Solução

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Quatro cargas positivas iguais a q, estão localizadas nos
vértices de um tetraedro regular de lados iguais a d. Encontrar a
intensidade da força elétrica, devido as três cargas que formam a
base do tetraedro, na carga localizada no ponto P acima da base.
Admita que as cargas estão no vácuo onde a constante
eletrostática vale k 0.
Esquema do problema
Como todas as cargas tem o mesmo sinal as cagas da
base do tetraedro vão repelir a carga localizada no ponto P e
como os valores das cargas são iguais e a distância entre elas é
r
a mesma a intensidade da força elétrica de repulsão ( FE ) será a
mesma (figura 1).
figura 1
Dados do problema
•
•
+q;
d.
valor das cargas elétrica:
distância entre as cargas:
Solução
Olhando para um plano vertical que passa por uma das
cargas da base e pela carga no ponto P (figura 2), temos pela Lei de
Coulomb que a força elétrica de repulsão, em módulo, vale
FE = k 0
Q1 Q 2
FE = K 0
FE = K 0
r2
q .q
d2
q2
(I)
d2
Essa força elétrica deve ser decomposta nas direções
r
r
paralela ao plano do tetraedro ( FE P ) e normal a este ( FE N ),
figura 2
desenhando a força elétrica num sistema de eixos coordenados e obtendo as suas
componentes temos (figura 3)
FEP = FE .sen θ
e
1
FEN = FE .cos θ
(II)
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onde o ângulo θ medido entre o vetor força
r
r
elétrica FE e a componente normal FE N
ao plano é o mesmo ângulo medido entre a
aresta d do tetraedro e a altura h deste
(são ângulos opostos pelo vértice).
•
r
Forças paralelas ao plano FE P :
Por simetria do problema cada
carga da base vai interagir da mesma
forma com a carga em P, assim temos três
r
componentes paralelas FE P agindo nesse
ponto (figura 4-A). Olhando de cima (figura
figura 3
4-B) vemos essas forças igualmente
distribuídas em torno da carga em P. Pelo Método do Polígono para soma de vetores (figura 4C) temos que estas forças formam uma poligonal fechada, portanto a resultante das forças
paralelas às cargas da base é nula.
r
r
r
F E P + FE P + F E P = 0
figura 4
•
r
Forças normais ao plano FE N :
r
Para encontrarmos o valor da componente normal ao plano FE N devemos encontrar o
co-seno do ângulo θ em função da distância d entre as cargas. O co-seno de θ é calculado por
cos θ =
h
d
(III)
Como o tetraedro é regular as faces laterais são triângulos
equiláteros (possuem os três lados iguais) a altura a de uma das faces
pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras (figura 5)
d 
d 2 = a2 +  
 2
d 2 = a2 +
d2
4
a2 = d 2 −
d2
4
2
figura 5
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 1 e 4 é 4
2
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a2 =
4d 2 − d 2
4
a2 =
3d 2
4
a=
3d 2
4
a=
d
3
(IV)
2
A altura h do tetraedro divide a base em dois segmentos de
tamanhos m e n (figura 6) de onde podemos escrever as seguintes
relações, a soma de m e n é a altura a do triângulo da base
a =m+n
substituindo o valor de a encontrado em (IV)
d
3
2
= m+n
(V)
figura 6
aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da direita que tem por catetos m e h e
por hipotenusa a
a2 = m2 +h2
substituindo o valor de a encontrado em (IV)
d 3

 2

2

 = m2 +h2


3d 2
= m2 +h2
4
(VI)
aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da esquerda que tem por catetos n e
h e por hipotenusa d
d 2 = n2 +h2
(VII)
Subtraindo a expressão (VI) de (VII) temos
d 2 = n2 + h2
(− )
d2−
3d 2
= m2 +h2
4
3d 2
= n2 −m2 +h2 −h2
4
3d 2
= n2 −m2
d2−
4
o lado direito da igualdade é um Produto Notável da forma x 2 − y 2 = ( x + y ).( x − y ) , e o
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 1 e 4 é 4, daí obtemos
3
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4d 2 − 3d 2
= ( n + m )(
. n−m)
4
d2
= ( n + m ).( n − m )
4
substituindo o termo n + m pelo valor dado em (V)
d2 d 3
.( n − m )
=
4
2
d2 2
.
n−m =
4 d 3
d
n−m =
2 3
multiplicando o numerador e o denominador do lado direito da igualdade por
n−m =
d
2 3
3 , temos
3
.
3
n−m =
d 3
2. 3
n−m =
d
3
(VIII)
6
Somando as expressões (V) e (VIII), obtemos
(+ )
n+m =
d
n−m =
d
d
2n + m − m =
2n =
2
+
2
3
6
3
2
3
d
3
+
d
3
6
3
d
6
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 2 e 6 é 6
2n =
3 +d
6
3d
2n =
4d
3
3
6
n=
4d 3
2.6
n=
d
3
3
Agora usando a expressão (VII) podemos determinar h em função de d
4
(IX)
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d
2

 +h2


d 3
=
 3

2
d2 =
3d 2
+h2
9
h2 = d 2 −
3d 2
9
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 1 e 9 é 9
h2 =
9d 2 − 3d 2
9
h2 =
6d 2
9
h=
6d 2
9
h=
d
6
(X)
3
substituindo (X) em (III) o co-seno de θ vale
d
cos θ =
cos θ =
d
cos θ =
6
3
d
6 1
.
3 d
6
3
Usando as expressões (I), (II) e o co-seno calculado acima a força elétrica normal ao
plano para a interação entre uma das cargas da base e a carga no ponto P vale
FE N = k 0
q2
d
.
2
6
3
Por simetria a carga no ponto P interage igualmente com
as outras duas cargas da base, então a força elétrica resultante
sobre a carga em P será (figura 7)
F E R = 3 FE N
FE R = 3.k 0
FE R = k 0
q2 6
.
d2 3
q2
d
6
2
figura 7
5