = 0

Considere o sistema by + 3 z = −1
 x + 3 y − 2 z = −2

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E sejam A: a matriz incompleta formada pelos coeficientes das incógnitas
B: a matriz completa associada ao sistema
C: a matriz dos termos independentes
Nessas condições, pose-se afirmar:
(01) sendo a = 1 e b = 2, A é uma matriz simétrica
(02) se a = b = -1 então o determinante de A = -5
1
1 b
2 0
3 
(04) a matriz transposta de B é 
 a 3 − 2


 0 − 1 − 2
(08) para a = b = -1, a soma dos termos da 3ª coluna da matriz inversa de A é igual a –
3/2
− 2(a + 1)

6
(16) A .C = 

 − 7 
(32) se S = ( m,n,p) é a solução do sistema para a = b = -1
então m+n+p = 19/4
UFBA 96
Sobre determinantes, matrizes e sistema de equações lineares, pode-se afirmar:
2 x + 3 y + kz = 0

(01) O sistema kx + 2 y + 2 z = 0 é determinado se k ≠ 2 e se k ≠ 3
x + y + z = 0

a2
(02) b 2
c2
a 1 a 2 +1 a 1
b 1 = b 2 +1 b 1
c 1 c 2 +1 c 1
(04) Sendo a matriz quadrada de ordem 3, tal que det A = 5, tem-se que det (2A)=
10
 1 a b 


( 08) Se A =  9 2 − 5  é matriz simétrica então a+b+c= 2
− 2 c 3 


2 x − my = 3
(16) O sistema 
admire uma infinidade de soluções, se m=2 ou m = -2
mx − 2 y = 1
(32) se A é matriz 3x4 e B é matriz 4x2, então 3A . 5B é matriz 3x2
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1
2 −3 −4
−3 −2 1
4
(64) 4 .
= 44
0
0
0
0
5
6 −7 −8
UFBA 94
Na feira uma dona de casa verificou que as barracas A, B e C tinham preços
diferentespor quilo de produto, conforme a tabela abaixo:
tomate
batata
cebola
A
CR$40,00 R$50,00
CR$30,00
B
CR$50,00 R$40,00
CR$40,00
C
CR$50,00 R$40,00
CR$30,00
Comprando-se x quilos de tomate, y quilos de batatas e z quilos de cebolas tanto na
barraca A quanto na B, a dona de casa gastaria a mesma quantia :CR$260,00.
Comprando-se as mesmas quantidades na barraca C, ela economizaria CR$ 10,00.
Determine x+y+z
UFBA
3 x + y + 4 z = 0
 x + y + 3z = b

conclui-se
Dado o sistema S= 
x
y
z
2
3
0
−
+
=


(01) ∆ x - ∆ é divisível por 5 , se b = -5
(02) 0 valor se x no sistema ∈Z se b = -5
(04) ∆ y = 0 se b = 0
(08) o sistema admite solução (0 0 0 ) se b = 0
 2
 
(16) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e C =  1  , então M . C não
 3
 
está definido.
(32) ) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e B é a matriz
 − 2 −1 0 


4 5
 3
 2
0 2 

3
2 
 7


tem-se M – 2B =  − 5 − 7 − 13 
 0
− 3 
3

UFBA
t
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 x + 2 y + z = 10

O sistema 3 x + 4 y = 12
é indeterminado para algum valor de a e de b. Calculo
4 x + 2 y + az = b

a+b
ITA 91
x + z + w = 0

2
 x + ky + k w = 1
Considere o sistema P = 
 x + ( K + 1) z + w = 1
 x + z + kw = 2
Podemos afirmar que P é possível e determinado quando:
a) k ≠ 0
b) k ≠ 1
c) k ≠ - 1
d) k ≠ 0 e k ≠ - 1
e) n.d.a
ITA 96
3 0 − 1
7 a −1
Seja a ∈R e considere as matrizes reais 2x2, A = 
e
B
=


a
− 1 3 
 7
8 a −3 

2 −3 
O produto AB será inversível se somente se :
A) a 2 –5a +6 ≠ 0
B) a 2 – 2a +1 ≠ 0
C) a 2 –5a ≠ 0
D) a 2 –2a ≠ 0
E) a 2 – 3a ≠ 0
UFBA 89
Seja X a matriz 3x2 tal que A –1X tB =A
3 0 
 2 0
Sabendo-se que A = 
eB=

 calcule det X
 2 2
0 1
UFBA 91
Chama-se matriz completa do sistema à matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas e pelos termos independentes. Chama-se matriz principal do sistema a matriz
formada pelos coeficientes das incógnitas
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Considerando o sistema
x − z = 1
kx + y + 3 z = 0

, pode-se afirmar:

 x + ky + 3 z = 1

(01) se k = 2 o sistema é determinado
1

0
(02) a matriz transposta da matriz completa é 
−1

1

k
1
3
0
1

k
3

1 
 1 0 −1 


(04) a matriz inversa da matriz principal, quando k=0 é  0 1 1 / 3 
 1 0 1 / 3


(08) o elemento a 23 da matriz principal A = (aij) 3x3 é 3
1 0

(16) o produto da matriz ( 1 2 0 –1 ) pela matriz completa é a matriz  k 2
 1 2k

3 0
 2 0 −1 



(32) a soma da matriz  0 2 − 2  com a matriz principal é a matriz  k 3
0 k
 −1 0 −1 



UFBA 90
1 0
2 1
Calcule o determinante da matriz 
0 0

1 − 1
2 − 1
3 − 2

2 3

0 2
16) ITA 91
x + z + w = 0

2
 x + ky + k w = 1
Considere o sistema P = 
 x + ( K + 1) z + w = 1
 x + z + kw = 2
Podemos afirmar que P é possível e determinado quando:
a) k ≠ 0
0 − 1

0 0
0 − 1
− 2

1 
2 
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b) k ≠ 1
c) k ≠ - 1
d) k ≠ 0 e k ≠ - 1
e) n.d.a
17) ITA 96
3 0 − 1
eB=
Seja a ∈R e considere as matrizes reais 2x2, A = 
a
− 1 3 
7 a −1

 7
8 a −3 

2 −3 
O produto AB será inversível se somente se :
A) a 2 –5a +6 ≠ 0
B) a 2 – 2a +1 ≠ 0
C) a 2 –5a ≠ 0
D) a 2 –2a ≠ 0
E) a 2 – 3a ≠ 0
18) ITA
3 x − 2 y + z = 7

concluímos que este é:
Analisando o sistema  x + y − z = 0
2 x + y − 2 z = −1

a) possível e determinado com xyz = 7
b) possível e determinado com xyz = -8
c) possível e determinado com xyz = 6
d) possível e indeterminado
e) impossível
R) c
19) UFBA 89
Seja X a matriz 3x2 tal que A –1X tB =A
3 0 
 2 0
Sabendo-se que A = 
eB=

 calcule det X
 2 2
0 1
20) UFBA 91
Chama-se matriz completa do sistema à matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas e pelos termos independentes. Chama-se matriz principal do sistema a matriz
formada pelos coeficientes das incógnitas
Considerando o sistema
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x − z = 1
kx + y + 3 z = 0

, pode-se afirmar:

 x + ky + 3 z = 1

(01) se k = 2 o sistema é determinado
1

0
(02) a matriz transposta da matriz completa é 
−1

1

k
1
3
0
1

k
3

1 
 1 0 −1 


(04) a matriz inversa da matriz principal, quando k=0 é  0 1 1 / 3 
 1 0 1 / 3


(08) o elemento a 23 da matriz principal A = (aij) 3x3 é 3
1 0

(16) o produto da matriz ( 1 2 0 –1 ) pela matriz completa é a matriz  k 2
 1 2k

3 0
 2 0 −1 



(32) a soma da matriz  0 2 − 2  com a matriz principal é a matriz  k 3
0 k
 −1 0 −1 



0 − 1

0 0
0 − 1
− 2

1 
2 
21 ) UFBA 2001
1 
1 1


2  é igual a – 1/4 ,
Sabendo-se que o determinante da matriz inversa de 1 x + 1
1 1
x − 3 

determine x
22) UFBA 99
a 1
-1
Sendo A = 
 com a+b = 4, a .b=3 e a<b, B = A , X =
2
b


(01) det A = 1
 3 − 2
(02) B = 

− 1 1 
 x
- 2
 y  e C =  1  , é verdade:
 
 
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(04) det A . det B = 1
 2
(08) se A.X = C, então X =  
 3
 2
0
(16) se BX =   , então X =  
 3
0
t
(32) det ( A+5B) = 96
R) 45
23) UFBA 2000
1 
 a +1 0


1
a  , B=
Dada as matrizes A =  0
 0
0 a + 1

que detA = 4a , pode-se afirmar:
1 1


1 0 1 
 e sabebdo-se
 0 1  e C = 
1 1 0 
1 0


(01) a soma dos elementos da diagonal principal de a é igual a 6
(02) B + 2C t = 9B
1  2 − 1

(04) a matriz inversa de CB é 
3  − 1 2 
 x
   0
(08) as soluções do sistema C  y  =   são da forma ( x, -x, -x) , x ∈ R
 z   0
 
 x  0
   
(16) o sistema A  y  =  0  tem solução única
 z  0
   
R) 28