MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO

Universidade Católica de Goiás
Sistemas de Controle 1
Universidade Católica de Goiás
Departamento de Engenharia
Curso de Engenharia Elétrica
Disciplina: ENG3502 Sistemas de Controle 1
3. MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO
A modelagem no domínio da freqüência (técnica clássica) relaciona algebricamente
uma representação da saída a uma representação da entrada (função de transferência).
Contudo, este procedimento é limitado a sistemas lineares e invariantes no tempo ou em
sistemas que podem ser linearizados.
A modelagem no domínio do tempo (controle moderno) é menos limitada,
possibilitando modelar sistemas:
 não-lineares;
 variantes no tempo;
 com condições iniciais diferentes de zero;
 com múltiplas entradas e múltiplas saídas;
 que empregam um computador digital na malha;
 a serem simulados digitalmente.
3.1. A Representação Geral no Espaço de Estado
Um sistema é representado no espaço de estados pelas equações

xt   A.xt   B.u t   equação de estado,
(1)
y t   C.xt   D.u t   equação de saída.

Para t  t o e as condições iniciais, xt o  , onde x é o vetor de estado, x é a derivada do vetor
de estado em relação ao tempo, y é o vetor de saída, u é o vetor de entrada ou de controle, A
é a matriz de sistema, B é a matriz de entrada, C é a matriz de saída e D é a matriz de ação
avante (transmissão direta).
Ainda cabe realizar algumas definições:
 variável de sistema – qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições
iniciais em um sistema;
 variáveis de estado – o menor conjunto linearmente independente de variáveis de
sistema. Por exemplo, se x1, x2 e x3 forem escolhidas como variáveis de estado, mas
x3 = 5.x1 + 4.x2, então x3 não é linearmente independente de x1 e de x2. Variáveis
relacionadas por derivada são linearmente independentes;
 espaço de estados – o espaço n-dimensional cujos eixos são as variáveis de estado, as
quais formam os eixos do espaço de estados (ver figura 1).
“As variáveis de estado descrevem a resposta futura de um sistema, dado o estado
presente, as excitações e as equações que descrevem a dinâmica”.
Observe a figura 2 que apresenta um diagrama de blocos de um sistema que contém
duas entradas e duas saídas, sendo a dinâmica desenvolvida pelo sistema de acordo com seus
parâmetros e as entradas aplicadas.
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Espaço de estados
Vetor de estado, x(t)
Trajetória do vetor estado
Vetor de estado, x(4)
Figura 1 – Representação gráfica do espaço de estados e de um vetor de estado
Sinais de entrada
u1(t)
u2(t)
Sinais de saída
Sistema
y1(t)
y1(t)
Figura 2 – Diagrama de blocos de um sistema
Como exemplo, considere um sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo,
com uma entrada v(t). As equações poderiam estar na forma
dx1 t 
 a11.x1 t   a12 .x2 t   b1 .vt ,
dt
dx2 t 
 a21.x1 t   a22 .x2 t   b2 .vt ,
dt
(2)
onde x1(t) e x2(t) são as variáveis de estado. Caso haja uma única saída, a equação de saída
poderia ter a forma
y(t )  c1.x1 (t )  c2 .x2 (t )  d1.vt  .
(3)
Na forma matricial a representação em espaço de estado resultante é
   a
a   x t  b 
 x1 t    11 12  . 1    1  .vt ,
 x t  a21 a22   x2 t  b2 
 2 
y t   c1
 x t 
c2 . 1   d1 .vt .
 x2 t 
(4)
Exemplo 1: Dado o circuito elétrico da figura 3, determine um conjunto de variáveis de
estado (representação no espaço de estados), considerando a saída a corrente através do
resistor.
Escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de
energia resulta em
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Figura 3 – Circuito elétrico RLC misto para representação no espaço de estados
C.
dvc (t )
L.d iL (t )
 ic (t ) e
 v L (t ) .
dt
dt
(5)
É comum a escolha das variáveis de estado com sendo as grandezas diferenciáveis e a
representação no espaço de estados estará completa se o lado direito das igualdades
anteriores puder ser escrito como uma combinação linear das variáveis de estado e da
entrada. Logo,
iR (t ) 
1
.vc (t ) .
R
(6)
Aplicando LKC ao nó 1 chega-se a
ic t   iR t   iL t  
1
.vc t   iL t  .
R
(7)
Aplicando LKT ao longo da malha externa obtém-se
vL t   vc t   vt  .
(8)
Substituindo as equações 7 e 8 na equação 5 implica em
dvc t 
dv t 
1
1
1
  .vc t   iL t   c  
.vc t   .iL t ,
dt
R
dt
R.C
C
di t 
di t 
1
1
L. L  vc t   vt   L   .vc t   .vt .
dt
dt
L
L
C.
(9)
A saída é
iR t  
1
.vc t  .
R
(10)
Na forma de matrizes o resultado é
 1
   


v
t
 c    R.C
 i t    1
L 
 L
1
0 
C  .vc t    1  .u t ,


0   iL t   L 

1
 v t 
iR t   
0  . c  .
R
  iL t 
(11)
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Exemplo 2: Para o circuito apresentado na figura 4, determine um conjunto de variáveis de
estado sendo a saída a tensão sobre o indutor vL(t).
Figura 4 – Circuito RLC série
Escrevendo a equação de malha
L.
dit 
1
 R.it   . it .dt  vt  .
dt
C
(12)
Como
dq t 
,
dt
(13)
d 2 qt 
dqt  1
 R.
 .qt   vt  .
2
dt
C
dt
(14)
i
implica que
L.
Contudo uma equação diferencial de ordem n pode ser convertida em n equações
deferenciais de primeira ordem. Logo, convertendo a equação anterior em função de i(t) e q(t)
resulta em
dqt 
 i t ,
dt
dit 
1
R
1

.qt   .i t   .vt .
dt
L.C
L
L
(15)
A saída pode ser obtida através de
v L (t )  
1
.q(t )  R.i (t )  v(t ) .
C
(16)
Obs.: representar as equações 15 e 16 na forma matricial.
3.2. Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
A conversão de uma função de transferência para o espaço de estados possibilita a
simulação digital de sistemas físicos representados por uma função de transferência G(s).
Considere a equação diferencial de ordem n a seguir
d n y t 
d n 1 y t 
dy t 

a
.
   a1 .
 a 0 . y t   b0 .u t  .
n 1
n
n 1
dt
dt
dt
(17)
Inicialmente deve-se selecionar um conjunto de variáveis de estado, sendo cada
variável de estado subseqüente a derivada da variável de estado anterior (variáveis de fase).
Assim, de forma conveniente escolha a saída y(t) e suas (n-1) derivadas como variáveis de
estado (variáveis de fase). Logo, definindo
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x1 t   y t ,
dy t 
,
dt
dy 2 t 
x3 t  
,
dt 2

x2 t  
xn t  
(18)
dy n 1 t 
.
dt n 1
Derivando ambos os membros da equação 18, resulta em

x1 t  
dy t 
,
dt
d y t 
x2 t  
,
dt 2
2

d y t 
x3 t  
,
dt 3

3

(19)
d y t 
xn t  
.
dt n
n

Substituindo as definições identificadas pela equação 18 na equação 19 resulta nas
equações de estado representadas por

x1 t   x2 t ,

x2 t   x3 t ,

(20)

xn-1 t   xn t ,

xn t   a0 .x1 t   a1 .x2 t     an1 .xn t   b0 .u t .
Na forma matricial tem-se


 x1 t    0

 
 x2 t    0

 

 
 x  t   0
 n1   a

  0
 xn t  
1
0

0
1




0
0

 a1
 a2 
0   x1 t    0 


0   x2 t    0 
     .u t  .
  .
  

1   xn1 t   0 
 an1   xn t   b0 
(21)
Esta forma de representação é conhecida como forma canônica controlável ou forma
em variáveis de fase das equações de estado. Por fim, a equação de saída resulta em
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 x1 t  
 x t  
 2


.






x1 t  y t  y t  1 0  0 0 . 


 xn1 t 
 xn t  


(22)
O procedimento anterior pode ser aplicado diretamente a sistemas que possuam apenas
um termo constante no numerador. Contudo, quando se trabalha com um polinômio no
numerador deve-se separá-lo em dois blocos como exibido na figura 5.
Figura 5 – Decompondo uma função de transferência
Exemplo: Considere a função de transferência
C s 
s 2  7.s  2
.
 3
Rs  s  9.s 2  26.s  24
(23)
Separando o numerador e o denominador como indicado na figura 5 tem-se




X 1 s . s 3  9.s 2  26.s  24  Rs  e X 1 s . s 2  7.s  2  C s  .
(24)
Fazendo a transformada inversa obtém-se





x1 t   9. x1 t   26. x1 t   24.x1 t   r t  e x1 t   7. x1 t   2.x1 t   ct 
(25)
Fazendo as definições
x1 t   x1 t ,

x2 t   x1 t ,
(26)

x3 t   x1 t ,
implica em

x1 t   x2 t ,


x2 t   x3 t ,
(27)
x3  24.x1 t   26.x2 t   9 x3 t   r t .
Na forma matricial é
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 
1
0   x1 t  0
 x1 t   0
 x t    0
0
1 . x2 t   0.r t  .
 2  
 x3 t   24  26  9  x3 t  1


Para introduzir o efeito do segundo bloco, tem-se que



(28)

C s   b2 .s 2  b1 .s  b0 .X 1 s   s 2  7.s  2 .X 1 s  .
(29)
Aplicando a transformada de Laplace inversa com condições iniciais nulas obtém-se


ct   x1 t   7. x1 t   2.x1 t  .
(30)
Pelas definições indicadas na equação 26, no domínio do tempo, a saída é
yt   ct   b2 .x3 t   b1 .x2 t   b0 .x1 t   x3 t   7.x2 t   2.x1 t  .
(31)
A equação na forma matricial, então, é
yt   b0
b1
 x1 t 
 x1 t 
b2 . x2 t   2 7 1. x2 t  .
 x3 t 
 x3 t 
(32)
3.3. Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
Dadas as equações de estado e de resposta

xt   A.xt   B.u t ,
(33)
y t   C.xt   D.u t 
e aplicando a transformada de Laplace tem-se
s.Xs   A.X s   B.U s ,
Y s   C.X s   D.U s 
(34)
Colocando X(s) em evidência na primeira expressão da equação 34, resulta em
s.I  A.X s   B.U s   X s   s.I  A-1 .B.U s 
(35)
Substituindo este resultado na equação de saída (segunda expressão da equação 34)
chega-se a


Y s   C.s.I  A .B.U s   D.U s   C.s.I  A .B  D .U s 
-1
-1
(36)
Fazendo Y s    , chega-se na função de transferência do sistema.
U s
Sabendo que
M 1 
AdjM AdjM
,

detM
M
(37)
tem-se
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 Adjs.I  A

Y s   C.
.B  D  .U s 
s.I  A


(38)
Assim, verifica-se que s.I  A é a equação característica do sistema.
1
0
0
Exercício: Dado um sistema com A   0
0
1  , obtenha a equação característica do

 2  1  5
sistema.
Resposta: s 3  5.s 2  s  2  0.
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