Exerc51-solucao

O terreno representado na figura tem a forma de um triângulo retângulo de catetos AB = 30 m e AE = 40
m. A cerca CD é paralela a AB e divide esse terreno em dois lotes de áreas equivalentes. Nessas
condições, a medida do segmento AD, em metros, é:

Da informação “a forma de um triângulo retângulo de catetos AB = 30 m e AE = 40 m.”, nos
permite calcular o valor do segmento BE através do Teorema de Pitágoras
Substituindo os valores, temos
m
Da informação a cerca CD é paralela a AB, permite que usemos o Teorema de Tales. Para simplificar as
variáveis vamos chamar
AD = x
DE = 40 –x
BC = y
CE = 50-y
CD = z
Usando a semelhança de triângulos, temos que ABE é semelhante a CDE ( O ângulo E é comum e os
ângulos A e D são de 90° => dois ângulos iguais definem a semelhança de triângulos). Então:
Substituindo os valores, temos
Nessa equação, temos o tamanho da cerca (z) e a medida que queremos que é AD (x). Como temos dois
valores desconhecidos precisamos de mais uma equação que relacione x e z. E ela está na próxima
informação
...” e divide esse terreno em dois lotes de áreas equivalentes”
Quem são os lotes de áreas equivalente?
Lote 1 = Quadrilátero ABCD [TRAPÉZIO]
Lote 2 = Triângulo CDE
E o que são áreas Equivalentes? Significa que o valor das áreas é o mesmo, ou seja
Área do Trapézio = Área do Triângulo
Obs: A área do trapézio ( que é a área do triângulo + área do quadro) é dada por
Onde as Bases são os lados paralelos do quadrilátero
Base maior = lado AB
Base Menor = lado CD
A altura é o lado entre as bases que tem os dois ângulos retos : lado AD
Substituindo na fórmula temos:
,
Trocando pelos números e por x,y e z, temos
AB= 30, CD =z, AD = x, DE = 40 – x
Então
O denominador 2 é comum aos dois lados da equação, então podemos simplificá-lo
(II)
Assim encontramos a segunda equação com z e x para usarmos com a equação anterior, que era
Vamos chamar a equação que veio do teorema de Tales de (I), e a equação que veio da igualdade das
áreas de (II).
Com duas equações e dois números desconhecidos podemos encontrar a solução do problema, que é
encontrar o valor de x. Vamos agora arrumar estas equações antes de usá-las
Na equação (I) temos:
Como é uma igualdade de duas frações, pela proporcionalidade podemos multiplicar os termos “em cruz”.
A equação torna-se
,
Podemos isolar o z, passando o 40 como divisão para o outro lado da igualdade. Vamos chamar esta
equação de (III)
Vamos agora manipular a equação (II)
(II)
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação (“chuveirinho”) nos lados direito e esquerdo da
equação II
Passando todos os “z” para o lado esquerdo da igualdade e os “sem-z” para o lado direito
Colocando z em evidência:
Somando os “x” do lado esquerdo
Isolando z e chamando a equação de (IV)
(IV)
Observando as equações (III) e (IV), podemos igualá-las e calcular o valor de x:
Agora sim, temos uma equação e um único número desconhecido, para solucioná-la vamos multiplicar
“em cruz”
O 30 multiplica os dois lados da equação, logo podemos simplificá-lo
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação (“chuveirinho”) no lado direito da equação
Passando o 40x que tá do lado direito para o lado esquerdo e reescrevendo a equação:
Somando os valores, temos:
Dividindo por 2 a equação
Temos assim uma equação do segundo grau, e temos que usar a fórmula de Bhaskara para solucioná-la
Assim
Calculando x2, temos
Logo, temos 2 valores encontrados x= 68 (que não serve) e x = 12 (que é a solução do exercício)