INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO ENFORMAÇÃO PLÁSTICA
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ENFORMAÇÃO PLÁSTICA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Lisbon-Portugal LICENCIATURA EM ENGENHARIA MECÂNICA 1 Apresentação Corpo docente Programa da disciplina Avaliação por testes (26/10 e 05/01) ou por exame final Horário de dúvidas Métodos das linhas de escorregamento e do limite superior Processos tecnológicos de deformação plástica na massa Teoria da flexão em domínio plástico Processos tecnológicos de deformação plástica de chapa Processos tecnológicos de deformação plástica de tubos e perfis Avaliação Paulo Martins (Prof. Catedrático) Beatriz Silva (Assistente) A afixar na página da disciplina Contactos Secção de Tecnologia Mecânica, Pavilhão de Física, Piso 0 [email protected], [email protected] 2 1 Apresentação Bibliografia Rodrigues J. e Martins P., Tecnologia mecânica vol. 1 e vol. 2, Escolar Editora, 2005. Martins P. e Silva B., Tecnologia mecânica vol. 1 e vol. 2, Enunciados de Exercícios, 2006. (download a partir da página da disciplina) 3 Apresentação Semana (No.) Matéria teórica Matéria prática Matéria auto-estudo Cap. 4 Plasticidade Cap. 6 Método da Energia Uniforme Cap. 7 Método da Fatia Elementar 1 Apresentação Cap. 8 Método das linhas de escorregamento Equações de Hencky. Condições de fronteira relativas ao campo de tensões. Descontinuidades de tensão. Problemas 8.1/8.2/8.7 2 Cap. 8 Método das linhas de escorregamento (cont.) Equações de Geiringer. Condições de fronteira relativas ao campo de velocidades. Descontinuidades de velocidades. Aplicações do método das linhas de escorregamento ao cálculo de processos tecnológicos de deformação plástica na massa. Problemas 8.1/8.2/8.7 Problemas 8.4/8.5/8.6/8.8 3 Cap. 9 Método do limite superior Teorema do limite superior. Significado físico-geométrico. Tópicos avançados envolvendo o cálculo de temperaturas. Problemas 9.4/9.5 Problema 9.1 4 Cap. 9 Método do limite superior (cont.) Aplicações do método do limite superior ao cálculo de processos tecnológicos de deformação plástica na massa. Problemas 9.6/9.7 Problema 9.2 5 Cap. 15 Extrusão e trefilagem Classificação dos processos de extrusão e trefilagem. Extrusão directa e inversa, extrusão a frio e a quente. Metodologia de concepção e projecto de peças extrudidas e trefiladas.Cálculo de peças extrudidas e trefiladas. Problemas 15.1/15.5/15.6 Problemas 15.4/15.7 6 Cap. 16 Laminagem Classificação dos processos de laminagem. Laminagem de produtos planos e não-planos, laminagem a frio e a quente. Metodologia de concepção e projecto de peças laminadas.Cálculo de peças laminadas. Problemas 16.2/16.3 Problemas 16.4/16.5/16.6 Problemas 8.4/8.5/8.6 4 2 Apresentação Semana (No.) Matéria teórica Matéria prática 7 Cap. 13 Teoria da flexão em domínio plástico Noção de fibra neutra. Flexão de peças direitas – tensões e deformações. Problemas 13.1/13.2 8 Cap. 13 Teoria da flexão em domínio plástico (cont.) Flexão de peças curvas – tensões e deformações. Problemas 13.3/13.4 9 Cap. 18 Quinagem Classificação dos processos de quinagem. Quinagem em V no ar e quinagem a fundo. Quinagem em U. Problema 18.1 10 Cap. 18 Quinagem (continuação) Metodologia de concepção e projecto de peças quinadas.Cálculo de peças quinadas. Problema 18.2 11 Cap. 20 Perfilagem Concepção e projecto de perfis. Cálculo de perfis. Linhas de produção de perfis. Problema 20.1 12 Cap. 21 Deformação plástica incremental Fluo-torneamento cónico e cilíndrico. Concepção e projecto de peças fluo-torneadas. Cálculo de peças fluo-torneadas. Problemas 21.1/21.3 Matéria auto-estudo Problemas 13.5/13.6 Problemas 18.3/18.4 Problemas 21.2/21.5 5 Apresentação Semana (No.) Matéria teórica 13 Cap. 23 Dobragem de tubos e perfis Tensões e deformações. Concepção e projecto de operações de dobragem de tubos e perfis. Máquinas-ferramenta para dobragem de tubos e perfis. 14 Revisões Matéria prática Matéria auto-estudo Problemas 23.1/23.2 Problema 23.3 6 3 Método das linhas de escorregamento Introdução O método das linhas de escorregamento é um método completo na medida em que resolve simultaneamente os campos de tensões e de deformações (velocidades). A denominação linhas de escorregamento é por alguns autores considerada menos apropriada, uma vez que as linhas de escorregamento representam graficamente as direcções dos planos em que a tensão de corte é máxima, as quais fazem ângulos de 45º relativamente aos planos principais, significando, portanto, que as linhas de escorregamento não devem ser confundidas com as direcções de escoamento ou movimentação do material em deformação 7 plástica (geralmente designadas por linhas de fluxo). Método das linhas de escorregamento Introdução – enquadramento histórico Os fundamentos teóricos do método das linhas de escorregamento remontam aos trabalhos publicados por Coulomb em 1773, Rankine em 1857 e Levy em 1873. Porém, o método só ficou definitivamente estabelecido após Hencky em 1923 e Geiringer em 1930 terem apresentado as equações que permitem resolver o campo de tensões e o campo de velocidades, respectivamente, e Prager e seus colaboradores terem em 1951 e 1953 introduzido os conceitos de hodógrafo e de ciclóide dos pólos. Charles A. Coulomb 1736-1806 William Rankine 1820-1872 Richard von Mises 1883-1953 Heinrich Hencky 1885-1952 Hilda Geiringer von Mises 1893-1973 William Prager 1903-1980 8 4 Método das linhas de escorregamento Introdução – hipóteses simplificativas • O material é homogéneo e isotrópico • O material tem um comportamento rígido perfeitamente plástico, desprezando-se todos os efeitos associados à componente elástica da deformação e ao encruamento do material • Desprezam-se os eventuais efeitos que possam decorrer da variação da temperatura, da velocidade de deformação e do tempo associado à deformação plástica dos materiais • A generalidade das aplicações do método das linhas de escorregamento refere-se à solução de problemas em condições de deformação plástica plana. y dε x = −dε y dε z = 0 dγ xy ≠ 0 dγ yz = dγ zx = 0 ε& x = −ε& y ε& z = 0 γ& xy ≠ 0 γ& yz = γ& zx = 0 x z 9 Método das linhas de escorregamento Condições de deformação plástica plana As relações para as deformações e para as velocidades de deformação que são características da deformação plástica plana associadas às equações constitutivas rígidoviscoplásticas de Levy-Mises permitem obter as seguintes conclusões para o campo de tensões: ε& x = ε& p σ ε& p x y σy dε x = −dε y dε z = 0 dγ xy ≠ 0 dγ yz = dγ zx = 0 ε& x = −ε& y ε& z = 0 γ& xy ≠ 0 γ& yz = γ& zx = 0 τ yx σx τ xy x σz = σ2 z 1 ⎡ ⎤ ⎢σ x − 2 (σ y + σ z )⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎡ ⎤ ε& y = σ y − (σ z + σ x )⎥ σ ⎢⎣ 2 ⎦ ε& p ⎡ 1 ⎤ ε& z = σ − σ + σ ( ) z x y ⎥ σ ⎢⎣ 2 ⎦ γ& xy 3 ε& p ε& xy = = τ xy 2 2 σ y z . . τ σ3 γ/2 ε3 σy y k y . ε yx τ yx σ O . ε O . ε xy τ xy τ yz = τ zx = 0 1 σ z = σ 2 = (σ x + σ y ) 2 . εy x x σ1 σz = σ2 σx . . . ε ε z = ε2 = 0 . ε1 x A tensão média é igual à tensão principal intermédia σm10 = σz= σ2 5 Método das linhas de escorregamento Noção de linha de escorregamento O conjunto de quadrículas (ou rede) definidas pelas direcções dos planos de corte máximo denomina-se por campo de linhas de escorregamento. Estas direcções são, no caso geral, compostas por linhas curvas ortogonais entre si, embora possam coexistir quadrículas rectas no seio do campo de linhas de escorregamento. y β β III y β II σx τ yx α τ xy σx α3 βI σy P σy α τ yx σy α2 τ σ3 x τ xy φ Pólo α1 2φ k P (2,II) y τ yx σ y x O φ β σm Convenção 1: As linhas de escorregamento da família α estão associadas às distorções no sentido horário, enquanto que as linhas de escorregamento da família β estão associadas às distorções anti-horárias. τ xy Dir. principal 3 α k σ1 β φ P x k σm x σm k k σz = σ2 = σm σx Dir. principal 1 11 σm Método das linhas de escorregamento Noção de linha de escorregamento (continuação) Em face do que foi referido anteriormente as linhas de escorregamento não sofrem qualquer tipo de extensão (apenas distorcem), pelo que o seu comprimento se mantém inalterável. Convenção 2: O sentido positivo das linhas α é aquele que coincide com o sentido positivo das linhas β, quando a linha α rodar de um ângulo igual a 90º no sentido anti-horário. β 90º α φ +dφ P2 P1 φ φ Convenção 3: A variação do ângulo de rotação dφ entre dois pontos genéricos situados sobre a mesma linha, será positiva, quando ao se avançar no sentido positivo da linha, a respectiva tangente à linha for rodando no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (válido tanto para as linhas α, como para as linhas β ). 12 6 Método das linhas de escorregamento Equações de Hencky O campo de tensões nas zonas em deformação plástica em condições de deformação plana é caracterizado a partir das seguintes equações: Equações de equilíbrio de tensões • (na ausência de forças mássicas) ∂σ x ∂τ yx + =0 ∂x ∂y ∂τ xy ∂σ y + =0 ∂x ∂y Transformação de Levy Critério de plasticidade • (σ x − σ y ) 2 + 4τ 2xy = 4k ∂σ m ∂φ ∂φ − 2k cos 2φ − 2k sen 2φ =0 ∂x ∂x ∂y ∂σ m ∂φ ∂φ + 2k cos 2φ − 2k sen 2φ =0 ∂y ∂y ∂x σ x = σ m − k sen 2φ 2 dσ m dφ − 2k =0 dα dα dσ m dφ + 2k =0 dβ dβ σ y = σ m + k sen 2φ τ xy = k cos 2φ α +dφ β φ +dφ B φ A Linhas de escorregamento do tipo α σ m − 2 k φ = C αte dσ m − 2k dφ = 0 Linhas de escorregamento do tipo β σ m + 2 k φ = C βte dσ m + 2k d13φ = 0 Método das linhas de escorregamento Equações de Hencky – significado geométrico +dφ β φ +dφ B A τ Ciclóide dos pólos α D φ φ PA +k Linha I C PB φ+dφ 2dφ Linhas de escorregamento do tipo α σ dσ m − 2k dφ = 0 O A B Linha II -k 2k d φ Ao percorrer no plano físico uma linha α , o círculo de Mohr, no plano das tensões, desloca-se como se rolasse sem escorregar sobre a linha I, de um ângulo igual a dφ (ângulo ao centro 2dφ ), deslocando-se o pólo sobre a circunferência de uma quantidade igual a 2kdφ, como se estivesse fixo sobre a circunferência enquanto esta roda. 14 7 Método das linhas de escorregamento Equações de Hencky – significado geométrico τ Ciclóide dos pólos α PA +k Linha I D φ C PB φ+dφ 2dφ +dφ β φ +dφ σ B O φ A A B Linha II -k 2k d φ σ = k ( ∆φ − sen∆φ) τ τP O τ = k cos ∆φ ∆φ/2 +k (I) P ∆φ σP σ -k (II) k ∆φ Ciclóide dos pólos α 2k π 15 Método das linhas de escorregamento 1º Teorema de Hencky β C α dβ D s r D' A A' dφDA B O ângulo entre as tangentes a duas linhas de uma família, nos pontos em que são intersectadas por uma linha da outra família, é constante e, consequentemente, também a diferença das tensões será constante. dα dφCB σ mC − σ mA = ( σ mC − σ mB ) + (σ mB − σ mA ) = −2k (φ C − φ B ) + 2k ( φ B − φ A ) = 2k (2φ B − φ C − φ A ) dφ BA = (φ B − φ A ) =(φ C − φ D ) = dφ CD σ mC − σ mA = (σ mC − σ mD ) + (σ mD − σ mA ) = 2k (φ C − φ D ) − 2k (φ D − φ A ) = 2k ( −2φ D + φ C + φ A ) (analogamente para as linhas da outra família) dφ DA = (φ D − φ A ) =(φC − φ B ) = dφ CB 16 8 Método das linhas de escorregamento Condições de fronteira relativas ao campo de tensões A resolução das equações de Hencky, relativas ao campo de tensões, exige que sejam introduzidas as condições de fronteira física dos problemas. Principais tipos de condições de fronteira: • Superfície livre • Superfície sem atrito (entre o material e a ferramenta) • Superfície com atrito máximo (entre o material e a ferramenta) • Superfície com atrito de Coulomb (entre o material e a ferramenta) τ Superfície livre 0 P α β 2k k 0 σ P 2k 0 2k Pólo Ex. Superfície livre Material α β -k 17 Método das linhas de escorregamento Condições de fronteira relativas ao campo de tensões (continuação) τ α α k β P σ3 Material σ1 P σ1 σ1 σ3 σ 0 Superfície sem atrito σ3 Pólo β As linhas de escorregamento deverão encontrar a superfície a 45º -k Ex. Superfície sem atrito (entre o material e a ferramenta) τ β α k Pólo Material P k σm σm P σm σ3 α k σm σm σ1 σ 0 Superfície com atrito máximo k k β -k Ex. Superfície com atrito máximo (entre o material e a ferramenta) Uma das linhas de escorregamento (dependendo do sentido da distorção provocada pelas tensões de corte) encontra a superfície tangencialmente, enquanto que a linha da outra família a vai intersectar ortogonalmente 18 9 Método das linhas de escorregamento Condições de fronteira relativas ao campo de tensões (continuação) τ α α Material β k τ=µ p θ q µp µp arctg µ µp P p σ3 F σ1 p P p µp µp P σ τ 0 θ Aa q Pólo Superfície com atrito de Coulomb β O ângulo θ deverá ser função da pressão aplicada -k Ex. Superfície com atrito de Coulomb (entre o material e a ferramenta) µ = F P = τ p 19 Método das linhas de escorregamento Descontinuidade de tensão Por vezes a resolução do campo de tensões exige a introdução de linhas de descontinuidade de tensão. τ σt' PA LDT σn τ PA σt' σn P τ σt σn PB σn k σt' Zona A τ τ σn σt PB 0 σ Zona B σt -k • Os critérios de plasticidade devem continuar a ser respeitados em cada um dos semiplanos que resultam da divisão do plano físico pela linha de descontinuidade de tensão (LDT). • Tanto a tensão normal que se exerce na direcção perpendicular à LDT, como a tensão de corte têm que ser iguais nos dois semi-planos, para que a continuidade física do material em deformação fique assegurada. • A tensão de corte não pode ser máxima numa LDT, pois se assim fosse essa linha seria 20 uma linha de escorregamento e os dois pólos PA e PB estariam coincidentes. 10 Método das linhas de escorregamento Descontinuidade de tensão – significado físico A LDT pode ser interpretada como uma lâmina elástica de espessura reduzida que no limite se confunde com a própria linha onde o estado de tensão do semi-plano A evolui para o do semi-plano B passando através de sucessivos estados de tensão elásticos. τ σ t' PA LDT τ σn PA σt' P σn PB σn τ σn τ σt k σ t' Zona A σt'' σt''' σn σt PB 0 σ Zona B σt -k (σ − σ ) 2 n + 4 τ 2 = 4k 2 σ t ,σ t ' = σ n ± 2 k 2 − τ 2 21 Método das linhas de escorregamento Campos de linhas de escorregamento Existem dois tipos de campos de linhas de escorregamento particularmente simples e que uma vez combinados estão na base de inúmeras soluções utilizadas na análise de processos de deformação plástica: • Campo uniforme - consiste num conjunto de linhas de escorregamento rectas e ortogonais entre si. O • Leque - constituído por um ponto singular, que não é mais do que o centro geométrico de vários arcos de círculo atravessados por linhas rectas que nele convergem. Para além destes campos de linhas de escorregamento existem outros, que podem ser bastante mais complexos, em que as linhas que os constituem apresentam raios de curvatura variáveis de ponto para ponto. 22 11 Método das linhas de escorregamento Exemplo de aplicação – campo de tensões Considere a operação de indentação sem atrito em condições de deformação plana que se encontra representada na figura (solução de Prandtl). C' O O' A B' C B y x a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr. b) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite de elasticidade do material p/2k. 23 Método das linhas de escorregamento y Equações de Geiringer O campo de velocidades nas zonas em deformação plástica em condições de deformação plana é caracterizado a partir das seguintes equações: v x = u cos φ − v sen φ v y = u sen φ + v cos φ β φ vy • Equação da continuidade v (condição de incompressibilidade em condições de deformação plástica plana) u ∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y • Compatibilidade das deformações (os eixos principais do tensor das tensões e do tensor das velocidades de deformação são coincidentes) τ xy σx − σy = ε& xy ε& x − ε& y x x vx A (σ φ ε& x + ε& y = α VA ∂v y ⎛ ∂v − σ y )⎜⎜ x + ∂x ⎝ ∂y ∂v ⎞ ⎛ ∂v ⎟ = 2τ xy ⎜ x − y ⎟ ⎜ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Velocidade de deformação ε& x = ε& y = ε& xy = ∂v x ∂x ∂v y ∂y ⎛ ∂v y ⎛ ∂v x ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎝ ∂x ⎠ φ = 0 ⎝ ∂y ⎞ ⎟ =0 ⎟ ⎠ φ =0 1 ⎛ ∂v x ∂v y ⎞ ⎟ ⎜ + 2 ⎜⎝ ∂y ∂x ⎟⎠ Linhas de escorregamento do tipo α ∂u ∂φ −v =0 ∂x ∂x Linhas de escorregamento do tipo β ∂v ∂φ +u =0 ∂y ∂y du − v dφ = 0 dv + u24 dφ = 0 12 Método das linhas de escorregamento Equações de Geiringer – significado físico Considerem-se dois pontos A e B infinitamente próximos situados sobre uma linha de escorregamento α. Sejam u e v respectivamente as velocidades absolutas segundo as direcções de α e β no ponto A e u+du e v+dv as velocidades absolutas no ponto B. VB ∆V α VA u+du v+dv β dφ /2 φ +dφ VAB VA B ∆l v dφ /2 VAB u φ A A linha de escorregamento α não varia de comprimento entre os pontos A e B d ( ∆l ) ⎡ dφ dφ ⎤ ⎡ dφ dφ ⎤ = ⎢(u + du )cos − (v + dv )sen ⎥ − ⎢u cos + v sen ⎥ = 0 dt 2 2⎦ ⎣ 2 2⎦ ⎣ du − v dφ = 0 25 Método das linhas de escorregamento Condições de fronteira relativas ao campo de velocidades A resolução das equações de Geiringer, relativas ao campo de velocidades, exige que sejam introduzidas as condições de fronteira física dos problemas. Principais tipos de condições de fronteira: • Contacto material-ferramenta Nas zonas de contacto entre o material e as ferramentas, a componente normal da velocidade terá de ser igual à da ferramenta. Esta condição determina que, em termos relativos, o material só poderá, quanto muito, deslocar-se tangencialmente à superfície de contacto. • Linhas de simetria cinemática O campo de velocidades tem que respeitar as linhas de simetria cinemáticas do problema. Refira-se a este propósito que nem sempre as linhas de simetria cinemáticas coincidem com as linhas de simetria geométricas. • Pontos neutros No caso particular de uma linha de simetria intersectar uma fronteira material (ferramenta, por exemplo), a velocidade nesse ponto é nula e corresponde a um ponto de inversão do sentido da velocidade tangencial sobre a superfície de contacto com a fronteira. 26 13 Método das linhas de escorregamento Descontinuidade de velocidade Por vezes a resolução do campo de velocidades exige a introdução de linhas de descontinuidade de velocidade (LDV). α v A=v B uA du A − v A dφ = 0 LDV Zona A P u A − u B = C te. du B − v B dφ = 0 uB vA = vB Zona B Numa LDV o valor da intensidade da descontinuidade de velocidade (diferença entre os módulos das velocidades) é constante ao longo de toda a linha de descontinuidade de velocidade βI Convenção 4: Um ponto localizado na intersecção de duas linhas de descontinuidade de velocidade pode ter quatro representações distintas de velocidade (no hodógrafo), consoante o quadrante em que é considerado, sendo, por isso, a sua posição referenciada adicionando à designação do ponto uma letra identificando o quadrante em que este se situa. Utilizam-se as letras A, B, C e D, respectivamente para os 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes. α1 A B P (1,I) D 27 C Método das linhas de escorregamento Exemplo de aplicação – campo de velocidades Considere a operação de indentação sem atrito em condições de deformação plana que se encontra representada na figura (solução de Prandtl). Vo O' O β 1,III α A B D A 1,I D 1,II a) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo. 28 14 Método das linhas de escorregamento Auto estudo Resolver os exercícios 8.4, 8.5, 8.6 e 8.8 Para resolver o exercício 8.8 deverá efectuar-se o download do programa de elementos finitos I-FORM da página da disciplina e proceder à sua instalação nas seguintes directorias: Pre-processador – c:\i_form\pre (quando disponibilizado) Pós-processador – c:\i_form\post Programa de elementos finitos – c:\i_form\iform2 Os ficheiros de dados fem.dat e die.dat devem ser copiados para a directoria do programa de elementos finitos. τ +k 1,I 2,I 4,I 1,II σ 1,III 1,IV σm 4,I O P4,I P1,I P1,IV P1,III P1,II P2,I -k 29 15
