Dinâmica e Estática de um Ponto Material

Dinâmica de uma partícula
Cinemática
:
Dinâmica
:
Como se move ?
Descrição do movimento de uma partícula
Porque se move ?
Razões pelas quais as partículas se movem.
Estudo da relação entre o movimento de um corpo e as
causas desse movimento.
• Movimento de um corpo resulta da interacção com outros corpos
que o cercam.
• Interacções são descritas por forças
• A dinâmica pode ser considerada como a análise da relação entre
a força e o movimento
1ª Lei de Newton : Lei da Inércia : Uma partícula livre move-se
sempre com velocidade constante, ou seja, sem aceleração (a = 0)
repouso
partícula em
movimento rectilíneo uniforme
Partícula livre : partícula que não está sujeita a interacções com
outras (uma partícula isolada).
Movimento é um
conceito relativo
Para descrever o movimento de uma partícula livre
é necessário que o observador também seja uma
partícula livre (sem aceleração). Tal observador é
um observador inercial e o sistema de referência
por ele usado é um referencial inercial.
Sol
Terra
20
3x10 m
11
1.5x10 m
Terra não é um referencial inercial pois: Rotação em torno do eixo
Rotação em torno do sol
Sol não é um referencial inercial pois: roda em torno do centro da galáxia
Sol é mais próximo de um referencial inercial do que a terra pois o seu
movimento é mais próximo do movimento rectilíneo uniforme ( raio de curvatura
muito maior que o da Terra).
Quantidade de Movimento (momento cinético )
-1
P = m v
(kg m s )
Combina dois elementos que caracterizam Velocidade
o estado dinâmico de uma partícula
Massa
1ª Lei de Newton : Partícula livre move-se com P constanteg
Princípio da conservação da Quantidade de Movimento
Sistema de duas partículas isoladas
A
V1 , t
B
V´1 , t´
A´
V2 , t
B´
V´2 , t´
P = P1 + P2 = m1 V1 + m2 V2
No instante t’ P´ = P´1 + P´2 = m1V´1 + m2 V´2
No instante t
P = P´ = Constante a qualquer instante
Sistema de n partículas isoladas
P = ∑ P i = Constante
i
(relativamente a um referencial inercial)
•
Não se conhecem excepções a este princípio
Princípio da conservação
da quantidade de
movimento
Considerando dois instantes tin e tf têm-se :
(P1 )in + (P2 )in + (P3 )in + ..... = (P1 ) f + (P2 ) f + (P3 ) f + .....
ou seja
(P1 ) f − (P1 )in + (P2 ) f − (P2 )in + (P3 ) f − (P3 )in..... = 0
∆P1 + ∆P2 + ∆P3 + ......... = 0
∆Pj = − ∑ ∆P i
Variação de P de uma dada
i
(i ≠ j )
partícula é o simétrico da variação
de P do resto do sistema
Num sistema de duas partículas
∆P1 = − ∆P2
• Interacção entre partículas leva a uma troca de quantidade de
movimento
Exemplo: Recuo de uma arma
Inicialmente arma (corpo 1) e bala (corpo 2) em repouso: P1 + P2 = 0
Após o disparo e utilizando a conservação da quantidade de movimento tem-se:
m1 V1 + m2 V2 = 0 ⇔ V1 = −
m2
V2
m1
-1
-1
Se m1=0.8kg , m2=0.016kg e V2=700ms obtem-se V1=-14ms
A 2ª e 3ª Leis de Newton : Conceito de Força
∆P1 = − ∆P2
dividindo pelo intervalo de tempo em que as variações de P ocorrem
∆P1
∆P2
=−
∆t
∆t
dP
=F
dt
tomando ∆t
0
dP1
dP
=− 2
dt
dt
2ª Lei de Newton
Força que actua numa partícula é a
derivada temporal da quantidade de
movimento P
• Como dP resulta de interacção entre partículas então F descreve
a interacção das partículas.
• Numa partícula livre P=constante pelo que F = 0
(numa partícula livre não actuam forças)
De
F =
dP1
dP
= − 2 obtém-se F1 = − F2
dt
dt
3ª Lei de Newton
(Lei de acção e
reacção)
Quando duas partículas
interagem a força que actua
sobre uma partícula é simétrica
à que actua sobre a outra
( )
dP
d mV
dm
dV
=
=
V +m
dt
dt
dt
dt
massa constante =>
F =m
dV
= ma
dt
⇔a =
F
m
Se uma partícula m interactuar com várias partículas m1, m2, .... :
m
F1
F3
F2
m3
m2
m1
Cada partícula m1, m2, m3, ...,
produz, através da sua interacção
com m, uma variação da quantidade
de movimento ∆Pi num dado
intervalo de tempo ∆t
∆P = ∆P1 + ∆P2 + ∆P3 + .....
∆P ∆P1 ∆P2 ∆P3
dP dP1 dP2 dP3
=
+
+
+ .... ou seja
=
+
+
.... log o
∆t
∆t
∆t
∆t
dt
dt
dt
dt
dP
= F1 + F2 + F3 + ..... = F
dt
Força Resultante
(admite-se que não existe interferência entre os efeitos das várias
interacções com a partícula m)
• Na dinâmica da partícula admite-se que a força resultante, F, só
depende das coordenadas dessa partícula.
(ignoram-se os movimentos das outras partículas m1, m2, m3, ...., com as
quais interage)
• Enunciado das Leis Fundamentais de Newton
1. Se a intensidade da força resultante que actua num ponto material
é zero, então este está em equilíbrio, ou seja
em repouso (se estava inicialmente
em repouso)
permanecerá com velocidade (se estava inicialmente
constante e em
em movimento)
linha recta
2. Se a força resultante que actua num ponto material é diferente de
zero, então este terá uma aceleração proporcional à intensidade
da resultante, na sua direcção e com o mesmo sentido:
FR = m a
3. Para cada acção existe uma reacção igual e oposta; então, a
força exercida por um corpo em outro é igual em módulo e
direcção, e tem sentido oposto à força exercida pelo segundo
corpo no primeiro.
• A 1ª e 2ª leis de Newton referem-se às forças aplicadas num dado corpo.
• A 3ª lei de Newton refere-se a duas forças aplicadas em corpos diferentes.
• Deve considerar-se cada objecto como um corpo livre isolado e determinar
a resultante de todas as forças aplicadas nesse objecto.
força que aplicada a um corpo de 1kg
-2
provoca uma aceleração de 1 ms
Unidades de força
kg m s −1
= kg m s − 2 = N (Newton )
s
-2
-5
No sistema CGS a unidade de força é g cm s = Dine = 10 N
F =
dP
dt
m
g
1kgf (quilograma-força) =1 kg x 9.807 ms-2 = 9.807 N
(corresponde ao peso de um corpo com 1kg de massa)
• Comentários ao conceito de força
•
As forças actuam sempre à distância (não existe contacto)
ser muito grande
(ex. : interacção gravítica interplanetária)
Essa distância poderá ser muito pequena
(ex. :interacções interatómicas
contacto aparente entre dois objectos)
•
Transferência de quantidade de movimento entre as partículas
envolve um meio de transmissão. A lei de acção e reacção pressupõe
que essa transmissão seja instantânea.
• Características da força
• Representa a acção de um corpo sobre outro
• Pode ser exercida por contacto (?)
Força gravitacional
ou à distância
Força magnética
Força
• Caracterizada por
•
•
•
•
Ponto de Aplicação
Intensidade
Direcção
Sentido
• Representada por um vector
Ponto
Material
Forças
aplicam-se a
•
Pequena porção de matéria que se pode
considerar que ocupa um ponto no espaço.
•
É utilizado quando o tamanho e a forma dos
corpos em estudo não têm influência
significativa.
Conjunto de um grande número de pontos materiais em
que as suas posições relativas são fixas (corpo
indeformável)
Corpo
Rígido
Corpo
Deformável
Linha de acção de uma força – linha que define a direcção da força
Princípios Fundamentais:
• Príncípio da transmissibilidade : as condições de equilíbrio
ou de movimento de um corpo rígido não se alteram se uma
força que actua num dado ponto de um corpo rígido fôr
substituida por outra com a mesma intensidade, direcção e
sentido mas que actua num ponto diferente na mesma linha
de acção – força aplicada num corpo rígido é um vector
deslizante
Ponto de Aplicação fixo
( Vector Fixo )
Conclui-se que:
Ponto de Aplicação pode deslocar-se
ao longo da linha de acção
( Vector Deslizante )
Todo o corpo rígido sujeito à acção de forças cujas
linhas de acção concorram num mesmo ponto pode
ser representado por um ponto material
Equivalente a
• A força resultante total (FR) aplicada a qualquer sistema é a
soma vectorial de todas as forças individuais que podem
agir nele.
Gravítica
Electromagnética
Interacções fracas
Interacções fortes
Tipos de forças:
operantes no núcleo atómico
• Força gravítica
Lei da gravitação de Newton : Dois pontos materiais de massas M
e m são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas F e –
F de intensidade, F, dada por
A
F=G
F
-F
B
mM
G – constante de gravitação
rAB – distância entre os dois pontos materiais
2
rAB
no caso da atracção pela Terra de um ponto material à sua superfície
P = mg
g=
GM Terra
R 2Terra
= 9.8 ms − 2
P é a força de atracção exercida pela Terra num ponto material de
massa m e é definida como o seu peso.
• Forças de contacto
Diagrama espacial
de um objecto na
superfície terrestre
Diagrama de corpo livre
do objecto
R
P
Diagrama de corpo livre
da Terra
R
R’
P
R’
P’
R
P’
P’
P
R’
R’ = - R
P’ = P
• R e R’ são as forças de contacto entre o solo e o corpo. É
uma força normal à superfície de contacto
• Forças de compressão e de tensão
Corpo em compressão
Corpo em tensão
-F
F
•
1.
2.
3.
4.
-F
F
Forças em cordas flexíveis:
A corda pode estar sob tensão mas não sob compressão
A corda pode transmitir uma força apenas ao longo do seu comprimento
Na ausância de atrito a tensão é a mesma em todos os pontos da corda
Despreza-se normalmente o peso da corda
Diagrama espacial de
um objecto pendurado
por uma corda
Diagrama de corpo livre
do objecto
T1
T2’
Diagrama de corpo livre
da corda
T2’
T2
Po
T1
T1
Po
T1’
T1’
Po
T1’ = - T1
Po’
T2’ = T2
Po’ = Po
corda : T1' + T2' = 0 ⇒ T1' = T2' ⇒ T1 = T2
corpo : T1 + Po = 0 ⇒ T1 = Po
T1 – força exercida pela corda no objecto
T1’ – reacção à força T1 exercida pelo objecto na corda
T2 – força exercida pela corda no suporte
T2’ – reacção à força T2 exercida pelo suporte na corda
Po – peso do objecto
Po’ – força de atracção gravítica aplicada na Terra devida ao objecto
• Forças de atrito
Atrito de escorregamento: ocorre quando existe movimento relativo
entre duas superfícies em contacto.
• Um dado objecto em movimento vai perdendo a sua quantidade de
movimento por acção do atrito (velocidade diminui até o objecto parar)
• Essa diminuição de P ocorre devido à força de atrito (Fat)
• A força de atrito de escorregamento opõe-se sempre ao movimento e
tem, por isso, a mesma direcção da velocidade mas sentido oposto
• A linha de acção da força de atrito está no plano de contacto entre as
duas superfícies
• O atrito resulta da interacção entre as moléculas dos dois corpos em
contacto (depende da natureza das superfícies, da velocidade relativa,
etc)
• A interacção entre as superfícies é tanto maior quanto maior fôr a
força normal que pressiona um corpo contra o outro:
N
N
Fat
F
V
P
Fat
V
N´
P
N´
O peso do corpo pressiona-o contra a superfície originando um par
acção-reacção N´ , N normal à superfície de contacto.
•
Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito é
proporcional à intensidade da força normal, N, que resulta do contacto
entre os dois corpos:
Fat = µ N
•
•
µ≥0
µ é o coeficiente de atrito
Quando existe movimento relativo e considerando o versor da
direcção
do
movimento,
vectorialmente a força de atrito:
ûV = V
V ,
pode-se
expressar
Fat = −µ N û V = −µ N
•
V
V
O coeficiente de atrito, µ, varia consoante existe ou não movimento
relativo:
N
F
V
Fat
µ
Sem
movimento
V=0
Com
movimento
V≠0
µe
µc
|F|
•
Quando não existe movimento a força de atrito consegue contradiar a
acção da força F aplicada no corpo. Deste modo tem-se:
F + Fat = 0 ⇒ µ =
•
•
Fat
N
=
F
N
Ao valor máximo de F para o qual a força de atrito consegue “evitar” o
movimento do corpo corresponde o coeficiente de atrito estático, µe.
Nesse caso o corpo está na iminência do movimento.
Conclui-se então que, na ausência de movimento, a força de atrito
está no plano de contacto das superfícies e tem intensidade
Fat ≤ µ e N
•
Quando a força F é suficiente para iniciar o movimento verifica-se que
o coeficiente de atrito é aproximadamente independente da velocidade
tomando um valor de µc. Este valor corresponde ao coeficiente de
atrito cinético e é inferior a µe .
Fat = −µ c N û V = −µ c N
V
V
Atrito de rolamento: ocorre quando um corpo rola em cima de outro.
•
Como a superfície de contacto entre os dois corpos é menor, a força
de atrito é geralmente menor do que a de escorregamento.
Atrito em fluidos: Ocorre quando um corpo se move através de um fluido
(gás, líquido)
•
Se a velocidade fôr relativamente baixa, pode-se considerar que a
força de atrito, Faf , é proporcional à velocidade mas com sentido
oposto:
Faf = − k
Depende da forma do corpo. No
caso de uma esfera de raio R
chega-se a que
(lei de Stokes)
k = 6πR
η
V
É o coeficiente de viscosidade.
Depende do atrito interno do fluido
(atrito devido ao deslocamento de
camadas do fluido).
Da análise dimensional da definição de Faf conclui-se que:
[]
[]
N = m η ms −1 ⇒ η = Nm − 2s = kg m s − 2 m − 2s
= kg m −1s −1
(SI)
= g cm −1s −1 = Poise = P
(CGS)
1kg m −1s −1 = 10 P
Líquidos
η (cP=10-2P)
Gases
η (cP=10-2P)
Água (0°C)
1.792
Ar (0°C)
0.0171
Água (20°C)
1.005
Ar (20°C)
0.0181
Água (40°C)
0.656
Ar (40°C)
0.0190
Glicerina (20°C)
833
Hidrogéneo (20°C)
0.0097
Álcool (20°C)
0.367
Dióxido de Carbono (20°C)
0.0146
•
A equação de movimento num fluido é então dada por:
m a = F − kη V
v
F
Faf
•
Se a força aplicada, F, fôr constante então à medida que a velocidade
aumenta sob o efeito da aceleração a , aumenta igualmente a força de
atrito no fluido o que, por sua vez, faz com que a aceleração diminua.
•
Para uma determinada velocidade atinge-se uma situação em que
a = 0. Nessa situação a velocidade já não varia mais, e a força
aplicada compensa exactamente a força de atrito do fluido.
•
Quando se atinge a situação em que a = 0 o corpo continua a
deslocar-se no sentido da força aplicada, mas com uma velocidade
constante que se designa por velociade-limite, VL que é dada por:
VL =
•
Faf
•
v
P
No caso da queda livre de um corpo ter-se-ia
VL =
Fi
F
kη
mg
kη
É, no entanto, necessário corrigir esta última expressão devido à
existência da força de impulsão, Fi , excercida pelo fluido no corpo:
De acordo com o princípio de Arquimedes a força de impulsão (para
cima) é igual ao peso do fluido, mf g , deslocado pelo corpo :
Fi = -mf g
m a = 0 = m g + F i − k η VL ⇔ (m − m f ) g = k η VL ⇔ VL =
(m − m f ) g
kη
•
A massa do fluido pode ser calculada através de m f =
ρ f Vcorpo em
que ρ é a massa específica do fluido (massa por unidade de volume.
-3
3
-3
Ex.: ρ=1kg/litro=1Kg dm =10 kg m ), e Vcorpo é o volume do corpo.
•
Considerando uma partícula esférica tem-se k=6πR (Lei de Stokes) e
Vsol=4/3πR3
donde
se
pode
concluir
que
VL =
(
ρ corpo − ρ f
2
gR 2
9
η
)
• Força muscular
O músculo consiste num conjunto de fibras , de células que se podem
contrair ao ser estimuladas por impulsos eléctricos que vêm dos nervos.
O músculo é ligado usualmente a dois ossos através de tendões.
Os tendões funcionam como cordas flexíveis.
Os dois ossos estão unidos de forma flexível através de uma articulação.
ponto de origem
(osso menos móvel)
Contracção do músculo origina dois
pares de forças
Devido à 3ª lei de Newton as forças
que actuam em ambos os pontos de
ligação com os ossos são iguais.
tendão
músculo
ponto de inserção
(osso mais móvel)
articulação
• Forças em molas
•
Quando se estica ou comprime uma mola existe uma força que tende a levar
a mola ao seu comprimento de equilíbrio:
O
xo
Fel
Mola comprimida
O
x
xo
Fel
Mola esticada
O
•
xo
x
A força Fel é proporcional ao afastamento da posição de equilíbrio da mola:
Fel = −k (x − x o ) û x
• Resolução de problemas em estática
Equilíbrio dinâmico – a aceleração do corpo em estudo é nula
(velocidade ou é nula ou é constante)
De acordo com a primeira lei de Newton, a condição de equilíbrio de um
ponto material, ou de sistemas que a ele são redutíveis é dada por:
→
→
FR = ∑ Fi = 0
i
em que o somatório se estende a todas as forças aplicadas no ponto material.
Utilizando as componentes das forças em cada um dos eixos
cartesianos chega-se a que:
∑F i x = 0
i
∑F i y = 0
i
∑F i z = 0
i
No caso de estarem envolvidas apenas três forças a soma vectorial determina
que a aplicação sucessiva dessas forças conduz a triângulo de forças.
F1
F3
F2
F3
F2
F1
Método de resolução de problemas de estática:
1. Escolher o corpo.
2. Esquematizá-lo de acordo com um diagrama de corpo livre.
3. Marcar
todas as forças externas aplicadas a esse corpo.
Tipos
de forças:
4. Obter as equações de equilíbrio.
• Força gravítica
Exemplos
Y
FAB
A
RB
A
B
B
PA
F’AB
PB
FAB + PA = 0
FAB − PA = 0
F' AB + PB + RB = 0
− F' AB −PB + RB = 0
FAB = PA = m A g
RB = PB + F' AB
RB = PB + FAB = (m A + mB )g
Pela 3ª lei de Newton as forças de
interacção entre os dois corpos A e B têm a
mesma intensidade mas sentidos opostos
A
60°
30°
B
D
C
E
F
m2
m1
Sabendo que m1=90.8kg calcule o valor de m2 para que o sistema se encontre
em equilíbrio.
No ponto A o fio AB puxa a parede. A parede reage com uma força TAB
aplicada no fio AB:
TAB
Análogamente para o ponto D tem-se:
TDC
A massa m1 puxa o fio BE com uma força de tensão TBE através da acção do
seu peso P1 . Este reage através de uma força TBE´ aplicada em m1 :
B
TBE
TBE´ E
P1
TBE = - TBE´
(3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção)
De modo análogo para a massa m2 tem-se:
C
TCF
TCF´ F
TCF = - TCF´
(3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção)
P2
O ponto C puxa, através da massa m2, o ponto B com uma força T2. Este reage
com uma força T2´ aplicada no ponto C. De igual modo o ponto B puxa, através
da massa m1, o ponto C com uma força T1. Este reage com uma força T1´
aplicada em B:
B
T2
T1 ´
Considerando TBC = T2 + T1 ´ e
T2 ´
T1
C
TBC ´ = T2 ´ + T1
tem-se
B
TBC
TBC ´
C
TBC = -TBC´
(3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção)
Colocando então todas as forças aplicadas no sistema em estudo obtém-se:
A
30°
TAB
TBC
30°
TBE B
TBE´ E
m1
P1
D
60°
TDC
TBC´
60°
CT
Y
CF
F TCF´
m2
P2
X
Aplicando a condição de equilíbrio às massas m1 e m2 e aos pontos B e C
chega-se a que:
massa m1
ponto B
P1 + TBE ´ = 0
TAB + TBE + TBC = 0
P1 − TBE = 0
1
TAB + P1 + TBC = 0
massa m2
ponto C
P2 + TCF ´ = 0
TDC + TCF + TBC ´ = 0
P1 − TCF = 0
2
TDC + P2 − TBC = 0
Utilizando o sistema de eixos XY indicados na figura os vários vectores são
representados por:
TAB = −TAB cos(30°) i + TAB sen(30°) j
^
^
TDC = TDC cos(60°) i + TDC sen(60°) j
^
^
Substituindo na equação 1
− TAB cos(30°) + TBC = 0

 TAB sen(30°) − P1 = 0
^
TBC = TBC i
Substituindo na equação 2
^
P1 = −P1 j
 TDC cos(60°) − TBC = 0

 TDC sen(60°) − P2 = 0
^
P2 = −P2 j
A resolução conjunta destas quatro equações permite obter:
P1
m1 g
=
sen(30°) sen(30°)
cos(30°)
cos(30°)
TBC = P1
= m1 g
sen(30°)
sen(30°)
cos(30°)
cos(30°)
TDC = P1
= m1 g
sen(30°) cos(60°)
sen(30°) cos(60°)
cos(30°)sen(60°)
cos(30°)sen(60°)
P2 = P1
⇔ m2 g = m1 g
sen(30°) cos(60°)
sen(30°) cos(60°)
TAB =
de onde se conclui que
TAB = 1780 N
TBC = 1541N
TDC = 3082 N
m 2 = 272.4 kg
•
Método de resolução de problemas em dinâmica / estática
1. Decompôr o sistema em estudo em objectos individuais
2. Para cada objecto desenhar um diagrama de forças em que se
representa vectorialmente todas as forças actantes nesse objecto. As
forças devem ser identificadas com uma letra, mesmo que se conheça o
seu valor. No processo de identificação é importante reconhecer os pares
de forças actuantes em corpos diferentes de acordo com a 3ª Lei de
Newton.
3. Escolher um sistema de eixos em relação ao qual é conveniente
expressar as componentes das forças, velocidades e acelerações.
Escolher um sistema de eixos inercial, ou seja, que não esteja centrado
num corpo com aceleração. Poderá ser conveniente utilizar um sistema
de eixos diferente para cada corpo.
4. Determinar as relações cinemáticas entre os vários corpos que compõem
o sistema em estudo.
5. Escrever a expressão da 2ª lei de Newton para cada corpo. Decompôr a
equação vectorial resultante em componentes no sistema de eixos
escolhido. Adicionar as relações entre as acelerações dos vários corpos
que resultam das relações cinemáticas obtidas no passo 4.
6. Identificar o número de variáveis. Garantir que é igual ao número de
equações.
Exemplos: Plano inclinado com atrito
•
Fat
R
P
α
O corpo desce logo a força de atrito é
para cima ao longo do plano
inclinado
• A força de contacto é normal à
superfície
• É conveniente colocar um dos eixos
na direcção do movimento
y
Fat
R
α
x
P
A 2ªlei de Newton é então dada por: R + P + Fat = 0
E usando o sistema de eixos indicado na figura tem-se:
( x ) Psen(α ) − Fat = ma x = ma

( y ) − P cos( α ) + R = ma y = 0
com Fat = µ c R
chega-se a que a = g sen( α ) − µ c cos( α )
[
]
1 - Determine a relação entre as massas para que o sistema esteja em
equilíbrio.
Corpo 2
T2 + P2 = 0
y
T2
yA
A
Roldana fixa A
T2 − P2 = 0
m2
T2 = m2 g
y2
3T2 + PA + T3 = 0
A
T2
− 3T2 − PA + T3 = 0
T3 = (3m 2 + m A )g
T2 T2
PA
T3 = (3m 2 + m A )g
P2
m2
B
yB
y1
Roldana móvel B
T2
B
T2
m1
T1 PB
Corpo 1
2T2 + T1 + PB = 0
T1
m1
2T2 − T1 + PB = 0
P1
T1 = 2T2 + mB g
T1 = (2m 2 + mB )g
T1 + P1 = 0
T1 − P1 = 0
T1 = m1g
m1 = 2m2 + mB
Usualmente despreza-se
a massa das roldanas
mB ≅ 0 ⇒ m1 = 2m2
2 – Considere agora que o sistema não está em equilíbrio e determine as
acelerações dos corpos 1 e 2
Aplicando a 2ª Lei de Newton obtém-se as seguintes equações para a
coordenada das várias forças e acelerações no eixo representado na figura.
T2 − P2 = m2a 2
− 3T − P + T = 0

2
A
3

2T2 − T1 − PB = mBaB
T1 − P1 = m1a1
Uma vez que os vários corpos estão ligados o seu movimento não é
independente sendo necessário determinar as relações entre as suas
acelerações:
A ligaçao entre o corpo 1 e a roldana móvel B ocorre directamente
através de um fio inextensível. Assim os deslocamentos destes dois corpos
são iguais e logo
vB = v1
aB = a1
A ligação entre a roldana móvel B e o corpo 2 não é directa. É então
necessário relacionar os deslocamentos destes dois objectos:
(ya - y2) +2(ya - yR) = L
3ya - y2 - 2yR = L
em que L se relaciona com o tamanho do fio
derivando em ordem ao tempo e considerando que o fio é inextensível temse:
- v2 - 2vR = 0 <=> v2 = -2vR = -2v1
e
a2 = -2a1
Novamente desprezando a massa da roldana B chega-se ao seguinte
conjunto de 6 equações a 6 incógnitas (T1, T2, T3, aB, a1 e a2):
T2 − P2 = m 2a 2

− 3T2 − PA + T3 = 0
2T2 − T1 = 0

T1 − P1 = m1a1
aB = a1

a 2 = −2a1
cuja resolução
permite obter:
a1 =
2m 2 − m1
g
4m 2 + m1
a2 =
2m1 − 4m 2
g
4m 2 + m1