Conservação da quantidade de movimento linear

Conservação da quantidade de movimento linear
Vamos considerar um sistema cosistindo de N partículas de massas mk , com
k = 1, 2, . . . , N. Cada partícula tem seu vetor posição rk . Vou supor que a iésima partícula faz uma força sobre a j-ésima denotada por Fi→j . Todas essas
forças entre as N partículas do sistema serão chamadas de suas “forças internas”.
É claro que cada uma das N partículas pode estar sob a ação de uma força
resultante de ações provenientes de fora do sistema, isto é, não correspondendo
a nenhuma das forças que as outras partículas do sistema exercem sobre ela.
Vou denotar a resultante das forças externas agindo sobre a k-ésima partícula
(ext)
de Fk . Assim, teremos N equações de movimento acopladas para resolver:
dpk
dt
(ext)
=
Fk
(int)
+ Fk
,
onde
pk
= mk
drk
dt
(int)
é o momentum da k-ésima partícula e Fk
internas sobre a k-ésima partícula:
(int)
Fk
k−1
X
=
N
X
Fl→k +
l=1
é a resultante de todas as forças
X
Fl→k =
l=k+1
Fl→k .
l6=k
A força resultante que a própria k-ésima partícula exerce sobre ela mesma deve
ser nula e, portanto, para simplificar a notação, vou definir
Fk→k
= 0.
Com isso, agora podemos escrever.
(int)
Fk
N
X
=
Fl→k .
l=1
Somando todas as equações de movimento membro a membro obtemos
N
X
dpk
k=1
dt
=
N
X
(ext)
Fk
+
k=1
N
X
(int)
Fk
,
k=1
isto é,
d
dt
N
X
k=1
!
pk
=
N
X
(ext)
Fk
k=1
k=1
Seja
N
X
P =
k=1
1
+
N
X
pk
(int)
Fk
.
o momentum total do sistema de N partículas e sejam
F(ext)
N
X
=
(ext)
Fk
k=1
e
F(int)
N
X
=
(int)
Fk
k=1
a força externa resultante e a força interna resultante, respectivamente. Então,
a variação do momentum total do sistema pode ser escrita como
dP
dt
= F(ext) + F(int) .
Mas, note que
F
(int)
=
N
X
(int)
Fk
=
N X
N
X
Fl→k .
k=1 l=1
k=1
Veja que podemos escrever a soma dupla assim:
N
N X
X
Fl→k
N
N X
X
=
Fk→l ,
l=1 k=1
k=1 l=1
já que os índices somados são “mudos” e, portanto, podem ser trocados por
quaisquer outros índices desde que distintos. Observe que a ordem das somas
pode ser trocada. Logo,
N X
N
X
Fk→l
N X
N
X
=
l=1 k=1
Fk→l .
k=1 l=1
Então, nada nos impede de escrever o seguinte:
N
F(int)
=
N
N
N
1 XX
1 XX
Fl→k +
Fk→l ,
2
2
k=1 l=1
k=1 l=1
isto é,
N
F(int)
=
N
1 XX
(Fl→k + Fk→l ) .
2
k=1 l=1
Sabemos, da terceira lei de Newton, que
Fk→l
=
2
−Fl→k .
Logo,
N
F(int)
=
N
N
N
1 XX
1 XX
(Fl→k + Fk→l ) =
(Fl→k − Fl→k ) = 0.
2
2
k=1 l=1
k=1 l=1
Consequentemente,
dP
dt
=
F(ext) .
Essa equação nos diz que a derivada temporal do momentum total do sistema
é igual à resultante das forças externas agindo sobre o sistema. Caso a força
externa resultante seja zero, o momentum total do sistema será conservado e
vice-versa.
Centro de massa
Também é interessante definirmos o centro de massa do sistema de N particulas.
Seja o vetor posição do centro de massa, R, definido como
R =
N
1 X
mk rk ,
M
k=1
com M denotando a massa total do sistema, isto é,
M
N
X
=
mk .
k=1
Veja que o centro de massa é uma média ponderada da posição das N partículas
e o peso de cada uma das posições é dado pela massa da partícula correspondente
dividida pela massa total.
Além disso, também podemos notar que a velocidade do centro de massa é
obtida tomando a derivada temporal de R, resultando em
dR
dt
=
N
N
1 X
drk
1 X
P
mk
=
pk =
,
M
dt
M
M
k=1
k=1
isto é,
P =
M
dR
.
dt
Logo, o momentum total nada mais é do que a massa total multiplicada pela
velocidade do centro de massa. Agora fica óbvio que a derivada do momentum
total dá a massa total multiplicada pela aceleração do centro de massa:
dP
dt
= M
3
d2 R
dt2
e, portanto,
M
d2 R
dt2
=
F(ext) .
Assim, a equação de movimento para o centro de massa do sistema é como a
equação de movimento para uma partícula com a massa igual à massa total do
sistema e sob a ação de uma força igual à força externa resultante, que age sobre
todo o sistema de N particulas.
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