equivalentes elétricos a filtros digitais para simulação de

GAT-013
21 a 26 de Outubro de 2001
Campinas - São Paulo - Brasil
GRUPO IV
ANÁLISE E TÉCNICAS DE SISTEMAS DE POTÊNCIA (GAT)
EQUIVALENTES ELÉTRICOS A FILTROS DIGITAIS PARA SIMULAÇÃO DE
TRANSITÓRIOS EM TEMPO REAL EM REDES ELÉTRICAS DE GRANDE PORTE
Clever Pereira (*)
LRC/UFMG
Sandoval Carneiro Jr.
COPPE/UFRJ
RESUMO
Este trabalho apresenta um novo método para a
obtenção de equivalentes de sub-redes elétricas,
expressos na forma de filtros digitais FIR. Inicialmente
são feitas considerações na maneira de se obter estes
filtros, mostrando
que eles são sintetizados
basicamente a partir das funções impedância de
entrada da sub-rede elétrica a ser equivalenciada. Em
seguida apresenta-se a técnica de passagem para o
domínio do tempo, onde se utiliza o plano Z como um
plano intermediário. A validação do método é
executada através da comparação de simulações que
utilizam a nova técnica com outras provenientes do
EMTP. As respostas obtidas demonstram a efetividade
do método proposto
PALAVRAS-CHAVE:
Equivalentes
de
redes.
Transitórios
eletromagnéticos.
Modelagem
de
sistemas. Simulações em tempo real.
1.0 - INTRODUÇÃO
Os métodos temporais para simulação de transitórios
eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência
são, atualmente, os preferidos. Isto se deve
principalmente às suas características de alta
velocidade, relativa simplicidade e facilidades na
representação de elementos não lineares e variantes
no tempo. Esta preferência ainda se mantém, mesmo
quando se deseja executar estas simulações em
tempo real. No entanto, a despeito da eficiência destes
métodos, a dimensão do sistema elétrico pode, muitas
vezes, ser empecilho para se lograr êxito nesta tarefa.
Nestes casos, o elevado número de componentes,
aliado à complexidade dos modelos adotados, vai
impingir uma sobrecarga computacional com relação
às necessidades de memória e, principalmente, no que
concerne à velocidade de processamento. Desta
forma, torna-se imperativo representar uma parte do
Jacques Szczupak
PUC/RJ
sistema elétrico, caracterizada geralmente pela parcela
da rede que permanece invariante no tempo, numa
forma reduzida, através de equivalentes. Assim,
apenas uma pequena porção, mais próxima de onde
vão acontecer as contingências que levam o sistema
ao transitório, deve ser representada com maiores
detalhes, de forma a se diminuir o esforço
computacional e, conseqüentemente, aumentar a
velocidade das simulações.
Diversos trabalhos têm tratado deste problema [1,2,3]
e a abordagem mais simples é a utilização de
impedâncias de curto-circuito a 60 Hz, representando
o sistema a partir de uma de suas barras. Embora com
uma boa resposta para as baixas freqüências, este
tipo de circuito é quase sempre inadequado, devido à
sua pobre resposta nas altas. Uma alternativa é se
inserir em paralelo uma impedância constante que
represente o comportamento da sub-rede nas altas
freqüências como, por exemplo, a impedância de onda
de uma possível linha de transmissão conectada à
barra terminal. Este procedimento melhora a resposta
do circuito equivalente para as primeiras reflexões, ou
seja, nas altas freqüências, mas tende a
comprometê-la com o decorrer do tempo de
simulação, principalmente em instantes onde se
restabelece o regime permanente senoidal.
Estes equivalentes, mais simples, ainda fazem surgir
um outro problema, ou seja, a determinação de
“quanto” do sistema elétrico deve ser representado em
detalhes e “quanto” através de equivalentes. Trata-se
de uma etapa extremamente complexa, e muitos
esforços vêm sendo feitos com o objetivo de se
estabelecer regras para se definir estas fronteiras. No
entanto, na maioria das vezes ainda são a experiência
e a sensibilidade do analista que acabam
prevalecendo, devido tanto à diversidade dos sistemas
elétricos quanto aos fenômenos transitórios a serem
analisados.
Uma alternativa que se apresenta é fazer uso de
equivalentes mais complexos que consigam reproduzir
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2
com maior fidelidade o comportamento da rede
equivalenciada (denominada neste trabalho de
sub-rede externa), dentro de uma certa faixa de
freqüência de interesse para os fenômenos a serem
analisados. Desta forma, apenas a parcela do sistema
elétrico onde ocorre a contingência e existe a presença
de elementos não lineares, seriam representados em
detalhes, ficando, desta forma, uma parcela ainda
maior do sistema elétrico incorporada ao equivalente.
Com este procedimento a determinação das fronteiras
passa a não ser mais crítica, ficando para o circuito
equivalente a responsabilidade pela fidelidade da
resposta da sub-rede equivalenciada.
Neste tipo de abordagem, o método clássico
geralmente adotado é a utilização de circuitos RLC
para sintetizar as funções de circuito da rede
equivalenciada no domínio da freqüência [2,3], em
geral, a função impedância ou a admitância vista de
uma determinada barra do sistema, como mostrado na
Figura 1.
são basicamente funções polinomiais no plano Z,
utilizado como plano intermediário na passagem do
domínio da freqüência analógica  para o tempo.
Estes equivalentes possuem diversas vantagens
quando comparados aos anteriores. A primeira delas
está na sua composição, pois são formados por uma
estrutura do tipo linha de atrasos, muito adequada
para se representar fenômenos de propagação de
ondas, presentes nas linhas de transmissão e, por
conseguinte, nos sistemas elétricos de uma forma
geral. Uma segunda vantagem, e talvez a maior, está
relacionada na maneira direta de se obtê-los, evitando
os chamados métodos de otimização que, de um
modo geral, dependem de convergências, nem sempre
garantidas. Outra vantagem reside no fato da sua
utilização introduzir apenas mais um elemento de rede,
ou seja, o elemento equivalente, ficando a carga
computacional concentrada apenas no cálculo da
componente histórica deste elemento. Por último,
como será visto adiante, o termo relacionado à história
da sub-rede equivalenciada, pode ser dimensionado
adequadamente aos objetivos do estudo, a partir da
consideração de uma maior ou menor ordem nos filtros
digitais representativos dos equivalentes, aumentando
ou diminuindo a carga computacional.
2.0 - DESCRIÇÃO DO MÉTODO
2.1 - Considerações Iniciais
FIGURA 1 - Circuito equivalente RLC clássico para simulação
de transitórios em redes elétricas.
Este tipo de aproximação geralmente resulta em
circuitos
equivalentes
que
apresentam
bom
desempenho para a faixa de freqüências desejada,
mas são usualmente de ordens elevadas e,
principalmente, difíceis de serem sintetizados - quase
sempre a partir de processos de otimização que
freqüentemente possuem convergência difícil e/ou não
garantida.
A incorporação destes equivalentes a programas de
simulação que utilizam métodos temporais é feita
através da solução das equações de circuito, fazendo
uso de algum método de integração numérica, que
resultam, para cada ramo k, em equações do tipo
ik n  Gkk .vk n ikh n
(1)
Nesta equação, Gkk é uma condutância equivalente e
ikh(n) é uma fonte de corrente que depende dos valores
dos parâmetros R, L e C de cada ramo do circuito
equivalente e de valores passados (históricos) da
tensão e da corrente nos seus terminais.
Este trabalho apresenta um método alternativo que
resulta diretamente no tipo de equação mostrada em
(1) sem envolver a síntese de circuitos RLC. Os
equivalentes vão estar na forma de filtros digitais que,
como antes, vão aproximar o comportamento das
sub-redes equivalenciadas dentro de uma determinada
faixa de freqüências de interesse. Estes filtros digitais
O método proposto consiste basicamente de três
etapas: (a) determinação das funções de circuito da
sub-rede a ser modelada no domínio da freqüência
analógica , (b) aproximação destas funções no plano
Z como plano intermediário entre a freqüência e o
tempo e (c) utilização do conceito de circuito
equivalente de Thevenin no domínio do tempo.
Neste trabalho consideram-se redes de um acesso,
através de uma barra de ligação k entre a sub-rede
externa e a sub-rede estudada (sistema onde acontece
e é observado o fenômeno transitório). No entanto, a
extensão para duas ou mais barras externas de
ligação pode ser feita fazendo uso dos conceitos
apresentados no trabalho.
2.2 - Equivalentes a Filtros Digitais para Redes de um
Acesso
Considere inicialmente a Figura 2 a seguir, onde pode
ser visto o diagrama de uma rede elétrica genérica
formada por duas sub-redes A e B e a barra de acesso
k. Deseja-se representar a sub-rede A através de um
equivalente adequado para simulações de transitórios
não muito rápidos, do tipo curto-circuito ou
energização de linhas de transmissão.
Como no método clássico, o método proposto utiliza a
resposta em freqüência da sub-rede externa como
ponto de partida. Considerando-se que esta sub-rede
obedece às condições de linearidade e invariância no
tempo, sua resposta em freqüência vai conter todas as
informações necessárias para se computar uma dada
3
Vk z  Vk0 z Z kk z.I k z
R ed e
Elétrica
(3)
k
A
Neste trabalho foram consideradas aproximações para
a função Zkk(z) na forma de filtros digitais FIR de ordem
r, do tipo
B
Zkk z  E0  E1z
Sistema
Estudado
Sistema
Externo
FIGURA 2 - Sub-rede externa A ligada ao sistema a ser
estudado B através da barra de acesso k.
resposta transitória. Assim, para se determinar a
resposta em freqüência da sub-rede externa A, o
primeiro passo é formar sua matriz de admitâncias de
barra, para cada freqüência de interesse e para cada
modo de propagação. Para isto deve-se inicialmente
desconectar a sub-rede B. Em seguida curto-circuitar
todas as fontes de tensão e abrir todas as fontes de
corrente da sub-rede A. A matriz das admitâncias de
barra original assim formada, YB(), vai conter todas
as barras da sub-rede A, incluindo a barra k. Uma vez
que a única barra que sofrerá a injeção de corrente
externa é a barra k, aplica-se o método de redução de
Kron e faz-se a eliminação de todas as barras internas
da sub-rede A, exceto esta barra de ligação. No final
do processo, obtém-se a admitância de entrada vista
da barra k, correspondente à admitância de Norton, ou
simplesmente, de curto-circuito. Repetindo-se o
processo para todas as freqüências de interesse,
forma-se a função das admitâncias de entrada vistas
da barra k em função da freqüência analógica  para
um dado modo de propagação. Uma vez que a
linearidade da rede está sendo assumida, ela pode ser
representada no domínio das freqüências analógicas 
pelo circuito equivalente de Thevenin, para cada uma
das freqüências e modos de interesse, como mostrado
na Figura 3.
Zkk ()
k
A
k
Sistema
Externo
Ik ()
+
-
 ...  Er z
r
(4)
Os coeficientes Ei acima formam uma seqüência
temporal de pulsos e podem ser interpretados como a
resposta do sistema, na forma de tensão, a um pulso
unitário de corrente injetado na barra de acesso k. Os
mecanismos de propagação, existentes no próprio
sistema, vão ser os responsáveis pela atenuação da
resposta. Isto vai limitar esta seqüência a um número
de pulsos finito, como será visto a seguir. Substituindo
(4) em (3), pode-se escreverEque
z 1 ... E z r
Vk z Vk0 z E0 .Ik z

1

 .I z (5)
r
k
A passagem para o domínio do tempo é feita
utilizando-se a Transformada Z Inversa, resultando em
vk n  vk0 n zkk .ik n vkh n
(6)
sendo
zvkkkh nE0 E1 ik n

1 ...  Er ik n
r
(7)
Nestas equações, o termo zkk pode ser interpretado
como um fator relacionado à resposta instantânea do
sistema a uma perturbação impulsional de corrente,
vk0(n) é a tensão de Thevenin no domínio do tempo e
vkh(n) é um termo de tensões que dependem da
história da sub-rede externa, modelada pelo
equivalente a filtros digitais. A Figura 4 a seguir mostra
o circuito associado, que pode ser interpretado como o
circuito equivalente de Thevenin da Figura 3, no
domínio do tempo.
zkk
k
Vk0 ()
vkh (n) -
FIGURA 3 - Sub-rede A representada pelo seu circuito
equivalente de Thevenin.
Para esta rede, a equação de circuito no domínio da
freqüência é da forma
Vk   Vk0 Zkk .Ik 
1
(2)
ik (n)
+
vk (n)
vk0 (n) +
-
FIGURA 4 - Circuito equivalente de Thevenin no domínio do
tempo.
onde Zkk() é a impedância de Thevenin, ou de
entrada, vista da barra k e Vk0() é a tensão a vazio, ou
de Thevenin, na mesma barra
O procedimento clássico ao passar para o domínio do
tempo envolve o cálculo das integrais de convolução,
de computação numérica complexa e trabalhosa. No
entanto, utilizando-se o plano Z como um plano
intermediário entre freqüência e tempo, a equação
anterior pode ser escrita na forma
A obtenção do circuito análogo de Norton, mais
utilizado nas formulações para simulação de
transitórios no domínio do tempo, pode ser feita
diretamente, tomando-se a Transformada Inversa de
Fourier da função Ykk() ou, de maneira equivalente,
admitindo-se que
ykk  1
zkk
 1
(8)
E0
e desta forma, multiplicando-se os dois lados de (6)
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