Relação Fundamental a2 = b2 + c2

ELIPSE
Aulas 45, 46
Rodrigo C. Fonseca
CÔNICAS
ELIPSE
PF1 + PF2 = 2a
Elementos
C: Centro
A, A’, B, B’: Vértices
F1, F2: Focos
Eixo Maior (AA’): 2a
Eixo Menor (BB’): 2b
Dist. Focal (F1F2): 2c
Excentricidade (e): c/a
Relação
Fundamental
a2 = b2 + c2
Exercícios: 1 e 2
Equações – centro na origem
Importante: os focos sempre pertencem ao eixo maior da Elipse
2
2
x
a
2

y
b
2
1
x2
b
semi-eixo paralelo a x
semi-eixo paralelo a y
2

y2
a
2
1
semi-eixo paralelo a x
semi-eixo paralelo a y
http://alfaconnection.net/pag_avsm/gan0401.htm
Exercícios: 3 e 4
Q.05
v
y
y
yc
b
P
v
a)
u
u
u² v²

1
a² b²
a
xc
x = xc + u ⇒ u = x - xc
y = yc + v ⇒ v = y - yc
x
x
b)
(x - x c )² (y - y c )²

1
a²
b²
Equações
y
y
yo
yo+a
F1
b
yo+c
F2
yo
b
xo-a
xo-c
yo-c
xo xo+c
xo+a
x
yo-a
2
semi-eixo paralelo a x
b
b
F2
xo
( x  xo ) 2 ( y  yo ) 2

1
2
2
b
a
( x  xo ) ( y  yo )

1
2
2
a
b
2
F1
semi-eixo paralelo a x
semi-eixo paralelo a y
semi-eixo paralelo a y
x
Equação Geral do 2º grau
Reta
Par de retas paralelas
Par de retas concorrentes
Circunferência
Ponto
Conjunto Vazio
Parábola
Elipse
Hipérbole
Exercícios: 6 a 13
Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
10
x  t  1
(t  IR)

y  2t  5
t=x+1
y = 2(x + 1) – 5 ⇒ y = 2x – 3
Reta (b)
t
x
y
(x,y)
-1
-2
-7
(-2,-7)
0
-1
-5
(-1,-5)
1
0
-3
(0,-3)
2
1
-1
(1,-1)
11
x  -3  2.senθ
(θ  IR)

y  1 2.cosθ
senθ = (x + 3)/2
cosθ = (y - 1)/2
sen²θ + cos² θ = 1
2
2
2
2
 x  3   y -1

 
  1  x  3  y -1  4
 2   2 
Circunferência (f)
12
senθ = (x + 4)/3
x  -4  3.senθ
(θ  IR)

y  2  5.cosθ
cosθ = (y - 2)/5
sen²θ + cos² θ = 1

x  4 y - 2
 x  4   y -2 

1

 
 1 
9
25
 3   5 
2
2
2
2
Elipse (g)
13
Lugar geométrico (x;y) ?
t=3
t² - t – 6 = 0
Duas retas paralelas
t = -2
t = |x – y|
|x – y| = 3
|x – y| = -2
x–y=3
⇒x–y–3=0
x – y = -3 ⇒x – y + 3 = 0
para os amantes do esporte...
D.01
Determinar as equações das retas tangentes à elipse:
x² y²
 1
4 9
D.02
paralelas à reta y = 2x + 1.
Resp:
2x – y + 5= 0
2x – y - 5 = 0
Determinar as equações das retas tangentes à elipse:
Resp :
x² y²
  1 nos pontos da elipse de abscissa x = 1.
x  3 2y  9  0
9 4
x  3 2y  9  0
D.03
Apresentar n > 4 de modo que a reta y = 2x + 5 seja
tangente à elipse:
x² y²
 1
4 n
Resp: n= 9