Estrutura de Grupo de Movimentos Simétricos de - Imecc

Estrutura de Grupo de Movimentos Simétricos de um Polígono
Roberta Regina Delboni - RA: 027122
UNICAMP - IMECC
Disciplina: Elementos de Álgebra
Professor Fernando Torres
1
Introdução
A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos. O seu conceito está relacionado com
o de isometria (transformação geométrica), e às operações geométricas associadas:
re‡exão, re‡exão deslizante, rotação e translação.
Na matemática estuda-se a simetria de um dado objeto, fazendo-se o levantamento de todas as operações que não modi…cam o objeto (restituindo-o à sua
identidade). Ao conjunto destas operações dá-se o nome de grupo. Se o objeto for
geométrico, é um grupo de simetria. Se for um objeto algébrico, designa-se por
automor…smo de grupo.
Em termos geométricos, considera-se simetria como a semelhança exata da forma
em torno de uma determinada linha reta (eixo), ponto ou plano. Se, ao rodarmos
a …gura, invertendo-a, ela for sobreponível ponto por ponto (segundo os princípios
da geometria euclidiana) ela é simétrica. É o caso das imagens re‡etidas por um
espelho. Efetivamente, se no meio da letra T colocarmos um espelho exatamente a
meio da …gura, na vertical, a mistura das duas imagens (a real e a re‡etida) forma
um novo T já que a letra referida tem esse eixo de simetria. Dada uma imagem, a sua
simétrica preservará comprimentos e ângulos, mas nem sempre mantém a direção e
sentido das várias partes da …gura (embora isso possa acontecer em alguns casos).
Denotamos por S4 o grupo das simetrias do triângulo equilátero. A operação
será ;a composição de funções. Fixemos os vértices do triângulo no círculo unitário
S1 := fz 2 Cj jzj = 1g
2
por V1 = e2 i ; V2 = e2
i=3
e V3 = e4
i=3 :
Cada simetria será uma função bijetiva f : fV1 ; V2 ; V3 g ! fV1 ; V2 ; V3 g dada por
f (Vi ) = V (i) ; onde denotamos f na forma matricial por
1
(1)
Denotamos
:= R2
=3
a rotação de 2 =3 que é dada por
=
A rotação de 4 =3, R4
!
3
:
(3)
2
(2)
=3
= R2
2
=3
=
!
1 2 3
:
2 3 1
R2
=3
que será denotada por
2
é dada por
!
1 2 3
:
3 2 1
Finalmente a rotação de 2 = 6 =3 nada mais é que id e é denotada por 3 ;assim
3 = id. Além disso temos as simetrias em relação às retas que passam pelos vértices
e pelo centro do lado oposto, denotamos estas retas por li para i = 1; 2; 3: Seja
:= Sl3 a simetria em relação à reta l3 ;
=
Note que
2
!
1 2 3
:
2 1 3
= id: Seja Sl1 a simetria em relação à reta l1 ;
Sl2 =
!
1 2 3
:
3 1 2
e Sl22 = id:Assim, S4 = fid; ; 2 ; ; 2 ; Sl1 ; Sl2 g. Para provar que S4 é um
grupo precisamos veri…car as três propriedades da de…nição.
Observe que esse grupo não é comutativo:
3
A associatividade segue do fato de composição de funções ser associativa. O
elemento neutro segue do fato que a composição da identidade com qualquer função
ser a qualquer função. Basta portanto veri…car os inversos. De
3
=
2
2
e que (
2
=
= id
concluimos que
1
=
2
)
De
= id;
concluimos que
1
= :
1
= :
4
Antes de veri…carmos os dois restantes calculemos
=
2
!
!
1 2 3
1 2 3
=
2 3 1
2 1 3
1 2 3
3 1 2
=
!
1 2 3
2 1 3
!
=
!
1 2 3
= Sl1 e
1 3 2
1 2 3
3 2 1
!
= Sl2 .
Geometricamente já veri…camos que ( )2 = ( 2 )2 = id, logo ( ) 1 =
e ( 2 ) 1 = 2 : Dessa forma S4 é um grupo de ordem 6. Isso será visto de
forma puramente algébrica e vamos aproveitar para mostrar que S4 não é abeliano.
Calculemos,
=
1 2 3
2 1 3
!
1 2 3
2 3 1
!
=
1 2 3
3 2 1
!
=
2
:
Pelas observações acima temos que
(
)
1
(
1
=
2
)
1
1
2
=
1
=
2
=
2
1
4
=
=
=
=
2
e
:
Seja S o grupo das simetrias do quadrado. Denotamos os vértices por V1 =
i=2 , V = e i :e V = e3 i=2 :
2 =e
3
4
e2 i ; V
Seja
:= R
=2
a rotação por =2 que é dada por
!
1 2 3 4
;
2 3 4 1
=
a rotação de
é dada por
R :=
a rotação de 3 =2 é dada por
2
=
!
1 2 3 4
;
3 4 1 2
5
R3
=2
3
:=
!
1 2 3 4
4 1 2 3
=
e a rotação de 2 é dada por R2 := 4 = id: Temos também a simetria em
relação às retas l1 ;respectivamente l3 ; passando por dividindo ao meio os lados V1 V4
e V2 V3 ; respectivamente V1 V2 e V3 V4 . Assim,
!
1 2 3 4
2 1 4 3
:= Sl3 =
e
!
1 2 3 4
:
4 3 2 1
Sl1 =
Notemos que geometricamente 2 = Sl21 = id: Finalmente temos as simetrias em
relação às diagonais d1 , respectivamente d2 , dada por V1 V3 ; respectivamente V2 V4 :
Assim,
Sd1 =
!
1 2 3 4
1 4 3 2
Sd2 =
!
1 2 3 4
:
3 2 1 4
Novamente, geometricamente Sd21 = Sd22 = id: O conjunto S …ca portanto dado
por S = fid; ; 2 ; 3 ; ; Sl1 ; Sd1 ; Sd2 g: Como no exemplo anterior, para provar que
é um grupo basta calcular os inversos. Inicialmente,
4
3
=
=
2 2
= id;
logo
1
=
3
; (
3
)
1
=
e(
2
)
1
=
2
:
6
Os demais já foram calculados geometricamente. Mostraremos que este grupo
não é abeliano e refaremos os cálculos algebricamente. Calculemos,
2
=
!
!
1 2 3 4
1 2 3 4
=
2 3 4 1
2 1 4 3
!
1 2 3 4
= Sd1 ;
1 4 3 2
=
!
!
1 2 3 4
1 2 3 4
=
3 4 1 2
2 1 4 3
!
1 2 3 4
= S l1 e
4 3 2 1
=
!
!
1 2 3 4
1 2 3 4
=
4 1 2 3
2 1 4 3
!
1 2 3 4
= Sd2 .
3 2 1 4
3
A primeira observação é que
=
!
!
1 2 3 4
1 2 3 4
=
2 1 4 3
2 3 4 1
!
1 2 3 4
=
3 2 1 4
1
6
3
:
Logo,
(
)
(
2
)
1
=
1
=
1
=
(
1
3
)
2
1
=
3
1
=
=
1
3
2
3
2
=
1
=
=
3
=
6
=
=
3
2 2
=
=
2
,
e
:
Consideremos um polígono regular de n vértices. Imagine no plano do polígono
um sistema ortogonal xy de coordenadas cartesianas, de modo que sua origem seja
o centro do polígono, e um de seus vértices descanse no eixo 0x:
Nestas condições, as rotações em torno da origem e no sentido anti-horário segundo os ângulos:
0;
2 2(2 ) 3(2 ) (n
;
;
; :::
n
n
n
2)(2 ) (n
;
n
radianos transformam o polígono nele mesmo.
1)(2 )
n
7
Indiquemos por id a primeira destas rotações, e por a segunda rotação; considerando a composição de funções, podemos dizer que o conjunto dessas rotações
é: G = fid; ; 2 ; :::; n 1 g é óbvio que n = id:
Portanto (G; ) é um grupo cíclico de ordem n:
References
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Simetria
[2] A. Pacheco, Algebra, Universidade Federal do Rio de Janeiro.
[3] P. J. Ryan, Geometria Euclidiana e não Euclidiana - Uma abordagem analítica.
Rialma/IME/UFG - www.mat.ufg.br, 2004.